metode de calcul numeric matriceal. algoritmi fundamentali

16 CAPITOLUL 0. CONCEPTE FUNDAMENTALE
De regulă, numărul de operaţii N op al unui algoritm e funcţie de dimensiunea
problemei care, de multe ori, poate fi apreciată prin numărul datelor de intrare,
N op = f(n). În calculul numeric, de obicei f este un polinom (de grad mic),
f(n) = a 0 n k + a 1 n k−1 + . . . + a k . Pentru că f poate avea o expresie complicată, se
păstrează doar termenul cel mai semnificativ şi se scrie N op ≈ a 0 n k . O astfel de
aproximare este cu atât mai bună cu cât n este mai mare. Pentru aprecieri pur
calitative, vom omite a 0 şi vom scrie 3 N op = O(n k ).
• Memoria ocupată. Pentru execuţia unui algoritm (program) este necesară
memorarea datelor de intrare, rezultatelor, precum şi a altor valori intermediare.
Numărul de elemente în FVM necesare în acest scop se numeşte memoria ocupată
de algoritm.
În majoritatea cazurilor, datele de intrare nu mai sunt necesare la terminarea algoritmului.
Spaţiul de memorie ocupat de ele poate fi utilizat pe parcursul execuţiei
algoritmului pentru a memora rezultate parţiale şi/sau finale. În acest caz se spune
că efectuăm calculele pe loc.
• Stabilitatea numerică, discutată în paragraful anterior, arată acurateţea rezultatelor
obţinute de algoritmul numeric (în ipoteza că datele iniţiale sunt exacte).
Aceste trei criterii trebuie corelate cu viteza calculatorului, memoria disponibilă,
numărul de cifre semnificative al FVM utilizat.
Desigur, nu trebuie uitată nici un moment condiţionarea problemei, care influenţează
şi ea acurateţea rezultatului. Interesează în special performanţele algoritmului
pentru probleme rău condiţionate, adică atunci când erorile datelor de intrare sunt
mult amplificate. În orice caz, calculul soluţiei e bine a fi însoţit de determinarea
(sau estimarea) condiţionării problemei, adică de calculul unei cantităţi de tip (0.11).
Putem adăuga astfel un al patrulea criteriu de apreciere a unui algoritm:
• Siguranţa în funcţionare – capacitatea de a semnala situaţiile în care rezultatul
poate fi afectat de erori importante datorate relei condiţionări a problemei. Decizia
de a utiliza sau nu un astfel de rezultat revine utilizatorului sau unui program
expert.
0.6 Implicaţiile arhitecturii calculatoarelor asupra
organizării algoritmilor
În consideraţiile din secţiunea precedentă am presupus calculatorul pe care se vor
implementa algoritmii ca având arhitectura clasică von Neumann, schiţată în figura
0.4a; pe un astfel de calculator, în principiu, pentru fiecare operaţie aritmetică
se aduc operanzii din memoria M în unitatea centrală UC, se execută operaţia şi
rezultatul este depus înapoi în M. Cu acest mod de operare, timpul de execuţie
e dictat esenţialmente de numărul de operaţii în virgulă mobilă, durata traficului
între M şi UC fiind proporţională cu numărul de flopi.
În ultimele două decenii au apărut numeroase tipuri de arhitecturi pe care timpul
de execuţie a unui algoritm nu mai este proporţional cu numărul de operaţii în
3 Se scrie f(n) = O(g(n)) dacă există două constante c 1 , c 2 astfel încât c 1 g(n) ≤ f(n) ≤ c 2 g(n).