PRELUCRAREA SEMNALELOR:

22 CAPITOLUL 1. SEMNALESemnal Transformata ZImpuls unitate întârziat: δ[n − n 0 ] z −n 01Treaptă unitate:u[n]1 − z −1Exponenţială:α n 1u[n]1 − αz −1Sinus:sin(ω 0 n)u[n]sin ω 0 · z −11 − 2 cos ω 0 · z −1 + z −2Cosinus:cos(ω 0 n)u[n]1 − cos ω 0 · z −11 − 2 cos ω 0 · z −1 + z −2Tabelul 1.1: Transformate Z ale unor semnale uzuale.Întârziere. Fie n 0 un întreg oarecare şi y[n] = x[n − n 0 ], i.e. semnalul x[n]întârziat. Relaţia dintre transformatele Z ale celor două semnale esteY (z) = z −n0 X(z). (1.33)În cazul în care n 0 = 1, relaţia de mai sus este Y (z) = z −1 X(z), adică întârziereacu un moment de timp corespunde unei înmulţiri cu z −1 . De aceea, z −1 se numeşteşi operator de întârziere cu un pas (eşantion).Înmulţirea cu o exponenţială. Fie x[n] un semnal oarecare şi y[n] = α n x[n], cuα ∈ C. Atunci avemY (z) = X(z/α). (1.34)Timp invers. Considerăm semnalul y[n] = x[−n] obţinut prin inversarea sensuluitimpului pentru semnalul x[n]. AvemDerivare după z:Y (z) = X(z −1 ). (1.35)T F (nx[n]) = −z dX(z) . (1.36)dzConvoluţie. Prin transformata Z, convoluţia a două semnale este transformatăîn produs al transformatelor Z, i.e.Probleme rezolvateT Z(x[n] ∗ y[n]) = X(z) · Y (z). (1.37)PR 1.3.1 Calculaţi transformata Z a semnalului exponenţial definit de (1.8). Careeste regiunea de convergenţă a transformatei Z a acestui semnal ?Soluţie. Aplicând (1.30) obţinem∞∑∞∑X(z) = α n z −n = (αz −1 ) n 1=1 − αz −1 .n=0n=0