PRELUCRAREA SEMNALELOR:

38 CAPITOLUL 2. SISTEMESoluţie. Sistemul ”medie pe două eşantioane” are răspunsul h[0] = h[1] = 1/2şi zero în rest.Răspunsul la impuls al decimatorului este δ[n]. Atenţie însă, acest sistem nu einvariant în timp, deci rezultatele din această secţiune nu i se aplică.Acumulatorul are răspunsul la impuls h[n] = u[n].PR 2.2.2 Semnalul x[n] = (−1) n se aplică la intrarea filtrului H(z) = (1 + z −1 )/2.Care este semnalul de ieşire ?Soluţie. y[n] = (x[n] + x[n − 1])/2 = ((−1) n + (−1) n−1 )/2 = 0.PR 2.2.3 La intrarea filtrului FIR (2.6) se aplică un semnal x[n] cu suport 0 : L,unde L este un întreg pozitiv dat. Ce suport are semnalul de ieşire ?Soluţie. Din (2.7) rezultă că eşantionul curent al ieşirii y[n] depinde doar de celemai recente M + 1 eşantioane ale intrării. Printre acestea trebuie să se găseascăcel puţin unul nenul; ultimul moment de timp la care se întâmplă aceasta esteL + M, adică y[n] = 0 pentru n > L + M. Cum y[n] = 0 pentru n < 0 (datorităcauzalităţii), rezultă că suportul semnalului de ieşire este 0 : L + M.Altă soluţie: deoarece Y (z) = H(z)X(z), iar H(z) şi X(z) sunt polinoame degrad M, respectiv L (în z −1 ), rezultă că Y (z) este un polinom de grad L + M.Aşadar, suportul lui y[n] este 0 : L + M.Probleme propusePP 2.2.1 Demonstraţi că răspunsul la impuls al unui sistem stabil are întotdeaunatransformată Fourier (în sensul că (1.10) converge pentru orice ω).PP 2.2.2 Calculaţi ieşirea filtrului H(z) = 1 − 2z −1 atunci când intrarea estesemnalul cu suport n = 0 : 3 ale cărui eşantioane nenule au valorile, în ordine, 1,−1, 1, 2.PP 2.2.3 Daţi un exemplu de filtru IIR necauzal, dar stabil.PP 2.2.4 Scrieţi ecuaţia cu diferenţe asociată acumulatorului, descris de relaţiaintrare-ieşire y[n] = ∑ nk=−∞ x[k].PP 2.2.5 Scrieţi ecuaţia cu diferenţe corespunzătoare filtruluiH(z) =Care sunt polii şi zerourile acestui filtru ?z −11 − z −1 + z −2 .1PP 2.2.6 Demonstraţi că filtrul IIR cu funcţia de transfer H(z) =instabil calculând răspunsul acestuia la impuls.1−2z −1PP 2.2.7 Care este mulţimea polinoamelor de gradul doi cu coeficienţi reali, deforma A(z) = 1 + a 1 z −1 + a 2 z −2 , care au rădăcinile în interiorul cercului unitate ?(Aceste polinoame pot fi numitoare ale unor filtre IIR stabile.)este