PRELUCRAREA SEMNALELOR:

42 CAPITOLUL 2. SISTEMECaracteristica de frecvenţă a filtrelor raţionaleÎn cazul filtrelor IIR raţionale (de acum înainte vom subînţelege că filtrele IIR decare discutăm sunt raţionale), caracteristica de frecvenţă se poate trasa mai uşoratunci când funcţia de transfer se reprezintă în forma poli-zerouri (2.9). Aceastăreprezentare are avantajul că poate fi analizată prin studierea caracteristicilor defrecvenţă ale funcţiilor de transfer de grad 1. Mai precis, amplitudinea în decibelieste|H(e jω )| dB = 20 log 10∣ ∣∣∣ b 0a 0∣ ∣∣∣+ 20iar faza se poate scrie ca( )arg|H(e jω b0)| = arg +a 0k=1M∑N∑log 10 |1 − c k e −jω | − 20 log 10 |1 − d k e −jω |,k=1k=1(2.17)M∑N∑arg(1 − c k e −jω ) − arg(1 − d k e −jω ). (2.18)Se observă deci că în (2.17) şi (2.18) apar sume ale amplitudinilor, respectiv fazelorunor termeni elementari de gradul 1 (dar cu coeficienţi complecşi, în general). Maimult, singura diferenţă între efectul polilor şi cel al zerourilor este semnul termenilorcorespunzători. De aceea, este justificat studiul funcţiei de transfer cu un singurzero, efectuat în continuare.Filtrul FIR de ordinul 1. Studiem caracteristica de frecvenţă a filtruluik=1H(z) = 1 − cz −1 , c = re jθ , r ∈ [0, 1], θ ∈ [0, π]. (2.19)Aşadar, zeroul c este în general complex, de modul r şi fază θ. Restricţia modululuila valori subunitare va fi justificată ulterior. Ca şi restricţia asupra fazei, ea nulimitează generalitatea concluziilor.Amplitudinea răspunsului în frecvenţă al filtrului (2.19) este|H(e jω )| 2 = |1 − re j(θ−ω) | 2 = 1 + r 2 − 2r cos(ω − θ).(Am ridicat la pătrat pentru simplitatea calculelor. In decibeli, amplitudinea originalăse obţine simplu ca |H(e jω )| 2 dB = 20 log 10 |H(e jω )| = 10 log 10 |H(e jω )| 2 .) Seobservă că valoarea maximă a amplitudinii este (1+r) pentru ω = θ±π, iar valoareaminimă este (1 − r), pentru ω = θ. Prezentăm în figura 2.3 amplitudinea pentruθ = 0 (deci zero real) şi trei valori r = 0.5, 0.8, 1. Pentru comparaţie, în graficulde sus amplitudinea este reprezentată adimensional, iar în cel din mijloc în decibeli.(Amintim că 20 log 10 2 ≈ 6 şi că, evident, 20 log 10 1 = 0, 20 log 10 0.2 ≈ −14.)Frecvenţa este normalizată, deci 2 înseamnă de fapt 2π. Grafice similare suntprezentate în figura 2.4, pentru θ = 0.4π.Observăm că cu cât r este mai aproape de 1 (i.e. zeroul este mai aproape de cerculunitate), cu atât atenuarea în jurul frecvenţei ω = θ este mai mare. În particular,atunci când r = 1, deci zeroul este pe cerc, avem H(e jθ ) = 0 (şi |H(e jθ )| dB = −∞),deci amplificarea filtrului la această frecvenţă este nulă; semnalele sinusoidale cufrecvenţa θ sunt tăiate complet de filtru.