och reglerteknik - Åbo Akademi

och de ovan givna olikheterna implicerar d˚a att överföringsoperatorns täljarpolynom
har ett positivt nollställe,
(b1 + b2)p + a1b2 + a2b1
p = − a1b2 + a2b1
> 0
b1 + b2
Detta resultat kan generaliseras, och man kan visa att system med inverssvar generellt har
en överföringsoperator vars täljarpolynom har minst ett nollställe med en positiv realdel.
Som ett exempel visar figur 3.5 stegsvaret hos ett system med överföringsoperatorn
Ginv(p) = 2 (−5)
+
p + 1 p + 5
Genom att skriva uttrycket i (3.55) p˚a gemensam nämnare f˚as
Ginv(p) =
−3p + 5
p 2 + 6p + 5
(3.55)
(3.56)
Detta är ett system av andra ordningen. Observera att täljarpolynomet B(p) = −3p + 5 hos
överföringsoperatorn (3.56) har ett positivt reellt nollställe.
3.3.7 System av högre ordning
De ovan härledda stegsvaren kan användas för att bestämma stegsvar hos system av högre
ordning. Det generella fallet kan helt enkelt behandlas genom att överföringsoperatorn (3.12)
partialbr˚akuppdelas enligt
G(p) = B(p)
A(p) =
r
Gk(p) (3.57)
Detta karakteriserar G(p) som en parallellkoppling av r stycken system med överföringsoperatorerna
Gk(p). Utsignalen hos G kan härvid bestämmas som summan av de enskilda systemens
utsignaler. Om polynomet A(p) saknar multipla nollställen kan partialbr˚aksuppdelningen
(3.57) göras s˚a att överföringsoperatorerna Gk(p) är av första eller andra ordningen,
och deras stegsvar kan s˚aledes beräknas med de formler som givits i detta kapitel.
3.3.8 Instabila system
Vi har ovan antagit att de studerade systemen är stabila, utan att kvantitativt ange när ett
system är stabilt. Ett system är instabilt om det finns variabler som divergerar (dvs vars
värden växer obegränsat) trots att insignalen är begränsad. För de system som diskuterats
i detta kapitel innebär detta att stegsvaret divergerar. Ett allmänt villkor för att ett system
skall vara stabilt kan härledas genom följande observationer:
45
k