PRELUCRAREA SEMNALELOR:

18 CAPITOLUL 1. SEMNALESoluţie. Liniaritatea (1.14) este evidentă.Întârziere. Luând y[n] = x[n − n 0 ] şi aplicând definiţia (1.10) obţinemY (ω) =∞∑n=−∞x[n − n 0 ]e −jωn =∞∑n=−∞x[n]e −jω(n+n 0) = e −jωn 0X(ω).Complex conjugare. Luăm y[n] = x ∗ [n] şi obţinem(∞∑∞) ∗∑Y (ω) = x ∗ [n]e −jωn = x[n]e jωn = X ∗ (−ω).n=−∞n=−∞Simetriile TF pentru semnale reale rezultă din (1.16), ţinând seama că x ∗ [n] =x[n]. Aşadar avem X(ω) = X ∗ (−ω), ceea ce implică toate relaţiile (1.17).Derivare în frecvenţă. AvemdX(ω)dω= ddω( ∞∑n=−∞x[n]e −jωn )=∞∑n=−∞(−jnx[n]e −jωn ),de unde (1.19) rezultă imediat.Teorema lui Parseval. Folosim definiţia TF şi proprietatea (1.24):∫1 πX(ω)Y ∗ (ω)dω =2π −π=(1.24)=∫1 π2π12π∞∑−π n=−∞∞∑∞∑n=−∞ k=−∞∞∑n=−∞x[n]y ∗ [n].x[n]e −jωnx[n]y ∗ [k]∞ ∑k=−∞∫ π−πy ∗ [k]e jωk dωe jω(k−n) dω∞∑Convoluţie. Transformata Fourier a semnalului x[n] ∗ y[n] definit în (1.9) este∞∑n=−∞ k=−∞x[k]y[n−k]e −jωn =∞∑k=−∞x[k]e −jωk∞ ∑n=−∞y[n−k]e −jω(n−k) = X(ω)Y (ω),ceea ce demonstrează (1.22).Modulaţie în timp. Relaţia (1.23) se demonstrează înlocuind X(θ) şi Y (ω − θ)cu definiţia (1.10).Probleme propusePP 1.2.1 Calculaţi transformata Fourier a semnalului{1, pentru n = 0 : M,x[n] =0, altfel,unde M este un întreg pozitiv dat.