och reglerteknik - Åbo Akademi

3.3.2 System med tv˚a tidskonstanter
Ett system med tv˚a tidskonstanter best˚ar av tv˚a seriekopplade första ordningens system. L˚at
det första systemet, G1, beskrivas av
dy1(t)
T1
dt + y1(t) = K1u(t) (3.29)
med utsignalen y1(t), som är insignal till det andra systemet, G2, som beskrivs av
dy(t)
T2
dt + y(t) = K2y1(t) (3.30)
Enligt tidigare har vi att det seriekopplade systemet har överföringsoperatorn (jfr (3.15))
G(p) = G2(p)G1(p) =
K
(T2p + 1)(T1p + 1)
(3.31)
där K = K1K2. Detta är ett andra ordningens system.
Stegsvaret hos det seriekopplade systemet G2G1 kan bestämmas genom att observera att
om T1 = T2 kan G(p) skrivas i formen
G(p) = KT1/(T1 − T2)
T1p + 1
+ KT2/(T2 − T1)
T2p + 1
(3.32)
Detta karakteriserar G(p) i form av tv˚a parallellkopplade system av första ordningen. Enligt
(3.14) ges stegsvaret av summan av de enskilda systemens stegsvar i (3.32), vilket enligt (3.27)
är
ysteg(t) =
= K
KT1
T1 − T2
1 − e −t/T1
+ KT2
T2 − T1
1 − T1
e
T1 − T2
−t/T1
T2
− e
T2 − T1
−t/T2
Man kan visa att om T1 = T2 = T ges stegsvaret av
ysteg(t) = K
1 − (1 + t
T )e−t/T
usteg
1 − e −t/T2
usteg
usteg
(3.33)
(3.34)
Figur 3.1 visar stegsvaret för ett system med tv˚a tidskonstanter. Jämfört med ett första
ordningens system har stegsvaret hos ett system med tv˚a tidskonstanter en kontinuerligt
varierande derivata, s˚a att dy(t)/dt = 0 vid t = 0. I analogi med ett första ordningens system
sker förändringen monotont fr˚an begynnelsevärdet till det statiska värdet, och stegsvaret
saknar allts˚a översväng.
P˚a motsvarande sätt kan man bilda system med flera tidskonstanter genom seriekoppling
av flera första ordningens system.
Problem 3.5
Verifiera att systemet (3.31) har stegsvaret (3.34) i fallet T1 = T2 = T .
38