0.0 Topologia Algebraiczna I - pomocnik studenta, Rozdziały 1-7

More documents

Recommendations

Info

Rozważmy ciąg C(f) δ −→ ΣA Σf −→ ΣB i zauważmy, że istnieje homeomorfizm stożka ΣA ↩→ C(δ) z walcem ΣA ↩→ Z(Σf). Poniższe rysunki 8 pokazują stożek C(C(f)), który doklejamy przy pomocy δ do ΣA: (Uwaga: na rysunku powinno być X = A, Y = B) oraz efekt tego przyklejenia, czyli przestrzeń homeomorficzną z walcem Z(Σf). Składając włożenie ΣA ↩→ Z(Σf) z retrakcją deformacyjną Z(Σf) r −→ ΣB otrzymujemy przemienny diagram, w którym pionowe strzałki są homotopijnymi równoważnościami: A f B i C(f) id C(f) δ δ ΣA id ΣA i Σf C(δ) Z(Σf) r ΣB Podobnie dowodzimy włoknistość lewego ciągu Puppe. Pierwsze dwa przekształcenia są z definicji ciagiem włóknistym. Pozostaje sprawdzić, że ciagi ΩB ∂ −→ F (f) p −→ A oraz ΩA Ωf −→ ΩB ∂ −→ F (f) są włókniste. Rzutowanie F (f) p −→ A jest rozwłóknieniem, a jego włóknem jest 8 rys. Paweł Ciosmak p −1 (a0) = {(a0, ω) | ω(1) = b0, ω(0) = f(a0) = b0} = ΩB. 28
Odwzorowanie ΩB ∂ −→ F (f) jest włożeniem ∂(ω) := (a0, ω). Dualnie do poprzedniego przypadku istnieje przemienny diagram: F (∂) = PΩf ΩA Ωf ΩB ∂ id ΩB ∂ F (f) id F (f) w którym pionowe strzałki są homotopijnymi równoważnościami. Utożsamienie F (∂) = PΩf otrzymujemy wypisując definicje obu przestrzeni: F∂ := {(γ, Γ) | γ ∈ ΩB , Γ(t) = (˜γ(t), γt), f ˜γ(t) = γt(0), (˜γ(0), γ0) = (a0, b0), (˜γ(1), γ1) = (a0, γ)} γt. PΩf := {(˜γ, Λ) | ˜γ ∈ ΩA, Λ(t) = γt, γt(0) = γt(1) = b0, f ˜γ = γ0}. Parze (γ, Γ) ∈ F∂ w której γ ∈ ΩB , Γ(t) = (˜γ(t), γt)przypisujemy parę (˜γ, Λ) gdzie Λ(t) := 5.2 Homotopijne koekwalizatory i ekwalizatory Definicja 5.5. Homotopijny koekwalizator dwóch punktowanych przekształceń f, g : A → B : B ī −→ T (f, g) definiujemy jako push-out w kategorii T∗: A ∨ A f∨g A ∧ I i + B ī T (f, g) Uwaga. Stożek zredukowany (homotopijne kowłókno) punktowanego przekształcenia f : A → B jest homeomorficzny z homotopijnym koekwalizatorem f i przekształcenia stałego w b0. Zad. 82. Włożenie ī: B → T (f, g) ma następujące własności: • ī ◦ f ∼ ī ◦ g, • dla dowolnego h: B → Z spełniającego h◦f ∼ h◦g istnieje (niekoniecznie dokładnie jedno) rozszerzenie ¯ h: T (f, g) → Z takie, że ¯ h ◦ ī = h. • Dla dowolnej przestrzeni Z poniższy ciąg jest dokładny: [T (f, g)), Z]∗ ī ∗ [B, Z]∗ f ∗ [A, Z]∗. g∗ Definicja 5.6. Homotopijny ekwalizator dwóch punktowanych przekształceń f, g : A → B : p : F (f, g) → A definiujemy jako pull-back w kategorii T∗: F (f, g) p A f×g 29 P (B) (p0,p1) B × B
Page 1 and 2: Topologia Algebraiczna I Pomocnik s
Page 3 and 4: 1.3 Funktory sprzężone Definicja
Page 5 and 6: Zad. 16. Sprawdź, że powyższa de
Page 7 and 8: Zad. 22. Załóżmy, że na obiekta
Page 9 and 10: Zad. 29. Rozpatrzmy ciągłą surje
Page 11 and 12: Wtedy rodzina {(C, W ) | C ∈ F, W
Page 13 and 14: 3.2 Retrakcje Pojęcie retrakcji mo
Page 15 and 16: 3. Dla diagramu P (E) ¯p P (B) p0
Page 17 and 18: Dualność między korozwłóknieni
Page 19 and 20: 3.5 Korozwłóknienia, rozwłóknie
Page 21 and 22: Dowód. (Twierdzenia). Dzięki popr
Page 23 and 24: Twierdzenie 3.19. Niech E p −→
Page 25 and 26: Zad. 71. Jeśli X = A ∪ B gdzie A
Page 27: gdzie P (B, b0) := {ω ∈ P (B) |
Page 31 and 32: • (Add) Dla dowolnej rodziny prze
Page 33 and 34: Wniosek 5.1. Dla funktora półdok
Page 35 and 36: 6 Grupy homotopii, homotopijne rów
Page 37 and 38: 3. α ∼ cx0; 4. α rozszerza się
Page 39 and 40: 6.4 CW -kompleksy Definicja 6.3. Pr
Page 41 and 42: oraz 1. Dla i = 4, 5, Gi, G ′ i s
Page 43 and 44: Twierdzenie 6.10. Załóżmy, że F
Page 45 and 46: 7.2 Lemat o pięciu homomorfizmach
Page 47 and 48: 8.2 Grupy homotopii sfer, przestrze
Page 49 and 50: Przykład 7. Przykłady poznanych p
Page 51 and 52: 9.3 Klasyfikacja homotopijna odwzor
Page 53 and 54: Zauważmy, że diagram: Sn b1
Page 55 and 56: 9.5 Efekt doklejenia komórki na gr

0.0 Topologia Algebraiczna I - pomocnik studenta, Rozdziały 1-7

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?