metode de calcul numeric matriceal. algoritmi fundamentali

6 CAPITOLUL 0. CONCEPTE FUNDAMENTALE
care asociază fiecărui x ∈ [−M, M] o unică reprezentare în virgulă mobilă
ˆx = fl(x)
este numită funcţie de rotunjire. Eroarea relativă de aproximare
|x − fl(x)|
|x|
definită pentru orice x ∈ [−M, M] nenul este denumită eroare de reprezentare.
Deoarece intervalul [−M, M] este o mulţime infinită de numere reale, fiecare
ˆx ∈ F constituie ”reprezentarea în VM” a unei mulţimi infinite de numere din
[−M, M]; suntem interesaţi să găsim o margine superioară a erorii de reprezentare
pentru o funcţie de rotunjire dată. Există mai multe funcţii de rotunjire. O vom
prezenta doar pe cea mai simplă, denumită rotunjire prin tăiere. În acest scop, să
scriem numărul x ∈ [−M, M] în forma (0.1) normalizată:
x = f · β e = ±0.f 1 f 2 . . . f t f t+1 . . . · β e =
= ±0.f 1 f 2 . . . f t · β e ± 0.f t+1 f t+2 . . . · β e−t =
= ˆf · β e + ĝ · β e−t ,
unde f i ∈ C, f 1 ≠ 0, ˆf = ±0.f 1 f 2 . . . f t , ĝ = ±0.f t+1 f t+2 . . .
În mod evident:
1/β ≤ |f| < 1, 1/β ≤ | ˆf| < 1, 0 ≤ |ĝ| < 1. (0.4)
Funcţia de rotunjire prin tăiere
este definită prin
ˆx = fl 1 (x) =
fl 1 : [−M, M] → F
{ ˆf · β e , pentru x ≠ 0,
0, pentru x = 0.
Pe scurt, reprezentarea în VM se obţine prin tăierea cifrelor mantisei normalizate a
numărului x care se află în afara formatului (de la poziţia t + 1 încolo).
Utilizând inegalităţile (0.4), este uşor de stabilit o margine superioară a erorii
de reprezentare introduse de fl 1 . Într-adevăr, pentru orice x ∈ [−M, M] \ {0} avem
ε = |x − fl 1(x)|
|x|
= |fβe − ˆfβ e |
|f|β e
= |ĝ|βe−t
|f|β e
< β−t
β −1 = β−t+1 .
Această formulă arată că, indiferent de valoarea numărului x, o margine pentru
mărimea erorii de reprezentare este determinată exclusiv de numărul de cifre ale
mantisei (în baza de numeraţie a FVM) şi acesta este motivul pentru care t este
numit precizia reprezentării în virgulă mobilă. Numărul β −t+1 este numit epsilon
maşină şi reprezintă distanţa dintre 1 şi următorul număr cu reprezentare în FVM
(vezi problema 0.5).