PRELUCRAREA SEMNALELOR:

24 CAPITOLUL 1. SEMNALEDacă regiunea de convergenţă este 0.5 < |z| < 1, atunci obţinemx[n] = −2u[−n − 1] − 4u[−n] − 0.5 n u[n] − 2 · 0.5 n−1 u[n − 1].În acest caz am folosit PR1.3.2 pentru X 1 (z) şi PR1.3.1 pentru X 2 (z).Aşadar există trei semnale a căror transformată Z este X(z), dar cu regiuni deconvergenţă disjuncte două câte două.Probleme propusePP 1.3.1 Demonstraţi proprietăţile (1.32–1.37) ale transformatei Z.PP 1.3.2 Ce semnal are transformata Z egală cu (1 − z −1 )(1 + z −1 )(1 − 2z −1 ) ?PP 1.3.3 Se cunoaşte transformata Z a unui semnal x[n]. Care este transformataZ a semnalului y[n] = x[n 0 − n], unde n 0 ∈ Z este dat ?PP 1.3.4 Calculaţi transformatele Z şi stabiliţi regiunile lor de convergenţă pentrusemnalele de mai jos:{1, pentru n = 0 : M (cu M ∈ N),x 1 [n] =0, altfel,x 2 [n] = nα n u[n],x 3 [n] = α n u[n − 1],x 4 [n] = α n cos(ω 0 (n − 1))u[n − 1]x 5 [n] = cos(ω 0 n)u[n − 1]x 6 [n] = u[−n + 1].1.4 Semnale aleatoarePână acum am discutat doar despre semnale deterministe. În practică apar însăde multe ori semnale cu caracter aleator; caracterizarea lor este subiectul acesteisecţiuni.O variabilă aleatoare reală ξ este caracterizată de funcţia de densitate de probabilitatep : R → R + , cu proprietatea∫ ∞−∞p(ξ)dξ = 1. (1.38)Probabilitatea ca valoarea variabilei aleatoare să se afle într-un interval precizat[ξ 1 , ξ 2 ] esteProb(ξ 1 ≤ ξ ≤ ξ 2 ) =∫ ξ2ξ 1p(ξ)dξ.Speranţa matematică (expectaţia). Fie ξ şi η două variabile aleatoare legate prinrelaţia η = f(ξ), unde f este o funcţie precizată. Atunci speranţa matematică(expectaţia) a variabilei η esteE{η} =∫ ∞−∞f(ξ)p(ξ)dξ. (1.39)