metode de calcul numeric matriceal. algoritmi fundamentali

20 CAPITOLUL 1. ALGORITMI ELEMENTARI
✻
✻
x 3
✏✶
x 2 ✑✥✥✥✥✥✥
✑
✏✑
✏✏✏✏✏✏
✑
✑
✑
✑
✑✰
(a)
x 1
x
✲
1
✻
e 3 ✑
✑
✑
✲
✑ e ✑ 1
1
1
✑
✑✰ e 2
✑✰
(b)
✲
Fig. 1.1: (a) Un vector în R 3 şi coordonatele sale; (b) vectorii unitate în R 3
Vectori. Un vector real x de dimensiune n este o colecţie de n numere reale
dispuse ordonat într-o coloană
⎡
x = ⎢
⎣
⎤
x 1
x 2
⎥
.
x n
⎦ , (1.1)
numerele x i fiind numite componente (elemente, sau coordonate) ale vectorului x.
În general, vom nota vectorii cu litere latine mici, iar elementele lor cu litera respectivă
şi indicele poziţiei. Pentru economie de spaţiu tipografic, vom nota deseori
x = [x 1 . . . x n ] T , unde x T = [x 1 . . . x n ] este vectorul linie cu aceleaşi elemente ca
în (1.1), iar indicele superior T denotă operaţia de transpunere.
Mulţimea tuturor vectorilor de dimensiune n va fi notată cu R n şi va fi asimilată
cu spaţiul real n-dimensional. În consecinţă, din punct de vedere geometric, un
vector reprezintă segmentul orientat care uneşte originea spaţiului real cu n dimensiuni
cu punctul de coordonate (x 1 , . . . , x n ), sau chiar numai acest din urmă punct.
Vectorul cu toate componentele nule va fi notat cu 0, dimensiunea sa reieşind din
context; geometric, acesta este originea spaţiului n-dimensional. Pentru o mai bună
înţelegere, vom ilustra unele concepte în R 2 sau R 3 ; figura 1.1a prezintă un vector
şi semnificaţia (de coordonate) a elementelor sale.
Vectorii din R n care au un element egal cu 1 şi celelalte nule se numesc vectori
unitate; ei vor fi notaţi
e i = [0 . . . 0
} {{ }
i−1
1 0
}
.
{{
. . 0
}
] T ,
n−i
indicele arătând poziţia valorii 1. Spre exemplu, vectorii unitate din R 3 sunt
prezentaţi în figura 1.1b.
Doi vectori sunt egali când toate componentele lor de acelaşi indice sunt egale;
deci, dacă x, y ∈ R n , atunci x = y când x i = y i , ∀i ∈ 1 : n.