0.0 Topologia Algebraiczna I - pomocnik studenta, Rozdziały 1-7

6.2 Punktowane i wolne klasy homotopii
W praktyce geometrycznej interesują nas homotopijne równoważności przestrzeni, a wyróżnianie
punktu ma charakter techniczny, ułatwiając wprowadzanie pomocniczych struktur algebraicznych.
W tym rozdziale zbadamy relacje między zbiorami klas homotopii przy różnych wyborach
punktu wyróżnionego oraz zbiorem punktowanych klas homotopii i wolnych klas homotopii. Niech
(X, x0) będzie ustalona, przestrzenią dobrze punktowaną 12 , a Y dowolną przestrzenią. Niech
Π(Y ) oznacza grupoid podstawowy przestrzeni Y 13
Stwierdzenie 6.2. Przyporządkowanie Π(Y ) ∋ y [(X, x0), (Y, y)] ∈ S∗ wyznacza funktor
kontrawariantny z grupoidu podstawowego do kategorii zbiorów z wyróżnionym punktem. Jeśli
(X, x0) jest homotopijną kogrupą, to ma on wartości w kategorii grup.
Dowód. Punktem wyróżnionym w zbiorze [(X, x0), (Y, y)] jest klasa przekształcenia stałego w
y ∈ Y . Dla dowolnej drogi ω : I → X łączącej y0 z y1 zdefiniujemy odwzorowanie
h [ω] : [(X, x0), (Y, y0)] → [(X, x0), (Y, y1)].
Mając dane f : (X, x0) → (Y, y0) zdefiniujmy F : X ×0∪x0×I → Y wzorem: F (x, 0) := f(x) oraz
F (x0, t) := ω(t). Korzystając z tego, że przestrzeń jest dobrze punktowana mozemy rozszerzyć
F do homotopii ¯ F : X × I → Y. Definiujemy h [ω][f] := [ ¯ F |X × 1]. Pozostaje sprawdzić, że
definicja h [ω] nie zależy od dokonanych wyborów, że h [ω] jest homomorfizmem grup oraz h [ω∗η] =
h [η] ◦ h [ω].
Wniosek 6.1. Dla dowolnej drogi ω w Y odwzorowanie h [ω] : [(X, x0), (Y, y0)] → [(X, x0), (Y, y1)]
jest bijekcją, w szczególności zadaje izomorfizm grup homotopii h [ω] : πq(Y, y0) −→ πq(Y, y1)].
Stwierdzenie 6.3. Niech (Z, z0) będzie przestrzenią punktowaną i F : Z ×I → Y będzie homotopią.
Oznaczmy ω(t) := F (z0, t) oraz ω(0) = y0 i ω(1) = y1. Następujący diagram jest przemienny:
[(X, x0), (Y, y0)]
f♯
h [ω]
[(X, x0), (Z, z0)]
[(X, x0), (Y, y1)]
f♯
Wniosek 6.2. Jeśli f : Y → Y ′ jest homotopijną równoważnością (niepunktowaną!), to odwzorowanie
indukowane f♯ : [(X, x0), (Y, y0)] → [(X, x0), (Y ′ , f(y0))] jest bijekcją, w szczególności grupy
homotopii łukowo spójnych przestrzeni homotopijnie równoważnych są izomorficzne (niezależnie
od wyboru punktów wyróżnionych).
Następny wniosek jest pożytecznym kryterium trywialności elementu w grupach homotopii,
który warto też udowodnić bezpośrednio nie odwołując się do powyższych twierdzeń.
Wniosek 6.3. Dla odwzorowania α : (S q , 1) → (X, x0) nastepujące warunki są równoważne:
1. [α] = 0 w πq(X, x0);
2. α ∼ cx0 rel (1) (cx0 oznacza odwzorowanie stałe w x0);
12 Tzn. włożenie {x0} ↩→ X jest korozwłoknieniem
13 A.Bojanowska, S.Jackowski Topologia II, Rozdział 4
36