och reglerteknik - Åbo Akademi

˚ABO AKADEMI 

TEKNISKA FACULTY OF 

FAKULTETEN TECHNOLOGY 

Laboratoriet för Process Control 

reglerteknik Laboratory 

INTRODUKTION TILL 

SYSTEM- OCH REGLERTEKNIK 

HANNU TOIVONEN 

Biskopsgatan 8 

FIN–20500 ˚Abo Finland

Kapitel 1 

Vad är reglerteknik? 

M˚alsättningen med denna kurs är att ge en informell introduktion till reglertekniken. För att 

svara p˚a fr˚agan vad reglerteknik är skall vi börja med att betrakta n˚agra exempel. Det är 

mycket vanligt att tekniska system kräver n˚agon form av kontinuerlig manipulering för att 

fungera p˚a önskat sätt. N˚agra exempel: 

• För att h˚alla en bil (eller annat fordon) p˚a vägen bör den hela tiden styras. 

• Fartyg och flygplan kräver en pilot för att h˚alla kursen under varierande vindförh˚allanden. 

• För att h˚alla konstant hastighet hos en bil bör gaspedalens läge justeras för att kompensera 

för varierande förh˚allanden, s˚asom upp- och nerförsbackar, vindstyrka, vägunderlag 

m.m. 

• Uppvärmningen i en byggnad bör kontinuerligt justeras för att h˚alla temperaturen 

inne konstant trots förändringar i yttertemperaturen, varierande antal människor i byggnaden 

samt andra störningar, s˚asom öppnade dörrar eller fönster. 

• Temperaturen i en ugn h˚alls vid önskat värde genom att sl˚a p˚a respektive av uppvärmningen 

enligt behov. 

• En kamera bör fokuseras för att man skall f˚a en skarp bild. I en videokamera med rörliga 

objekt bör denna fokusering utföras kontinuerligt för att kompensera för variationer i 

objektets avst˚and. 

• I en CD-spelare är det viktigt att skivan roterar med en given konstant hastighet. 

Dessutom skall läshuvudet positioneras snabbt och exakt vid önskat sp˚ar. Allt detta 

skall ske trots olika yttre störningar, s˚asom skakning och annan rörelse. 

1

• I mobiltelefoni bör den mottagna signalstyrkan vid kommunikation mellan basstationen 

och de olika mobiltelefonerna h˚allas vid en lämplig niv˚a, oavsett avst˚andet till basstationen. 

Detta innebär att signalen bör sändas med större effekt ju längre avst˚andet är. 

För att uppn˚a konstant signalstyrka justeras effekten därför kontinuerligt. 

• För att h˚alla konstant kvalitet vid framställning av produkter av olika slag krävs vanligen 

regler- och styr˚atgärder. För att t.ex. producera papper av jämn kvalitet, som har 

önskad tjocklek, ytvikt, styrka, färg, m.m., bör en pappersmaskins funktion (massaströmmar, 

˚angflöden m.m.) ständigt justeras. Detta bör göras eftersom det alltid finns 

variationer i r˚avarans egenskaper, som skulle ge upphov till ojämn papperskvalitet utan 

kompenserande mot˚atgärder. 

Exemplen ovan är typiska praktiska problem inom reglertekniken. Ett gemensamt drag hos 

dessa problem är att man utnyttjar mätningar fr˚an ett system (hastighet hos ett fordon, temperaturen, 

bildskärpan, signalstyrkan m.m.) för att p˚averka systemet s˚a att önskad funktion 

erh˚alls. Vi kan ge följande definition av begreppet reglering (eng. control; fi. säätö): 

Reglering innebär att man p˚a basen av mätningar fr˚an ett system, som ger information om 

systemets tillst˚and, aktivt p˚averkar systemet att för att f˚a ett önskat beteende. 

Reglerteknik (eng. control engineering; fi. säätötekniikka) är det omr˚ade inom tekniken som 

sysslar med reglering. Begreppet styrning (eng. control, fi. ohjaus) är nära besläktat med 

reglering, men här antar man inte nödvändigtvis att mätningar av systemets tillst˚and utnyttjas 

för styrningen. Automation är ett bredare begrepp som även innefattar de olika implementeringsaspekterna 

i samband med reglering, s˚asom sensorer, elektronik, och datatekniska 

problem. Ett annat närst˚aende omr˚ade är kybernetiken (eng. cybernetics), där man studerar 

informationens betydelse för funktionen hos olika typers komplicerade system, s˚asom 

maskiner, levande organismer eller samhällen. 

En del av de i exemplen beskrivna reglerproblemen kan lösas manuellt, genom enbart 

mänsklig inverkan. Detta är fallet för bilstyrningsexemplet. Andra problem är däremot sv˚ara, 

eller rentav omöjliga, att lösa manuellt. S˚aledes kräver manövreringen av vissa överljudsflygplan 

snabbare reaktionshastighet än vad människan klarar av. Operationen av en CD-spelare 

eller justeringen av alla signalstyrkor i ett mobiltelefonisystem kan i praktiken inte heller 

göras manuellt. Även en pappersmaskins beteende är s˚a komplicerat (och snabbt) att det är 

sv˚art att upprätth˚alla en jämn produktkvalitet manuellt. Man har därför sedan länge infört 

olika typer av automatiserade metoder för reglering. Metoderna g˚ar tillbaka till James Watts 

mekaniska hastighetsregulator för ˚angmaskiner p˚a 1700-talet. Före och efter tiden för andra 

världskriget började elektriska reglersystem introduceras i större skala. I dag förverkligas (implementeras) 

reglering nästan uteslutande med hjälp av datorer, vilket möjliggör användning 

av beräkningsintensiva och mycket effektiva metoder. 

2

Kapitel 2 

Grundbegrepp 

2.1 Introducerande exempel 

För att introducera den problematik och de fr˚ageställningar som är aktuella inom reglertekniken 

skall vi i det följande betrakta ett par enkla exempel p˚a reglerproblem. 

Exempel 2.1 - Farth˚allare. 

Betrakta automatisk farth˚allning i en bil, vars avsikt är att h˚alla konstant hastighet. P˚a grund 

av ständigt varierande förh˚allanden, s˚asom upp- och nerförsbackar, varierande vindstyrka, 

vägunderlag m.m. bör gaspedalens läge kontinuerligt justeras för att en konstant hastighet 

skall kunna upprätth˚allas. För att undersöka hur detta kan ˚astadkommas bör vi undersöka 

hur bilens hastighet y beror av de olika ovan beskrivna faktorerna samt hur vi med hjälp 

av gaspedalens läge kan p˚averka hastigheten. För detta behöver vi en matematisk modell 

som beskriver sambandet mellan de ing˚aende storheterna. En s˚adan modell kan, ˚atminstone 

approximativt, bestämmas med hjälp av enkel mekanik. 

Situationen kan illustreras enligt figur 2.1. Enligt Newtons tröghetslag gäller 

am = F (2.1) 

där a = dy/dt är accelerationen, m är bilens massa och F är den totala kraften som p˚averkar 

bilen i färdriktningen. Bilen p˚averkas av följande krafter: 

• Motorns framdrivande kraft Fd. Vi antar för enkelhets skull att denna kraft är direkt 

proportionell mot gaspedalens lägesvinkel u, 

Fd(t) = ku(t) (2.2) 

Vi antar s˚aledes att motorn reagerar ögonblickligen p˚a gaspedalens läge (vilket givetvis 

är en approximation). 

3

• Gravitationskraftens komponent Fg i vägen plan (jfr figur 2.1), 

där ϕ(t) är vägens lutning (ϕ = 0 motsvarar plan väg). 

Fg(t) = −mg sin(ϕ(t)) (2.3) 

• Luftmotst˚and (Fluft). Denna kraft ökar med stigande hastighet och vi kan som en 

relativt god approximation anta att den är direkt proportionell mot skillnaden mellan 

hastigheten y och vindhastigheten vvind i bilens färdriktning, 

där b är en luftmotst˚andskoefficient. 

Fluft(t) = −b[y(t) − vvind(t)] (2.4) 

• Friktionsmotst˚and fr˚an däck, Ff (t). Vi antar att denna kraft, som är riktad mot bilens 

färdrikting och därför negativ, beror endast av vägunderlaget. 

Eftersom a = dy/dt ger ekvation (2.1) med F = Fluft + Fd + Fg + Ff , 

eller 

m dy(t) 

dt = −b[y(t) − vvind(t)] + ku(t) + Fg(t) + Ff (t) (2.5) 

m dy(t) 

+ by(t) = ku(t) + d(t) (2.6) 

dt 

där d(t) = bvvind(t) + Fg(t) + Ff (t). I modellen (2.6) anger y den variabel som skall regleras 

(hastigheten, som skall h˚allas konstant), u anger den variabel som manipuleras för att p˚averka 

systemets beteende (gaspedalens läge), och d(t) anger en yttre störning som p˚averkar den 

reglerade variabeln, och som i detta exempel best˚ar av vindens inverkan, gravitationskraften 

och friktionsmotst˚andet. Vi skall ˚aterkomma till problemet hur automatisk farth˚allning kan 

˚astadkommas, men före det skall vi betrakta ytterligare ett exempel. 

Modellen (2.6) känns igen som en differentialekvation, närmare bestämt en linjär differentialekvation 

av första ordningen. De system som är aktuella inom reglertekniken beskrivs 

vanligen just av differentialekvationer. För att illustrera saken betraktar vi följande exempel. 

Exempel 2.2 - Temperaturreglering. 

Betrakta ett temperaturregleringsproblem enligt figur 2.2. Temperaturen T i ett rum skall 

h˚allas konstant trots variationer i yttertemperaturen Ty. Värmeförlusterna genom väggarna 

är direkt proportionella mot temperaturskillnaden T − Ty, dvs effektförlusterna ges av 

Effekt ut = k(T − Ty) (2.7) 

Temperaturen kan regleras med hjälp av effekten P i ett värmeelement. Vi antar för enkelhets 

skull att luftens omblandning är god, s˚a att temperaturen kan anses densamma i hela rummet. 

4

Figur 2.1: Schematisk illustration av farth˚allningsproblemet. 

Om P är mindre än värmeförlusten genom väggarna kommer T att minska, och om P är 

större än värmeförlusten genom väggarna kommer T att öka. Enligt en enkel energibalans 

för rummet är ⎡ 

⎤ 

⎣ 

Ändring av 

upplagrad energi 

per tidsenhet 

⎦ = [Effekt in] − [Effekt ut] (2.8) 

Den totala mängden luft i rummet är ρV , där ρ är luftens densitet och V är rummets volym. 

Ändringen av upplagrad energi per tidsenhet är s˚aledes cρV dT 

dt , där c är luftens specifika 

värmekapacitet. Vi f˚ar allts˚a 

cρV dT 

dt = P − k(T − Ty) (2.9) 

eller 

cρV dT 

+ kT = P + kTy 

(2.10) 

dt 

Modellen (2.10) kan jämföras med modellen (2.6) i farth˚allningsproblemet. I modellen (2.10) 

anger T den variabel som skall regleras (temperaturen), P anger den variabel som manipuleras 

för att p˚averka systemets beteende (effekten till värmeelementet), och Ty är en yttre störning 

som p˚averkar den reglerade variabeln. 

Vi har sett att s˚aväl bilen i exempel 2.1 som temperaturen i exempel 2.2 kan beskrivas 

med hjälp av en differentialekvation. Detta är typiskt för s.k. dynamiska system. I de enkla 

5

Figur 2.2: Schematisk illustration av temperaturregleringsproblemet. 

exemplen ovan fick vi differentialekvationer av första ordningen. I allmänhet brukar systemen 

emellertid vara mera komplicerade, och man f˚ar differentialekvationer av högre ordning. 

Eftersom systemen i exemplen ovan kan beskrivas av samma typer av ekvationer, s˚a kan 

reglerproblemen i de b˚ada fallen lösas genom att studera det generella problemet att reglera 

system som beskrivs av differentialekvationer. Vi behöver allts˚a inte studera farth˚allningsreglering, 

temperaturreglering, osv separat, utan det räcker med att helt generellt studera 

regleringen av system som beskrivs av en viss typs differentialekvationer. Däremot är givetvis 

den praktiska implementeringen (s˚asom mätapparatur m.m.) problemspecifik. 

Ur det ovan sagda följer att reglerteknik är en generisk metodvetenskap som inte är bunden 

till n˚agon speciell del av tekniken. P˚a engelska talar man om ’enabling technology’, för 

att betona att det är fr˚agan om en metodik som gör det möjligt att realisera önskade beteenden 

och funktioner hos tekniska system. I detta avseende har reglertekniken likheter med 

ingenjörsmatematiken och datatekniken. Reglertekniska problem är viktiga inom alla delar 

av tekniken och reglerteknik är därför ett ämne som studeras inom flera ingenjörsomr˚aden, 

s˚asom: 

• Elektroteknik. 

Reglering av elmotorer, reglering av spänningsaggregat, UPS m.m. 

• Robotik. 

Reglering av robotar rörelse, automatisk navigation m.m. 

6

• Mekanik. 

Varvtalsreglering av motorer, aktivfjädring, ABS bromsar m.m. 

• Processteknik 

Höga kvalitetskrav p˚a framställda produkter, begränsningen av t.ex. r˚amaterialanvändning, 

energiförbrukning och utsläpp till ett minimum skulle inte kunna uppn˚as utan 

l˚angt g˚aende reglering och automation av processerna. Reglertekniken utgör ett av de 

viktigaste verktygen för att uppn˚a kvalitets- och produktivitetkraven inom processindustrin. 

• Datateknik. 

Reglering förverkligas i praktiken med hjälp av datorer. Regler- och styrprogrammen är 

realtidssystem och dessutom ofta inbyggda system. Reglering och automation hör till 

de viktigaste tillämpningsomr˚adena av datateknik. 

Reglerproblem är, s˚asom vi skall se, ocks˚a av intresse utanför tekniken, t.ex. inom ekonomin 

eller medicinen. Mera teoretiska aspekter av reglerproblem studeras dessutom i tillämpad 

matematik. 

2.2 Signaler och system 

Vi har i samband med exemplen ovan talat om variabler, s˚asom y(t), u(t) osv, som är funktioner 

av tiden. S˚adana variabler kallas signaler, och de kan karakteriseras genom att de 

inneh˚aller information av olika slag. Signalen y(t) i exempel 2.1 ger t.ex. information om 

bilens hastighet som funktion av tiden. Förutom signaler har vi system, som kännetecknas av 

den verkan de har p˚a signaler. Bilen i exempel 2.1 är ett system som beskriver hur signalen 

y(t) beror av signalerna u(t) och d(t). 

2.2.1 Blockschema 

Man brukar ange sambanden mellan olika signaler och system i form av blockscheman. Figur 

2.3 visar ett system S med tv˚a insignaler, u(t) och d(t), samt en utsignal y(t). Här är u(t) en 

styrsignal, som vi kan manipulera för att p˚averka systemet, medan d(t) är en störning, som 

vi ej kan manipulera men som p˚averkar systemet. Signalen y(t) är en utsignal fr˚an systemet, 

som vi kan mäta. 

Exempel 2.3 

Bilen i exempel 2.1 är ett system med styrsignalen u(t) (gaspedalens läge) och störningen Fg 

(gravitationskraften), samt utsignalen v(t) (hastigheten). Själva systemet beskrivs av sambandet 

mellan insignalerna och utsignalerna, dvs differentialekvationen (2.6). 

7

u 

✲ 

S 

d 

❄ 

✲ y 

Figur 2.3: Ett system S med styrsignalen u, störningen d och utsignalen y. 

Blockschema är bekväma för att˚ask˚adliggöra strukturen hos sammansatta system. Konstruktionen 

av blockschema kan göras med hjälp av elementen i figurerna 2.4–2.6. Figur 2.4 visar 

tv˚a seriekopplade system, där utsignalen y1 fr˚an systemet S1 är insignal till systemet S2. 

Figur 2.5 visar förgrening av en signal. Observera att signalerna här uppfattas som funktioner 

eller informationsflöden, och förgreningen skapar s˚aledes tv˚a identiska kopior av signalen 

u. Kombination av tv˚a signaler genom addition eller subtraktion symboliseras med en cirkel 

enligt figur 2.6. Mera komplexa systemkopplingar kommer att behandlas längre fram. 

u 

✲ S1 

u 

y1 

✲ S2 

✲ y 

Figur 2.4: Seriekopplade system. 

u 

u 

✲ 

✲ 

Figur 2.5: Förgrening av signal. 

8

u1 

✲ 

+ 

❤ 

+ ✻ 

u2 

u1 + u2 

✲ 

u1 

u1 − u2 

✲ 

+ 

❤ ✲ 

− ✻ 

u2 

(a) (b) 

Figur 2.6: Summering (a) och subtraktion (b) av signaler. 

2.2.2 Statiska och dynamiska system 

Det är viktigt att skilja mellan statiska och dynamiska system. Ett statiskt system kännetecknas 

av att utsignalen y(t) är beroende av endast insignalens värde u(t) vid samma tidpunkt, 

dvs 

y(t) = f(u(t)) (2.11) 

där f(u) är funktion. Figur 2.7 visar insignalen och utsignalen hos ett statiskt system, d˚a det 

sker stegvisa förändring i insignalen. Utsignalen följer insignalen ögonblickligen, utan n˚agon 

tröghet. I motsats till statiska system har dynamiska system en tröghet som gör att utsignalen 

y(t) är beroende av tidigare värden p˚a insignalen u, dvs 

y(t) = F (u(τ), τ ≤ t) (2.12) 

Dynamiska system system kan vanligen modelleras med hjälp av differentialekvationer, av 

vilka vi sett exempel p˚a i exempel 2.1 och 2.2. 

Problem 2.1 

Beskriv en elektrisk krets best˚aende av ett motst˚and med resistansen R som ett system, 

där spänningen u(t) över motst˚andet är insignal och strömmen i(t) är utsignal. Är systemet 

statiskt eller dynamiskt? 

9

1.2 

1 

0.8 

0.6 

u 

0.4 

0.2 

0 

−0.2 

0.6 

0.5 

0.4 

0.3 

y 

0.2 

0.1 

0 

−0.1 

−2 0 2 4 

tid 

6 8 10 

Figur 2.7: Responsen hos ett statiskt system. 

Problem 2.2 

Beskriv en elektrisk krets best˚aende av en spole med induktansen L i serie med ett motst˚and 

med resistansen R som ett system, där spänningen u(t) över kretsen är insignal och strömmen 

i(t) är utsignal. Är systemet statiskt eller dynamiskt? 

Exempel 2.4 Enkelt dynamiskt system. 

Betrakta ett dynamiskt system 

y = Su (2.13) 

som beskrivs differentialekvationen 

dy(t) 

dt 

+ ay(t) = bu(t) (2.14) 

Figur 2.8 visar insignalen u(t) och utsignalen y(t) hos systemet för stegvisa förändringar i 

insignalen. Parametervärdena a = 1, b = 1 har använts i figuren. Vi kan i detta skede göra 

n˚agra kvalitativa observationer av systemets beteende. Observera att p˚a grund av systemets 

tröghet dröjer det en stund innan utsignalen f˚att sitt nya värde efter insignalens förändring. 

Om insignalen u är konstant, dvs u(t) = u0 = konstant, kommer utsignalen y att asymp- 

totiskt närma sig värdet y = b 

a u0 (ty för detta värde är dy/dt = 0 och ingen ytterligare 

förändring hos y f˚as). Storheten b 

a 

kallas systemets statiska (eller stationära) förstärkning 

. Systemets dynamiska, eller transienta, beteende bestäms ˚a sin sida av parametern a: ju 

större positivt värde a har, desto snabbare varierar y(t). Detta kan ses om man definierar 

avvikelsen (differensen) ydiff (t) fr˚an det nya statiska värdet efter stegförändringen u0, dvs 

10

1.2 

1 

0.8 

0.6 

u 

0.4 

0.2 

0 

−0.2 

1.2 

1 

0.8 

0.6 

y 

0.4 

0.2 

0 

−0.2 

−2 0 2 4 

tid 

6 8 10 

Figur 2.8: Respons hos systemet som beskrivs av ekvation (2.14) för stegformiga förändringar 

i insignalen. 

ydiff (t) = y(t) − b 

a u0. Eftersom dydiff (t)/dt = dy(t)/dt och aydiff (t) = ay(t) − bu0 ger 

insättning i (2.14) följande differentialekvation för ydiff (t): 

dydiff (t) 

dt 

+ aydiff (t) = 0 (2.15) 

Vi ser att för en given avvikelse ydiff (t) gäller att derivatan dydiff (t)/dt = dy(t)/dt är desto 

större ju större värde parametern a har. Detta innebär att systemet reagerar desto snabbare 

ju större värde parametern har. 

Systemets transienta och statiska responser kan anges mera explicit i systemekvationen 

genom att skriva denna i formen 

T dy(t) 

dt 

+ y(t) = Ku(t) (2.16) 

där K = b/a är den statiska förstärkningen och T = 1/a kallas systemets tidskonstant, och 

är direkt proportionell mot den tid som det tar för systemet att reagera för en förändring i 

insignalen. 

Trögheten hos dynamiska system beror vanligen p˚a olika typers energiupplagring eller p˚a 

transportfördröjningar. I farth˚allningsexemplet är det bilens upplagrade rörelseenergi som 

ger upphov till trögheten, och i temperaturregleringexemplet är det den i luften lagrade 

värmeenergin. I Problem 2.2 lagras energi i spolens elektromagnetiska fält. Trögheten gör 

11

att insignalen u(t) till ett dynamiskt system p˚averkar det framtida förloppet hos systemets 

utsignal y(t). För att kunna reglera och styra dynamiska system är det därför viktigt att ha 

en modell som beskriver det framtida beteendet hos systemet. 

2.3 Systemtekniska ämnen 

Signaler och system är viktiga inte endast inom reglertekniken, utan mera allmänt inom 

s.k. systemvetenskaper. Speciellt viktiga är dessa begrepp inom signalbehandling. Medan man 

inom reglertekniken använder information i uppmätta signaler för att kunna p˚averka ett 

system s˚a att det beter sig p˚a önskat sätt, är man inom signalbehandlingen intresserad av att 

manipulera själva signalerna, t.ex. för att filtrera bort brus eller komprimering av data som 

en signal inneh˚aller. 

Exempel 2.5 - Effektreglering i mobiltelefoni. 

Den mottagna signalstyrkorna fr˚an de olika mobiltelefonerna till basstationen h˚alls konstanta 

oavsett avst˚andet till basstationen, jfr figur 2.9. Detta sker genom att basstationen sänder 

information om den mottagna signalstyrkan till mobiltelefonen, som ändrar effekten p˚a den 

utsända signalen enligt behov. Detta är ett reglerproblem: mätningar fr˚an systemet (styrkan 

hos mottagen signal) används för att manipulera systemet (den utsända signalens effekt). 

Figur 2.9: Mobiltelefonerna justerar den utsända effekten p˚a basen av den mottagna signalstyrkan 

vid basstationen. 

Exempel 2.6 - Signalfiltrering i mobiltelefoni. 

Signalen mellan basstation och mobiltelefon p˚averkas p˚a grund av flervägsutbredning, jfr figur 

12

2.10. Detta kan beskrivas med hjälp av ett system S som p˚averkar den utsända signalen s: 

y = Ss (2.17) 

där y är den vid telefonen mottagna signalen. Den ursprungliga signalen s kan rekonstrueras 

fr˚an den mottagna signalen y genom att bestämma ett filter F, s˚a att 

ˆs = Fy ≈ s (2.18) 

För att kunna bestämma filtret F bör systemet S vara känt. Detta är ett signalbehandlingsproblem: 

signalen fr˚an systemet filtreras för att ta fram den ursprungliga signalen, men 

själva systemet manipuleras inte. 

Figur 2.10: Den mottagna signalen y vid mobiltelefonen är förvrängd p˚a grund av flervägsutbredning. 

Den ursprungliga signalen s kan rekonstrueras genom filtering av y. 

2.4 Begreppet ˚aterkoppling 

Vi skall nu titta n˚agot närmare p˚a de principer som används för att lösa reglerproblem 

av den typ som diskuterats ovan. Vi betraktar farth˚allningsproblemet i exempel 2.1. Bilens 

hastighet kunde (˚atminstone approximativt) beskrivas med differentialekvatioen (2.6), som 

vi här ˚aterger i n˚agot modifierad form: 

dy(t) 

dt + a1y(t) = b1u(t) + c1d(t) (2.19) 

13

❄ 

+ 

✲ ❡ e ✲ u 

y 

Gc 

✲ Gp 

✲ 

− ✻ 

d 

Figur 2.11: Ett ˚aterkopplat system. 

där a1 = b/m, b1 = k/m och c1 = 1/m. Anta nu att den önskade hastigheten, eller 

hastighetens börvärde, är y(t) = r (t.ex. r = 80 km/h). Enligt modellen (2.19) är y(t) = r 

om vi väljer insignalen 

u(t) = 1 

[a1r − c1d(t)] (2.20) 

b1 

ty d˚a är dy/dt = 0 för det önskade värdet y(t) = r. Insignalvalet (2.20) ger s˚aledes det önskade 

statiska värdet hos y. Enligt (2.20) och (2.19) ges den transienta responsen, d˚a hastigheten 

y(t) är olikt r, av 

dy(t) 

dt + a1y(t) = a1r (2.21) 

Detta är ett system av första ordningen, med en dynamik av den typ som vi hade i exempel 

2.4. Om y(t) är olikt r i början, tar det därför en tid innan hastigheten närmat sig r. 

Trots att ovan beskrivna förfarande verkar att fungera i teorin har den emellertid n˚agra 

uppenbara nackdelar: 

• Metoden kräver att störningen d(t) är exakt känd. M.a.o. skall gravitationskraften Fg(t), 

luftmotst˚andet bvvind(t) samt friktionsmotst˚andet Ff vara exakt kända för att proceduren 

skall kunna tillämpas. Vi kunde först˚as i princip mäta vägplanets lutning ϕ och 

bilens massa m, och därmed bestämma Fg(t) = mg sin(ϕ(t)). Även luftmotst˚andet 

kan uppskattas genom att noggrant bestämma luftmotst˚andskoefficienten b och vindstyrkan 

vvind(t). Detta förfarande har den uppenbara nackdelen att den fordrar noggrann 

kännedom om alla störningar (Fg(t), vvind(t), Ff osv) och andra faktorer (s˚asom 

b) som p˚averkar den reglerade utsignalen. I praktiken är det emellertid i allmänhet helt 

orealistiskt att ha fullständig kunskap om alla störningar som p˚averkar ett system. 

• Även om kännedom om alla faktorer som p˚averkar y(t) funnes, har vi inte p˚averkat 

snabbheten hos dynamiken i ekvation (2.21). Svarets snabbhet bestäms av a1 = b/m. 

Om m är stort kan förändringen i hastigheten ske mycket l˚angsamt! 

14

d 

u 

y 

−1 0 1 2 

tid 

3 4 5 

Figur 2.12: Responsen hos systemet (2.19) för stegformad störning d˚a ingen reglering används. 

Begränsningen med det ovan beskrivna förfarandet är att man försöker bestämma styrsignalen 

u(t) som en funktion av endast s˚adana variabler som p˚averkar den reglerade signalen y(t), 

men utnyttjar ej mätningar av själva y! Genom att ocks˚a utnyttja mätning av y(t) f˚ar vi 

information om avvikelsen fr˚an det önskade värdet, r − y(t). Genom att utnyttja denna 

mätning kan otillräcklig kunskap om störningarna och systemet kompenseras. Dessutom är det 

möjligt att göra systemets respons snabbare. Principen att bestämma styrsignalen u(t) som 

funktion av den reglerade utsignalen kallas ˚aterkoppling (eng. feedback; fi. takaisinkytkentä). 

Situationen illustreras i figur 2.11, som visar hur utsignalen y(t) fr˚an systemet Gp ˚aterkopplas 

för att bestämma styrsignalen. Kretsen i figur 2.11 kallas ˚aterkopplad krets eller sluten krets. 

Blocket Gc kallas regulator. Signalen r är börvärdet eller ledvärdet för utsignalen y, och signalen 

e(t) = r − y(t) (2.22) 

är regleravvikelsen eller reglerfelet. 

Det visar sig att ˚aterkopplingsprincipen i all sin enkelhet är en mycket kraftfull metod för 

att p˚averka dynamiska systems beteende. Vi skall illustrera effekten av ˚aterkoppling genom 

att undersöka vad som händer om vi använder den enkla reglerlagen 

u(t) = Kp [r − y(t)] = Kpe(t) (2.23) 

dvs regulatorn är en konstant, Gc = Kp. Reglerlagen (2.23) kallas proportionell regulator eller 

helt enkelt P-regulator, eftersom styrsignalen u(t) är direkt proportionell mot regleravvikelsen 

15

d 

u 

y 

−1 0 1 2 

tid 

3 4 5 

Figur 2.13: Responsen för stegformad störning d˚a systemet (2.19) regleras med en P-regulator 

(2.23). 

r − y(t). Substitution av (2.23) i systemekvationen (2.19) ger för den slutna kretsen differentialekvationen 

dy(t) 

dt + (a1 + b1Kp)y(t) = b1Kpr + c1d(t) (2.24) 

Vi ser att för en konstant stegstörning d(t) = d, konvergerar utsignalen mot det statiska 

svaret (jfr exempel 2.4) 

y(t) → b1Kp 

r + 

a1 + b1Kp 

c1 

a1 + b1Kp 

d d˚a t → ∞ (2.25) 

För stora värdet p˚a regulatorparametern Kp gäller enligt (2.25) y(t) ≈ r d˚a t → ∞. Förutom 

det statiska svaret har även den transienta responsen p˚averkats. Eftersom systemets transienta 

respons beror av värdet hos storheten a1 + b1Kp, kan den i princip göras godtyckligt 

snabb genom att göra Kp stor. 

Vi har s˚aledes med den enkla proportionella reglerlagen (2.23) kunnat minska störningarnas 

inverkan samt gjort systemets transienta respons snabbare utan att mäta störningarna 

d(t). Resultatet beror inte heller av n˚agon kunskap om systemparametern a1. Fullständig 

eliminering av en stegstörnings inverkan kräver emellertid ett oändligt stort värde p˚a Kp. 

Det visar sig att Kp i praktiken inte kan göras hur stort som helst, eftersom t.ex. sm˚a tidsfördröjningar, 

som alltid finns i verkliga system, d˚a gör att den slutna kretsen blir instabil. 

(I farth˚allningsexemplet har vi t.ex. försummat motorns dynamik.) De begränsningar som 

stabilitetskravet innebär kommer att diskuteras senare. 

16

d 

u 

y 

−1 0 1 2 

tid 

3 4 5 

Figur 2.14: Responsen för stegformad störning d˚a systemet (2.19) regleras med en I-regulator 

(2.26). 

För att undvika statiska regleravvikelser efter en stegstörning behöver vi i stället för Pregulatorn 

en reglerlag som kontinuerligt justerar u(t) s˚a länge y(t) är olikt referensvärdet 

r. M.a.o. skall u(t) ökas s˚a länge y(t) < r och minskas s˚a länge y(t) > r, tills ett s˚adant 

värde för u(t) uppn˚atts för vilket y(t) = r. Detta är precis vad en människa skulle göra för 

att reglera y(t) till börvärdet. Matematiskt kan en s˚adan reglerlag beskrivas med hjälp av en 

integrator i formen 

u(t) = Ki 

t 

τ=0 

[r − y(τ)] dτ = Ki 

t 

τ=0 

e(τ)dτ (2.26) 

Reglerlagen (2.26) kallas integrerande regulator eller helt enkelt I-regulator. Principen hos en 

I-regulator är den, att s˚a länge r − y(t) > 0 ökar integralens värde, varvid u(t) blir större och 

f˚ar värdet hos y(t) att växa. Detta h˚aller p˚a tills y(t) = r, dvs regleravvikelsen har körts till 

noll, varefter u(t) har ett konstant värde. En liknande funktion gäller om r − y(t) < 0. P˚a 

detta sätt elimineras inverkan av stegstörningar s˚a att ingen statisk avvikelse f˚as. Observera 

att detta har uppn˚atts utan att känna till stegstörningens storlek! 

En svaghet hos I-regulatorn är att eftersom regleravvikelsen r − y(t) integreras blir Iregulatorns 

respons mot reglerfel l˚angsam. I-regulatorns förm˚aga att eliminera statiska regleravvikelser 

och P-regulatorns snabba respons kan kombineras i PI-regulatorn 

u(t) = Kpe(t) + Ki 

t 

τ=0 

e(τ)dτ (2.27) 

Observera att PI-regulatorn reagerar först d˚a ett reglerfel orsakad av en störning redan 

förekommer, dvs e(t) = r − y(t) = 0. För att förekomma en regleravvikelse redan innan den 

17

d 

u 

y 

−1 0 1 2 

tid 

3 4 5 

Figur 2.15: Responsen för stegformad störning d˚a systemet (2.19) regleras med en PI-regulator 

(2.27). 

hunnit uppst˚a inför man därför vanligen ytterligare en deriverande term i regulatorn. P˚a 

detta sätt f˚as en PID-regulator, som ges av 

u(t) = Kpe(t) + Ki 

t 

τ=0 

de(t) 

e(τ)dτ + Kd 

dt 

(2.28) 

Avsikten med den deriverande termen är att f˚a styrsignalen u(t) att reagera p˚a förändringsriktningen 

hos y(t), för att p˚a detta sätt kunna motverka en regleravvikelse redan innan den 

hunnit uppst˚a. P˚a detta sätt kan regulatorns respons göras snabbare. I praktiken kan den 

deriverande verkan Kd emellertid inte göras hur stor som helst, eftersom regulatorn d˚a blir 

alltför känslig mot det brus som man alltid har i praktiken. 

De olika regulatortypernas egenskaper illustreras i figurerna 2.12–2.16 som visar styrsignalen 

u(t) och utsignalen y(t) för systemet (2.19) efter en stegformad störning. 

PID-regulatorn är den överlägset vanligaste standardregulatorn för enkla reglerproblem 

i industrin och andra tekniska system, och den finns implementerad i alla processdatorsystem. 

För mera komplicerade reglerproblem, där systemet som skall regleras har ett mera 

komplicerat dynamiskt beteende, behövs dock mera invecklade reglerstrategier. 

En ännu enklare regulatorn är p˚a-av-regulatorn eller ON-OFF-regulatorn. I en p˚a-avregulator 

har styrsignalen u endast tv˚a värden: umax och umin, och värdet bestäms beroende 

p˚a om systemets utsignal är större eller mindre än ledvärdet, t.ex. 

 

umax om y(t) < r 

u(t) = 

(2.29) 

umin om y(t) > r 

18

d 

u 

y 

−1 0 1 2 

tid 

3 4 5 

Figur 2.16: Responsen för stegformad störning d˚a systemet (2.19) regleras med en PIDregulator 

(2.28). 

P˚a-av-regulatorer används i enkla system som ofta har en l˚angsam dynamisk respons, och för 

vilka det räcker med att y(t) är i närheten av ledvärdet r. Typiska tillämpningar av p˚a-av 

reglering är olika typer av temperaturregleringsproblem (jfr exempel 2.2), s˚asom reglering av 

temperaturen i hus eller bilar, kylsk˚ap, strykjärn, osv. Här sl˚as uppvärmningen p˚a eller av 

beroende p˚a temperaturen. Det diskontinuerliga funktionssättet hos regulatorn f˚ar utsignalen 

(temperaturen) att svänga kring ledvärdet, men detta kan mycket väl accepteras i de flesta 

temperaturregleringsproblem. 

Framkoppling 

Trots att ˚aterkoppling av den reglerade signalen är viktig för att kunna kompensera för 

inverkan av delvis okända störningar kan information om störningar naturligtvis utnyttjas 

för att uppn˚a bättre resultat. I farth˚allningsexemplet kunde t.ex. information om en störning i 

form av en kommande uppförsbacke användas för att accelerera redan innan en minskning av 

hastigheten f˚as. Denna princip att använda (partiell) kunskap om störningar för att bestämma 

den manipulerbara styrsignalen kallas framkoppling (eng. feedforward; fi. myötäkytkentä). 

Figur 2.17 visar ett blockschema av ett reglersystem med framkoppling. 

2.5 Digital reglering 

Regulatorer implementeras idag nästan uteslutande digitalt med hjälp av datorer. Detta 

innebär att den ovan beskrivna PID-regulatorn kan förverkligas endast approximativt. 

19

Gf ✛ 

❄ 

+ 

✲ ❡ e ✲ 

❄❡ u 

y 

Gc 

✲ ✲ Gp 

✲ 

− ✻ 

Figur 2.17: Ett system med ˚aterkoppling och framkoppling. 

Figur 2.18 visar ett typiskt digitalt reglersystem. Den kontinuerliga utsignalen y(t) diskretiseras 

med hjälp av en A/D-omvandlare, som genererar en diskret sekvens, 

d 

yk = y(kh), k = 0, 1, 2, . . . (2.30) 

Här är h samplingstiden (eng. sampling time; fi. näytteenottoväli). Sekvensen yk, k = 0, 1, 2, . . . 

processeras sedan digitalt för att generera en diskret styrsignalsekvens uk, k = 0, 1, 2, . . . till 

systemet. För system med en kontinuerlig dynamik bör den diskreta styrsignalen omvandlas 

till en kontinuerlig styrsignal u(t) till systemet. Detta utförs med en D/A-omvandlare, som 

genererar en styckevis konstant styrsignal enligt 

u H(t) = uk, kh ≤ t < kh + h (2.31) 

Efter D/A-omvandlaren brukar man ännu ha ett filter H för att utjämna diskontinuiteterna 

hos uH(t). 

Den digitala regulatorn Gd som beräknar styrsignalen uk ur mätsignalen yk kan bestämmas 

p˚a olika sätt. Om samplingstiden är kort är en vanlig metod att helt enkelt diskretisera 

den kontinuerliga systemmodellen eller reglerlagen genom att approximera derivator med 

finita differenser och integraler med summor. 

Om vi inför derivata-approximationen 

dy(t) 

dt 

1 

≈ [y(t + h) − y(t)] (2.32) 

h 

f˚as t.ex. för systemet som beskrivs av differentialekvationen (2.19) den diskreta approximationen 

1 

h [y(kh + h) − y(kh)] + a1y(kh) = b1u(kh) + c1d(kh) (2.33) 

eller 

y(kh + h) + (ha1 − 1)y(kh) = hb1u(kh) + hc1d(kh) (2.34) 

20

k 

✲ 

+ 

✻ 

− 

ek 

❣ ✲ 

Gd 

uk uH(t) ✲ D/A ✲ 

H 

u(t) 

✲ 

Gp 

Figur 2.18: Digitalt reglersystem. 

y(t) 

✲ 

Införs beteckningarna yk = y(kh), uk = u(kh), dk = d(kh) och ad = ha1−1, bd = hb1, cd = hc1 

f˚as 

(2.35) 

yk+1 + adyk = bduk + cddk 

vilket är en differensekvation av första ordningen. 

De kontinuerliga standardregulatorerna har sina diskreta motsvarigheter, s˚a att en diskret 

(digital) P-regulator ges av 

uk = Kpek, (2.36) 

en digital I-regulator ges av 

och en digital PID-regualtor ges av 

k 

uk = Ki en 

n=1 

k 

uk = Kpek + Ki 

n=1 

A/D 

✲ 

yk 

(2.37) 

en + Kd[ek − ek−1] (2.38) 

Den digitala PID-regulatorn brukar implementeras i en s.k. differensform, 

uk = uk−1 + Kp[ek − ek−1] + Kiek + Kd[ek − 2ek−1 + ek−2] (2.39) 

där summan i uttrycket (2.38) eliminerats genom att subtrahera uk−1 fr˚an uk. 

Exempel 2.7 - Digital effektreglering i mobiltelefoni. 

Ett enkelt exempel p˚a hur en digital I-regulator fungerar är effektregleringen i mobiltelefoni, 

jfr exempel 2.5 och figur 2.9. L˚at uk beteckna effekten hos den utsända signalen under tidsintervalllet 

k, och l˚at yk vara styrkan hos den mottagna signalen under samma tidsintervall. 

Man strävar till att signalstyrkan vid mottagaren har ett givet värde r. Eftersom signalens 

dämpning varierar som funktion av avst˚and och terräng bör effekten hela tiden ändras s˚a att 

önskad mottagen signalstyrka kan upprätth˚allas. Enda sättet att p˚a ett tillfredsställande sätt 

21

uppn˚a detta i praktiken är via ˚aterkoppling, s˚a att uk ökas s˚a länge yk < r och minskas s˚a 

länge yk > r. Detta motsvarar digital I-reglering enligt 

k 

uk = Ki 

n=1 

där Ki > 0. Reglerlagen kan även skrivas i formen 

[r − yn] 

uk = uk−1 + [r − yk] 

vilket explicit visar att reglerlagen har de önskade egenskaperna, dvs uk > uk−1 om r−yk > 0 

och uk < uk−1 om r − yk < 0. 

2.6 Exempel p˚a ˚aterkoppling 

˚Aterkoppling är en mycket kraftfull metod för att p˚averka systems beteende även i s˚adana 

fall d˚a systemets dynamik eller störningarna är endast ofullständigt kända. S˚asom vi sett kan 

t.ex. regleravvikelsen pga en okänd stegstörning fullständigt elimineras med en integrerande 

regulator. Det är därför naturligt att ˚aterkopplingsprincipen utnyttjas ocks˚a i flera sammanhang 

utanför tekniken. I nästan alla processer som kan beskrivas med de mycket generella 

begreppen signaler och system finner man ˚aterkoppling av signaler. Viktiga exempel finns 

bl.a. inom ekonomiska och biologiska system. 

Exempel 2.8 - ˚Aterkoppling i vardagen. 

• När vi g˚ar eller cyklar h˚aller vi oss upprätta genom att använda den information som 

v˚ara sinnen ger oss. Utan denna ˚aterkoppling skulle vi mycket snabbt tappa balansen 

och falla. 

• När vi griper ett förem˚al ˚aterkopplar vi visuell information av förem˚alets läge i förh˚allande 

till handen. Robotar kan p˚a liknande sätt styras av visuell information fr˚an en 

digitalkamera för att gripa förem˚al. 

• Vi justerar temperaturen i en dusch genom att känna p˚a temperaturen och manipulera 

varm- eller kallvattenkranen tills rätt temperatur f˚as. 

• En föreläsare f˚ar ˚aterkoppling eller feedback (fi. ’palaute’) fr˚an ˚ahörarna via fr˚agor, 

kritik, diskussioner o.dyl. Om han beaktar denna feedback har vi ett sluten krets som 

kan konvergera till ett, förhoppningsvis bättre, tillst˚and. Utan s˚adan ˚aterkoppling vet 

föreläsaren ej vad ˚ahörarna f˚ar ut av föreläsningen. 

• En studerande är missnöjd med sitt tentresultat och förbereder sig bättre till följande 

tillfälle. Den studerande använder tentresultatet för ˚aterkoppling s˚a att önskat resultat 

uppn˚as. 

22

• En hund jagar en katt. Detta kan tolkas som ˚aterkoppling där kattens position är 

börvärdet för hunden. P˚a liknande sätt söker en m˚alsökande missil sig till ett rörligt 

m˚al. 

• ’Du skall behandla andra s˚a som du själv vill bli behandlad’. 

Inom ekonomin finns flera fenomen som kan beskrivas i form av dynamiska system. Detta 

gäller t.ex. nationalekonomin eller aktiemarknaden, vars respons till olika variabler uppvisar 

en tröghet. I de ekonomiska systemen finns ocks˚a flera exempel p˚a ˚aterkopplingsmekanismer. 

Exempel 2.9 - ˚Aterkoppling i nationalekonomin. 

Den ekonomiska aktiviteten kan styras p˚a olika sätt, t.ex. med hjälp av skatteniv˚an. Med en 

god politik kan ekonomisk aktivitet stimuleras under en l˚agkonjunktur genom skattesänkningar, 

medan överhettning inom ekonomin kan reduceras genom skattehöjningar under en högkonjuktur. 

Ekonomin är emellertid ett dynamiskt system, som reagerar p˚a förändringar med en 

viss tröghet. Det är därför viktigt att göra förändringar av olika slag vid rätta tidpunkter. Politiker 

som fattar beslut om skatter är emellertid ocks˚a dynamiska system i sin beslutsfattning. 

Därför är det vanligt att förändringarna görs när det redan är för sent: skattelättnader introduceras 

när konjunkturerna redan svängt till högkonjunktur, och höjda skatter införs först 

under l˚agkonjunkturen. I denna situation gör ˚aterkopplingen fr˚an eknomin till beslutsfattning 

konjunktursvängningarna snarare kraftigare än mindre. 

Inom biologin finns flera viktiga processer och fenomen, som kan först˚as och analyseras 

inom ramen för teorin om dynamiska system och ˚aterkoppling. Detta beror p˚a att livet i 

hög grad g˚ar ut p˚a att reagera p˚a omgivningen, och är därför p˚a sätt och vis en stor reglerprocess. 

Viktiga ˚aterkopplingsprocesser inom biologin finns i synnerhet inom fysiologin, 

i cellernas funktion samt inom ekosystemen. En viktig skillnad mellan tekniska och biologiska 

system är, att medan man i tekniska system konstruerar en regulator för att f˚a en 

önskad funktion, s˚a har i biologiska system hela den ˚aterkopplade kretsen uppst˚att samtidigt, 

genom olika evolutionsmekanismer. Det därför inte alltid självklart vad som är ’regulator’ och 

vad som är ’det reglerade systemet’, utan ˚aterkopplingsmekanismens funktion är snarare att 

göra hela systemet mindre känsligt för externa störningar. Teorin för dynamiska system och 

˚aterkoppling kan i dessa fall bidra till att skapa en först˚aelse för systemets funktion. Följande 

exempel ger en uppfattning om vilken roll dynamiska system och ˚aterkoppling spelar inom 

biologin. 

Exempel 2.10 - Kroppens temperaturreglering. 

Kroppstemperaturen h˚alls mycket konstant oavsett ansenliga variationer i yttre temperatur 

och den genererade energin p.g.a fysisk aktivitet. Detta ˚astadkoms genom ˚aterkoppling s˚a 

att blodets temperatur p˚averkar kroppens uppvärmnings- och avkylningsmekanismer, s˚asom 

svettning, mekanisk skakning och blodcirkulationen i de yttre blodkärlen. Utan ˚aterkoppling 

fr˚an temperaturen skulle konstant kropppstemperatur inte kunna upprätth˚allas. 

23

Exempel 2.11 - Reglering av blodets glukoshalt. 

Det faktum att blodets glukoshalt h˚alls mycket konstant har kunnat förklaras genom en fysiologisk 

˚aterkopplingsmekanism. Halten glukos i blodet är s˚a gott som konstant, ca 5 mmol/l, 

oavsett stora variationer i tillförd glukos, s˚asom när man äter sötsaker. Detta möjliggörs 

genom att en glukoshalt som överstiger 5 mmol/l leder till generering av insulin, som avlägsnar 

glukos fr˚an blodet, medan en glukoshalt som understiger 5 mmol/l leder till generering av ett 

annat hormon, glukagon, som i sin tur stimulerar avsöndringen av glukos fr˚an muskler och 

övriga organ till blodet. Detta är ett exempel p˚a ˚aterkopplad reglering: den variabel som skall 

h˚allas vid ett konstant värde (glukoshalten) p˚averkar variabler (insulin- och glukagonhalterna) 

som i sin tur reglerar glukoshalten. En detaljerad analys av kroppens glukosreglering 

har visat att regleringen fungerar som en I-regulator, och kan kompensera mot konstanta 

belastningsstörningar som p˚averkar glukoshalten. Defekter i denna ˚aterkopplingsmekanism 

har allvarliga följder och leder till olika typer av diabetes. 

Exempel 2.12 - Reglering av proteinsyntes i cellerna. 

Proteinsyntesen i cellerna styrs av cellkärnornas DNA. Syntesen av ett givet protein äger rum 

d˚a aktuell gen är aktiv, varvid motsvarande nukleidsyresekvens i kärnans DNA översätts 

till proteinets aminosyresekvens. Ett protein framställs i korrekta mängder och vid rätta 

tidpunkter genom˚aterkoppling: aktiviteten hos generna regleras av proteinkoncentrationerna. 

För att först˚a cellernas funktion bör man reda ut ˚aterkopplingsmekanismerna. De dynamiska 

processerna i en cell är emellertid synnerligen komplicerade, och ett av de viktigaste m˚alen 

inom cellbiologin för tillfället är att kartlägga dessa processer. Denna strävan har gett upphov 

till ett nytt tvärvetenskapligt omr˚ade, den s.k. systembiologin. 

Exempel 2.13 - Reglermekanismer i biosfären. 

Biosfären inneh˚aller en del intressanta ˚aterkopplingsmekanismer som är viktiga för att först˚a 

globala egenskaper s˚asom jordens klimat eller atmosfärens och oceanernas sammansättningar. 

Betrakta t.ex. följande fakta: 

• Atmosfärens sammansättning har h˚allits praktiskt taget konstant den tid det funnits liv 

p˚a land. Syrehalten är t.ex. vid det bekväma värdet 21 vol-%. Om värdet understeg ca 15 

vol-% skulle en tändsticka slockna och vi skulle kvävas pga syrebrist, och om det översteg 

25 vol-% skulle vegetationen självantändas. Den konstanta halten är anmärkningsvärd, 

eftersom syre reagerar med andra ämnen, och utan ett tillskott som exakt kompenserar 

den reagerade syremängden skulle halten ej kunna förbli konstant. 

• Man vet att oceanernas salthalt har h˚allit sig mycket konstant under den tid det funnits 

liv i havet. Salthalten är vid en niv˚a som är lämplig för oceanernas djur- och växtliv. Den 

konstanta salthalten är anmärkningsvärd eftersom floder ständigt tillför nya mineral till 

oceanerna. I kombination med avdunstningen skulle detta leda till en gradvis ökning 

av salthalten (jämför Döda Havet). Det finns allts˚a n˚agon mekanism som avskaffar salt 

fr˚an oceanerna som kompenserar för salttillförseln. 

24

• Jordens medeltemperatur har h˚allit sig mycket konstant de senaste ca 3.5 miljarder 

˚aren, med en maximal avvikelse p˚a ca ±5 ◦ C. Under samma period har solens str˚alning 

ökat med ca 30%. Man kan räkna ut att denna ökning i solens str˚alning skulle ge upphov 

till en betydande höjning av jordens medeltemperatur (flera tiotals grader) utan n˚agon 

mekanism som motverkar denna höjning. 

Orsakerna till ovan beskrivan förh˚allanden är olika typer av biologisk aktivitet, som inför 

˚aterkopplingsmekanismer. Ännu för 30 ˚ar sedan var den allmänt accepterade uppfattningen 

den, att biologiska organismer endast passivt adapterar sig till den omgivande miljön, och 

att det är just därför som miljön i varje enskilt fall är lämplig för djur- och växtlivet där. 

Man har först relativt nyligen, under de senaste 20–30 ˚aren, insett att situationen är mera 

komplicerad än s˚a, och att den globala miljön även p˚averkas av biosfären genom olika sorters 

˚aterkopplingar. Denna insikt har möjliggjorts dels tack vare ett nytt globalt perspektiv p˚a 

jorden som helhet, och dels tack vare en ökad först˚aelse av dynamiska system. I de ovan 

nämnda exemplen har man följande typers ˚aterkoppling fr˚an biosfären: 

• Atmosfärens sammansättning h˚alls konstant av biosfären. Syre tillförs atmosfären genom 

de gröna växternas fotosyntes. En ökning av syrehalten ökar biologisk aktivitet (s˚asom 

förmultning) och bränder, vilka förbrukar syre. En minskning av syrehalten ˚ater gör de 

syreförbrukande processerna l˚angsammare. 

• Den salt som tillförs oceanerna med floder och förvittring avlägsnas av mikro-organismer 

som binder mineral (bl.a. i sina skal) och sedimenteras p˚a havets botten. Ju mera salt, 

desto flera mikro-organismer, vilket h˚aller salthalten nere. 

• Jordens medeltemperatur regleras via vegetationens inverkan: en höjd temperatur f˚ar 

växter som reflekterar infallande str˚alning att öka i antal, eftersom den lokala temperaturen 

är n˚agot lägre i närheten av dessa växter; en sjunkande temperatur ˚ater f˚ar växter 

som absorberar infallande str˚alning att öka i antal, eftersom den lokala temperaturen 

är n˚agot högre vid dessa växter. Slutresultatet blir globalt att temperaturförändringar 

pga av variationer i infallande str˚alning motverkas: en ökad str˚alning ger upphov till en 

vegetation som reflekterar mera str˚alning, och en minskning av str˚alningen ger upphov 

till en vegetation som absorberar mera str˚alning. 

I vart och ett av fallen bidrar s˚aledes biosfären med en ˚aterkopplingsmekanism som motverkar 

förändringar helt enkelt genom den inverkan som dessa förändringar har p˚a biosfärens aktivitet. 

För att först˚a de globala förh˚allandena p˚a jorden bör dessa ˚aterkopplingar beaktas. 

Teorin att biologisk aktivitet p˚averkar atmosfärens och oceanernas sammansättningar och 

även klimatet kallas Gaia-teorin (fr˚an Gaia – jordens gudinna i grekisk mytologi). Fenomenet 

är analogt med de fysiologiska reglerprocesserna, och man har därför ocks˚a infört begreppet 

’planetär fysiologi’. Gaia-teorin har intressanta implikationer för diskussionen av miljöproblem, 

inte minst för den av människan förorsakade växthuseffekten. Teorin säger˚a ena sidan att 

25

iosfären har en förm˚aga att kompensera för inverkan av störningar, inklusive de som människan 

˚astadkommer. ˚ A andra sidan säger oss teorin ocks˚a att denna förm˚aga är beroende av 

speciella ˚aterkopplingsmekanismer i miljön. Det är därför speciellt viktigt att värna om att 

naturens ˚aterkopplingsmekanismer h˚alls intakta. Om dessa mekanismer skadas kan följderna 

vara drastiska. Kunskapen om mekanismerna är ännu ganska bristfällig, men klart är att 

vegetation, s˚asom tropikernas regnskogar eller oceanernas plankton, spelar en viktig roll. 

2.7 Negativ och positiv ˚aterkoppling 

I samtliga exempel hittills har effekten av ˚aterkopplingen varit att motverka förändringen hos 

ett system. Man talar i detta fall om negativ˚aterkoppling. Om vi ändrar tecknet hos regulatorn 

Gc i figur 2.11 kommer˚aterkopplingens effekt att vara den omvända: en förändring i utsignalen 

p˚averkar insignalen i en riktning som ger upphov till en ännu större utsignalförändring. Detta 

kallas positiv ˚aterkoppling. 

Medan negativ ˚aterkoppling stabiliserar ett system vid ett önskat tillst˚and, har positiv 

˚aterkoppling motsatt verkan: systemet f˚as att snabbt driva ifr˚an starttillst˚andet. Positiv 

˚aterkoppling har begränsad användning inom tekniken, men förekommer allmänt i andra 

situationer. N˚agra exempel f˚ar belysa funktionen hos positiv ˚aterkoppling. 

• Autokatalys i kemiska reaktioner. Slutprodukten fungerar även som en katalysator 

för tidigare reaktionssteg, och därmed försnabbar reaktionen. Autokatalys förekommer 

allmänt i biokemiska reaktioner. 

• Inom ekonomin finns en mängd positivt ˚aterkopplade processer. Ett exempel är introduktionen 

av nya produkter p˚a marknaden. Försäljningen av t.ex. en mobiltelefon 

med nya egenskaper f˚ar fart först d˚a tillräckligt m˚anga människor redan skaffat sig 

produkten. Detta är positiv ˚aterkoppling fr˚an produktens utbreddhet till försäljningen. 

En liknande ˚aterkoppling inom ekonomin gynnar stora producenter: en hög volym gör 

det möjligt att framställa billigare produkter och satsa p˚a produktutveckling, med en 

ytterligare volymökning till följd. 

• ’De rika blir allt rikare, de fattiga allt fattigare’. Ett negativt exempel p˚a positiv˚aterkoppling! 

2.8 Litteratur 

Det finns ett antal utmärkta läroböcker i reglerteknik. Bland svenskspr˚akiga böcker i omr˚adet 

ges en praktisk och mycket elementär introduktion till reglertekniska idéer av Hägglund 

(1997). N˚agot mera teoretiska introduktioner ges av Lennartson (2001), Glad och Ljung 

(1989), Schmidtbauer (1995) och Thomas (1992). Harnefors och medarbetare (2004) ger en 

26

generellare introduktion till signaler och system, som förutom reglerteknik ocks˚a behandlar 

grunderna i signalbehandling. Bland engelskspr˚akiga böcker kan nämnas Albertos och Mareels 

(2010), som ger en elementär och allmänbildande introduktion till omr˚adet. 

De icke-tekniska exemplen p˚a reglerprocesser som i korthet beskrivits i avsnitt 2.6 inbegriper 

alltför omfattande problemomr˚aden för att kunna behandlas p˚a grundkursniv˚a. För 

den intresserade kan vi nämna t.ex. Khoo (2000), som beskriver reglermekanismer i fysiologiska 

system. Gaia-teorin introducerades av den brittiske kemisten James Lovelock (1982). 

En kvantitativ behandling av dynamiska system och ˚aterkopplingsmekanismer i atmosfären 

och oceanerna diskuteras bl.a. i Kump och medförfattare (2000). 

Referenser 

Albertos, P. och I. Mareels (2010). Feedback and Control for Everyone. Springer. 

Harnefors, L., J. Holmberg och J. Lundqvist (2004). Signaler och system. Liber AB. 

Hägglund, T. (1997). Praktisk processreglering. Studentlitteratur. 

Khoo, M. (2000). Physiological Control Systems. IEEE Press. 

Kump, L. R., J. F. Kasting R. G. Crane (2000). The Earth System. Prentice Hall. 

Lennartson, B. (2001). Reglerteknikens grunder. Studentlitteratur. 

Ljung, L. och T. Glad (1989). Reglerteknik. Grundläggande teori Studentlitteratur. 

Lovelock, J. (1982). Gaia: A New Look at Life on Earth. Oxford University Press. 

Schmidtbauer, B. (1995). Analog och digital reglerteknik. Studentlitteratur. 

Thomas, B. (1992). Modern reglerteknik. Liber AB. 

27

Kapitel 3 

Dynamiska system 

3.1 Enkla systemtyper och deras stegsvar 

För att kunna konstruera regulatorer för dynamiska system bör systemens egenskaper vara 

kända. Innan vi g˚ar vidare till att behandla modeller för dynamiska system skall vi ge en 

kortfattad kvalitativ beskrivning av de viktigaste systemtyperna som man bör känna till. För 

att ge en kvalitativ inblick i de olika systemtyperna kommer vi att betrakta deras stegsvar, 

dvs utsignalen y(t) efter en stegförändring i insignalen u(t). 

Första ordningens system. 

Stegsvaret hos ett system av första ordningen har getts i exempel 2.4, figur 2.8. Karakteristisk 

för ett system av denna typ är att tidsderivatan dy/dt är olikt noll omedelbart efter 

stegförändringen. Exemplen i kapitel 2 illustrerar hur system av denna typ kan f˚as genom 

fysikalisk modellering. 

System med tv˚a tidskonstanter. 

Genom att ha tv˚a system av första ordningen i serie f˚as ett system med tv˚a tidskonstanter. 

Stegsvaret karakteriseras av en l˚angsammare respons i början, med dy/dt = 0 vid t = 0, jfr 

figur 3.1. 

System av denna typ f˚as i praktiken p˚a samma sätt som första ordningens system. Ett 

system med tv˚a tidskonstanter f˚as t.ex. genom att modellera motorn i exempel 2.1 som ett 

första ordningens system. 

System med översväng. 

Figur 3.2 visar stegsvaret hos ett system med översväng. Detta är typiskt för system mekaniska 

system med fjädrande element. N˚agra exempel är en kran med en hängande last, en pendel, 

fjädringen i en bil eller varvtalet hos en motor med flexibel koppling. Systemets tendens 

till svängningar gör det sv˚arare att reglera. En viktig uppgift för regleringen är att dämpa 

svängningarna. För att kunna göra detta bör man ha en tillräckligt god modell av systemet. 

28

1.2 

1 

0.8 

0.6 

u 

0.4 

0.2 

0 

−0.2 

1.2 

1 

0.8 

y 0.6 

0.4 

0.2 

0 

−2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 

tid 

Figur 3.1: Responsen hos ett system med tv˚a tidskonstanter. 

System med dödtid. 

Dödtid eller tidsfördröjning (eng. dead time, time delay; fi. kuollut aika, aikaviive) innebär att 

det tar en tid L innan en förändring i insignalen syns i utsignalen. Stegsvaret hos ett system 

av första ordningen med dödtid illustreras i figur 3.3. 

Eftersom styrsignalen inverkan syns först efter en tid är system med dödtid sv˚ara att 

reglera. För att kunna vidta korrekt regler˚atgärd p˚a basen av mätningen y(t) vid tiden t 

bör regulatorn kunna förutse hur systemet kommer att bete sig mellan tiden t och t + L, d˚a 

regler˚atgärdens inverkan p˚a utsignalen kan observeras. 

Dödtider förorsakas i praktiken vanligen av olika typer av transporttider, s˚asom vid förflyttning 

av material eller vid vätske- eller gasflöden. System med dödtid är därför mycket 

vanliga i processindustrin. 

System med integration. 

Om utsignalen bestäms av integralen hos insignalen, enligt 

t 

y(t) = k 

0 

(u(τ) − u0) dτ (3.1) 

finns det endast ett värde u0 p˚a insignalen för vilket utsignalen y h˚alls konstant. Varje 

avvikelse fr˚an u0 f˚ar y antingen att ständigt öka eller ständigt minska. Se figur 3.4. Typiska 

exempel p˚a system med integration är mängden av material y som man har i ett lager med 

konstant utströmning u0. Mängden y h˚alls konstant endast om inflödet u till lagret är exakt 

lika stort som utströmmen u0. För u > u0 ökar y med konstant hastighet och för u < u0 

minskar y med konstant hastighet till lagret är tomt. Ett konkret exempel är vätskeinneh˚allet 

29

1.2 

1 

0.8 

0.6 

u 

0.4 

0.2 

0 

−0.2 

y 

1.5 

1 

0.5 

0 

−2 −1 0 1 2 3 

tid 

4 5 6 7 8 

Figur 3.2: Responsen hos ett system med översväng. 

y i en beh˚allare med konstant utflöde u0 och inflödet u. 

Ett annat viktigt exempel p˚a ett system med integration är servomotorer som används 

vid positionsreglering. Positionen y styrs med spänningen u till motorn. Rörelsehastigheten 

är proportionell mot spänningen, dvs dy/dt = ku. En avvikelse fr˚an u = 0 ger därför upphov 

till en ih˚allande förändring i positionen. 

System med inverssvar. 

Figur 3.5 visar stegsvaret hos en process med inverssvar. Kännetecknande för dessa system 

är att svaret startar ˚at motsatta h˚allet innan det närmar sig det statiska värdet. Behovet 

att beakta den initiala motsatta verkan av en regler˚atgärd gör att system med inverssvar är 

mycket sv˚ara att reglera. 

System med inverssvar uppst˚ar t.ex. d˚a tv˚a delprocesser i ett system verkar ˚at motsatt 

h˚all. Om en av processerna har ett snabbt svar och den andra har ett l˚angsamt svar, kommer 

den snabba processen till en början att f˚a utsignalen att g˚a mot ett h˚all innan den l˚angsamma 

processen hinner p˚averka utsignalen. Ett exempel p˚a denna typs system är vid förbränning 

av fasta bränslen (s˚asom flis). En ökning av bränslemängden f˚ar temperaturen i eldhärden 

först att minska eftersom det inkommande bränslet har en lägre temperatur. Efter att förbränningen 

av det tillförda bränslet kommit i g˚ang ökar temperaturen. Andra exempel p˚a 

system med inverssvar finns t.ex. vid reglering av vissa flygplan. Inom ekonomiska system är 

inverssvar vanliga: t.ex. en skattesänkning sänker till en början skatteinkomsterna pga den 

lägre skatten, men kan senare resultera i en större skatteintäkt tack vare ökad ekonomisk 

aktivitet. 

30

1.2 

1 

0.8 

0.6 

u 

0.4 

0.2 

0 

−0.2 

1.2 

1 

0.8 

0.6 

y 

0.4 

0.2 

0 

−0.2 

−2 0 2 4 

tid 

6 8 10 

Figur 3.3: Responsen hos ett system av första ordningen med dödtid (L = 1). 

Instabila system. 

Instabila system karakteriseras av att de divergerar fr˚an sitt begynnelsetillst˚and om de lämnas 

˚at sig själva. Ett enkelt exempel p˚a ett instabilt system är en inverterad pendel, som faller 

om den inte kontinuerligt balanseras. Det enda sättet att h˚alla ett instabilt system vid ett 

börvärde är genom att använda ˚aterkoppling. Vissa flygplan är instabila och behöver därför 

ständiga regler˚atgärder för att h˚alla kursen. Exempel p˚a instabila system inom processindustrin 

är vissa reaktorer med exoterma reaktioner, som bör kylas tillräckligt för att h˚alla 

reaktionen under kontroll. Ett annat exempel p˚a instabilitet är att backa ett fordon med släp. 

Systemet är instabilt eftersom den minsta avvikelse i kursen f˚ar släpet att driva ˚at sidan. Det 

enda sättet att h˚alla kursen är att ständigt kompensera kursavvikelserna med styrningen. En 

regulator som stabiliserar systemet kan backa ett fordon med släp utan sv˚arighet. 

3.2 Linjära system 

I kapitel 2 har vi sett att dynamiska system beskrivs av differentialekvationer. Vi skall i 

detta kapitel närmare introducera modeller av de vanligaste typerna av dynamiska system. 

Generellt kan ett linjärt dynamiskt system G med insignalen u och utsignalen y beskrivas 

med den linjära differentialekvationen 

dny(t) +a1 

dtn dn−1y(t) dy(t) 

+· · ·+an−1 

dtn−1 dt +any(t) = b0 

där n är systemet ordning. Vanligtvis gäller m < n. 

31 

dmu(t) du(t) 

+· · ·+bm−1 

dtm dt +bmu(t) (3.2)

1.2 

1 

0.8 

0.6 

u 

0.4 

0.2 

0 

−0.2 

6 

5 

4 

y 3 

2 

1 

0 

−2 0 2 4 

tid 

6 8 10 

Figur 3.4: Responsen hos ett system med integration. 

Systemekvationen (3.2) kan skrivas i en bekvämare form genom att introducear beteckningen 

p = d 

(3.3) 

dt 

för differentialoperatorn. Eftersom 

följer generellt att 

d2 

d d 

y = 

dt2 dt dt y 

 

= p 2 y (3.4) 

d k 

dt k y = pk y (3.5) 

Ekvation (3.2) kan s˚aledes skrivas i formen 

eller 

p n y + a1p n−1 y + · · · + an−1py + any = b0p m u + b1p m−1 u + · · · + bm−1pu + bmu (3.6) 

där vi introducerat polynomen 

A(p)y = B(p)u (3.7) 

A(p) = p n + a1p n−1 + · · · + an−1p + an 

B(p) = b0p m + b1p m−1 + · · · + bm−1p + bm 

32 

(3.8) 

(3.9)

1.2 

1 

0.8 

0.6 

u 

0.4 

0.2 

0 

−0.2 

1.5 

1 

y 0.5 

Löser vi ut y ur ekvation (3.7) f˚as 

eller 

där vi definierat 

0 

−0.5 

−2 −1 0 1 2 3 

tid 

4 5 6 7 8 

Figur 3.5: Responsen hos ett system med inverssvar. 

y(t) = B(p) 

u(t) (3.10) 

A(p) 

y(t) = G(p)u(t) (3.11) 

G(p) = B(p) 

A(p) 

(3.12) 

Eftersom differentialoperatorn p är en operator kan även G(p) uppfattas som en operator som 

transformerar signalen u(t) till en annan signal y(t). Operatorn G(p) kallas systemets överföringsoperator. 

Alternativt kan man betrakta G(p) som en funktion av operatorn p, varför 

man ocks˚a kallar G(p) överföringsfunktion (eng. transfer function; fi. siirtofunktio). Av n˚agon 

orsak är den förra termen bruklig i svenskan, medan den senare används i engelskspr˚akig text. 

Anmärkning 3.1 

Begreppet överföringsoperator kan defineras mera rigoröst via Laplace-transformen som en 

operator som opererar p˚a en Laplace-transformerad signal. Denna metod är mera generell 

än den som används här, men överföringsoperatorn har samma form i bägge fallen. Laplacetransformen 

kommer att behandlas i senare kurser. 

System som beskrivs av linjära differentialekvationer av typen (3.2) har ett antal viktiga 

egenskaper, vilka gör deras behandling speciellt enkel. Egenskaperna följer direkt ur differentialoperatorns 

egenskaper. 

33

1.2 

1 

0.8 

0.6 

u 

0.4 

0.2 

0 

−0.2 

100 

80 

60 

y 

40 

20 

0 

−2 −1 0 1 2 3 4 5 

tid 

Figur 3.6: Responsen hos ett instabilt system. 

• Superpositionsprincipen: om insignalen u1 till systemet G ger utsignalen y1 = Gu1, 

och insignalen u2 ger utsignalen y2 = Gu2, gäller att insignalen u1 + u2 ger utsignalen 

y1 + y2, dvs 

y = G(u1 + u2) = Gu1 + Gu2 = y1 + y2 

(3.13) 

• Parallellkoppling av tv˚a system med överföringsoperatorerna G1 och G2 är ekvivalent 

med ett system med överföringsoperatorn G1 + G2, ty utsignalen fr˚an parallellkopplade 

system ges av 

y = G1u + G2u = (G1 + G2)u (3.14) 

Jfr figur 3.7. 

• Seriekoppling av tv˚a system med överföringsoperatorerna G1 och G2 är ekvivalent med 

ett system med överföringsoperatorn G1G2 = G2G1, ty utsignalen fr˚an seriekopplade 

system ges av 

y = G1 (G2u) = G1G2u = G2G1u (3.15) 

Jfr figur 3.8. 

Observera speciellt att det ur ovan följer att utsignalen blir densamma oberoende av 

systemens ordningsföljd, ty 

y(t) = G1(p)G2(p)u(t) = G2(p)G1(p)u(t) (3.16) 

34

u 

u 

u 

✲ 

✲ 

G1 

G2 

y1 = G1u 

u ✲ y = (G1 + G2)u 

✲ G1 

y2 = G2u 

Figur 3.7: Parallellkopplade system. 

y1 = G1u 

✲ G2 

✲ y = G2y1 = G2G1u 

Figur 3.8: Seriekopplade system. 

Problem 3.1 

Betrakta tv˚a första ordningenens system G1 och G2, där G1 definieras av differentialekvationen 

dy1(t) 

dt + y1(t) = u1(t) (3.17) 

och G2 definieras av differentialekvationen 

dy2(t) 

dt + 2y2(t) = 3u2(t) (3.18) 

- Bestäm systemens överföringsoperatorer. 

- Härled differentialekvationen som beskriver en parallellkoppling av G1 och G2. Verifiera att 

överföringsoperatorn hos det parallellkopplade systemet ges av (3.14). 

- Härled differentialekvationen som beskriver en seriekoppling av G1 och G2. Verifiera att 

överföringsoperatorn hos det seriekopplade systemet ges av (3.15). 

Sambandet (3.11) säger att utsignalen y kan uttryckas genom att multiplicera insignalen 

u med överföringsoperatorn G(p). Att detta kan göras följer ur differentialoperatorns linjäritet. 

Det faktum att differentialekvationssambandet kan uttryckas i form av en multiplikation 

gör det möjligt att härleda differentialekvationer för kopplade system genom rent 

algebraiska manipulationer, best˚aende av endast multiplikationer och additioner. Betrakta 

t.ex. den ˚aterkopplade reglerkretsen i figur 3.9. Genom att uttrycka signalsambanden med 

hjälp av överföringsoperatorerna Gp(p) och Gc(p) och eliminera signalerna e och u med hjälp 

av algebraiska manipulationer f˚ar vi att sambandet mellan signalen r och utsignalen y beskrivs 

av överföringsoperatorn 

y(t) = G(p)r(t) (3.19) 

35

där 

r 

+ 

✲ ❡ e ✲ u 

Gc 

✲ Gp 

✲ 

− ✻ 

Figur 3.9: ˚ Aterkopplad krets. 

G(p) = Gp(p)Gc(p) 

1 + Gp(p)Gc(p) 

y 

(3.20) 

Motsvarande differentialekvation kan sedan bestämmas genom att utnyttja sambandet (3.12) 

mellan överföringsoperatorn och differentialekvationen. 

Problem 3.2 

Härled sambandet (3.19), (3.20) mellan r och y. 

Problem 3.3 

Betrakta det ˚aterkopplade systemet i figur 3.9, och antag att systemet Gp beskrivs av differentialekvationen 

dy(t) 

+ y(t) = u(t) (3.21) 

dt 

och regulatorn Gc beskrivs av differentialekvationen 

du(t) 

dt 

+ 2u(t) = 2e(t) (3.22) 

Bestäm differentialekvationen som beskriver sambandet mellan signalerna r och y. 

36

3.3 Modellering av enkla standardsystem 

I detta avsnitt skall vi mera detaljerat studera de enkla standardsystemtyperna som beskrevs 

i avsnitt 3.1. Speciellt skall vi visa hur enkla differentialekvationsmodeller ger upphov till 

de olika stegsvaren. Vi skall allts˚a bestämma den utsignal y(t) som f˚as, d˚a insignalen är 

stegformad, enligt 

samt y(t) = 0, t < 0. 

u(t) = 

3.3.1 Första ordningens system 

0 , för t < 0 

usteg , för t ≥ 0 

Ett stabilt system av första ordningen beskrivs av differentialekvationen 

dy(t) 

dt 

där a > 0. Man brukar ofta skriva systemekvationen i formen 

T dy(t) 

dt 

där T = 1/a och K = b/a. Systemets överföringsoperator är 

och det har stegsvaret 

(3.23) 

+ ay(t) = bu(t) (3.24) 

+ y(t) = Ku(t) (3.25) 

G(p) = b K 

= 

p + a T p + 1 

ysteg(t) = K(1 − e −t/T )usteg 

Jfr figur 2.8. Systemets statiska förstärkning är lika med K, dvs 

(3.26) 

(3.27) 

ysteg(t) → Kusteg, d˚a t → ∞ (3.28) 

Parametern T kallas systemets tidskonstant (eng. time constant; fi. aikavakio), och är ett 

m˚att p˚a hur snabbt systemet reagerar; ju mindre T (> 0), desto snabbare respons. Speciellt 

gäller, att vid tiden t = T har (1 − e −1 ) × 100% = 63.2% av den totala förändringen n˚atts. 

Problem 3.4 

Verifiera att systemet (3.25) har stegsvaret (3.27). 

37

3.3.2 System med tv˚a tidskonstanter 

Ett system med tv˚a tidskonstanter best˚ar av tv˚a seriekopplade första ordningens system. L˚at 

det första systemet, G1, beskrivas av 

dy1(t) 

T1 

dt + y1(t) = K1u(t) (3.29) 

med utsignalen y1(t), som är insignal till det andra systemet, G2, som beskrivs av 

dy(t) 

T2 

dt + y(t) = K2y1(t) (3.30) 

Enligt tidigare har vi att det seriekopplade systemet har överföringsoperatorn (jfr (3.15)) 

G(p) = G2(p)G1(p) = 

K 

(T2p + 1)(T1p + 1) 

(3.31) 

där K = K1K2. Detta är ett andra ordningens system. 

Stegsvaret hos det seriekopplade systemet G2G1 kan bestämmas genom att observera att 

om T1 = T2 kan G(p) skrivas i formen 

G(p) = KT1/(T1 − T2) 

T1p + 1 

+ KT2/(T2 − T1) 

T2p + 1 

(3.32) 

Detta karakteriserar G(p) i form av tv˚a parallellkopplade system av första ordningen. Enligt 

(3.14) ges stegsvaret av summan av de enskilda systemens stegsvar i (3.32), vilket enligt (3.27) 

är 

ysteg(t) = 

= K 

KT1 

T1 − T2 

 

1 − e −t/T1 

 

+ KT2 

 

T2 − T1 

 

1 − T1 

e 

T1 − T2 

−t/T1 

T2 

− e 

T2 − T1 

−t/T2 

Man kan visa att om T1 = T2 = T ges stegsvaret av 

ysteg(t) = K 

 

1 − (1 + t 

T )e−t/T 

 

usteg 

1 − e −t/T2 

 

usteg 

usteg 

(3.33) 

(3.34) 

Figur 3.1 visar stegsvaret för ett system med tv˚a tidskonstanter. Jämfört med ett första 

ordningens system har stegsvaret hos ett system med tv˚a tidskonstanter en kontinuerligt 

varierande derivata, s˚a att dy(t)/dt = 0 vid t = 0. I analogi med ett första ordningens system 

sker förändringen monotont fr˚an begynnelsevärdet till det statiska värdet, och stegsvaret 

saknar allts˚a översväng. 

P˚a motsvarande sätt kan man bilda system med flera tidskonstanter genom seriekoppling 

av flera första ordningens system. 

Problem 3.5 

Verifiera att systemet (3.31) har stegsvaret (3.34) i fallet T1 = T2 = T . 

38

3.3.3 System med översväng 

Det seriekopplade systemet i ekvation (3.31) är ett system av andra ordningen med tv˚a reella 

tidskonstanter. Överföringsoperatorns nämnarpolynom A(p) har i detta fall de tv˚a reella 

nollställena −1/T1 och −1/T2. System med översväng beskrivs av differentialekvationer med 

den egenskapen att polynomet A(p) har komplexkonjugerade nollställen. Ett generellt system 

av andra ordningen beskrivs av 

d2y(t) dy(t) 

+ a1 

dt2 dt + a2y(t) 

du(t) 

= b1 

dt + b2u(t) (3.35) 

och motsvarande överföringsoperator 

b1p + b2 

G(p) = 

p2 (3.36) 

+ a1p + a2 

För att belysa de karakteristiska egenskaperna hos system av andra ordningen räcker det 

med att betrakta fallet d˚a b1 = 0. Systemets statiska förstärkning, den transienta responsens 

snabbhet samt översvängens storlek bestäms d˚a entydigt av systemparametrarna. Det visar 

sig att dessa tre systemegenskaper kan karakteriseras explicit genom att skriva systemekvationen 

i formen 

d2y(t) dy(t) 

+ 2ζωn 

dt2 dt + ω2 ny(t) = Kω 2 nu(t) (3.37) 

och motsvarande överföringsoperator 

G(p) = 

p2 + 2ζωnp + ω2 n 

Här är K systemets statiska förstärkning, ζ kallas relativ dämpning, och ωn är systemets 

odämpade egenfrekvens. Alla stabila system av andra ordningen kan skrivas i formen (3.37) 

med ζ > 0 och ωn > 0. Den relativa dämpningen ζ bestämmer formen hos systemets stegsvar. 

I fallet ζ > 1 sägs systemet vara överdämpat. Polynomet A(p) = p2 + 2ζωnp + ω2 n har härvid 

tv˚a negativa reella nollställen och systemet är ekvivalent med tv˚a seriekopplade system av 

första ordningen (jfr avsnitt 3.3.2). I fallet ζ < 1 sägs systemet vara underdämpat. Polynomet 

A(p) har i detta fall tv˚a komplexkonjugerade nollställen med negativa realdelar, och 

systemets stegsvar har en översväng, jfr figur 3.2. I gränsfallet ζ = 1 kallas systemet kritiskt 

dämpat. Polynomet A(p) har d˚a ett dubbelt nollställe som är reell och negativ. Den odämpade 

egenfrekvensen bestämmer tidskalan hos systemets respons; ju större ωn, desto snabbare 

respons. 

Stegsvaren för överdämpade och kritiskt dämpade system ges av (3.33) respektive (3.34). 

Kω 2 n 

I det underdämpade fallet (ζ < 1) ges stegsvaret av 

 

ysteg(t) = K 1 − 1 

β e−ζωnt 

[ζ sin(βωnt) + β cos(βωnt)] 

 

= K 1 − 1 

β e−ζωnt 

sin(βωnt + ϕ) usteg 

39 

usteg 

(3.38) 

(3.39)

där 

och 

β = 

 

1 − ζ 2 (3.40) 

ϕ = arccos(ζ) (3.41) 

Man kan visa att översvängens maximala storlek M ges av (angiven i % av statiska värdet) 

och tiden tM vid vilken den maximala översvängen f˚as är 

 

−ζπ 

M = exp × 100% (3.42) 

β 

tM = π 

ωnβ 

(3.43) 

Figur 3.10 illustrerar stegsvar hos överdämpade, kritiskt dämpade och underdämpade 

system av andra ordningen. 

Problem 3.6 

Verifiera att systemet (3.37) har stegsvaret (3.39) om ζ < 1. 

y 

1.8 

1.6 

1.4 

1.2 

1 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0 

−0.2 

0 1 2 3 4 5 

tid 

6 7 8 9 10 

Figur 3.10: Responsen hos system av andra ordningen med relativa dämpningarna ζ = 2, 1, 0.5 

och 0.1 (nerifr˚an räknat) samt odämpade egenfrekvensen ωn = 1 och statiska förstärkningen 

K = 1. 

I fysikaliska system uppst˚ar ett dynamiskt beteende med översväng typiskt av att systemet 

oskillerar mellan tv˚a tillst˚and, s˚asom följande exempel illustrerar. 

40

k 

m 

u(t) 

Figur 3.11: Fjäderupphängd massa med dämpning. 

Exempel 3.1 - Fjädringssystem med dämpning. 

Figur 3.11 visar en massa m upphängd i en fjäder. Positionsavvikelsen y(t) fr˚an ett jämviktsläge 

p˚averkas av kraften u(t). Vid jämviktsläge gäller y(t) = 0 och u(t) = 0. Newtons andra 

lag ger 

m d2 y(t) 

dt 2 = u(t) + Ff (t) + Fd(t) 

där Ff (t) är fjäderkraften, som är proportionell mot avvikelsen y(t) och riktad i motsatt 

riktning, 

Ff (t) = −ky(t) 

och Fd(t) är den dämpande kraften i dämparen, som är proporionell mot hastigheten dy(t)/dt 

och riktad i motsatt riktning, 

Fd(t) = −b dy 

dt 

Kombination av ekvationerna ger 

b 

y(t) 

m d2y(t) = u(t) − ky(t) − bdy 

dt2 dt 

eller 

d2y(t) b dy k 1 

+ + y(t) = 

dt2 m dt m m u(t) 

Detta är ett system av andra ordningen med överföringsoperatorrepresentationen 

y(t) = 

1/m 

p2 + b k 

mp + m 

41 

u(t)

Jämförelse med (3.38) visar att systemets odämpade egenfrekvens är 

 

k 

ωn = 

m 

den statiska förstärkningen ges av 

K = 1/m 

ω 2 n 

= 1 

k , 

och relativa dämpningen är 

ζ = b/m 

= 

2ωn 

1 b 

√ 

2 mk 

Sambandet visar att en stor dämpning (b) och liten fjäderkonstant k gör systemet överdämpat, 

medan ett system med liten dämpning och stor fjäderkonstant är underdämpad. 

Vi skall ännu visa hur stegsvaret hos ett system (3.35) av andra ordningen med b1 = 0 

kan härledas. Överföringsoperatorn (3.36) kan skrivas 

där 

och 

G(p) = G1(p) + G2(p) (3.44) 

b1p 

G1(p) = 

p2 + a1p + a2 

(3.45) 

G2(p) = 

p2 (3.46) 

+ a1p + a2 

Svaret hos G(p) f˚as s˚aledes som en summa av svaren fr˚an tv˚a parallellkopplade system med 

överföringsoperatorerna G1(p) och G2(p). Stegsvaret för G2 har givits ovan. Stegsvaret hos 

G1 kan bestämmas genom att skriva 

G1(p) = p 

p2 (3.47) 

+ a1p + a2 

Detta representerar G1 i form av en seriekoppling av ett system vars stegsvar ges av (3.33), 

(3.34) eller (3.39) ˚atföljd av differentialoperatorn p = d 

dt . Stegsvaret y1(t) hos G1 kan därför 

bestämmas genom att först bestämma stegsvaret hos systemet 

˜y1(t) = 

p2 u(t) 

+ a1p + a2 

vilket ges av uttrycket (3.33) om systemet är överdämpat, uttrycket (3.34) om systemet är 

kritiskt dämpat, eller uttrycket (3.39) om systemet är underdämpat, varefter y1(t) ges av 

b1 

b2 

b1 

y1(t) = d˜y1(t) 

dt 

42

3.3.4 System med dödtid 

Ett system med dödtid har en tidsfördröjning som fördröjer insignalens effekt p˚a utsignalen. 

Ett system av första ordningen med dödtiden L beskrivs s˚aledes av differentialekvationen 

dy(t) 

dt 

+ ay(t) = bu(t − L) (3.48) 

Vi kan härleda ett uttryck för överföringsoperatorn hos en tidsfördröjning genom att uttrycka 

= p. En Taylor-serieutveckling av u(t) ger 

denna med hjälp av differentialoperatorn d 

dt 

d2u(t) hk 

+ · · · + 

dt2 k! 

d2 hk d 

+ · · · + 

dt2 k! 

k 

+ · · · 

dtk u(t + h) = u(t) + h du(t) h2 

+ 

 

dt 2! 

= 1 + h d h2 

+ 

dt 2! 

 

= 1 + hp + (hp)2 (hp)k 

+ · · · + 

2! k! 

+ · · · 

dku(t) + · · · 

dtk 

 

u(t) 

u(t) 

= e hp u(t) (3.49) 

där vi i det sista steget utnyttjat Taylor-serieutvecklingen av exponentialfunktionen e x . För 

h = −L ger sambandet (3.49) ett uttryck för tidsfördröjningen med hjälp av differentialoperatorn, 

u(t − L) = e −Lp u(t) (3.50) 

Det följer att ett tidsfördröjningen har överföringsoperatorn 

GL(p) = e −Lp 

(3.51) 

Systemet (3.48) best˚ar av en seriekoppling av en tidsfördröjning och ett system av första 

ordning, och kan s˚aledes uttryckas med hjälp av överföringsoperatorer (dvs med hjälp av 

differentialoperatorn) i formen 

y(t) = b 

p + a e−Lp u(t) (3.52) 

3.3.5 System med integration 

Ett system med integration inneh˚aller ett delsystem av formen 

dy(t) 

dt = k [u(t) − u0] (3.53) 

jfr ekvation (3.1). Utsignalen y förändras s˚a länge u(t) = u0. I praktiken ing˚ar systemet (3.53) 

vanligen som ett led i en seriekoppling med flera delsystem. 

43

3.3.6 System med inverssvar 

System med inverssvar kan beskrivas med hjälp av en parallellkoppling av delsystem vars 

statiska förstärkningar har olika tecken. För att se hur ett system kan ge upphov till inverssvar 

av den typ som visas i figur 3.5, betrakta tv˚a parallelkopplade system av första ordningen, 

s˚a att 

y(t) = y1(t) + y2(t) 

där y1(t) ges av 

och y2(t) ges av 

y1(t) = b1 

u(t) 

p + a1 

y2(t) = b2 

u(t) 

p + a2 

För att det parallellkopplade systemet skall ha ett inverssvar av den typ som visas i figur 3.5 

bör utsignalen vara positiv för stora t, 

y(t) = y1(t) + y2(t) > 0, d˚a t → ∞ 

medan utsignalen först skall bli negativ, dvs 

 

dy(t) 

 

dt = 

t=0 

dy1(t) 

 

 

 

dt 

t=0 

+ dy2(t) 

dt 

 

 

 

< 0 

t=0 

Det statiska värdet efter en stegformad insignal hos det parallellkopplade systemet ges av 

y(t) = y1(t) + y2(t) → 

b1 

a1 

+ b2 

a2 

medan utsignalens tidsderivata vid t = 0 är 

 

dy(t) 

= (b1 + b2) usteg 

dt 

Detta implicerar olikheterna 

t=0 

a1b2 + a2b1 > 0 

b1 + b2 < 0 

 

usteg, d˚a t → ∞ 

Dessa olikheter kan är ekvivalenta med ett enkelt villkor hos det parallellkopplade systemets 

överföringsoperator. Vi noterar nämligen att det parallellkopplade systemets överföringsoperator 

Gpar(p) = 

b1 

p + a1 

+ b2 

p + a2 

= (b1 + b2)p + a1b2 + a2b1 

(p + a1)(p + a2) 

44 

(3.54)

och de ovan givna olikheterna implicerar d˚a att överföringsoperatorns täljarpolynom 

har ett positivt nollställe, 

(b1 + b2)p + a1b2 + a2b1 

p = − a1b2 + a2b1 

> 0 

b1 + b2 

Detta resultat kan generaliseras, och man kan visa att system med inverssvar generellt har 

en överföringsoperator vars täljarpolynom har minst ett nollställe med en positiv realdel. 

Som ett exempel visar figur 3.5 stegsvaret hos ett system med överföringsoperatorn 

Ginv(p) = 2 (−5) 

+ 

p + 1 p + 5 

Genom att skriva uttrycket i (3.55) p˚a gemensam nämnare f˚as 

Ginv(p) = 

−3p + 5 

p 2 + 6p + 5 

(3.55) 

(3.56) 

Detta är ett system av andra ordningen. Observera att täljarpolynomet B(p) = −3p + 5 hos 

överföringsoperatorn (3.56) har ett positivt reellt nollställe. 

3.3.7 System av högre ordning 

De ovan härledda stegsvaren kan användas för att bestämma stegsvar hos system av högre 

ordning. Det generella fallet kan helt enkelt behandlas genom att överföringsoperatorn (3.12) 

partialbr˚akuppdelas enligt 

G(p) = B(p) 

A(p) = 

r 

Gk(p) (3.57) 

Detta karakteriserar G(p) som en parallellkoppling av r stycken system med överföringsoperatorerna 

Gk(p). Utsignalen hos G kan härvid bestämmas som summan av de enskilda systemens 

utsignaler. Om polynomet A(p) saknar multipla nollställen kan partialbr˚aksuppdelningen 

(3.57) göras s˚a att överföringsoperatorerna Gk(p) är av första eller andra ordningen, 

och deras stegsvar kan s˚aledes beräknas med de formler som givits i detta kapitel. 

3.3.8 Instabila system 

Vi har ovan antagit att de studerade systemen är stabila, utan att kvantitativt ange när ett 

system är stabilt. Ett system är instabilt om det finns variabler som divergerar (dvs vars 

värden växer obegränsat) trots att insignalen är begränsad. För de system som diskuterats 

i detta kapitel innebär detta att stegsvaret divergerar. Ett allmänt villkor för att ett system 

skall vara stabilt kan härledas genom följande observationer: 

45 

k

• För ett system av första ordningen enligt i ekvation (3.24) divergerar stegsvaret (3.27) 

om T < 0, eller ekvivalent om a < 0. Stabiliteten beror s˚aledes av nollstället hos 

överföringsoperatorns nämnare i ekvation (3.26), dvs lösningen till 

p + a = 0 (3.58) 

Systemet (3.24) är allts˚a instabilt om lösningen till (3.58) är positiv. 

• För ett system med tv˚a tidskonstanter T1 och T2 divergerar stegsvaret om T1 < 0 eller 

T2 < 0, jfr ekvation (3.33), (3.34). Detta är ekvivalent med att nämnaren hos systemets 

överföringsoperator i (3.31) har ett positivt nollställe, dvs ekvationen 

har en positiv lösning. 

(T2p + 1)(T1p + 1) = 0 

• För ett underdämpat system som beskrivs av (3.37) divergerar stegsvaret (3.39) om 

ζωn < 0. Detta är ekvivalent att nämnaren hos systemets överföringsoperator (3.38) 

har ett nollställe med positiv realdel, ty ekvationen 

har lösningarna 

p 2 + 2ζωnp + ω 2 n = 0 

 

p1,2 = −ζωn ± (ζωn) 2 − ω2 n 

Dessa resultat kan generaliseras till en det allmänna fallet genom att observera att en 

överföringsoperator av typen (3.12) alltid kan beskrivas som en seriekoppling enligt 

G(p) = B(p) 

A(p) = G1(p) · G2(p) · . . . · GM(p) 

där faktorerna Gi(p) är öveföringsoperatorer av första eller andra ordningen, vars nollställen 

är rötterna till ekvationen 

A(p) = 0 (3.59) 

Systemet är stabilt om och endast om alla delsystem Gi(p) i seriekopplingen är stabila. Fr˚an 

resonemangen ovan följer s˚aledes att ett system med överföringsoperatorn G(p) = B(p)/A(p) 

är instabilt om nämnarpolynomet A(p) har en eller flera nollställen med positiv realdel. 

46

3.4 N˚agot om regulatordesign 

Som vi sett kan ett systems beteende p˚averkas med ˚aterkopplad reglering. En vanlig m˚alsättning 

är att kompensera för störningars inverkan samt att f˚a de reglerade signalerna i 

systemet att följa givna referensvärden. Förutom de redan behandlade problemen belyser 

följande exempel n˚agra ytterligare typiska problem där ˚aterkopplad reglering är viktig. 

Exempel 3.2 Stabilisering av instabila system. 

Betrakta ett instabilt system, t.ex. 

dy(t) 

dt 

+ ay(t) = bu(t) 

där a < 0. Det enda sättet att h˚alla utsignalen y(t) fr˚an ett instabilt system vid en önskad 

niv˚a är med hjälp av ˚aterkopplad reglering. Om systemet ovan regleras med regulatorn 

ges den slutna kretsen av 

u(t) = Kp (r(t) − y(t)) 

dy(t) 

dt + (a + bKp) y(t) = bKpr(t) 

som är stabilt om Kp väljs s˚a att a + bKp > 0. Det finns tekniska system som kan göras 

effektivare om de konstrueras s˚a att de är instabila utan reglering. Flygplan är t.ex. instabila 

(i motsats till luftballonger eller luftskepp) och kräver ˚aterkopplad reglering. 

Exempel 3.3 Modifiering ett systems beteende för enklare manuell styrning. 

Ett system som annars skulle vara sv˚art eller omöjligt att styra manuellt kan genom ˚aterkoppling 

modifieras s˚a att manuell styrning är möjlig. Ett flygplan vars dynamik är instabil 

och för snabb för manuell styrning kan t.ex. först stabiliseras med ˚aterkopplad reglering. 

Den manuella styrningen ger d˚a börvärdet r(t) för regulatorn, medan reglersignalen u(t) till 

systemet bestäms av regulatorn, jfr figur 3.9. 

3.4.1 Begränsningar vid regulatordesign 

Metoder för design av regulatorer behandlas inte i denna kurs, utan här kommer vi bara att 

med ett exempel belysa en typisk problemställning vid regulatordesign. En viktig egenskap hos 

regulatordesign är att den alltid best˚ar av en kompromiss mellan ett antal olika m˚alsättningar. 

Speciellt har man ofta en kompromiss mellan reglerprestanda, s˚asom snabb respons, versus 

stabilitet hos det reglerade systemet. Detta belyses av följande exempel. 

47

Figur 3.12: Temperaturreglering med dödtid. 

Exempel 3.4 Stabilitet vid ˚aterkoppling. 

En vätska som strömmar i en rörledning skall uppvärmas genom tillförsel av ˚anga enligt figur 

3.12. Temperaturen hos den inkommande strömmen är Td(t), och den önskade temperaturen 

y(t) hos den utg˚aende strömmen är r. 

˚Angflödet regleras med hjälp av en reglerventil, vars läge u(t) bestäms av en regulator 

Gc. Det antas att temperaturökningen i vätskan är direkt proportionell mot u(t), 

y − Td = bu(t) 

där b är en konstant. Temperaturen y(t) mäts emellertid vid ett ställe efter ˚angtillförseln dit 

det tar L = 10 sekunder för vätskan att strömma (jfr figur 3.12). Sambandet mellan u(t) och 

y(t) är därför 

y(t) = bu(t − L) + Td(t) (3.60) 

L˚at systemet för enkelhets skull regleras med en P-regulator, s˚a att 

u(t) = Kp (r − y(t)) (3.61) 

Vi kan ocks˚a anta att alla signaler är definierade som avvikelser fr˚an ett fortfarighetstillst˚and, 

s˚a att r = 0. Det reglerade systemet (3.60), (3.61) beskrivs d˚a av 

y(t) + bKpy(t − L) = Td(t) (3.62) 

48

Betrakta sedan vad som händer d˚a den inkommande strömmens temperatur ändras stegformat 

fr˚an 0 till 1 vid tiden t = 0. D˚a gäller 

y(t) = 0, t ≤ L 

y(t) = 1, L < t ≤ 2L 

y(t) = 1 − bKp, 2L < t ≤ 3L 

y(t) = 1 − bKp(1 − bKp), 3L < t ≤ 4L 

. 

y(t) = −bKpy(t − L) + 1 

Den sista ekvationen innebär att om systemet konvergerar, s˚a att y(t) = y(t − L), s˚a gäller 

y(t) → 

1 

1 + bKp 

d˚a t → ∞ 

Regleravvikelsen kunde d˚a i princip göras godtyckligt liten genom att välja en stor regulatorförstärkning 

Kp. Denna analys beaktar emelllertid inte systemets stabilitet. Ur ovan följer 

nämligen ocks˚a 

y(t) = −bKpy(t − L) + 1 

. 

= −bKp (−bKpy(t − 2L) + 1) + 1 = (−bKp) 2 y(t − 2L) − bKp + 1 

= (−bKp) k y(t − kL) + (−bKp) k−1 + · · · 1 

vilket visar, att y(t) → ±∞ om |bKp| > 1. Regulatorförstärkningen Kp kan därför inte väljas 

hur stort som helst eftersom systemet d˚a blir instabilt. 

Exemplet visar att regulatordesign är en kompromiss mellan reglerprestanda (liten statisk 

regleravvikelse) och stabilitet hos den slutna kretsen. Den statiska regleravvikelsen kan givetvis 

elimineras med hjälp av en PI-regulator med integrerande verkan, men även d˚a kommer kravet 

p˚a stabilitet att begränsa den reglerprestanda som kan uppn˚as. 

Det finns systematiska metoder för att konstruera regulatorer som ger det ˚aterkopplade 

systemet önskade egenskaper med beaktande av stabilitetsbegränsningar. Dessa metoder behandlas 

i senare kurser i reglerteknik. 

49

och reglerteknik - Åbo Akademi

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?