PRELUCRAREA SEMNALELOR:

36 CAPITOLUL 2. SISTEMEDemonstraţie. Deoarece suma ∑ Mn=0|h[n]| are un număr finit de termeni, eaeste finită, deci filtrul e stabil.Dacă la intrarea filtrului FIR cauzal (2.6) se aplică semnalul x[n], atunci, conformcu (2.2), ieşirea y[n] estey[n] =M∑h[k]x[n − k], (2.7)k=0adică eşantionul curent n al ieşirii depinde doar de cele mai recente M +1 eşantioaneale intrării. Să notăm că filtrele FIR mai sunt numite, în anumite contexte (e.g. înidentificarea sistemelor), şi sisteme MA (Moving Average—”medie alunecătoare”),deoarece formula (2.7) poate fi interpretată în sens larg ca o medie (ponderată) acelor mai recente eşantioane ale intrării.Datorită simplităţii lor, a implementării facile, stabilităţii implicite şi, după cumvom vedea mai târziu, a metodelor rapide de proiectare, filtrele FIR sunt extremde utilizate în practică.(Mai observăm că o funcţie de transfer ca (2.6), formată numai din numitor, nuexistă pentru sistemele continue.)Filtre IIRÎntre filtrele IIR sunt interesante cele care au o funcţie de transfer raţională, i.e.H(z) = B(z)A(z) =M∑n=0b n z −n, (2.8)N∑a n z −nunde de obicei a 0 = 1 (în caz contrar, se împart şi numitorul şi numărătorul laa 0 ). Filtrul (2.8) este cauzal; filtre IIR necauzale se obţin înmulţind H(z) cu z m ,cu m > 0. Observăm că, în general, gradul numărătorului poate fi diferit de gradulnumitorului. Ordinul filtrului este max(M, N).Funcţia de transfer H(z) este reprezentată în (2.8) cu ajutorul coeficienţilor. Oreprezentare echivalentă este forma poli-zerouri, în care avemH(z) = B(z)A(z) = b 0a 0n=0M ∏k=1(1 − c k z −1 ). (2.9)N∏(1 − d k z −1 )În formula de mai sus, c k , k = 1 : M, sunt zerourile funcţiei de transfer, iard k , k = 1 : N, sunt polii funcţiei, i.e. rădăcinile polinoamelor B(z), respectivA(z), din (2.8). Pentru evitarea ambiguităţilor, precizăm că rădăcinile polinomuluiA(z) = ∑ Nn=0 a nz −n sunt soluţiile ecuaţiei A(z) = 0 sau, echivalent, ale ecuaţieik=1