och reglerteknik - Åbo Akademi

• För ett system av första ordningen enligt i ekvation (3.24) divergerar stegsvaret (3.27)
om T < 0, eller ekvivalent om a < 0. Stabiliteten beror s˚aledes av nollstället hos
överföringsoperatorns nämnare i ekvation (3.26), dvs lösningen till
p + a = 0 (3.58)
Systemet (3.24) är allts˚a instabilt om lösningen till (3.58) är positiv.
• För ett system med tv˚a tidskonstanter T1 och T2 divergerar stegsvaret om T1 < 0 eller
T2 < 0, jfr ekvation (3.33), (3.34). Detta är ekvivalent med att nämnaren hos systemets
överföringsoperator i (3.31) har ett positivt nollställe, dvs ekvationen
har en positiv lösning.
(T2p + 1)(T1p + 1) = 0
• För ett underdämpat system som beskrivs av (3.37) divergerar stegsvaret (3.39) om
ζωn < 0. Detta är ekvivalent att nämnaren hos systemets överföringsoperator (3.38)
har ett nollställe med positiv realdel, ty ekvationen
har lösningarna
p 2 + 2ζωnp + ω 2 n = 0
p1,2 = −ζωn ± (ζωn) 2 − ω2 n
Dessa resultat kan generaliseras till en det allmänna fallet genom att observera att en
överföringsoperator av typen (3.12) alltid kan beskrivas som en seriekoppling enligt
G(p) = B(p)
A(p) = G1(p) · G2(p) · . . . · GM(p)
där faktorerna Gi(p) är öveföringsoperatorer av första eller andra ordningen, vars nollställen
är rötterna till ekvationen
A(p) = 0 (3.59)
Systemet är stabilt om och endast om alla delsystem Gi(p) i seriekopplingen är stabila. Fr˚an
resonemangen ovan följer s˚aledes att ett system med överföringsoperatorn G(p) = B(p)/A(p)
är instabilt om nämnarpolynomet A(p) har en eller flera nollställen med positiv realdel.
46