0.0 Topologia Algebraiczna I - pomocnik studenta, Rozdziały 1-7

Zad. 83. Projekcja p : F (f, g) → A ma następujące własności:
• f ◦ p ∼ g ◦ p,
• dla dowolnego h: Z → A spełniającego f ◦h ∼ g ◦h istnieje (niekoniecznie dokładnie jedno)
podniesienie ˜ h: Z → F (f, g).
• Dla dowolnej przestrzeni Z poniższy ciąg jest dokładny:
p#
[Z, F (f, g)]∗
[Z,
A]∗
f#
g#
[Z,
B]∗
Przykład. Dla id : A → A mamy homeomorfizm T (id, id) A × S 1 /a0 × S 1 , stąd dla dowolnego
f, T (f, f) nazywane bywa torusem przekształcenia f.
Zad. 84. Skonstruować naturalne odwzorowanie T (f, g) → Coeq(f, g) gdzie Coeq oznacza ko-
ekwalizator w kategorii przestrzeni punktowanych (czyli kogranicę diagramu A f
g
B ) oraz
Eq (f, g) → F (f, q), gdzie Eq oznacza ekwalizator w kategorii punktowanych przestrzeni topolo-
gicznych (czyli granicę diagramu A f
g
B ).
Zad. 85. Homotopijnym pushout’em dwóch odwzorowań fi : A → Xi dla i = 1, 2 nazwamy
homotopijny koekwalizator przekształceń fi : A → X1 ∨ X2. Mamy następujący homotopijnie
przemienny diagram:
A
f2
X2
f1
X1
¯f2
¯f1
T (f1, f2)
z następującą słabą wlasnością uniwersalną: Dla każdej pary punktowanych przekształceń gi :
Xi → Z takich, że g1 ◦ f1 ∼ g2 ◦ f2 istnieje przeksztalcenie g : T (f, g) → Z takie, że g ◦ ¯ fi ∼ fi.
Jeśli jedno z przekształceń fi jest korozwłóknieniem, to rzutowanie z homotopijnego pushoutu na
zwykły pushout (p. zad. 84) przekształceń jest homotopijną równoważnością.
Zad. 86. Zdefiniować homotopijny pull-back i udowodnić analogiczne własności jak w zad. 85.
5.3 Funktory półdokładne
Definicja 5.7. Funktor kontrawariantny F : T∗h → S∗, określony na kategorii homotopii przestrzeni
z wyróżnionym punktem o wartościach w kategorii zbiorów z wyróżnionym punktem,
nazywa się półdokładny jeśli
• (MV) Dla dowolnych dwóch przekształceń f, g : X → Y funktor F przeprowadza ciąg
X Y
i
−→ T (f, g) na ciąg dokładny
F (T (f, g)) → F (Y )
F
(X)
tzn. taki, że jeśli F (f)(y) = F (g)(y) to istnieje element t ∈ F (T (f, g)) taki, że F (j)(t) = y.
30