PRELUCRAREA SEMNALELOR:

32 CAPITOLUL 2. SISTEMEx[n]✲S✲y[n] = S{x[n]}Figura 2.1: Un sistem discret.x[n]✲S✲y[n]❄întârzierecu n 0❄întârzierecu n 0x[n − n 0 ]✲S✲ ❄ y[n − n 0 ]Figura 2.2: Un sistem invariant în timp transferă întârzierea intrării la ieşire(operaţiile S şi ”întârziere” comută).Probleme rezolvatePR 2.1.1 Caracterizaţi următoarele sisteme din punctul de vedere al liniarităţii,invarianţei în timp, cauzalităţii şi stabilităţii.a. Sistemul ”medie pe două eşantioane”, descris de relaţia y[n] = (x[n] + x[n −1])/2.b. Decimatorul, descris de y[n] = x[Mn], unde M ≥ 2 este un întreg pozitivfixat. (Decimatorul extrage fiecare al M-lea eşantion al semnalului de intrare şi leelimină pe celelalte.)c. Acumulatorul, descris de y[n] = ∑ nk=−∞ x[k].Soluţie. a. Sistemul este liniar, invariant în timp, cauzal şi stabil. Deşi banale,prezentăm mai jos demonstraţiile.Fie y 1 [n] = (x 1 [n] + x 1 [n − 1])/2 şi y 2 [n] = (x 2 [n] + x 2 [n − 1])/2 răspunsurile laintrările x 1 [n], respectiv x 2 [n]. Dacă intrarea este α 1 x 1 [n] + α 2 x 2 [n], atunci ieşireaeste y[n] = (α 1 x 1 [n] + α 2 x 2 [n] + α 1 x 1 [n − 1] + α 2 x 2 [n − 1])/2 = α 1 y 1 [n] + α 2 y 2 [n],ceea ce demonstrează liniaritatea.Dacă intrarea este x[n − n 0 ], atunci ieşirea este (x[n − n 0 ] + x[n − n 0 − 1])/2 =y[n − n 0 ], deci sistemul e invariant în timp.y[n] depinde doar de x[n] şi de x[n − 1], deci sistemul e cauzal.Dacă |x[n]| ≤ M x , atunci |y[n]| ≤ (|x[n]| + |x[n − 1]|)/2 ≤ M x , deci sistemul estestabil.b. Decimatorul este evident liniar şi stabil.Nu este invariant în timp. Fie M = 2 şi semnalul de intrare x[n] = n. Atunciieşirea este y[n] = x[2n] = 2n. Întârziem intrarea cu un eşantion; la intrarea