metode de calcul numeric matriceal. algoritmi fundamentali

10 CAPITOLUL 0. CONCEPTE FUNDAMENTALE
Exemplul 0.9 Am constatat, în exemplul 0.7, că formulele (0.8) nu sunt cele
mai bune din punct de vedere numeric, mai ales când b 2 ≫ 4ac, şi deci |b| ≈ √ ∆.
Pentru a evita scăderea unor numere apropiate, se pot folosi formulele
x 1 = −b − sgn(b)√ b 2 − 4ac
, x 2 =
2a
−2c
b + sgn(b) √ b 2 − 4ac . (0.9)
Utilizând în (0.9) valorile numerice din exemplul 0.7, se obţine, în FVM de lucru,
un rezultat cu toate cifrele semnificative exacte.
♦
0.3 Condiţionarea problemelor de calcul
Orice problemă de calcul numeric impune obţinerea unor rezultate numerice, pornind
de la date de intrare numerice, astfel încât rezultatele să poată fi interpretate ca o
aproximaţie a soluţiei unei probleme matematice pentru datele de intrare respective.
Pentru ca o astfel de problemă să fie bine definită, trebuie asigurate existenţa şi
unicitatea soluţiei. În acest caz, o problemă de calcul numeric poate fi întotdeauna
descrisă ca evaluare a unei funcţii
f : D ⊂ R n −→ R m (0.10)
într-un punct x ∈ D dat. Cele n componente ale argumentului constituie datele
de intrare, iar cele m componente ale vectorului f(x) sunt rezultatele sau datele de
ieşire.
Desigur, aplicaţia f este de cele mai multe ori definită implicit iar descoperirea
unei căi prin care calculul valorii f(x) devine posibil echivalează cu rezolvarea,
printr-un algoritm specific, a problemei de calcul considerate.
Exemplul 0.10 a) Fie D o mulţime de trei numere reale şi
⎡ ⎤
x =
⎣ a b
c
Rezolvarea ecuaţiei de gradul II
⎦ ∈ D = {x ∈ R 3 | a ≠ 0, b 2 − 4ac ≥ 0} ⊂ R 3 .
ay 2 + by + c = 0
este o problemă numerică bine definită, deoarece pentru orice x ∈ D există un unic
vector
⎡
−b − sgn(b) √ b 2 ⎤
− 4ac
[ ]
y1
2a
y = f(x) = = ⎢
⎥
y 2 ⎣ −2c ⎦ ∈ R2 ,
care este soluţia problemei.
b) Calculul integralei
∫ b
a
b + sgn(b) √ b 2 − 4ac
e −t2 dt,