PRELUCRAREA SEMNALELOR:

14 CAPITOLUL 1. SEMNALEÎn calculul sumei progresiei geometrice de mai sus am ţinut seama că lim n→∞ (αe −jω ) n =0, deoarece raţia αe −jω are modul subunitar.b. Aplicând din nou definiţia (1.10) obţinemY (ω) = −∑−1n=−∞α n e −jωn = −∞∑((α −1 e jω ) n = −n=1)11 − α −1 e jω − 1 =11 − αe −jω .De data aceasta avem lim n→∞ (α −1 e −jω ) n = 0. Atenţie, semnalele x[n] = α n u[n] şiy[n] = −α n u[−n − 1] nu au transformate Fourier identice, deoarece ele sunt definitepentru valori diferite ale parametrului α. În primul caz avem |α| < 1, în al doilea|α| > 1. De altfel, două semnale nu pot avea aceeaşi transformată Fourier, deoareceTF este o bijecţie.PR 1.2.3 Considerăm semnalul x[n] al cărui spectru, ilustrat în figura 1.8, este{1, pentru |ω| ≤ ωt ,X(ω) =0, pentru ω t < |ω| ≤ π,unde ω t este dat. Aşadar, semnalul x[n] are un spectru ideal de joasă frecvenţă.Calculaţi x[n] folosind transformata Fourier inversă (1.13).Soluţie. Introducem funcţia sinc (numită şi nucleul Dirichlet; ea va apărea demulte ori în continuare):sinc ω = sin ωω . (1.25)Folosind transformata Fourier inversă obţinemx[n] = 12π∫ π−π= sin(ω tn)πnX(ω)e jωn dω = 12π∫ ωt−ω te jωn dω = 12πjn ejωn ∣ ∣∣∣ω t−ω t= ω tπ sinc(ω tn). (1.26)Un exemplu de astfel de semnal este prezentat în figura 1.8. Se observă că semnalulare suport dublu infinit. Am obţinut deci egalitateaX(ω) =∞∑n=−∞sin(ω t n)e −jωn = ω tπnπ∞∑n=−∞sinc(ω t n)e −jωn . (1.27)PR 1.2.4 (Fenomenul Gibbs) Se consideră semnalul x[n] definit de (1.26), cuspectrul ideal de joasă frecvenţă din figura 1.8. Scrieţi un program Matlab care sădeseneze modulul spectrului semnalului{x[n], pentru n = −M : M,x M [n] =0, altfel;cu alte cuvinte, seria (1.27) se trunchiază ca în (1.11).