och reglerteknik - Åbo Akademi

3.3 Modellering av enkla standardsystem
I detta avsnitt skall vi mera detaljerat studera de enkla standardsystemtyperna som beskrevs
i avsnitt 3.1. Speciellt skall vi visa hur enkla differentialekvationsmodeller ger upphov till
de olika stegsvaren. Vi skall allts˚a bestämma den utsignal y(t) som f˚as, d˚a insignalen är
stegformad, enligt
samt y(t) = 0, t < 0.
u(t) =
3.3.1 Första ordningens system
0 , för t < 0
usteg , för t ≥ 0
Ett stabilt system av första ordningen beskrivs av differentialekvationen
dy(t)
dt
där a > 0. Man brukar ofta skriva systemekvationen i formen
T dy(t)
dt
där T = 1/a och K = b/a. Systemets överföringsoperator är
och det har stegsvaret
(3.23)
+ ay(t) = bu(t) (3.24)
+ y(t) = Ku(t) (3.25)
G(p) = b K
=
p + a T p + 1
ysteg(t) = K(1 − e −t/T )usteg
Jfr figur 2.8. Systemets statiska förstärkning är lika med K, dvs
(3.26)
(3.27)
ysteg(t) → Kusteg, d˚a t → ∞ (3.28)
Parametern T kallas systemets tidskonstant (eng. time constant; fi. aikavakio), och är ett
m˚att p˚a hur snabbt systemet reagerar; ju mindre T (> 0), desto snabbare respons. Speciellt
gäller, att vid tiden t = T har (1 − e −1 ) × 100% = 63.2% av den totala förändringen n˚atts.
Problem 3.4
Verifiera att systemet (3.25) har stegsvaret (3.27).
37