PRELUCRAREA SEMNALELOR:

28 CAPITOLUL 1. SEMNALEiar varianţa (aplicând punctul c de la problema precedentă) esteσ 2 =∫ 10ξ 2 dξ − µ 2 = 1 3 − 1 4 = 112 .Pentru o variabilă ξ uniform distribuită în intervalul [a, b], densitatea de probabilitateeste p(ξ) = 1/(b − a). Media şi varianţa suntCalculele sunt lăsate cititorului.µ = a + b2 , σ2 =(b − a)2.12PR 1.4.3 Demonstraţi că estimaţiile (1.47) şi (1.48) ale mediei, respectiv autocorelaţiilor,sunt nedeviate, i.e. E{ˆµ} = µ, respectiv E{ˆr[k]} = r[k].Soluţie. Aplicând operatorul de mediere în (1.47) obţinemE{ˆµ} = E{1NN−1∑n=0x[n]}= 1 NN−1∑n=0Pentru autocorelaţii demonstraţia este similară.E{x[n]} = 1 NN−1∑n=0µ = µ.PR 1.4.4 Care este densitatea de putere spectrală a zgomotului alb (1.46) ?Soluţie. Ţinând seama de definiţia (1.50) a densităţii de putere spectrală şide expresiile autocorelaţiilor (1.46), se obţine imediat P (ω) = σ 2 . Aşadar spectrulzgomotului alb este constant (zgomotul alb conţine toate frecvenţele cu putere egală,de aici numele său, prin analogie cu lumina).Probleme propusePP 1.4.1 Considerăm o variabilă aleatoare ξ cu distribuţie ”triunghiulară”, a căreidensitate de probabilitate are expresia:{1 − |ξ|, pentru |ξ| ≤ 1,p(ξ) =0, altfel.Verificaţi valabilitatea relaţiei (1.38). Calculaţi media (1.40) şi varianţa (1.41) variabileialeatoare ξ.PP 1.4.2 a. Dându-se o variabilă aleatoare cu distribuţie uniformă în intervalul[0, 1], cum se poate obţine o variabilă cu distribuţie uniformă în intervalul [a, b] ?b. Dându-se o variabilă aleatoare cu distribuţie gaussiană N (0, 1), cum se poateobţine o variabilă cu distribuţie N (0, σ 2 ) ?PP 1.4.3 Fie w[n] un proces de tip zgomot alb pentru care, la fiecare moment detimp i, variabila aleatoare w[i] are distribuţie uniformă în intervalul [−1, 1].a. Calculaţi varianţa σ 2 a zgomotului alb (vezi (1.46)).