0.0 Topologia Algebraiczna I - pomocnik studenta, Rozdziały 1-7

Obrazem Map ∗(S q−1 , F (↩→)) w Map ∗(S q−1 × I/1 × I jest podzbiór
{f : (S q−1 × I → X | f(1 × I) = a0, f(S q−1 × 1) = a0, f(S q−1 × 0) ⊂ A}
Map ∗(α : S q−1 × I/S q−1 × 0 → X | f(1, t) = a0, f(S q−1 × 0) ⊂ A)
Map ∗(α : D q → X | f(1, t) = a0, f(S q−1 ) ⊂ A)
Po przejściu do klas homotopii, pamiętając, że włożenie odcinka I ⊂ D q S q−1 × I/S q−1 × 0
jest korozwłóknieniem, otrzymujemy bijekcję:
πq(X, A, a0) [(S q−1 , 1), (F (↩→), (a0, ωa0))] [(D q , S q−1 , 1), (X, A, a0)].
Wniosek 6.4. πq(X, a0, a0) πq(X, a0)
Zad. 101. Opisać strukturę grupową w terminach odwzorowań (D q , S q−1 , 1) → (X, A, a0), tak
żeby bijekcja w Stwierdzeniu 6.6 była izomorfizmem grup.
Zad. 102. Element [α : (D q , S q−1 , 1) → (X, A, a0)] ∈ πq(X, A, a0) jest trywialny wtedy i tyl-
ko wtedy gdy istnieje homotopia H : (D q , S q−1 ) × I → (X, A) taka, że H(p, 0) = α(p) oraz
∀p∈Dq H(p, 1) ∈ A.
Zad. 103. Opisać strukturę grupową w zbiorze klas homotopii przekształceń [(I q , ∂I q , ∂1I q ), (X, A, a0)]
gdzie I q jest kostka q-wymiarową a ∂1I q := ∂I q \ Int(I q−1 ) × {1} [RYSUNEK] tak, aby zachodził
izomorfizm grup
πq(X, A, a0) [(I q , ∂I q , ∂1I q ), (X, A, a0)].
Relatywne grupy homotopii są funktorem zdefiniowanym na kategorii punktowanych par
przestrzeni topologicznych. Projekcja na przestrzeń ilorazową X → X/A zadaje naturalną transformację
funktorów πq(X, A, a0) → πq(X/A, [a0]), która jednak na ogół nie jest izomorfizmem
(nawet dla par Borsuka!).
Podobnie jak w przypadku absolutnym, omówimy zależność relatywnych grup homotopii
πq(X, A, a) od wyboru punktu wyróżnionego a ∈ A. Dla dowolnej drogi ω : I]toA można zdefinować
homomorfizm h [ω] : πq(X, A, a0) → πq(X, A, a1) następującym wzorem, w którym punkty
dysku D q sa parametryzowane punktem sfery S q−1 oraz odległością od środka, czyli odcinkiem I
[RYSUNEK]:
hω[α](p, t) :=
α(p, 2t) gdy 0 t 1
2
ω(2t − 1) gdy 1
2
t 1
Stwierdzenie 6.7. Przyporządkowanie Π(A) ∋ a πq(X, A, a) ∈ S∗ wyznacza funktor kontrawariantny
z grupoidu podstawowego podprzestrzeni A do kategorii grup.
Z ostatniego stwierdzenia wynika natychmiast, że homomorfizmy h [ω] : πq(X, A, a0) →
πq(X, A, a1) są izomorfizmami oraz grupa π1(A, a0) działa na grupach πq(X, A, a0).
38
.