och reglerteknik - Åbo Akademi

• Gravitationskraftens komponent Fg i vägen plan (jfr figur 2.1),
där ϕ(t) är vägens lutning (ϕ = 0 motsvarar plan väg).
Fg(t) = −mg sin(ϕ(t)) (2.3)
• Luftmotst˚and (Fluft). Denna kraft ökar med stigande hastighet och vi kan som en
relativt god approximation anta att den är direkt proportionell mot skillnaden mellan
hastigheten y och vindhastigheten vvind i bilens färdriktning,
där b är en luftmotst˚andskoefficient.
Fluft(t) = −b[y(t) − vvind(t)] (2.4)
• Friktionsmotst˚and fr˚an däck, Ff (t). Vi antar att denna kraft, som är riktad mot bilens
färdrikting och därför negativ, beror endast av vägunderlaget.
Eftersom a = dy/dt ger ekvation (2.1) med F = Fluft + Fd + Fg + Ff ,
eller
m dy(t)
dt = −b[y(t) − vvind(t)] + ku(t) + Fg(t) + Ff (t) (2.5)
m dy(t)
+ by(t) = ku(t) + d(t) (2.6)
dt
där d(t) = bvvind(t) + Fg(t) + Ff (t). I modellen (2.6) anger y den variabel som skall regleras
(hastigheten, som skall h˚allas konstant), u anger den variabel som manipuleras för att p˚averka
systemets beteende (gaspedalens läge), och d(t) anger en yttre störning som p˚averkar den
reglerade variabeln, och som i detta exempel best˚ar av vindens inverkan, gravitationskraften
och friktionsmotst˚andet. Vi skall ˚aterkomma till problemet hur automatisk farth˚allning kan
˚astadkommas, men före det skall vi betrakta ytterligare ett exempel.
Modellen (2.6) känns igen som en differentialekvation, närmare bestämt en linjär differentialekvation
av första ordningen. De system som är aktuella inom reglertekniken beskrivs
vanligen just av differentialekvationer. För att illustrera saken betraktar vi följande exempel.
Exempel 2.2 - Temperaturreglering.
Betrakta ett temperaturregleringsproblem enligt figur 2.2. Temperaturen T i ett rum skall
h˚allas konstant trots variationer i yttertemperaturen Ty. Värmeförlusterna genom väggarna
är direkt proportionella mot temperaturskillnaden T − Ty, dvs effektförlusterna ges av
Effekt ut = k(T − Ty) (2.7)
Temperaturen kan regleras med hjälp av effekten P i ett värmeelement. Vi antar för enkelhets
skull att luftens omblandning är god, s˚a att temperaturen kan anses densamma i hela rummet.
4