metode de calcul numeric matriceal. algoritmi fundamentali

2 CAPITOLUL 0. CONCEPTE FUNDAMENTALE
centrală (microprocesorul, de exemplu) ar ”greşi” la calcule, ci, din nou, datorită
faptului că numerele reale sunt reprezentate într-un format finit, atât în memorie,
cât şi în unitatea centrală.
Prin aceasta, calculul cu numere reale diferă fundamental de cel cu întregi. Vom
obţine 1 + 2 = 3 pe orice calculator, în schimb 0.1 + 0.2 ≠ 0.3 pe orice calculator
(doar dacă nu se folosesc programe speciale !); de exemplu — pe un calculator şi
într-un limbaj de programare pe care nu le precizăm — adunând 0.1+0.2 şi scăzând
din rezultat 0.3 nu obţinem 0, aşa cum ne-am aştepta, ci aproximativ 5.5 · 10 −17 ; e
drept, eroarea este infimă. Pericolul apare în cazul acumulării unor astfel de mici
erori, acumulare care poate duce la degradarea — uneori fatală — a rezultatului
produs.
În acest capitol ne vom ocupa de aspecte specifice elementare ale calculului
numeric: modul de reprezentare a numerelor reale, felul în care se apreciază calitatea
unui algoritm numeric, cuantificarea efectului erorilor de rotunjire asupra acurateţii
soluţiei numerice a unei probleme; acest ultim scop face obiectul analizei numerice
şi este, în general, dificil de atins.
0.1 Reprezentarea în virgulă mobilă
Fie x şi ˆx numere reale, ˆx fiind interpretat ca o aproximare a lui x. Vom prezenta
două măsuri naturale ale calităţii aproximării.
Eroarea absolută (cu care ˆx aproximează x) se defineşte prin
∆ = |x − ˆx|.
Dacă x ≠ 0, atunci eroarea relativă se defineşte prin
ε =
x − ˆx
∣ x ∣ = ∆
|x| .
Dacă x ∈ R n , se înlocuieşte în relaţiile de mai sus valoarea absolută | · | cu o
normă vectorială ‖ · ‖ (vom discuta despre norme vectoriale în capitolul 1).
Exemplul 0.1 Fie x = 1.0, şi ˆx = 0.999 o aproximare a sa. Atunci ∆ = 10 −3 şi
ε = 10 −3 . Dacă ŷ = 0.009 este o aproximaţie a lui y = 0.01, atunci eroarea absolută
este aceeaşi ca în cazul precedent, ∆ = 10 −3 , dar eroarea relativă este de o sută de
ori mai mare: ε = 10 −1 . Raportându-se la valoarea lui x, eroarea relativă este mult
mai adecvată pentru estimarea calităţii aproximării ˆx.
♦
Erorile de reprezentare apar datorită memorării în calculator a numerelor reale
printr-o secvenţă finită de simboluri (cifre binare). Pentru a prezenta o estimare
a acestor erori, să reamintim bine cunoscuta reprezentare poziţională a numerelor
reale. Fie
• β ∈ N, β ≥ 2, baza de numeraţie;
• C = {0, 1, . . ., β − 1}, mulţimea cifrelor în baza β, adică primele β numere
naturale.