0.0 Topologia Algebraiczna I - pomocnik studenta, Rozdziały 1-7

• −−−−→ •
⏐
•
•
⏐
• −−−−→ •
Niech F : I → C będzie diagramem, zaś W ∈ ob C. Powiemy, że rodzina morfizmów {fj : W → F (j)}j∈I
jest zgodna jeżeli dla każdego αij : i → j morfizmu w I, F (αij) ◦ fi = fj.
Definicja 1.9. Granicą (lub granicą odwrotną) diagramu F : I → C nazywamy obiekt L w C
(oznaczamy go limIF ) wraz ze zgodną rodziną morfizmów pj : L → F (j), który posiada następującą
własność uniwersalności: dla każdego obiektu W i zgodnej rodziny {fj : W → F (j)}j∈J
istnieje dokładnie jeden morfizm g : W → L, dla którego pj ◦ g = fj dla każdego j ∈ ob I.
Jeżeli odwrócimy strzałki dostaniemy dualne pojęcie granicy prostej (zwanej też kogranicą) diagramu.
Definicja 1.10. Kogranicą (lub granicą prostą) diagramu F : I → C nazywamy obiekt C ∈ C
(oznaczamy go colim IF ) wraz ze zgodną rodziną morfizmów sj : F (j) → L, który posiada
następującą własność uniwersalności: dla każdego obiektu W i zgodnej rodziny {fj : F (j) →
W }j∈J istnieje dokładnie jeden morfizm g : C → W , dla którego g ◦ sj = fj dla każdego j ∈ ob I.
Zad. 12. Granica (odp. kogranica) diagramu modelowanego na kategotii dyskretnej (tzn. w
której istnieją tylko morfizmy identycznościowe) jest izomorficzna z produktem (odp. korpduktem)
rodziny obiektów.
Zad. 13. Granica i kogranica diagramu, o ile istnieje, to tylko jedna z dokładnościa do izomorfizmu.
Zad. 14. Jeśli kategoria I ma obiekt początkowy i0 ∈ ob I (odpowiednio końcowy i∞ ∈ ob I, to
dla dowolnego diagramu F : I → C mamy limI F = F (i0) (odpowiednio colim I F = F (i∞)).
Zad. 15. Niech F : I → C będzie dowolnym diagramem. Udowodnij, że obiekt C ∈ ob C jest
granicą odwrotną diagramu F wtedy i tylko wtedy, gdy reprezentuje funktor GF : C → Set dany
wzorem GF (X) = colim C MorC(X, F (−)) (colim w kategorii S).
Definicja 1.11. Granicę diagramu w C modelowanego na kategorii
•
⏐
• −−−−→ •
nazywa się produktem włóknistym (inaczej pull-back), zaś kogranice diagramu modelowanego na
kategorii
• −−−−→ •
⏐
•
nazywa się koproduktem kowłóknistym (inaczej push-out).
Produkt włóknisty, o ile istnieje, to jest wyznaczony jednoznacznie z dokładnościa do izomorfizmu.
Oznaczamy go symbolem X ×T Y a koprodukt kowłóknisty odpowiednio X ⊔S Y .
4