0.0 Topologia Algebraiczna I - pomocnik studenta, Rozdziały 1-7

Dowód. [1. ⇒ 3.] Ponieważ A ⊂ X jest korozwłóknieniem, istnieje retrakcja r : X × I → X ×
{0} ∪ A × I, która posłuży nam do konstrukcji D i ϕ. Niech π1 : X × I → X oraz π2 : X × I → I
będą projekcjami i zdefiniujmy ϕ : X → I wzorem ϕ(x) := sup{t − π2r(x, t) | t ∈ I} [sprawdzić
ciągłość] oraz D : X × I → X wzorem D(x, t) = π1r(x, t). Mamy ϕ −1 (0) = A bowiem ϕ(x) = 0
oznacza, że r(x, t) ∈ A × I dla t > 0 a stąd także r(x, 0) ∈ A × I gdyż A × I ⊂ X × I jest
podzbiorem domkniętym.
[3. ⇒ 1.] Przy pomocy D i ϕ definiujemy retrakcję r : X×I → X×{0}∪A×I: r(x, t) = (D(x, t), 0)
dla t ϕ(x) oraz r(x, t) = (D(x, t), t − ϕ(x)) dla t ϕ(x).
[1. ⇔ 2.] Niech r : X × I → X × {0} ∪ A × I, r(x, t) = (r1(x, t), r2(x, t)) będzie retrakcją.
Zdefiniujmy G : X × I × I → X × I wzorem:
G((x, t), s) = (r1(x, (1 − s)t), (1 − s)r2(x, t) + ts).
Łatwo widać, że G jest homotopią pomiędzy id a retrakcją r i ponadto dla x ∈ A i dowolnego
s ∈ I, G((x, t), s) = (x, (1 − s)t + ts) = (x, t).
Uwaga 1. Zauważmy, że jesli X jest przestrzenią metryzowalną, to mając deformację D funkcje
ϕ mozna zawsze skonstruuować. Daje to bardzo intuicyjny warunek na to, by włożenie A ⊂ X
było korozwłoknieniem: wystarczy, żeby istniało otoczenie U ⊃ A deformujące się w X do A.
Można stąd łatwo wydedukować, że włożenia podrozmaitości domkniętej w rozmiatość gładką
lub podwielościanu w wielościan są korozwłóknieniami.
Wniosek 1. Dowolne acykliczne korozwłóknienie j : A → X jest retraktem walca i0 : X ⊂ X × I.
Dowolne acykliczne rozwłóknienie p : E → B jest retraktem kowalca p0 : P (E) → E.
Dowód. Skonstruujemy diagram:
j
A
X
j
¯j
X
i1
X × I
r
A
j
H
X
w którym złożenia górnych i dolnych strzałek są identycznościami. Niech D : X × I → X będzie
deformacją rel (A) a ϕ : X → I funkcją taką, że ϕ −1 (0) = A. Definiujemy ī(x) := (x, ϕ(x)) oraz
homotopię: H(x, t) := D(x, 1 − min (t/ϕ(x), 1)). Homotopia H jest ciągła (sprawdzić!) oraz
H ◦ ¯j(x) = D(x, 1 − min (ϕ(x)/ϕ(x), 1)) = D(x, 0) = x.
Łatwo sprawdzić, że powyższy diagram jest przemienny, stąd j : A → X jest retrakcją walca
i0 : X → X × I.
Zad. 56. Jeżeli A ⊂ X i B ⊂ Y są parami Borsuka, to włożenia A × B ⊂ X × B ∪ A × Y oraz
X × B ∪ A × Y ⊂ X × Y są parami Borsuka.
Zad. 57. Jeśli p: E → B jest przekształceniem takim, że dla pewnego numerowalnego pokrycia
otwartego {Ui}i∈I obcięcia p: p −1 (Ui) → Ui są rozwłóknieniami, to p jest rozwłóknieniem. W
szczególności jeśli p: E → B jest przekształceniem lokalnie trywialnym, a B jest parazwarta (np.
metryzowalna), to p jest rozwłóknieniem. 6
6 p. Albrecht Dold ”Partitions of Unity in the Theory of Fibrations” Annals of Mathematics, Vol. 78, No. 2 (1963),
pp. 223-255 lub Neil Strickland Local fibrations, [Spanier] Tw. 2.7.12., [May] rozdz.7.4
18