PRELUCRAREA SEMNALELOR:

48 CAPITOLUL 2. SISTEME10.8Amplitudine0.60.40.200 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1Frecventa normalizata0−20Faza−40−60−80−1000 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1Frecventa normalizataFigura 2.8: Caracteristica de frecvenţă a filtrului H(z) = (1 + z −1 )/2.Soluţie. Utilizând formula pentru suma unei progresii geometrice, obţinemH(e jω ) ===1M + 1M∑n=0e −jωn = 1 1 − e −jω(M+1)M + 1 1 − e −jω1 e −jω(M+1)/2 (e jω(M+1)/2 − e −jω(M+1)/2 )M + 1 e −jω/2 (e jω/2 − e −jω/2 )1M + 1sin(ω(M + 1)/2)e −jωM/2 .sin(ω/2)În mod evident, amplitudinea este|H(e jω )| = 1M + 1∣sin(ω(M + 1)/2)sin(ω/2)În reprezentarea fazei apare un fenomen specific. Când ω ∈ [0, π], observăm căsin(ω/2) ≥ 0, dar că semnul lui sin(ω(M + 1)/2) variază. În concluzie, deoarece−1 = e −jπ , faza este{argH(e jω −ωM/2, când sin(ω(M + 1)/2) ≥ 0,) =−ωM/2 − π, când sin(ω(M + 1)/2) < 0.Graficele amplitudinei şi fazei sunt prezentate în figura 2.9, pentru M = 5, în douăvariante; prima este cea ”teoretică”, în care formulele de mai sus sunt utilizate caatare; a doua este cea ”inginerească”, în care amplitudinea este reprezentată îndecibeli, iar faza prin valoarea sa principală. În reprezentarea fazei, am ţinut seamacă sin(3ω) < 0 pentru ω ∈ [π/3, 2π/3], de unde discontinuităţile graficului.∣ .