metode de calcul numeric matriceal. algoritmi fundamentali

26 CAPITOLUL 1. ALGORITMI ELEMENTARI
Dacă, în plus faţă de (1.5), vectorii u i au norme euclidiene unitare, ‖u i ‖ 2 = 1,
∀i = 1 : p, ei sunt numiţi ortonormali.
Vectorii ortogonali sunt liniar independenţi; justificarea e intuitivă: un vector
ortogonal pe toţi ceilalţi este ortogonal şi pe orice combinaţie liniară a lor.
Orice subspaţiu de dimensiune mai mare ca unu are o infinitate de baze ortonormale
4 . De exemplu, baza canonică a R n , e 1 , . . . , e n , este ortonormală. Folosirea
bazelor ortonormale este recomandabilă nu numai datorită proprietăţilor matematice,
dar şi a acurateţii numerice pe care o induc în calcule. Un mod simplu, dar nu
şi numeric stabil, de a construi o bază ortonormală, pornind de la o bază oarecare,
este sugerat în problema 1.6 (algoritmul Gram-Schmidt); metode numeric stabile
vor fi prezentate în capitolele 3 şi 5.
Teorema lui Pitagora se generalizează imediat în R n : vectorii x, y ∈ R n sunt
ortogonali dacă şi numai dacă ‖x + y‖ 2 2 = ‖x‖2 2 + ‖y‖2 2 .
Noţiunea de ortogonalitate poate fi extinsă la subspaţii liniare. Vectorul x ∈ R n
este ortogonal pe subspaţiul S ⊂ R n dacă este ortogonal pe orice vector din S. Două
subspaţii S, T ⊂ R n sunt ortogonale dacă orice vector s ∈ S este ortogonal pe orice
vector t ∈ T ; vom nota S ⊥ T .
Un subspaţiu S ⊂ R n este numit complementul ortogonal al subspaţiului
T ⊂ R n dacă cele două subspaţii sunt ortogonale şi complementare. (∀x ∈ R n ,
există vectorii unici s ∈ S, t ∈ T astfel încât x = t + s şi t ⊥ s.) Se utilizează
notaţia S = T ⊥ ; desigur, avem şi T = S ⊥ .
Particularităţi ale spaţiului euclidian complex C n . Produsul scalar uzual
al vectorilor x, y ∈ C n este definit de proprietăţi uşor diferite de cele ale produsului
scalar din R n ; mai precis, notând cu α complex conjugatul scalarului complex α,
proprietăţile 1 şi 3 devin:
1’. f(x, y) = f(y, x);
3’. f(x, αy) = αf(x, y).
Produsul scalar uzual în C n se defineşte prin y H x = ∑ n
i=1 x iy i .
Doi vectori x, y ∈ C n sunt ortogonali dacă y H x = 0.
Norma euclidiană ‖ · ‖ : C n → R + se defineşte prin ‖x‖ 2 = √ x H x, ∀x ∈ C n ,
unde x H x = ∑ n
i=1 |x i| 2 , iar |α| este modulul scalarului complex α.
AA. Calculul produsului scalar. Urmând (1.3), produsul scalar se calculează
astfel:
Algoritmul 1.2 (DOT – Calculul produsului scalar) (Se dau vectorii
x, y ∈ R n . Se calculează α = y T x.)
1. α ← 0
2. Pentru i = 1 : n
1. α ← α + x i y i
Comentarii. Algoritmul are 2n operaţii şi face deci parte din grupul operaţiilor
de nivel 1. Îl vom apela prin α = DOT(x, y).
4 În general vom spune baze ortogonale în loc de ortonormale, presupunând implicit că normele
vectorilor sunt unitare.