0.0 Topologia Algebraiczna I - pomocnik studenta, Rozdziały 1-7

Dla ustalonego obiektu A możemy rozważać pełną podkategorię CA kategorii morfizmów, której
obiektami są morfizmy o wartościach w A, a morfizmami diagramy w których dolna strzałka jest
identycznością. Morfizmy możemy więć utożsamic z trójkątami przemiennymi
f
X
Y
g
h
A
Dualnie rozważa się kategorię morfizmów wychodzących z A, oznaczaną C A , której obiektami są
morfizmy A f −→ X a morfizmami są także diagramy przemienne:
A
i
j
X
Y
f
Kategorię CA nazywa się kategoria obiektów nad A, a kategorię C A nazywa się kategorią obiektów
pod A.
Zad. 20. Produkt włóknisty morfizmów X f −→ T oraz Y g −→ T w kategorii C jest izomorficzny
z ich produktem w kategorii CT . Odpowiednio koprodukt kowłóknisty morfizmów S f −→ X oraz
S f −→ Y w kategorii C jest izomorficzny z ich koproduktem w kategorii CS
Zad. 21. Zbadać istnienie produktów włóknistych i koproduktów kowłóknistych w znanych kategoriach.
Jeśli kategoria C jest kategorią pewnych przestrzeni topologicznych, to w kategoriach CA i C A
możemy w oczywsty sposób zdefiniować homotopię przekształceń. Morfizmy i homotopie w CA
nazywamy przekształceniami (homotopiami) rel (A), natomiast morfizmy i homotopie w C A nazywamy
przekształceniami (homotopiami) nad A lub włóknistymi.
1.6 Struktury algebraiczne w kategoriach
Pokażemy, że o strukturach algebraicznych takich jak monoid i grupa mozna mówić w dowolnej
kategorii. Niech M oznacza kategorię łącznych monoidów z jednością, a G kategorie grup (grupa
to monoid posiadający odwrotności). Istnieją oczywiste funktory zapominania G → M Z −→ S.
Definicja 1.13. Strukturą monoidu (odp. komonoidu) na obiekcie X ∈ ob C nazywamy podniesienie
funktora h X : C → S (odp. hX)do kategorii monoidów . Oznacza to, że istnieje funktor
˜h X : C → M taki, że diagram
C
˜ h X
−−−−→ M
h X ↘ ↙ Z
jest przemienny. Jesli zastąpić kategorię M kategorią G, to mówimy o strukturze grupowej (odp.
kogrupowej) na obiekcie X.
6
S