metode de calcul numeric matriceal. algoritmi fundamentali

More documents

Recommendations

Info

ii nite noţiunile fundamentale de condiţionare şi, respectiv, stabilitate numerică. În încheiere, este aruncată o privire asupra modului în care arhitectura calculatorului influenţează concepţia algoritmilor. Capitolul 1 este dedicat expunerii noţiunilor primare ale algebrei matriceale (vectori, subspaţii, matrice de diverse tipuri şi proprietăţile acestora), constituind totodată o introducere în problematica specifică a capitolelor următoare. Algoritmii prezentaţi rezolvă unele probleme simple, dar fundamentale, cum ar fi înmulţirea a două matrice, sau unele cazuri particulare, de exemplu cel al matricelor triunghiulare, ale unor probleme mai dificile (rezolvarea sistemelor liniare, calculul valorilor şi vectorilor proprii). Aceşti algoritmi sunt larg utilizaţi în continuare, ca elemente constructive primare. Capitolul 2 tratează metodele directe de rezolvare a sistemelor liniare Ax = b, cu matrice A nesingulară, prezentând procedura de eliminare gaussiană, inclusiv strategiile de pivotare adecvate, precum şi versiunile compacte ale acestei metode bazate pe factorizarea LU a matricei A. În afara matricelor de formă generală, sunt studiate şi cazurile, des întâlnite în practică, ale matricelor bandă, simetrice şi simetric pozitiv definite. De asemenea, sunt abordate probleme conexe, cum ar fi calculul inversei şi al determinantului. Capitolul 3 descrie metodele de rezolvare în sensul celor mai mici pătrate (CMMP) a sistemelor liniare Ax = b, în care numărul ecuaţiilor diferă de cel al necunoscutelor, deci A este o matrice dreptunghiulară de formă generală. În acest caz se utilizează metode de ”eliminare” specifice, bazate pe aplicarea transformărilor ortogonale (reflectori Householder, rotaţii Givens etc.) iar conceptul central este cel de factorizare QR. Dacă matricea A nu este de rang maxim, se recomandă utilizarea factorizării ortogonale complete, care are la bază un algoritm de triangularizare cu pivotarea coloanelor. Sistemele liniare de acest tip apar frecvent în prelucrarea datelor experimentale, statistică, identificarea sistemelor etc. Capitolul 4 expune principalele metode de calcul al valorilor şi vectorilor proprii ai unei matrice A. Este prezentat în detaliu algoritmul QR, care aduce matricea A la forma Schur, reală sau complexă, pornind de la forma de principiu a algoritmului, ale cărei proprietăţi matematice sunt uşor de analizat, şi ajungând la variantele relativ sofisticate sub care acesta este implementat în programele profesionale. Alături de cazul general este tratat şi cel al matricelor simetrice. Nu sunt uitaţi alţi algoritmi importanţi, utili în cazuri particulare, cum ar fi metodele puterii, puterii inverse, bisecţiei sau Jacobi. Cunoaşterea valorilor proprii este utilă în analiza stabilităţii sistemelor dinamice, în studiul vibraţiilor (pentru clădiri, poduri, avioane) şi în multe alte probleme aplicative majore. Capitolul 5 prezintă metodele de calcul al descompunerii valorilor singulare (DVS), care constituie instrumentul cel mai sigur de rezolvare a numeroase probleme din algebra matriceală, cum ar fi determinarea rangului, calculul unor norme matriceale, construcţia bazelor pentru diverse subspaţii, rezolvarea în sensul celor mai mici pătrate a sistemelor cu matrice de rang nemaxim. Algoritmul DVS este o adaptare ingenioasă a algoritmului QR simetric, cunoscut din capitolul anterior. Utilizarea DVS este ilustrată considerând unele variante ale problemei CMMP, de exemplu CMMP totală sau cu restricţii, frecvent întâlnite în aplicaţii.
Capitolul 6 consideră calculul valorilor şi vectorilor proprii generalizaţi ai unei perechi de matrice (A, B). Este prezentat algoritmul QZ, care aduce perechea la forma Schur generalizată, precum şi problema conexă a calculului bazelor ortogonale pentru subspaţii de deflaţie. Noţiunile şi algoritmii studiaţi aici sunt de mare utilitate în probleme care apar, de exemplu, în teoria sistemelor precum şi în analiza circuitelor electrice sau mecanice cu elemente ideale. Principalele rezultate ale expunerii sunt concretizate sub formă de algoritmi de calcul descrişi într-un pseudocod extrem de apropiat de implementarea directă într-un limbaj de programare de nivel înalt. Algoritmii au fost testaţi de autori în mediul de programare MATLAB; cu toate acestea, orice observaţii şi propuneri din partea cititorilor, care să conducă la eliminarea unor erori sau la îmbunătăţirea performanţelor, sunt binevenite şi pot fi transmise la adresa menţionată mai jos. Pentru majoritatea algoritmilor sunt precizate proprietăţile de stabilitate numerică, de obicei într-o secţiune specială dedicată acestei teme, în fiecare capitol. Menţionăm că o altă secţiune expune întotdeuna informaţii despre condiţionarea problemelor de calcul studiate; în acest fel, cititorul va avea o imagine clară a acurateţii cu care se pot obţine soluţiile numerice ale diverselor probleme studiate. De asemenea, fiecare capitol conţine în final o secţiune ce prezintă rutine (funcţii) din biblioteca LA- PACK (Linear Algebra PACKage) şi din limbajul MATLAB (MATrix LABoratory), reprezentative pentru problemele de calcul studiate. LAPACK [XV] implementează cei mai eficienţi şi siguri algoritmi de calcul numeric matriceal şi este instrumentul cel mai utilizat în acest domeniu. MATLAB [XIV] are o componentă didactică mai pronunţată, îmbinând o interfaţă utilizator simplă cu o calitate remarcabilă a algoritmilor. De asemenea, fiecare capitol este însoţit de un set de probleme, în total peste 200, ale căror rezolvări complete sau parţiale se găsesc în partea finală a lucrării. Recomandăm cititorului să consulte indicaţiile sau rezolvarea propusă de autori numai pentru verificarea soluţiei personale sau după tentative serioase de găsire a acesteia. În plus, un mare câştig pentru cititor îl poate reprezenta implementarea algoritmilor (cei de bază, din lucrare, şi cei derivaţi, în probleme) precum şi testarea funcţionării lor pe exemple numerice reprezentative. Aducem la cunoştinţa cititorilor că Grupul de Calcul Numeric din cadrul catedrei de Automatică şi Ingineria Sistemelor de la Facultatea de Automatică şi Calculatoare, din care autorii fac parte, dispune de o bibliotecă de calcul numeric matriceal scrisă în limbajul C, care conţine implementarea tuturor algoritmilor din lucrare. Cei interesaţi pot contacta autorii la următoarele adrese de e-mail bogdan,popeea,jora@lucky.schur.pub.ro Autorii mulţumesc colegilor lor prof. Paul Flondor şi conf.dr.ing. Ioan Tăbuş pentru interesul acordat şi în special pentru comentariile şi observaţiile constructive făcute pe marginea lucrării. De asemenea, autorii aduc mulţumiri doamnei redactor Viorica Fătu, de la Editura ALL Educational, pentru atenţia acordată acestei cărţi în drumul către tipar. iii Autorii
Page 1 and 2: METODE DE CALCUL NUMERIC MATRICEAL.
Page 3: i Cuvânt introductiv Lucrarea de f
Page 7 and 8: v [ XV] Anderson E., Bai Z., Bischo
Page 9 and 10: vii σ(A) - mulţimea {σ 1 (A), σ
Page 11 and 12: Cuprins 0 Concepte fundamentale 1 0
Page 13 and 14: CUPRINS xi 3.9 Descompunerea ortogo
Page 15 and 16: Capitolul 0 Concepte fundamentale a
Page 17 and 18: 0.1. REPREZENTAREA ÎN VIRGULĂ MOB
Page 19 and 20: 0.1. REPREZENTAREA ÎN VIRGULĂ MOB
Page 21 and 22: 0.2. ARITMETICA ÎN VIRGULĂ MOBIL
Page 23 and 24: 0.2. ARITMETICA ÎN VIRGULĂ MOBIL
Page 25 and 26: 0.3. CONDIŢIONAREA PROBLEMELOR DE
Page 27 and 28: 0.4. STABILITATEA NUMERICĂ A ALGOR
Page 29 and 30: 0.5. CALITĂŢILE UNUI ALGORITM NUM
Page 31 and 32: 0.6. IMPLICAŢIILE ARHITECTURII CAL
Page 33 and 34: Capitolul 1 Algoritmi elementari de
Page 35 and 36: 1.1. VECTORI. SPAŢIUL VECTORIAL R
Page 37 and 38: 1.1. VECTORI. SPAŢIUL VECTORIAL R
Page 39 and 40: 1.2. PRODUS SCALAR. NORME. ORTOGONA
Page 41 and 42: 1.2. PRODUS SCALAR. NORME. ORTOGONA
Page 43 and 44: 1.3. MATRICE 29 1. (A T ) T = A,
Page 45 and 46: 1.3. MATRICE 31 O matrice A ∈ R m
Page 47 and 48: 1.4. ÎNMULŢIREA MATRICELOR 33 For
Page 49 and 50: 1.4. ÎNMULŢIREA MATRICELOR 35 d =
Page 51 and 52: 1.5. NORME MATRICEALE 37 Aparent, n
Page 53 and 54: 1.6. MATRICE STRUCTURATE 39 0 0 L U
Page 55 and 56:
1.6. MATRICE STRUCTURATE 41 Algorit
Page 57 and 58:
1.7. MATRICE BLOC 43 • Dacă m =
Page 59 and 60:
1.7. MATRICE BLOC 45 la produsul ma
Page 61 and 62:
1.8. MATRICE NORMALE 47 Matricele s
Page 63 and 64:
1.9. SISTEME DE ECUAŢII LINIARE 49
Page 65 and 66:
Page 67 and 68:
Page 69 and 70:
Page 71 and 72:
Page 73 and 74:
1.10. VALORI ŞI VECTORI PROPRII 59
Page 75 and 76:
1.10. VALORI ŞI VECTORI PROPRII 61
Page 77 and 78:
1.11. RUTINELE BLAS 63 S - real sim
Page 79 and 80:
1.11. RUTINELE BLAS 65 ✛ K ✲
Page 81 and 82:
1.12. PROBLEME 67 1.12 Probleme P 1
Page 83 and 84:
Capitolul 2 Rezolvarea sistemelor d
Page 85 and 86:
2.1. TRANSFORMĂRI ELEMENTARE 71 b)
Page 87 and 88:
2.2. TRIANGULARIZARE PRIN ELIMINARE
Page 89 and 90:
2.2. TRIANGULARIZARE PRIN ELIMINARE
Page 91 and 92:
2.3. STRATEGII DE PIVOTARE 77 ⎡
Page 93 and 94:
2.3. STRATEGII DE PIVOTARE 79 ⎡
Page 95 and 96:
2.4. FACTORIZĂRI LU 81 2.4 Factori
Page 97 and 98:
2.4. FACTORIZĂRI LU 83 deci matric
Page 99 and 100:
2.4. FACTORIZĂRI LU 85 De asemenea
Page 101 and 102:
2.4. FACTORIZĂRI LU 87 3. A 12 = L
Page 103 and 104:
2.4. FACTORIZĂRI LU 89 3. Din Ã12
Page 105 and 106:
2.5. REZOLVAREA SISTEMELOR LINIARE
Page 107 and 108:
2.6. CALCULUL INVERSEI ŞI AL DETER
Page 109 and 110:
2.6. CALCULUL INVERSEI ŞI AL DETER
Page 111 and 112:
2.7. CONDIŢIONAREA SISTEMELOR LINI
Page 113 and 114:
Page 115 and 116:
Page 117 and 118:
2.8. STABILITATE NUMERICĂ 103 Se o
Page 119 and 120:
2.9. SISTEME BANDĂ 105 κ ∞ (A)
Page 121 and 122:
2.9. SISTEME BANDĂ 107 1. Pentru j
Page 123 and 124:
2.10. SISTEME SIMETRICE 109 Factori
Page 125 and 126:
2.10. SISTEME SIMETRICE 111 Primul
Page 127 and 128:
2.10. SISTEME SIMETRICE 113 Constan
Page 129 and 130:
2.11. SISTEME SIMETRICE POZITIV DEF
Page 131 and 132:
2.12. RUTINE LAPACK ŞI MATLAB 117
Page 133 and 134:
2.13. PROBLEME 119 5. xyyCON estime
Page 135 and 136:
2.13. PROBLEME 121 P 2.19 Sistemul
Page 137 and 138:
Capitolul 3 Problema celor mai mici
Page 139 and 140:
3.1. TRANSFORMĂRI ORTOGONALE 125 s
Page 141 and 142:
3.1. TRANSFORMĂRI ORTOGONALE 127
Page 143 and 144:
3.1. TRANSFORMĂRI ORTOGONALE 129 R
Page 145 and 146:
3.1. TRANSFORMĂRI ORTOGONALE 131
Page 147 and 148:
3.1. TRANSFORMĂRI ORTOGONALE 133 E
Page 149 and 150:
3.1. TRANSFORMĂRI ORTOGONALE 135 N
Page 151 and 152:
3.1. TRANSFORMĂRI ORTOGONALE 137 1
Page 153 and 154:
3.2. TRANSFORMĂRI UNITARE 139 Im
Page 155 and 156:
3.2. TRANSFORMĂRI UNITARE 141 este
Page 157 and 158:
3.3. TRIANGULARIZAREA ORTOGONALĂ 1
Page 159 and 160:
Page 161 and 162:
Page 163 and 164:
3.4. FACTORIZAREA QR 149 CQR % Algo
Page 165 and 166:
3.4. FACTORIZAREA QR 151 Trebuie î
Page 167 and 168:
3.4. FACTORIZAREA QR 153 încât î
Page 169 and 170:
3.4. FACTORIZAREA QR 155 3.4.2 Apli
Page 171 and 172:
3.4. FACTORIZAREA QR 157 Bl 1 1. Se
Page 173 and 174:
3.4. FACTORIZAREA QR 159 b. Repreze
Page 175 and 176:
3.4. FACTORIZAREA QR 161 unde vecto
Page 177 and 178:
3.5. REZOLVAREA PROBLEMEI CMMP 163
Page 179 and 180:
Page 181 and 182:
Page 183 and 184:
Page 185 and 186:
3.6. SISTEME LINIARE SUBDETERMINATE
Page 187 and 188:
Page 189 and 190:
Page 191 and 192:
3.7. CONDIŢIONAREA PROBLEMELOR CMM
Page 193 and 194:
Page 195 and 196:
Page 197 and 198:
3.8. STABILITATEA ALGORITMILOR DE T
Page 199 and 200:
Page 201 and 202:
Page 203 and 204:
3.9. DESCOMPUNEREA ORTOGONALĂ COMP
Page 205 and 206:
Page 207 and 208:
Page 209 and 210:
Page 211 and 212:
Page 213 and 214:
3.10. RUTINE LAPACK ŞI MATLAB 199
Page 215 and 216:
3.11. PROBLEME 201 P 3.5 Fie x ∈
Page 217 and 218:
3.11. PROBLEME 203 P 3.16 O matrice
Page 219 and 220:
3.11. PROBLEME 205 » - δ b. rezol
Page 221 and 222:
3.11. PROBLEME 207 P 3.54 Fie A ∈
show all

metode de calcul numeric matriceal. algoritmi fundamentali

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?