0.0 Topologia Algebraiczna I - pomocnik studenta, Rozdziały 1-7

Zad. 33. Niech Z ⊂ R będzie zbiorem liczb całkowitych. Przestrzeń R/Z (Uwaga: R/Z to liczby
rzeczywiste ze zgniecionym do punktu zbiorem Z, a nie grupa ilorazową!), która jest homeomorficzna
z bukietem przeliczalnej liczby okręgów, nie ma przeliczalnej bazy w punkcie bukietowym.
2.4 Uzwarcenie Aleksandrowa przestrzeni lokalnie zwartej
Definicje p. Uzwarcenie Aleksandrowa. Uzwarcenie Aleksandrowa 1 przestrzeni X oznaczamy X + .
Istnieje kanoniczne włożenie X ⊂ X + .
Zad. 34. Sfera S n jest homeomorficzna z uzwarceniem Aleksandrowa przestrzeni R n .
Zad. 35. Płaszczyzna rzutowa RP (2) jest homeomorficzna z uzwarceniem Aleksandrowa otwartej
wstęgi Moebiusa.
Zad. 36. Dla przestrzeni lokalnie zwartych X, Y istnieje naturalny homeomorfizm (X × Y ) +
X + ∧ Y + bedący identycznością na X × Y. Wynika stąd, że S n ∧ S m S n+m .
2.5 Przestrzenie zwarcie generowane
Niech dana będzie przestrzeń topologiczna (X, T ) i rozważmy rodzinę jej podzbiorów zwartych
{K}. Zapomniawszy o wyjściowej topologii w X, a pamiętając o topologii w podzbiorach zwartych
można wprowadzić w zbiorze X nową topologię przez rodzinę włożeń zbiorów zwartych: {K ⊂
X | K − zwarty}. Otrzymana przestrzeń topologiczna oznaczamy (kX, kT ), lub w skrócie kX.
Identyczność id : kX → X jest oczywiście przekształceniem ciągłym; jeśli jest homeomorfizmem,
to X nazywamy przestrzenią zwarcie generowaną lub krótko k-przestrzenią.
Zad. 37. Przestrzeń lokalnie zwarta jest k-przestrzenią.
Zad. 38. Przestrzeń metryczna jest k-przestrzenią.
Zad. 39. Przestrzeń Hausdorffa jest zwarcie generowana wtedy i tylko wtedy gdy jest przestrzenią
ilorazową przestzeni lokalnie zwartej, w szczególności przestrzeń ilorazowa k-przestrzeni jeśli jest
Hausdorffa jest k-przestrzenią.
Uwaga. Zainteresowanym polecam notatki: Neil Strickland The category of CGWH spaces, w których
rozpatrywane są compactly generated weakly Hausdorff spaces, co pozwala uwolnić się od
zakładania własności Hausdorffa i nadać wielu twierdzeniom dot. k-przestrzeni bardziej elegancką
formę (w szczególności dot. przestrzni odwzorowań - p.niżej).
2.6 Topologia zwarto-otwarta w przestrzeni odwzorowan ciągłych
Definicja 2.6. Dla przestrzeni topologicznych X, Y przez Map (X, Y ) oznaczamy zbiór przekształceń
ciągłych X → Y wyposażony w topologię zwarto-otwartą tzn. generowaną przez zbiory
postaci {(A, W ) | A ⊂ Xzwarty, W ⊂ Y otwarty}, gdzie (A, W ) := {f ∈ Map (X, Y ) |f(A) ⊂ W }.
Zad. 40. a) Niech B = {Wα} będzie podbazą przestrzeni Y (w szczególności bazą lub nawet
całą topologią!). Wtedy rodzina {(A, W ) | A ⊂ X zwarty, W ∈ B} jest podbazą topologii zwartootwartej
na Map (X, Y ).
b) Niech F = {Cα} będzie rodziną zwartych zbiorów w X z następującą własnością: dla każdego
zwartego A i otwartego U ⊃ A istnieje skończenie wiele Ci ∈ F spełniających A ⊂ n 1 Ci ⊂ U.
1 Paweł S. Aleksandrow (1896 – 1982)
10