PRELUCRAREA SEMNALELOR:

34 CAPITOLUL 2. SISTEME2.2 Sisteme liniare invariante în timpÎn restul capitolului ne ocupăm doar de sisteme liniare şi invariante în timp (LIT),care au o importanţă majoră în teoria şi practica prelucrării semnalelor. Fie S unsistem LIT şi h[n] = S{δ[n]} răspunsul la impuls al sistemului (h[n] se mai numeşteşi secvenţă pondere a sistemului).Propoziţia 2.5 Răspunsul la impuls h[n] al unui sistem LIT S caracterizează completfuncţionarea sistemului. Dacă x[n] este un semnal de intrare oarecare, atunciieşirea y[n] = S{x[n]} este dată de relaţiay[n] =∞∑k=−∞x[k]h[n − k] =∞∑k=−∞x[n − k]h[k], (2.2)adică este convoluţia dintre semnalul de intrare şi răspunsul la impuls al sistemului.Demonstraţie. Deoarece sistemul este invariant în timp, avem h[n−k] = S{δ[n−k]}. Folosind expresia (1.2) pentru semnalul de intrare, obţinemy[n] = S{∞∑k=−∞x[k]δ[n − k]} lin.=∞∑k=−∞x[k]S{δ[n − k]} =∞∑k=−∞x[k]h[n − k].Expresia din dreapta din (2.2) rezultă datorită comutativităţii convoluţiei.Prezentăm în continuare caracteristicile răspunsului la impuls atunci când sistemulLIT este cauzal sau stabil.Propoziţia 2.6 Un sistem LIT este cauzal dacă şi numai dacă răspunsul său laimpuls este nul pentru timp negativ, i.e. h[n] = 0 pentru n < 0.Demonstraţie. Din (2.2) rezultă că y[n] depinde doar de x[k], cu k ≤ n, dacă şinumai dacă h[n − k] = 0 pentru k > n, adică h[n] = 0, pentru n < 0.Propoziţia 2.7 Un sistem LIT este stabil dacă şi numai dacă răspunsul său laimpuls este absolut sumabil.Demonstraţie. (”⇒”) Folosim reducerea la absurd: presupunem că h[n] nu esteabsolut sumabil. Construim semnalul de intrare⎧⎨ h ∗ [−n], dacă h[n] ≠ 0x[n] = |h[−n]|⎩0, dacă h[n] = 0.În acest caz, pentru y[0] obţinem valoareay[0] =∞∑k=−∞h[k]x[−k] =∞∑k=−∞|h[k]| 2|h[k]|∞∑= |h[k]|,k=−∞care nu e mărginită, deci sistemul nu ar fi stabil.