0.0 Topologia Algebraiczna I - pomocnik studenta, Rozdziały 1-7
0.0 Topologia Algebraiczna I - pomocnik studenta, Rozdziały 1-7
0.0 Topologia Algebraiczna I - pomocnik studenta, Rozdziały 1-7
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
Wniosek 6.5. Punktowany, spójny CW-kompleks X jest homotopijnie równoważny z punktowanym<br />
CW-kompleksem Y takim, że Y (0) = y0 oraz wszystkie odwzorowania doklejające komórki są<br />
punktowane, czyli χ : <br />
j∈Jn+1 (Sn , 1) → (Y (n) , y0).<br />
Powyższy wniosek ma ważne uogólnienie:<br />
Stwierdzenie 6.9. Punktowany, k-spójny CW-kompleks X jest homotopijnie równoważny z<br />
punktowanym CW-kompleksem Y takim, że Y (k) = {y0} oraz wszystkie odwzorowania doklejające<br />
komórki są punktowane, czyli χ : <br />
j∈Jn+1 (Sn , 1) → (Y (n) , y0).<br />
Dowód. Postepujemy indukcyjnie. Dla n = 0 twierdzenie zostało udowodnione. Załóżmy, że dla<br />
q < n zbudowaliśmy równoważność homotopijną X ∼ Yq gdzie Y (q)<br />
q = {y0}. Skonstruujemy<br />
kompleks Yq+1 oraz homotopijną równoważność Yq → Yq+1. Zauważmy, że szkielet Y q+1<br />
q jest<br />
homeomorficzny z bukietem sfer <br />
j Sq+1 , przy czym włożenie <br />
j Sq+1 ↩→ X jest ściągalne, a<br />
więc rozszerza się do przekształcenia f : <br />
j Dq+2 → X. Na mocy twierdzenia o aproksymacji<br />
komórkowej 9.9 możemy założyć, że <br />
j Sq+1 ↩→ X (q+1) . Dokleimy dyski <br />
j Dq+3 do X przy<br />
pomocy odwzorowania f określonego na dolnych pólsferach S q+2<br />
− ograniczających poszczególne<br />
Dq+3 . Otrzymana w ten sposób przestrzeń Y ′<br />
q+1 jest CW-kompleksem: dodajemy komórki w<br />
wymiarach q + 2 i q + 3. Zauważmy, że Y ′ <br />
q j Sq+1 + ⊂ Y ′ <br />
q+1 oraz j Sq+1 + jest podkompleksem<br />
ściągalnym [RYSUNEK]. Definiujemy Yq+1 := Y ′ <br />
q+1 / j Sq+1 + . Szukana homotopija równoważność<br />
jest dana jako złożenie Yq ↩→ Y ′<br />
q+1 → Yq+1. Zadbanie o punktowane odwzorowania doklejające<br />
pozostawiamy Czytelnikowi.<br />
Na zakończenie wspomnimy o nietrudnym, ale pożytecznym pojęciu relatywnego CW-kompleksu.<br />
Definicja 6.7. Relatywny CW-kompleks to para (X, A) gdzie A ⊂ X jest domkniętą podprzestrzenią<br />
oraz wyróżniony wstępujący ciąg podprzestrzeni domknietych: (X, A) (0) ⊂ (X, A) (1) ⊂<br />
... ⊂ (X, A) (n) ⊂ · · · ⊂ X taki, że X = (X, A) (n) i topologia w X jest słaba ze względu na podprzestrzenie<br />
(X, A) (n) . Podprzestrzenie (X, A) (n) , zwane szkieletami powstają przez doklejanie do<br />
poprzedniej dysków n-wymiarowych wzdłuż brzegu (sfery). W szczególności (X, A) (0) = A V,<br />
gdzie V jest przestrzenią dyskretną (wierzchołki CW-kompleksu (X, A)).<br />
Uwaga 6. Jeśli A ⊂ X jest podkompleksem CW-kompleksu X, to para (X, A) jest relatywnym<br />
CW-kompleksem, dla której (X, A) (n) = X (n) ∪ A.<br />
6.5 Twierdzenie J.H.C. Whiteheada<br />
Twierdzenie 6.8. Niech n będzie liczbą naturalną. Jeśli transformacja naturalna funktorów półdokładnych<br />
Φ: F → G jest taka, że Φ(S k ) jest bijekcją dla 0 < k < n oraz surjekcją dla k = n,<br />
to Φ(X) jest bijekcją dla każdego spójnego CW -kompleksu wymiaru < n oraz surjekcją jeśli<br />
dim X = n.<br />
Dowód twierdzenia poprzedzimy lematem odgrywającym kluczową rolę w wielu dowodach w<br />
topologii algebraicznej.<br />
Lemat 6.1 (Lemat o 5 Odwzorowaniach). Niech będzie dany przemienny diagram zbiorów punktowanych<br />
i punktowanych przekształceń, w którym wiersze są dokładne:<br />
G5<br />
γ5<br />
<br />
G ′ 5<br />
α5 <br />
α ′ 5 <br />
G4<br />
γ4<br />
<br />
G ′<br />
4<br />
α4 <br />
α ′ 4 <br />
S3<br />
γ3<br />
<br />
S ′<br />
3<br />
40<br />
α3 <br />
α ′ 3 <br />
S2<br />
γ2<br />
<br />
S ′<br />
2<br />
α2 <br />
α ′ 2 <br />
S1<br />
γ1<br />
<br />
S ′<br />
1