0.0 Topologia Algebraiczna I - pomocnik studenta, Rozdziały 1-7

topologię w której wszystkie odwzorowania fi : X → Yi są ciągłe. Łatwo zauważyć, że bazą
tej topologii są zbiory postaci {f −1
i1 (Ui1) ∩ ... ∩ f −1
(Uik )} gdzie Uik ∈ Tik , k ∈ N. Następujące
ik
twierdzenie charakteryzuje topologię TF.
Stwierdzenie 2.1. Niech Z będzie przestrzenią topologiczną. Odwzorowanie g : Z → X jest
ciągłe wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego i ∈ I złożenie Z g −→ X fi
−→ Yi jest ciągłe.
Przykład. Jeśli A ⊂ X jest podzbiorem przestrzeni topologicznej, to topologia podprzestrzeni w
A jest zadana przez odwzorowanie zanurzenia i : A ⊂ X.
Przykład. Jeżeli {Xi}i∈I jest rodziną przestrzeni topologicznych, to topologia w produkcie
i∈I Xi
jest zadana przez rodzinę rzutowań {pi :
i∈I Xi → Xi}i∈I.
Podobnie możemy zdefiniować topologię w zbiorze Y jeśli zadana jest rodzina odwzorowań
F := {fj : Xj → Y }j∈J z przestrzeni topologicznych (Xj, Tj) do Y . Topologię TF definiujemy jako
największą topologię w Y taką, że wszystkie odwzorowania fj : Xj → Y są ciągłe. Łatwo widzieć,
że TF = {U ⊆ Y : ∀j∈Jf −1
j (U) ∈ Tj}. Podobnie jak powyżej, topologia ta jest scharakteryzowana
przez następującą własność.
Stwierdzenie 2.2. Niech Z będzie przestrzenią topologiczną. Odwzorowanie
g : Y → Z jest ciągłe wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego j ∈ J złożenie Xj
ij
−→ Y g −→ Z
jest ciągłe.
Definicja 2.2. Niech {X}j∈J będzie rodziną przestrzeni topologicznych. Zdefiniujmy zbiór X =
j∈J Xj :=
j∈J Xj × {j} Dla dowolnego j ∈ J mamy zanurzenie ij : Xj ⊂ X. Zbiór X z topologią
zadaną przez rodzinę odwzorowań {ij}j∈J nazywamy sumą rozłączną (lub koproduktem)
przestrzeni topologicznych {Xj}.
Zauważmy, że jeśli ∀j∈J Xj = X to
j∈I Xj = X ×J gdzie w zbiorze wskaźników J rozpatrujemy
topologię dyskretną.
2.3 Topologia ilorazowa
Bardzo ważnym szczególnym przypadkiem rozważanej wyżej konstrukcji jest wprowadzanie topologii
w zbiorze klas abstrakcji relacji równoważności. Zauważmy,że jest to konstrukcja w pewnym
sensie dwoista do definicji podprzestrzeni.
Definicja 2.3. Niech (X, T ) będzie przestrzenią topologiczną, R relacją równoważności w zbiorze
X, a q : X → X/R przekształceniem przypisującym punktowi jego klasę abstrakcji. W zbiorze
X/R definiujemy topologię wprowadzoną przez przekształcenie q, którą nazywamy topologią ilorazową,
a przestrzeń X/R przestrzenią ilorazową.
T /R := {U ⊂ X/R : q −1 (U) ∈ T }.
Definicja 2.4. Przekształcenie ciągłe q : X → Y będące surjekcją nazywamy ilorazowym, jeżeli
dla dowolnego przekształcenia f : Y → Z z ciągłości złożenia f ◦ q :→ Z wynika ciągłość
przekształcenia f.
Zad. 28. Jeśli surjekcja f : X → Y jest przekształceniem otwartym lub domkniętym, to jest
przekształceniem ilorazowym. Uwaga. Nie każde przekształcenie ilorazowe musi być otwarte lub
domknięte.
8