0.0 Topologia Algebraiczna I - pomocnik studenta, Rozdziały 1-7

Zad. 92. Wykazać, że jeśli Gi = Ai są grupami abelowymi, to lim 1 {Ai} coker(µ) = (
i
a więc jest grupą abelową i mamy ciąg dokładny:
0
lim{Ai}
i Ai
Zad. 93. Rozpatrzmy ciąg grup abelowych A1
fakty:
µ
i Ai
p2
←− A2
p3
←− A3
1 lim {Ai}
0 .
Ai)/µ(
i Ai),
p4
←− . . . Udowodnij następujące
• jeśli ∃ i0 ∀ i > i0 homomorfizm pi jest izomorfizmem, to lim{Ai} ∼ = Ai0 oraz lim 1 {Ai} = 0,
• jeśli ∃ i0 ∀ i > i0 homomorfizmy pi są epimorfizmami, to lim 1 {Ai} = 0,
• jeśli ∀i ∃ni takie, że ∀ N, N ′ > ni zachodzi równość obrazów im{Gi+N → Gi} = im{Gi+N ′ → Gi},
to lim1 {Ai} = 0,
• usunięcie początkowych wyrazów ciągu nie zmienia lim{Ai} oraz lim 1 {Ai}; ogólniej, jeśli
zastąpimy ciąg {Gi} dowolnym jego podciągiem {Gnk }, to lim oraz lim1 pozostaną takie
same.
5.5 Lemat Milnora
f1
Zad. 94. Dla ciagu odwzorowań f := {X1 −→ X2 −→ . . . } zdefiniujemy jego teleskop jako
Tel(f) := X1 × [0, 1] ∪f1 X2 × [1, 2] ∪f2 . . . ; (w przypadku punktowanym ściagamy do punktu
tworzącą przechodzącą przez punkt wyróżniony x0.) Jeśli wszystkie odwzorowania są korozwłólnieniami
to rzutowanie Tel(f) → colim {X1 → X2 → . . . } jest homotopijną równoważnościa.
Zad. 95. Niech Xi oraz Tel będą jak wyżej, przy czym rozpatrujemy teleskop punktowany.
• T jest homotopijnym pushoutem diagramu: T1, T2,
i Xi
f ev
i X2i
f odd
f2
i X2i+1
• Homotopijny koekwalizator włożenia
i Xi ↩→ T jest homotopijnie równoważny z
T/(
i Xi)
i ΣXi
• jeśli F jest kontrawariantnym funktorem półdokładnym, to przekształcenie w ciągu Mayera-
Vietorisa (Zad.5.1 ) F (
i X2i+1) ⊕ F (
i X2i) → F ( Xi) w ciągu Mayera-Vietorisa (Zad.
5.1 ) jest dane wzorem
(a1, a3, . . . ) ⊕ (a2, a4, . . . ) ↦→ (a1 − F (f1)(a2), −a2 + F (f2)(a3), a3 − F (f3)(a4), . . . )
gdzie aj ∈ F (Xj)) oraz fn : Xn → Xn+1.
Twierdzenie 5.10. [Lemat Milnora 11 ] Niech Xi oraz Tel będą jak w zadaniu 94. Dla dowolnego
kontrawariantnego funktora półdokładnego F istnieje krótki ciąg dokładny zbiorów z wyróżnionym
punktem:
0 → lim 1 F (ΣXi) → F (Tel) → lim F (Xi) → 0.
Dowód. Zadanie. Wsk. Wykorzystaj ciąg Mayera-Vietorisa dla pary T1, T2.
11 John Willard Milnor (Orange, NJ (USA) 1931 – )
34
T
(2)