PRELUCRAREA SEMNALELOR:

20 CAPITOLUL 1. SEMNALEpentru diverse valori ale lui M. Veţi obţine aproximări ale impulsului unitate (înfrecvenţă, adică într-un domeniu continuu). Aceste aproximări vor avea oscilaţiimari în apropierea frecvenţei ω = 0.PP 1.2.8 Fie x[n] un semnal cu energie finită şi X(ω) transformata sa Fourier.Definim semnalul∞∑r[k] = x[n]x ∗ [n − k] (1.29)n=−∞şi notăm R(ω) transformata sa Fourier.a. Demonstraţi că are loc egalitatea R(ω) = |X(ω)| 2 .b. Observaţi că r[0] = ∑ ∞n=−∞ |x[n]|2 este energia semnalului x[n]. Din transformataFourier inversădeduceţi teorema lui Parseval.Ghid Matlabr[k] = 1 ∫ πR(ω)e jωk dω,2π −πTransformata Fourier a unui semnal cu suport finit se poate calcula într-un modsimilar programului din figura 1.9. Deci, luând o grilă de frecvenţe>> w = 0:pas:piunde, e.g. pas=0.01, transformata Fourier a semnalului x cu suportul>> n = 0:Mse poate calcula simplu prin>> X = x * exp(-j*n’*w)Amplitudinea transformatei Fourier se desenează cu>> plot(w, abs(X))iar faza prin>> plot(w, angle(X))De exemplu, pentru problema PP1.2.1, făcând abstracţie de formula simplăcerută acolo, transformata Fourier se poate calcula astfel>> M = 10 % o valoare intreaga oarecare>> w = 0 : pi/200 : pi % sunt de fapt 201 puncte>> x = ones(1, M+1) % semnalul>> X = x’ * exp(-j*(0:M)’*w) % transformata FourierO altă variantă de calcul presupune utilizarea funcţiei freqz, care va fi discutatămai în detaliu în capitolul 2. Transformata Fourier se calculează pe grila de frecvenţew prin apelul>> X = freqz(x, 1, w)De asemenea, transformata Fourier se poate calcula eficient (pe o anumită grilăde frecvenţe), cu funcţia fft. Aceasta va fi discutată după prezentarea transformateiFourier discrete şi a algoritmilor rapizi de implementare a acesteia, în capitolul5.