metode de calcul numeric matriceal. algoritmi fundamentali

36 CAPITOLUL 1. ALGORITMI ELEMENTARI
Algoritmul 1.11 (Se dau A ∈ R m×l , B ∈ R l×n . Se calculează
C = AB ∈ R m×n . Forma jki.)
1. C ← 0
2. Pentru j = 1 : n
1. Pentru k = 1 : l
1. C(:, j) ← Saxpy(B(k, j), A(:, k), C(:, j))
Din nou cele două bucle interioare se pot înlocui cu Gaxpy.
Forma kji a algoritmului este o implementare directă a formulei (1.15), care
evidenţiază produse exterioare.
Algoritmul 1.12 (Se dau A ∈ R m×l , B ∈ R l×n . Se calculează
C = AB ∈ R m×n folosind operaţii OUT.)
1. C ← 0
2. Pentru k = 1 : l
1. C ← C + OUT(A(:, k), B(k, :))
Apelul rutinei OUT înlocuieşte buclele Pentru cu indicii j şi i.
Formele ijk, kij şi ikj sunt, în această ordine, variante ale celor trei forme
prezentate mai sus. Permutarea buclelor i şi j nu este esenţială, deoarece acestea
au rolul de parcurgere a matricei C, pe linii sau pe coloane. Acest lucru poate
deveni important dacă se ţine seama de modul de adresare a elementelor matricei
impus de limbajul de programare utilizat. De exemplu, în FORTRAN se preferă
organizarea pe coloane, corespunzător formelor jik, jki, kji, deoarece matricele
sunt memorate pe coloane.
În oricare dintre formele menţionate, înmulţirea de matrice necesită 2mnl flopi,
deci 2n 3 în cazul matricelor pătrate, şi face parte din grupul operaţiilor de nivel 3.
Vom face referire la ea în forma C = MM(A, B).
Înmulţirea matricelor complexe. Algoritmii de mai sus, ca şi toate consideraţiile
care îi preced, sunt valabili şi pentru înmulţirea matricelor complexe
C = AB ∈ C m×n , cu A ∈ C m×l , B ∈ C l×n . Diferenţa constă în numărul de
flopi necesari execuţiei. Dacă adunarea a două numere complexe se face în doi flopi
(unul pentru partea reală, altul pentru partea imaginară), în schimb înmulţirea
necesită şase:
(α + iβ)(γ + iδ) = αγ − βδ + i(αδ + βγ). (1.20)
Aşadar înmulţirea matricelor complexe se execută în aproximativ 8mnl flopi (câte
mnl înmulţiri şi adunări de scalari complecşi).
Aceeaşi observaţie poate fi făcută scriind A = A 1 + iA 2 , cu A 1 , A 2 ∈ R m×l ,
B = B 1 + iB 2 , cu B 1 , B 2 ∈ R l×n , şi
C = A 1 B 1 − A 2 B 2 + i(A 1 B 2 + A 2 B 1 ). (1.21)
Înmulţirea matricelor complexe se poate efectua deci prin patru produse (şi două
adunări) de matrice reale.
Numărul de operaţii se poate reduce printr-un mic artificiu de calcul; o formă
echivalentă cu (1.20) este
(α + iβ)(γ + iδ) = αγ − βδ + i((α + β)(γ + δ) − αγ − βδ). (1.22)