och reglerteknik - Åbo Akademi

k
m
u(t)
Figur 3.11: Fjäderupphängd massa med dämpning.
Exempel 3.1 - Fjädringssystem med dämpning.
Figur 3.11 visar en massa m upphängd i en fjäder. Positionsavvikelsen y(t) fr˚an ett jämviktsläge
p˚averkas av kraften u(t). Vid jämviktsläge gäller y(t) = 0 och u(t) = 0. Newtons andra
lag ger
m d2 y(t)
dt 2 = u(t) + Ff (t) + Fd(t)
där Ff (t) är fjäderkraften, som är proportionell mot avvikelsen y(t) och riktad i motsatt
riktning,
Ff (t) = −ky(t)
och Fd(t) är den dämpande kraften i dämparen, som är proporionell mot hastigheten dy(t)/dt
och riktad i motsatt riktning,
Fd(t) = −b dy
dt
Kombination av ekvationerna ger
b
y(t)
m d2y(t) = u(t) − ky(t) − bdy
dt2 dt
eller
d2y(t) b dy k 1
+ + y(t) =
dt2 m dt m m u(t)
Detta är ett system av andra ordningen med överföringsoperatorrepresentationen
y(t) =
1/m
p2 + b k
mp + m
41
u(t)