0.0 Topologia Algebraiczna I - pomocnik studenta, Rozdziały 1-7

3. j : A → X ma własność rozszerzania homotopii (HEP 2 ) tzn. dla dowolnego warunku
początkowego f0 : X → Y i homotopii F : A × I → Y do ¯ F : X × I → Y , spełniającej
warunek f0(i(a)) = F (a, 0) dla a ∈ A istnieje rozszerzenie ¯ F : X × I → Y.
A
× I
F
A × {0}
Y
X × I
¯F
f0
j
X × 0
Definicja 3.6. Przekształcenie j : A → X spełniające jeden z warunków poprzedniego stwierdzenia
nazywa się korozwłóknieniem. Korozwłóknienia takie, że j(A) ⊂ X jest podzbiorem domkniętym
nazywamy domkniętymi korozwłóknieniami lub parami Borsuka 3 .
Zad. 49. Jeśli j : A → X jest korozwłóknieniem, to j : A → j(A) jest homeomorfizmem na obraz
(a więc j jest różnowartościowe). Jeśli X jest przestrzenią Hausdorffa to j(A) ⊂ X jest domknięty.
Zad. 50. Włożenie podzbioru domkniętego A ↩→ X jest korozwłoknieniem wtedy i tylko wtedy
gdy X × {0} ∪ A × I jest retraktem X × I.
Zad. 51. Włożenie S n−1 ⊂ D n jest korozwłóknieniem.
Twierdzenie 3.7. Dla przekształcenia p : E → B nastepujące warunki są równoważne.
1. p ma własność podnoszenia homotopii (HLP 4 ) tzn.dla dowolnego przemiennego diagramu
ciągłych strzałek:
X
i0
X × I
istnieje strzałka przerywana (podniesienie) ˜ F .
˜F
˜f0
F
E
p
B
2. Odwzorowania ¯p: P (E) → P (p) indukowane przez diagram:
id
E
E p
id
ma prawą odwrotność tzn. s: P (p) → P (E) takie, że ¯p◦s = id P (p) - odwzorowanie s nazywa
się funkcja podnoszącą drogi rozwłóknienia p;
2 Homotopy Extension Property
3 Karol Borsuk (Warszawa 1905 – 1982 Warszawa)
4 Homotopy Lifting Property
14
E
p
B