0.0 Topologia Algebraiczna I - pomocnik studenta, Rozdziały 1-7

Poznane w poprzednich rozdziałach konstrukcje walca, stożka, zawieszenia itp. mają swoje
odpowiedniki w kategorii punktowanej, okreslane przymiotnikiem ”zredukowane”. Walec zredukowany
o podstawie X to X ∧ I + , stożek zredukowany to X ∧ I / X × 1 zawieszenie zredukowane
S 1 ∧ X. Według tej samej zasady definiujemy stożek odwzorowania punktowanego. Zauważmy, ze
jeśli przestrzeń jest dobrze punktowana to projekcja z konstrukcji niezredukowanej na zredukowaną
jest homotopijną równoważnością, bo polega na ściąganiu do punktu podzbioru ściągalnego
(jednej tworzącej).
W przypadku kowalca, kostożka itp. przejście do kategorii punktowanej polega jedynie na
wyróżnieniu punktu bazowego.
Zad. 79. Podać odpowiednia definicje i pokazać, że jeśli zakładamy, że przestrzenie są dobrze
punktowane, to każde (ko-)rozwłóknienie ”zwykłe” jest także po wyróżnieniu punktu, (ko-
)rozwłóknieniem punktowanym.
5.1 Ciągi kowłókniste i włókniste
Przypomnimy, w kontekście punktowanym, definicje homotopijnego kowłókna i homotopijnego
włókna znane z Rozdziału 3.3.
Definicja 5.2. Dla przekształcenia przestrzeni punktowanych f : A → B definujemy stożek punktowany
przekształcenia (homotopijne kowłókno) jako push-out w kategorii przestrzeni punktowanych:
A
i
C(A)
f
B
i
C(f)
gdzie i : A ↩→ C(A) jest włożeniem na podstawę zredukowanego stożka. Równoważnie, stożek
możemy zdefiniować jako przestrzeń ilorazową zredukowanego walca odwzorowania:
C(f) := Zf /A × {1}.
Ciąg przekształceń przestrzeni punktowanych X → Y → Z nazywamy homotopijnie kowłókni-
stym jeśli jest homotopijnie równoważny z ciągiem A f −→ B i −→ C(f) tzn. istnieje homotopijnie
przemienny diagram w T∗h:
A f
X
B
Y
i
C(f)
w którym pionowe przekształcenia są punktowanymi homotopijnymi równoważnościami.
Definicja 5.3. Ko-stożek punktowany przekształcenia (homotopijne włókno) F (f) definiujemy
jako pull-back:
F (f)
p
Z
A
f
P (B, b0) p1
B
26
(1)