PRELUCRAREA SEMNALELOR:

26 CAPITOLUL 1. SEMNALEDefiniţia 1.21 Autocorelaţiile unui proces aleator reprezintă speranţele matematiceale produselor variabilelor aleatoare (la diferite momente de timp):E{x[n]x[n − k]} = r[n, k], n, k, ∈ Z.Se observă imediat că r[n, k] = r[n, −k].Cele mai simple, dar extrem de utile, procese aleatoare sunt cele ale căror proprietăţinu se modifică în timp. În această lucrare va fi vorba doar despre astfel deprocese, definite ca mai jos.Definiţia 1.22 Un proces aleator x[n] este staţionar (în sens larg) dacă variabilelealeatoare x[n] au aceeaşi medie, i.e.iar autocorelaţiileE{x[n]} = µ, ∀n ∈ Z, (1.44)E{x[n]x[n − k]} = r[k], ∀n ∈ Z, (1.45)depind doar de ”distanţa” k între momentele de timp. (Evident, avem r[k] = r[−k].)Autocovarianţele unui proces aleator staţionar sunt autocorelaţiile procesuluix[n] − µ, i.e.E{(x[n] − µ)(x[n − k] − µ)} = ρ[k].Pentru procese cu medie nulă, avem r[k] = ρ[k].Definiţia 1.23 Un zgomot alb de medie nulă şi varianţă σ 2 este un proces aleatorw[n] pentru careE{w[n]} = 0,E{w[n]w[n − k]} = σ 2 (1.46)δ[k].Estimarea mediei şi a autocorelaţiilor. În aplicaţiile practice, dispunem de orealizare finită a unui proces aleator, adică de un semnal aleator cu suport finitx[n], n = 0 : N − 1. Presupunând că procesul este staţionar, se pune problemasă estimăm valorile mediei (1.44) şi autocorelaţiilor (1.45). Pentru medie, cea mainaturală estimaţie esteˆµ = 1 NN−1∑n=0Pentru autocorelaţii se folosesc estimaţia nedeviatăx[n]. (1.47)ˆr[k] = 1N−1∑x[n]x[n − k], 0 ≤ k ≤ N − 1, (1.48)N − kn=k(numele provine din faptul că E{ˆr[k]} = r[k], vezi problema PR1.4.3; o estimaţieeste nedeviată dacă expectaţia sa este egală cu valoarea adevărată), dar mai alescea deviatăˆr[k] = 1 NN−1∑n=kx[n]x[n − k], 0 ≤ k ≤ N − 1. (1.49)