0.0 Topologia Algebraiczna I - pomocnik studenta, Rozdziały 1-7

4 Zadania różne
4.1 Retrakty
Zad. 62. Podać przykład włożenia A ↩→ X, które jest homotopijną równoważnością i takiego, że
A nie jest retraktem deformacyjnym X.
Zad. 63. Podać przykład retraktu, który nie jest retraktem deformacyjnym. Podać przykład
retraktu deformacyjnego, który nie jest silnym retraktem deformacyjnym.
Zad. 64. Pokazać, że przekształcenie f : X → Y jest homotopijną równoważnością wtedy i tylko
wtedy, gdy X = X × {1} ⊂ Z(f) jest retraktem deformacyjnym.
Zad. 65. Jeśli A ⊂ X jest silnym retraktem deformacyjnym, to dla dowolnego przekształcenia
f : A → Y włożenie Y ⊂ X ∪f Y też jest silnym retraktem deformacyjnym.
4.2 Walce i kowalce
Zad. 66. Opisać walec i kowalec identyczności idX : X → X przekształcenia stałego X → pt
oraz włożenia punktu pt → X.
Zad. 67. Walec o podstawie X jest korozwłóknieniem. Kowalec nad X jest rozwłóknieniem.
4.3 Homotopijne równoważności
Zad. 68. Istnieją następujące homotopijnie równoważności:
1. S n /S k ∼ S n ∨ S k+1
2. (S n × S m )/(S n × {s0}) ∼ S n+m ∨ S m
3. Σ(S n × S m ) ∼ S n+1 ∨ S m+1 ∨ S n+m+1
4. ΣPg, gdzie Pg jest preclem genusu g, jest homotopijnie równoważne z bukietem 2g egezemplarzy
sfer S 2 i sfery S 3 .
Wskazówka: Dla dowolnej punktowanej przestrzeni (X, x0) i przestrzeni Y istnieje homeomorfizm
X × Y/{x0} × Y X ∧ Y + gdzie Y + := Y {+}. W szczególności dla dwóch niepunktowanych
przestrzeni X, Y mamy X + ∧ Y + (X × Y ) + .
Zad. 69. Jeśli X jest przestrzenią ściągalną to stożek przekształcenia f : Y → X jest homotopijnie
równoważny z zawieszeniem ΣY.
4.4 Rozwłóknienia i korozwłóknienia
Zad. 70. Niech V, W będą rzeczywistymi skończenie wymiarowymi przestrzeniami liniowymi (z
naturalną topologią w której działania są ciągłe).
1. Dowolny monomorfizm j : V → W jest korozwłóknieniem;
2. dowolny epimorfizm p : W → V jest rozwłóknieniem;
3. Jeśli V ⊂ W jest podprzestrzenią liniową a U ⊂ W podzbiorem otwartym, to włożenie
V ∩ U ⊂ U jest korozwłóknieniem.
24