Ø±ÙØ§Ø¶Ù

MATHEMATI 

Grade 10

رياضی 

請 نف 

دهم 

1390 

ه . ش.‏ 

الف

ب 

مؤلفان:‏ 

پوهنيار عبيداالله صافى متخصص رياضيات پروژة انكشاف نصاب تعليمى و تأليف كتب درسي 

فصل احصائيه:‏ 

پوهندوى خالقداد فيروزكوهى 

فصل منطق رياضى:‏ 

پوهنمل طلاباز حبيب زى 

ايديت علمى و مسلكى:‏ 

- حبيب االله راحل مشاور وزارت معارف در رياست انكشاف نصاب تعليمى.‏ 

- سرمؤلف عبدالكبير عضو علمى و مسلكى ديپارتمنت رياضيات 

- پوهنيار عبيداالله صافى متخصص رياضيات پروژة انكشاف نصاب تعليمى 

- لينا صافى عضو علمى و مسلكى ديپارتمنت رياضيات 

ايديت زبانى:‏ 

سيد محمود خليق متخصص زبان و ادبيات درى 

سيد محمود پايمنارى عضو علمى و مسلكى ديپارتمنت زبان و ادبيات درى 

كميتة دينى،‏ سياسى و فرهنگى:‏ 

- داكتر عطاء االله واحديار مشاور ارشد وزارت معارف و رئيس نشرات.‏ 

- حبيب االله راحل مشاور وزارت معارف در رياست انكشاف نصاب تعليمى 

- محمد آصف كوچى متخصص ديپارتمنت تعليمات اسلامى 

كميتة نظارت:‏ 

دكتور اسداالله محقق معين انكشاف نصاب تعليمى،‏ تربية معلم و مركز ساينس.‏ 

دكتور شير على ظريفى رئيس پروژة انكشاف نصاب تعليمى.‏ 

معاون سرمؤلف عبدالظاهر گلستانى رئيس عمومى انكشاف نصاب تعليمى و تأليف كتب درسى 

طراحی و ديزاين 

• محمد اشرف امين

سرود ملى 

دا عزت د هر افغان دى 

دا وطن افغانستان دى هر بچی ي‎3‎ قهرمان دى 

کور د سول‎3‎ کور د تورې د بلو'و د ازبکو 

دا وطن د ‏!ولو کور دى د ترکمنو د تاجکو 

د پ+تون او هزاره وو پاميريان،‏ نورستانيان 

ورسره عرب،‏ ‏-وجر دي هم ايماق،‏ هم پشه ‎4‎ان 

براهوي دي،‏ قزلباش دي لکه لمر پر شنه آسمان 

دا هيواد به تل ‏$لي‎8‎ي لکه زړه وي جاويدان 

په سينه ک‎3‎ د آسيا به وايو االله اکبر وايو االله اکبر 

نوم د حق مو دى رهبر د

بسم االله الرحمن الرحيم 

پيام وزير معارف 

معلمان و شاگردان عزيز،‏ 

تعليم و تربيه اساس انكشاف و توسعة هر كشور را تشكيل مى دهد،‏ نصاب تعليمى يكى از 

عناصر مهم تعليم و تربيه مى باشد كه مطابق انكشافات علمى معاصر و نيازمندى هاى جامعه 

وضع مى گردد،‏ واضح است كه انكشافات علمى و نيازمندى هاى جامعه همواره در حال تَطَ‏ و ُّر 

مى باشد؛ بناءً‏ لازم است نصاب تعليمى نيز به صورت علمى و دقيق انكشاف نمايد.‏ البته نبايد 

نصاب تعليمى تابع تغييرات سياسى،‏ نظريات و تمايلات اشخاص گردد.‏ 

كتابى كه امروز در دسترس شما قرار دارد بنابر همين مشخصات تهيه و ترتيب گرديده است،‏ 

موضوعات علمى مفيد در آن اضافه شده،‏ فعال نگه داشتن شاگردان در عملية تدريس جزء 

پلان تدريس گرديده است.‏ 

اميدوارم تدريس اين كتاب با استفاده از روش هاى آموزش فعال مطابق رهنمود ها و پلان 

تعليمى تعيين شده صورت گيرد،‏ و اولياى شاگردان نيز در تعليم و تربية با كيفيت دختران و 

پسران خود همكارى متداوم نمايند،‏ تا اهداف و آرزوهاى نظام معارف برآورده گرديده،‏ نتايج 

و دست آوردهاى خوبى براى شاگردان و كشور ما داشته باشد.‏ 

باور دارم كه معلمان گرانقدر ما در تطبيق مؤثر نصاب تعليمى مسؤوليت خود را صادقانه ادا 

مى نمايند.‏ 

وزارت معارف همواره تلاش مى نمايد تا نصاب تعليمى معارف مطابق اساسات دين مبين 

اسلام،‏ حس وطن دوستى و معيار هاى علمى با در نظرداشت نيازمندى هاى مُبرم جامعة ما 

انكشاف نمايد.‏ 

در اين عرصه از تمام شخصيت هاى علمى و دانشمندان تعليم و تربية كشور و اولياى محترم 

شاگردان تمنا دارم،‏ تا با ارائة نظريات و پيشنهادات سالم و مفيد خويش مؤلفان ما را در بهبود 

بيشتر تأليف كتب درسى يارى نمايند.‏ 

از همة دانشمندانى كه در تهيه و ترتيب اين كتاب سهم گرفته اند،‏ و از مؤسسات محترم ملى و 

بين المللى و ساير كشور هاى دوست كه در تهيه و تدوين نصاب تعليمى جديد،‏ طبع و توزيع 

كتب درسى همكارى نموده اند،‏ صميمانه اظهار امتنان و قدردانى مى نمايم.‏ 

و من االله التوفيق 

فاروق وردگ 

وزير معارف جمهورى اسلامى افغانستان 

ه

فصل اول:‏ پولينوم............................................................................................‏ 3 

افاده هاى الجبرى،‏ اقسام پولينوم و درجة آن،‏ قيمت و مجموع ضرايب يك پولينوم 

عمليه هاى چهارگانة پولينوم 

قضية باقيمانده،‏ قضية فكتور و تقسيم تركيبى 

خلاصة فصل و تمرين 

فصل دوم:‏ رابطه..............................................................................................‏ 53 

جوره هاى مرتب و مستوى كارتيزينى 

حاصل ضرب كارتيزينى و گراف آن 

رابطه و معكوس يك رابطه 

رابطة معادل 

خلاصة فصل و تمرين فصل 

فصل سوم:‏ تابع.................................................................................................‏‎69‎ 

طرق نوشتن و قيمت يك تابع،‏ ناحية تعريف و تشخيص يك تابع از روى گراف 

بعضى توابع خاص و گراف هاى آن ها 

توابع متزايد و متناقص،‏ توابع جفت و طاق 

انتقال گراف ها ‏(انتقال عمودى،‏ انتقال افقى و تركيب انتقال عمودى و افقى)‏ 

عمليه هاى توابع 

تركيب توابع،‏ تابع معكوس،‏ تابع يك به يك و گراف تابع و معكوس آن 

توابع پولينومى ‏(تابع درجه يك،‏ تابع درجه دوم)‏ و گراف هاى آن 

توابع ناطق و گراف آن ها ‏(مجانب هاى عمودى،‏ افقى و مايل)‏ 


فصل چهارم:‏ توابع مثلثاتى..............................................................................‏‎149‎ 

زاويه وواحد هاى اندازه گيرى يك زاويه 

حالت معيارى يك زاويه و زواياى كوترمينل 

توابع مثلثاتى و نسبت هاى مثلثاتى بعضى زواياى خاص 

o 

و 360 

o 

o o 

,180 ,90 ,0 

o 

فهرست 請 فحه 

نسبت هاى مثلثاتى 270 

رابطه بين توابع مثلثاتى زاوايايى كه نسبت به هم رابطة خاصى دارند 

گراف هاى توابع مثلثاتى 


فصل پنجم:‏ تطبيقات مثلثات.............................................................................‏‎223‎ 

قوانين نسبت هاى مثلثاتى زواياى مركب 

نسبت هاى مثلثاتى مجموع و تفاضل دو زاويه 

نسبت هاى مثلثاتى دو چند و سه چند يك زاويه از جنس زاويه 

تبديل مجموع يا تفاضل نسبت هاى مثلثاتى زوايا به شكل حاصل ضرب 

و

فهرست 請 فحه 

تبديل حاصل ضرب نسبت هاى مثلثاتى زوايا به مجموع و يا تفاضل 

طول قوس،‏ قطاع يك دايره و مساحت قطاع،‏ قطعة دايره و مساحت قطعة دايره 

مساحت مثلث از جنس دو ضلع و زاويه بين اين دو ضلع 

مساحت مثلث از روى سه ضلع مثلث ‏(فورمول هيرون)‏ 

شعاع دايرة محيطى و محاطى يك مثلث 


فصل ششم:‏ اعداد مختلط...................................................................‏‎277‎ 

اعداد موهومى و عمليه هاى چهار گانة اعداد موهومى 

جمع و تفريق اعداد مختلط 

ضرب اعداد مختلط،‏ مزدوج و معكوس ضربى يك عدد مختلط 

تقسيم اعداد مختلط 

حل معادله هاى درجه دوم يك مجهوله در ساحة اعداد مختلط 


فصل هفتم:‏ هندسة تحليلى...............................................................‏‎305‎ 

سيستم كميات وضعيه و فاصله بين دو نقطه 

دريافت كميات وضعية نقطه يى كه يك قطعه خط را به يك نسبت تقسيم مى كند 

ميل يك خط مستقيم 

معادلة يك خط مستقيم(معادلة معيارى يك خط مستقيم،‏ معادلة خط مستقيمى كه ميل و 

يك نقطة آن معلوم باشد،‏ دو نقطة آن معلوم باشد،‏ معادلة خطى كه تقاطع آن با محور ها 

معلوم باشد،‏ معادلة نورمال و معادلة عمومى يك خط مستقيم)‏ 

تبديل معادلة عمومى يك خط مستقيم به اشكال ديگر معادلات خط مستقيم 

فاصلة يك نقطه از يك خط مستقيم 

دايره و معادلة دايره،‏ حالات يك خط مستقيم با دايره 

معادلة مماس و طول مماس 

دريافت مساحت مثلث در صورتى كه كميات وضعية سه رأس آن معلوم باشد 


فصل هشتم:‏ احصائيه..........................................................................‏‎359‎ 

گراف چند ضلعى كثرت،‏ گراف ساقه و برگ ، چارك ها و گراف صندوقچه يى،‏ 

مقايسة شاخص هاى مركزى توسط منحنى نارمل،‏ انحراف چارك ها 

واريانس و انحراف معيارى 


فصل نهم:‏ منطق ‏(رياضى)..................................................................‏‎391‎ 

استدلال درك شهودى،‏ استدلال تمثيلى يا قياسى،‏ استدلال استقرايى،‏ استقراى رياضى 

استدلال استنتاجى،‏ استدلال مثال نقص،‏ برهان خلف يا ثبوت غير مستقيم 

منطق رياضى و استنتاج بيان 


ز

فصل اول 

پولينوم(‏Polynome‏)‏ 

يا (Polynomial)

افاده های الجبری 

(Algebraic Expressions) 

آيا مى توانيد بگوييد كه از افاده هاى الجبرى 

y y 

x + 

x x 

2 

3 

3 

2 + 1 و + y + 

2 

4 

x −1 

y ، 

2 

x 

كدام يك افادة الجبرى ناطق و كدام يك افادة 

الجبرى غيرناطق مى باشد؟ 

3 

متحول و ثابت(‏constant :(variable and متحول يك سمبول است كه به جاى 

هر عنصر يك ست غير خالى وضع مى شود؛ طور مثال:‏ اگر ≤ x 

باشد.‏ 

x مى تواند در ستA قيمت هاى اعداد طبيعى از يك الى‎10‎ را بگيرد.‏ x را 

متحول(‏Variable‏)‏ ميگويند.‏ متحولين به صورت عموم توسط حروف كوچك زبان 

و غيره نشان داده مى شوند.‏ 

قيمت يك عدد تغيير نمى كند؛ به طور مثال:‏ عدد 4 هيچگاه با 5 يا 3 ويا با كدام عدد 

ديگرى مساوى شده نمى تواند،‏ پس تمام اعداد حقيقى،‏ ثابت ها(‏Constants‏)‏ مي باشند.‏ 

علاوه از اعداد حقيقى،‏ حروف زبان انگليسى مثل ... a و غيره به عوض ثابت ها نيز 

استعمال ميگردند.‏ 

افادة الجبرى(‏Expression :(Algebraic افادة الجبرى آنست كه از يك ثابت يا 

يك متحول و يا از تركيب ثابت ها و متحول ها تشكيل شده باشد.‏ 

مثال هاى زير افاده هاى الجبرى را مشاهده كنيد.‏ 

10} و A = {x / x ∈ IN 

1 

2 

y 

, bc 

انگليسى z , y , x 

، x ، x 2 15 12 − ، 12 و غيره.‏ 

− x + 1 ، 3 x ، 4 x + 5 + ، 5 x 

2 

t 

2 

كه در افادة الجبرى 3x 

عدد 3 را ضريب (Coefficient) ميگويند.‏ در افادة − 

15 x 

و 5 y 5 

5 5 

3x 

y 

1 

عدد − 

2 

و در افادة x عدد يك ضريب مى باشد،‏ − 

حدود مشابه 

(Liketerms) مى باشند كه متحولين مشابة داراى توان هاى مساوى و ضريب هاى عددى 

آن ها باهم فرق دارند.‏

اقسام افاده هاى الجبرى:‏ افاده هاى الجبرى به سه قسم اند:‏ 

1. افاده هاى الجبرى پولينومى(‏expressions :(Polynomial algebraic 

پولينوم:‏ افادة الجبرى يك يا چند حده كه توان هاى حروف شان درست اعداد مكمل 

1 

x + x 

شامل باشند،‏ پولينوم ناميده مى شود.‏ 

−2 

، + x −1 

x − ، 2 2 3 

x + x −1 

، x − x + 1 

y 

يا + 

x 

پولينوم نمى باشند.‏ 

2 

3 

x x + 

مشخصات پولينوم عبارت اند از:‏ 

12 ، 1 و غيره پولينوم مى باشند،‏ اما x 

توان تمام متحولين اعداد مكمل باشند 

در مخرج متحول نداشته باشد.‏ 

متحول زير جذر نباشد.‏ 

1 

2 

1 2 

d)x 

, c) 

2 3 

y x 

2 

i)6a 

− 4a , h)88 

, 

b)2 

x 

, 

a) 

2x 

مثال‎1‎‏:‏ در افاده هاي − 

, 

2 7 

g)9x − 

2 

x 

f e, 

d , c, 

b 

2 

f )8p + 

p 

2.2 

, 

e + 

−3 

2 

) x x 

a, 

h و i پولينوم ها هستند،‏ اما , 

y 

x 

3 

و g پولينوم ها نيستند.‏ 

به ياد داشته باشيد كه هر پولينوم،‏ يك افادة الجبرى ناطق مى باشد؛ اما هر افادة الجبرى ناطق،‏ 

y 

x 

3 

x + + 

2 

y 

پولينوم نمى باشد؛ به طور مثال:‏ + 

پولينوم نيست.‏ 

0 

‎12‎نيز يك پولينوم است،‏ زيرا كه = 12x 12 

يك افادة الجبرى ناطق است،‏ ليكن 

است صفر نيز در ست اعداد مكمل شامل مى 

1 

2 كه و − 3 

1 

5 −3 

2 

= 5x 5 و 5x 

3 

x 

5 

پولينوم نيستند؛ زيرا = x 

3 

x 

باشد،‏ اما 5 x 

و 

در ست اعداد مكمل شامل نيستند.‏ 

يك پولينوم توسط يك حرف مثل P نشان داده مى شود؛ شكل عمومى يك پولينوم كه از 

4

يك حرف ‏(متحول)‏ تشكيل شده باشد طور زير مى باشد:‏ 

n 

n−1 

n−2 

P (x) = a 

nx 

+ a 

n− 

1x 

+ a 

n−2x 

+ ... + a1x 

+ 

≠ 0 باشد؛ 

اعداد حقيقى اند؛ اگر a 

1 − 

an عدد مكمل و ضرايب nيك 

n 

a ,a 

2,...a 

n 1, 

a 

0 

پس n درجة پولينوم مى باشد.‏ 

فعاليت 

كدام يك 

3 2 1 3 

2 

8 x و 2x − x , x , , 8x , −8x 

, −8 

x 

در افاده هاى الجبرى 

پولينوم و كدام يك پولينوم نمى باشد؟ 

، a = 2 

1 ، a 5 

3 2 

n 

= − ، n = 3 ، P(x) −5x 

+ x − x + 12 

= 1 a ، و 

0 ، a = 11 ، n = 2 ، x 1 

n 

a 0 

a 1 و = 

= −1 

مثال‎2‎‏:‏ در پولينوم = 

1 مى باشد.‏ 

12 مي باشد و در پولينوم − 2 11 

a 

0 

= − 

2. افادة الجبري ناطق expression) :(Rational algebraic اگر بتوانيم كه 

بنويسيم طورى كه p و q پولينوم ها مى باشد 

كه 

2 

x 

2 1 

q 0) 

p 

q 

يك افادة الجبرى را به شكل ≠ ( 

اين گونه افادة الجبرى را افادة ناطق الجبرى مى گويند،‏ به طور مثال:‏ افادة − x 

4 

x − 

يك متحول دارد به شكل نيز ميتوانيم بنويسيم و يك افادة ناطق الجبرى مى باشد؛ 

2 

چون مخرج هر افادة الجبرى ميتواند عدد يك باشد؛ پس x 

(1− ( 2 نيز يك افادة ناطق 

2 

x − 

1 

x 

1 2 

1 

الجبرى مى باشد زيرا كه 1 مى باشد.‏ 

= x 

3. افادة غير ناطق(‏expression :(Irrational algebraic عبارت از افادة الجبرى 

− 

، 

است كه آن را به شكل خارج قسمت دو پولينوم نوشته كرده نميتوانيم؛ طور مثال:‏ xy 

5

و + 1 2 y مثال هاى افاده هاى الجبرى غيرناطق مى باشند.‏ 

1 

x 2 + 5 

يك افادة الجبرى امكان دارد ناطق،‏ غيرناطق و يا پولينوم باشد.‏ پولينوم افادة الجبرى يك يا 

چند حده يى است كه توان هاى حروف آن در ست اعداد مكمل شامل باشند.‏ 

تمرين 

1. از افاده هاى الجبرى زير كدام يك افادة الجبرى ناطق،‏ غير ناطق و يا پولينوم مى باشد؟ 

3x 

8x 

8 

3x و 13 

, 

, 

2 

+ 

xy 

2 

, 

x + 

1 

x 

, 

m + 3 

6 

, 

3x 

2 

2 

, 

x − 

2. در افاده هاى الجبري زير كدام يك،‏ پولينوم و كدام پولينوم نمى باشد؟ 

1 

7 

x 

3 

− x 

− 0.03 

a را نشان دهيد.‏ 

0 

و 

را نشان دهيد.‏ 

0 

, 

, 

a , 

3 

− 20a b + 28ab 

3x 

, 

8x 

−8 

4 

, 

, 

3x 

2 

8 

+ 

xy 

2 

4 3 2 

1 

, a2, 

a3 

an 

، Px ax + bx + cx + d 

x 

, 

1 

2 

, 

1 

x 

2 

1 x 

− 

x 5 

3. در پولينوم − 

3 

x 2 

a و a 

1 

, a2, 

a3 

، P ( x) 

= − 2x 

4. در پولينوم 1− 

2 

6

اقسام پولينوم و درجة آن:‏ 

آيا مى توانيد بگوييد كه درجة پولينوم هاى 

12y و 

5 

x 

3 

4 3 3 

+ x y ، 12x ، − x 

2 

− x 

12 چند مى باشد؟ 

3x يا 16 x مونوم يا ‏(‏Monomial‏)يك افاده الجبري يك حده است و − 4 x يا 

−1 x − 3 2 افادة 

x و (Binomial) يا يك افادة الجبرى دو حده(‏Binome‏)‏ y 

1 

2 − + y 

ab − 

به نام مولتينوم 

2x 3 3 2 − 3y داراى يك متحول،‏ پولينوم 2x 8x− 

+ 7x + 11 

x 1 الجبرى سه حده (Trinomial) مي باشد و افادة الجبرى (Multinomial) ياد مي شود.‏ 

بعضى اوقات پولينوم از يك،‏ دو،‏ سه و يا چندين متحول تشكيل شده مى باشد.‏ پولينوم 

داراى دو متحول و 

پولينوم x + y + z داراى سه متحول مى باشد كه در جدول زير نشان داده شده است.‏ 

متحول 

يك متحول 

مونوم ‏(يك حده)‏ 

فعاليت 

باينوم ‏(دو حده)‏ 

ترينوم ‏(سه حده)‏ 

3x 

2 + 2x 

− 4 

2 

2 

6x 

+ 5x 

− 3y 

2 2 2 5 

3a 

b + 6c 

− z a 

5y 2 + 3y 

2 3 

7x − 4y 

8a 2 b + 4c 

3 

5x 

7x 2 y 

2 

4xyz 

دو متحول 

سه متحول 

− 3x و 4x 2 − 4y مونوم،‏ باينوم 

،15 ، 2 x − y ، ax 2 bx + c 

در افاده هاى الجبرى + 

و ترينوم را نشان دهيد.‏ 

7

درجة يك پولينوم(‏Polynome :(Degree of a اگر پولينوم از يك حرف تشكيل 

شده باشد،‏ بزرگترين توان اين حرف عبارت از درجة پولينوم مى باشد؛ طور مثال:‏ درجة 

عبارت از 5 مى باشد.‏ اگر پولينوم از چند حرف ‏(متحول)‏ 

3 

5 

− x + 2x 

+ 1+ 

پولينوم x 

تشكيل شده باشد درجة مونومى كه توان بزرگتر دارد عبارت از درجة پولينوم مى باشد؛ مثلاً‏ 

( 6 مى باشد و اين پولينوم نظر 

درجة پولينوم − 

به x درجة سوم و نظر به y درجة پنجم مى باشد؛ اگر درجة يك پولينوم عدد 1 باشد 

پولينوم را پولينوم خطى Polynome) (Liner و اگر درجه پولينوم عدد 2 باشد پولينوم 

را پولينوم درجه دوم Polynome) (Quadratic مى گويند و اگر درجة پولينوم عدد 

2 

3 باشد به نام پولينوم درجه سوم Polynomial) (Cubic و هم مونوم 3x درجة دوم،‏ 

و درجةمونوم x عبارت از 5 و درجة مونوم 12 صفر مى باشد.‏ اين گونه پولينوم را 

2 

5 3 

2x y 5xy + x y عبارت از ) = 5 + 1 

3 

2 3 

3 y 

0 

پولينوم ثابت مى گويند؛ زيرا = 12x 12 . 

4)x 

پولينوم ثابت:‏ پولينومى است كه درجة آن صفر باشد يا به عبارت ديگر پولينومى است كه 

ضرايب تمام متحولين آن صفر باشد.‏ 

يك پولينوم ثابت باشد قيمت هاى m و n 

− مثال‎1‎‏:‏ اگر 13 را دريابيد.‏ 

حل:‏ چون يك پولينوم ثابت مى باشد؛ پس ضريب هر حد متحول صفر مى باشد.‏ 

2m − 4 = 0 

2m = 4 

m = 2 

5 − n = 0 

n = 5 

(2m 

2 

+ (5 − n)x + 

پولينوم صفرى(‏Polynome :(Zero اگر حد ثابت پولينوم ثابت صفرباشد اين گونه 

پولينوم به نام پولينوم صفرى ياد مى شود؛ به طور مثال:‏ ، 0 درجة پولينوم صفرى 

تعريف نشده است.‏ 

مثال‎2‎‏:‏ قيمت a را دريابيد اگر ) يك پولينوم 

صفرى باشد.‏ 

حل:‏ در پولينوم صفرى هر حد صفر مى باشد؛ پس:‏ 

(b − 4)x 

P ( x) 

= 

3 

− (2c + 6)x + (a − b + c 

8

− 4 = 0 

b = 4 

2c + 6 = 0 

2c = −6 

c = −3 

a − b + c = 0 

a − 4 − 3 = 0 

a = 7 

فعاليت 

g(x) و 

2 2 3 

= 2xy − x y ، 

5) = n ( مى 

(x) نيز ، 5 

x 

2 

− x 

3 

+ 2x + 5x 

P + 

2 

5 

( x) 

x −1 

3x 

مثال‎3‎‏:‏ درجه هاى پولينوم هاى = 

3 را دريابيد.‏ 

h( x) 

= 

حل:‏ درجة پولينوم ) P عبارت از 5 است و درجة پولينوم g 

(x 

باشد،‏ اما درجة پولينوم (x) h صفر مى باشد.‏ 

درجة هر پولينوم و درجة اين پولينوم ها را نظر به هر حرف تعيين كنيد.‏ 

5 

, 

x −1 

, 

15 

, 

3 

2m n 

2 

− 3mn 

3 

− mn 

پولينوم مكمل و ناقص:‏ پولينوم مكمل پولينومى است كه تمام حدود آن از بزرگترين 

توان متحول تا عدد ثابت موجود باشد.‏ 

پولينوم هاى − و 51 پولينوم هاى مكمل،‏ اما پولينوم 

1 پولينوم هاى ناقص مى باشند ما مى توانيم كه پولينوم 

2 2 

1− و 

= x + 0. x −1 

x 

3 

2 

1 , x + 1+ 

2x 

− x 

3 

2 −1 و + x x + 

هاى x 

هاى ناقص را به شكل پولينوم هاى مكمل بنويسيم؛ مانند:‏ x 

x 

3 

3 2 

+ x −1 

= x + 0. x + x −1 

2 

4 

3 

3 x − x + 1+ 

x + 

پولينوم هاى منظم و غير منظم:‏ پولينوم هاى x 

3 

− 3x 

x 

2 

2 

+ 4x 

−1 

− پولينوم هاى منظم اند،‏ اما پولينوم 

2 

11+ 

12x + 13x − 

x 

3 

يا 

يك پولينوم غير منظم مى باشد كه مى توانيم يك پولينوم غير منظم را به شكل پولينوم منظم 

1 x پولينوم هاى منظم 

2 3 4 4 3 2 

− x + x + x يا + 3 3x x + x − x + 1 

بنويسيم؛ به طور مثال + 

اند.‏ 

9

پولينوم هاى نزولى و صعودى 

:(Descending and ascending Polynomes) 

اگر يك پولينوم از بزرگترين توان يك متحول به طرف كوچكترين توان ترتيب شده باشد 

نزولى و اگر از كوچكترين به بزرگترين توان ترتيب شده باشد ترتيب صعودى مى گويند.‏ 

طور مثال:‏ پولينوم + 1 به شكلنزولى و پولينوم + 

به شكل صعودى ترتيب شده است.‏ 

اگر يك پولينوم از دو يا چند حرف تشكيل شده باشد ما مى توانيم كه پولينوم را نظر به هر حرف 

2 2 

1 x + x + 3x + 

x 

3 

y 

3x 

2 

y 

2 

x 

+ 2xy 

3 

4 

− 5y 

4 

x 

4 

3x 

فعاليت 

3 

+ x 

2 

+ x + 

به شكل صعودى يا نزولى ترتيب نماييم،‏ طوريكه پولينوم + 

نظر به x به طور نزولى و نظر به y به طور صعودى ترتيب شده است.‏ 

پولينوم هاى زير را به شكل صعودى ترتيب كنيد.‏ 

2 3 2 

4 3 3 

4 5 2 

4x 

− 5 + 6x 

+ 8x 

, 2y 

− 4y 

+ 3− 

3y 

+ y , 2a 

− 5 + 4a 

+ a + 3a 

+ a 

را نظر به y به شكل 

P (y) 

+ 

4 3 2 2 3 4 

P (y) 4xy − 3x y + 2x y + x + 

مثال‎4‎‏:‏ پولينوم = 

صعودى بنويسيد.‏ 

4 3 2 2 3 4 5 

= x − 3x y + 2x y + 4xy y 

حل:‏ 

پولينوم هاى معادل:‏ پولينوم هايي اند كه داراى يك متحول بوده و ضرايب حدود مشابه 

آن ها باهم مساوى باشند.‏ 

معادل باشد،‏ 

مثال‎5‎‏:‏ اگر پولينوم + 

قيمت هاى ,n m و p را دريابيد.‏ 

حل:‏ 

2 

m(x −1) 

+ n(x −1) 

+ P با پولينوم x 2 3x + 2 

2 

2 

m(x − 2x + 1) + nx − n + p = x + 3x + 2 

2 

2 

mx − 2mx + m + nx − n + p = x + 3x + 2 

2 

2 

mx + ( −2m 

+ n)x + (m − n + p) = 1x + 3x + 2 

y 

5 

10

در نتيجه:‏ 

m = 1 

− 2m + n = 3 

m − n + p = 2 

⇒ n = 5 

⇒ p = 6 

پولينوم هاى متجانس(‏ :(Hemogence Polynoms اگر درجه هاى تمام حدود 

2 2 2 

2x 

y − z 

يك پولينوم باهم مساوى باشند پولينوم را متجانس مى گويند؛ طورمثال:‏ + 

يك افادة متجانس مى باشند.‏ 

متجانس باشد قيمت هاى m و n را 

+ مثال‎6‎‏:‏ اگر پولينوم دريابيد.‏ 

حل 

m + 1 = 2 + 1 

m = 2 

n − 3 + 2 = m + 1 

n −1 

= m + 1 

n −1 

= 2 + 1 

n = 4 

2 m n−3 

2 

3x 

y 5x 

z − 7y 

z 

پولينوم هايى كه از يك حرف ‏(متحول)‏ تشكيل شده باشند بزرگترين توان اين حرف درجه 

پولينوم مى باشد و اگر پولينوم از چند حرف تشكيل شده باشد درجة مونومى كه بزرگترين 

توان را دارا مى باشد عبارت از درجة پولينوم مى باشد،‏ و پولينوم هايي كه داراى يك 

متحول بوده و ضرايب حدود مشابه آن ها باهم مساوى باشند به نام پولينوم هاى معادل ياد 

مى شوند.‏ 

11

تمرين 

افاده هاى زير مونوم،‏ باينوم و ترينوم را نشان دهيد و نيز درجه هاى آن ها را 

در 11. دريابيد.‏ 

1 2 

x y 

2 

2 

x − x 

5 

− x 

3 

, 

, 

x 

2 

12x 

− y + 4 

, 

, 

x −1 

−12 

2. در پولينوم هاى زير پولينوم هاى مكمل و ناقص را نشان دهيد و پولينوم هاى ناقص 

را به شكل پولينوم هاى مكمل بنويسيد.‏ 

x 

2x 

2 

, 

− 2x − 2 

x + 1 

, 

, 

15 

2 

x −1 

, 

3 

, x + x −1 

3. اول درجة هر پولينوم را كه در زير داده شده است دريابيد و بعد به شكل نزولى 

ترتيب نماييد.‏ 

4x − 5 + 6x 

2y 

2 

1− 

x 

3 

و c را 

+ x 

2 

2 

+ 8x 

− 4y + 3 − 3y 

p 

+ 2x 

4 

3 

4 

+ y 

3 

5 

− x + x 

,n 

باشد قيمت هاى 22 دريابيد.‏ 

4 

3 

( x) 

= 7x 

− (2a 

− 3) x + 5x 

− ( c − 3) 

2 

2 

.4 اگر + x P(x − 1) + n(x + 3) + c = 2x − 

P را دريابيد؛ اگر:‏ c و a 

پولينوم هاى معادل باشند.‏ 

5. قيمت هاى ,b 

4 3 

Q( 

x) 

= (3b 

+ 4) x + 2x 

و + 5x 

12

دريافت قيمت و مجموع 

ضرايب پولينوم 

آيا مى توانيد بگوييد كه براى 1− = x 

قيمت پولينوم P 

? چند مى شود؟ 

3 2 

( x) 

= x − x − x −1 

P ( −1) 

يعنى = 

اگر در يك پولينوم به عوض متحول يك عدد حقيقى وضع كنيم يك عدد حقيقى به 

دست مى آيد كه همين عدد حقيقى قيمت اين پولينوم مى باشد.‏ براى x 



حل:‏ 

= 2 قيمت 

P(5) = 2⋅5 

P(0) = 1 

2 

P( −1) 

= 2( −1) 

P ( 2) = 3⋅2 

x) P ( عبارت از = 2 + 

= 3x 

پولينوم + 2 

2 

P ( x) 

= 2x 

− 7x 

(−1) P و (0) P پولينوم + 

مثال‎1‎‏:‏ (5) P ، 

− 7(5) + 1 = 50 − 35+ 

1 = 51− 

35 = 16 

2 

− 7( −1) 

+ 1 = 2 + 7 + 1 = 10 

فعاليت 


5 3 

P( 

x) 

= x − x − x − پولينوم P (1) و P (−1) 

، P(0) 

P( − 

1 

) 

4 

1 

P(− 

4 

باشد ) را دريابيد.‏ 

1 3 1 2 

= 16( − ) −8( 

− ) + 

4 4 

1 1 3 −1− 

2 

= − − + = 

4 2 4 4 

3 

4 

+ 

P(x) 

16x 

1 

= 16( − ) −8( 

64 

3 − 3+ 

3 

= = 

4 

3 

−8x 

2 

3 

+ 

4 

مثال‎2‎‏:‏ اگر = 

حل 

1 

16 

) + 

0 

= 0 

4 

3 

4 

13

C به 

مثال‎3‎‏:‏ طورى كه ميدانيد محيط دايره ‏(‏Circumference‏)از فورمول = 

2π 

r 

و r شعاع دايره باشد.‏ 

22 

= 

7 

دست مى آيد،‏ اگر π 

باشد،‏ محيط اين دايره (C) را دريابيد.‏ 

1 

r = 3 

2 

در صورتى كه شعاع دايره cm 

حل:‏ 

22 7 

C = 2πr 

= 2. . cm = 22cm 

7 2 

مثال‎4‎‏:‏ اگر ,b a و c طول اضلاع مثلث و p نصف محيط مثلث باشد يعني 

مساحت مثلث از فورمول ) = به دست 

S 

p(p − a)(p − b)(p − c 

a + b + c 

p = 

2 

مى آيد.‏ 

اگر طول اضلاع مثلث = 

دريابيد.‏ 

b 12cm, a = 9cm و c = 15cm باشد مساحت اين مثلث را 

a + b + c 9 + 12 + 15 36 

p = = = = 18cm 

2 2 2 

S = p(p − a)(p − b)(p − c) = 18(18 − 9)(18 −12)(18 

−15) 

حل:‏ 

= 

18⋅9⋅6⋅3 

= 

2⋅9⋅9⋅2⋅3⋅3 

= 

2 

2 

2 

⋅3 

⋅9 

2 

= 2⋅3⋅9 

= 54cm 

2 

فعاليت 

به دست مى آيد كه V حجم استوانه،‏ r شعاع قاعده 

باشد حجم استوانه را دريابيد.‏ 

V 

h = 21cm و r = 5cm 

حجم استوانه از فورمول = 

π r 

2 

h 

و h ارتفاع استوانه مى باشد.‏ اگر 

n 

n−1 

p (x) = a 

nx 

+ a 

n 1x 

+ ... + a1x 

+ 

a 

− 

مجموع ضرايب يك پولينوم:‏ اگر 

مى باشد.‏ 

− 0 + باشد مجموع ضرايب پولينوم 

را دريابيد.‏ 

مثال‎5‎‏:‏ مجموع ضرايب پولينوم‎1‎ a 

n 

an 

1 

+ ... + a1 

+ a 

3 2 

p( 

x) 

= 2x 

+ 5x 

− 3x 

+ 

0 

14

) را در مى يابيم:‏ = 

اگر يك پولينوم از چند حرف تشكيل شده باشد به عوض هر حرف عدد(‏‎1‎‏)‏ را وضع 

P(1) 

3 2 

2 ⋅1 

+ 5⋅1 

− 3⋅1+ 

1 = 2 + 5 − 3 + 1 = 5 

4 3 2 2 3 

x 4x y + 6x y + 4xy + 

y 

4 

حل:‏ (1 p 

مى كنيم؛ طور مثال:‏ براى دريافت مجموع ضرايب + 

به عوض x و y عدد يك را وضع مى كنيم.‏ 

4 3 

2 2 

3 4 

1 + 4⋅1 

⋅1+ 

6⋅1 

⋅1 

+ 4⋅1⋅1 

+ 1 = 1+ 

4 + 6 + 4 + 1 = 16 

4 

( 3y) 

(1 − 3⋅1) 

4 

= (1 − 3) 

4 

= ( −2) 

4 

= 16 

مثال‎6‎‏:‏ مجموع ضرايب − x 

حل:‏ 


را به دست آوريد.‏ 

2 

(7⋅ 

1 − 5⋅1−1) 

600 

2 

600 3 17 

( 7x − 5x −1) 

(2x −1) 

(x + 

3 

(2⋅1 

−1) 

17 

(1 + 2) 

4 

= (1) 

600 

(1) 

17 

2) 

(3) 

4 

4 

مثال‎7‎‏:‏ مجموع ضرايب 

= 81 

حل:‏ 

مثال‎8‎‏:‏ اگر شعاع اين توپ 6cm باشد حجم اين توپ را دريابيد.‏ 

حل:‏ 

4 3 4 

3 4 

3 

3 

V = πr 

= π(6cm) 

= π(216cm 

) = 288πcm 

3 3 3 

اگر در يك پولينوم(‏P(x عوض x قيمت داده شده را وضع كنيم،‏ قيمت پولينوم به دست 


اگر در يك پولينوم عوض حرف ‏(متحول)‏ عدد ‏(يك)‏ وضع شود مجموع ضرايب پولينوم 

به دست مى آيد.‏ 

15

تمرين 

1 

4 3 2 

p ( و p (−1) باشد p ( x) 

= −x 

.1 اگر پولينوم −1 x − x − x − 

2 

3 2 

−1 3x p(x) kx − x + قيمت = 17 (2) p باشد قيمت k را 

2. اگر در پولينوم = 

) را دريابيد.‏ 

C 


3. اگر مجموع ضرايب − 1 عبارت از 18 باشد قيمت m را دريابيد.‏ 

−x 

+ 3x 

4 


− 6x 

3 

1 

= − 

2 

را براى x 

، B = −4x 

3 

+ 10x 

mx 2 2x + 

1 2 1 1 

p ( x) 

.4 قيمت پولينوم − x = x − 

2 2 2 

5. در پولينوم هاى = 

2 

، 

A = x 

= 4 قيمت كدام پولينوم از عدد 100 زياد مى باشد؟ 

2 

− 4x + 4 

2 

x براى D = x + 4x 

و − 4 

a ) 

C 

b) D 

c) A 

d) B 

6. در پولينوم هاى زير براى = 5 x كدام پولينوم بزرگترين قيمت را دارا مى باشد؟ 

a) x 

b)3x 

c) − x 

d) x 

2 

5 

− 2x + 6 

4 

3 

+ 6x + 12 

− 40x − 300 

−120x 

4 

+ 10 

1 1 

4 3 2 

)p را 

(0) p p ( ) ، و ) − 

، p (−1) باشد،‏ p( 

x) 

.7 اگر‎1‎‏−‏ = x − x − x − x 

2 2 


16

3W-4 W+2 

عمليه هاى چهار گانة پولينوم ها 

اگر هر ضلع مربع w 4 و هر ضلع 

مثلث متساوى الاضلاع w 2 باشد يك 

افادة الجبرى را بنويسيد كه محيط هر دو 

شكل را نشان دهد.‏ 

اگر 


3 − 

+ 

B = 9x 

A = 8x و − 5 

2 − 2x 

+ 3 

باشد A + B و A − B 

1- عملية جمع:‏ حدود مشابه terms) (Like باهم جمع و نيز حدود مشابه يكى از 

ديگرى تفريق مى شود كه اين هر دو عمليه به صورت افقى و عمودى انجام شده مى تواند 


= 

مثال‎1‎‏:‏ اگر حل:‏ 

A + B = ( −3cd 

= −3cd 

2 

A + B باشد B 9cd 7cd 

2 2 

A −3cd و − 5 − = 

− 2cd + 5 

2 

− 2cd + 5) + (9cd − 7cd 

− 2cd + 5 + 9cd − 7cd 

2 

2 

− 5) 

− 5 = −10cd 

2 

+ 7cd 

فعاليت 

4 باشد مجموع اين سه 

2 

2 

اگر B = 2ab + 3a − 2 , A = ab + 3a و + a C = 2 

( A B + C = ?) 

پولينوم را دريابيد.‏ + 

را دريابيد اگر:‏ 

و 4 و نيز اگر 

B = a و 

2 

C = x − 5x 

+ 

3 

b 

2 

− 2a 

2 

b 

3 

+ 4b − 4 

مثال‎2‎‏:‏ A + B + C 

2 

B = 3x − 5 − 2x , A = 1+ 

2x + 

, A 

4 3 

= a b − 2a b 

باشد.‏ 

2 

− 3a 

2 

b 

3 

4 3 

C = a b + a b 

3x 

2 

− 4c − 2b 

2 

− 2c 

حل:‏ در اول پولينوم ها را به شكل منظم مى نويسيم و بعد حدود مشابه را باهم جمع 

مى كنيم:‏ 

17

+ 

3x 

x 

2 

− 2x 

2x 

2 

2 

2 

+ 2x + 1 

+ 3x − 5 

− 5x + 4 

4 3 

a b − 2 a b 

a 

4 

2a 

b 

4 

b 

+ 

a 

a 

3 

3 

b 

b 

2 

2 

2 

− 3a 

− 2a 

− 5a 

2 

2 

2 

b 

b 

b 

3 

3 

3 

− 4c − 2b 

− 2c 

+ 4b − 4 

− 6c + 2b − 4 

2- عملية تفريق:‏ در عملية تفريق معكوس جمعى مفروق را با مفروق منه جمع مى كنيم 

يا به عبارت ديگر علامه هاى مفروق را تغيير مى دهيم.‏ 

− x 

A 

مثال‎1‎‏:‏ پولينوم B را از پولينوم A تفريق نماييد اگر = 

و 

A − B = 

= −x 

A 

A = −x 

− B = mx 

3 

+ x 

3 

2 

+ x 

= −3x 

−10 

−x 

2b 

3 

2 

+ x 

2 

− 2c 

+ x − 7 

3 باشد و نيز اگر = 

3 

3 

+ x 

± x 

2 

2 

+ x − 7 + x 

2 

− 2d 

+ x − 7 

+ x − 7 − ( −x 

2 

± 4x ± 3 

− 3x −10 

3 

3 

+ x 

− x 

2 

2 

2 

− 2e 

2 

+ 4x + 3) 

− 4x − 3 

B = b باشد.‏ 

B= 

b 

A − B = b 

2 

2 

3 2 

B = −x 

و + 4x + x + 

2 

A = 2b 

− 

2 

− 3c 

3c 

c 

2 

2 

− 2c 

m 

+ 

2 

− 3d 

2 

d 

2 

− 2d 

m 

+ 

3d 

2 

− 3e 

2 

2 

m 

2 

− 2e 

3e 

+ e 

2 

− f 

2 

حل:‏ 

2 

2 

m 

f 

2 

+ f 

2 

يا 

بايد به ياد داشته باشيم كه غرض ساده ساختن يك پولينوم حدود مشابه(‏terms (Like را 

باهم جمع و يا از يكديگر تفريق مى كنيم.‏ 

به طور مثال:‏ 

2 4 

a) x + 6x 

b) 3x − x −1+ 

3 − 2x = 2 

c) 2x 

2 

− x − x 

−8 

+ 9x 

2 

+ 2x 

− x − 2 = x 

d) 6xy − xy − x − y + 2x = 5xy + x − y 

e) mn − 4 + mn − 5 = 2mn − 9 

2 

4 

2 

− 6x 

2 

= 8x 

− 2x − 2 

4 

+ 4x 

2 

−8 

18

− t + 5t 

2 

3p − 4p 

2 

− 6t 

2 

+ 6t − 3 

+ 6p + 10p 

2 

فعاليت 

در پولينوم هاى زير حدود مشابه(‏terms (Like را نشان دهيد.‏ 

9rs − 2r 

2 

s 

2 

+ 4r 

2 

2fg + f g − fg 

2 

2 

s 

2 

+ 3rs − 7 

2 

− 2fg + 3f g + 5fg 

2 

حل:‏ 

فعاليت 

كدام پولينوم را جمع كنيم تا حاصل جمع 

2a 

−a 

a 

4 

4 

4 

3 2 

− 3a b + a b 

3 2 

± 2a b ± a b 

− 5a 

3 

b 

2 

2 

− 3ab 

3 

m 3ab 

3 

− b 

− b 

4 

4 

4 3 3 

a 2a b − 3ab + 

مثال‎2‎‏:‏ با پولينوم + 

شود؟ 

و 3 را از مجموع پولينومهاى 

3x 

2 

− x 

3 

− 

a 

2 

b 

4 3 3 4 

2 a − 3a b − 3ab − b + 

4x 

6 − 2x 

2 

2 

a 

2 

b 

مجموع پولينوم هاى + 

7 تفريق كنيد.‏ 

2 3 3 2 

− x + 3x 

x + x − 2x و − 

2 

4 

3 

202x y − 303x y 

4 

3 

-101x y m 303x y 

101x 

4 

y 

2 

−101x 

2 

2 

± 101x 

− 202x 

y 

2 

2 

3 

y 

y 

− 404xy 

3 

3 

4 

m 404xy 

− 505y 

4 

5 

± 505 y 

−1010y 

5 

5 

مثال‎3‎‏:‏ تفريق كنيد.‏ 

3ax − 5bx −8cx 

−11dx 

− 3ax m 5bx m 8cx m11dx 

0 

مثال‎4‎‏:‏ حدود مشابه terms) (Like را باهم جمع و ساده كنيد.‏ 

20 − k − k −10 

− 6 − k 

y 

2 

−1+ 

y 

2 

−1 

= 2y 

2 

2 

− 2 

= −k 

2 

− 2k + 4 

8 −10 

+ x − 7 + x = 2x − 9 

ab + a − b − a = ab − b 

19

4b 

x 

2 

3 

− 2b 

2 

− 5x − 2x 

− 2 + b − 4b 

2 

3 

+ 5 = −x 

+ b 

2 

2 

+ b 

2 

− 5x + 5 

− b + 2 = 0 

بايد به ياد داشته باشيم كه اگر ,Q P و R پولينوم ها باشند؛ پس:‏ 

‏(خاصيت تبديلى عملية جمع).......................‏ + 

‏(خاصيت اتحادى عملية جمع)......‏ + 

‏(خاصيت توزيعى ضرب بالاى جمع).............‏ + 

P Q = Q + P 

P (Q + R) = (P + Q) + R 

P(Q R) = PQ + PR 

(Q + R)P = QP + RP 

يا:‏ 

در عمليه هاى جمع و تفريق پولينوم ها حدود مشابه باهم جمع و يا از يكديگر تفريق 

مى شوند.‏ در عملية جمع پولينوم هاخاصيت هاى تبديلى و اتحادى صدق مى كند و در 

عملية تفريق معكوس جمعى مفروق با مفروق منه جمع مى شود و خاصيت توزيعى ضرب 

بالاى جمع پولينوم ها نيز صدق مى كند.‏ 

تمرين 

است اگر يك پولينوم 3 باشد،‏ پولينوم 

x 2 − 2xy + 

4 2 3 

4 + 2x تفريق 

+ x − x + 1 

x 

2 

1. مجموعة دو پولينوم + 

ديگرى را دريابيد.‏ 

2x 

− y 

1 را از پولينوم x 

3x 

4 

2 

3 2 

.2 پولينوم + x + 5x + 2x − 

كنيد.‏ 

را تفريق كنيد.‏ 

3 2 2 3 

3 2 2 3 

.3 از پولينوم ، a + 3a b + 3ab + b پولينوم a − 3a b + 3ab − b 

3 2 

3 

3 2 

C = 2a 

− a + 2a 

.4 اگر + 7 6a B = a + 2a + 5 , A = a + 2a − و −8 

( A + B + C = ? 

باشد مجموعة اين سه پولينوم را دريابيد.‏ ) 

5. حاصل جمع افاده ) + مساوى است به:‏ 

a) − 3ab 

2 

(ab 

2 

+ 8a + 2 

3a) + (2ab 

(3a 

2 

b 

2 

2 

+ 2a 

+ 3a − 2) + (2a + 4 

b)3ab 

2 

2 

+ 8a 

− 5ab) + ( −3ab 

+ a 

2 

c)3ab 

2 

+ 8a + 2 

6. جمع كنيد:‏ 

− 2) + (1 + 6ab) 

7. اگر دو طياره از يك ميدان هوايى در جهت مقابل همديگر پرواز كنند،‏ در صورتى كه 

2 ساعت بعد فاصلة يك طياره از ميدان هوايى x 400 ميل و فاصلة طيارة ديگر 

از همين ميدان هوايى − 100 ميل باشد فاصله بين اين دو طياره را دريابيد.‏ 

2 

+ 2x + 

3x 

2 50x + 

20

ضرب پولينوم ها 

حجم مكعبى را دريابيد كه هر ضلع آن 

(1+ x ( سانتى متر باشد.‏ 

x+1 

x(x 

5 

( 

2 

فعاليت 

ضرب كنيم حاصل 

4 5 

5 s 

ضرب مونوم در مونوم:‏ اگر مونوم r را در مونوم r 

مى شود.‏ 


m 

) = x 

5 

mn)( 

2 

2 3 

3 s 

2 3 4 5 6 8 

ضرب آن ( 3r s )(5r s ) = 15r s 

2 

1 

2 

4 8 

( − 30a b)( −5ab و ( x)( −x) 

, (7x y)( −3x 

yz ) 

3 

1 2 1 2 16 1 16 

(4) ( ) = ( )( ) = = 1 

4 2 4 4 16 

3 2 

5 

( −2a) 

( −2a) 

= −32a 

m+ 

1 

5 

mn)( 

2 

b 

( −a 

)( −a) 

= a 

= x 

b+ 

1 

1+ 

m 

125 

mn) = 

8 

1+ 

b 

= a 

(0.01p)(0.01p) = 0.0001p 

2 2 

4 

(0.1x )(0.1x ) = 0.01x 

3 2 4 4 5 

x (x − x y ) = x − x y 

4 

2 

3 3 

m n 

حاصل ضرب − 

مثال‎1‎‏:‏ حاصل ضرب هاى زير را به دست آوريد:‏ 

2 3 

(2m n 

4 

5 2 

− 3b(5b −8b 

+ 12) = −15b 

+ 24b − 36b 

2 2 2 

2 2 

4 3 

− 4s t (5s t + 6st − 2s t ) = −20s 

t − 24s t 

a 

( −5y 

)(5y) = −25y 

− a 

2x 

( −2a) 

= 2a 

a+ 

1 

2 2 3 3 5 

( −4s 

t )(2st ) = −8s 

t 

2x+ 

1 

1 1 1 2 

( − a)( − a) = a 

2 2 4 

( −0.1)( 

−0.1)( 

−0.1) 

= −0.001 

2 2 

( −mn)( 

−mn 

) = m n 

ضرب مونوم در پولينوم:‏ 

مثال‎2‎‏:‏ حاصل ضرب هاى زير را دريابيد.‏ 

4 2 3 

)(1− 

4mn ) = 2m n − 

3 3 

4 

+ 8s t 

4 

3 

3 7 

8m n 

21

فعاليت 

حجم مكعبي را دريابيد كه طول آن ، 2 x عرض آن x و ارتفاع آن + 2 x باشد.‏ 

x 

− 5 

x 

x 

2 

− 5x 

− 4 

− 4x 

20 

ضرب پولينوم در پولينوم 

مثال‎3‎‏:‏ ‏(‏a‏)حاصل ضرب ) را دريابيد.‏ 

( x − 4)(x − 5 

2 

2 

حل:‏ + 20 9x (x − 4)(x − 5) = x − 5x − 4x + 20 = x − 

2 

2 3 2 2 

b ) (a + b)(a + b)(a + b) = (a + b)(a + 2ab + b ) = a + 3a b + 3ab + 

b 

3 

2 

x) Q ( باشد.‏ 

= 2x 

− x و + 1 P( 

x) 

= x 

3 + 2x اگر :c 

22 

= x 

3 

= 2x 

⋅ 2x 

5 

2 

− x 

+ x 

4 

3 

+ x 

P(x) ⋅ Q(x) = (x 

⋅( 

−x) 

+ x 

3 

+ 4x 

3 

3 

− 2x 

3 

⋅1+ 

2x ⋅ 2x 

2 

+ 2x) ⋅(2x 

2 

+ 2x = 2x 

2 

− x + 1) 

+ 2x ⋅( 

−x) 

+ 2x ⋅1 

5 

− x 

4 

+ 5x 

3 

− 2x 

2 

+ 2x

فعاليت 

باهم ضرب كنيد.‏ 

a) 

b) 

(x 

( 

= ( 

m 

= [( 

= (x 

+ y 

x − 

3 

2 

x ) 

) 

2 

n 

x − 

3 

)(x 

y)( 

− ( 

− (y 

3 3 

و a − b 

2m 

y)(x + 

3 

2 

x + 

y) 

) 

− x 

2 

3 

m 

][( 

= x 

y 

3 

مثال‎4‎‏:‏ افاده هاي زير را به كمك مطابقت هاى + a 

حل:‏ 

n 

3 

+ y 

y)(x + 

x ) 

3 

− y 

3 

b 

2n 

xy + y)( 

3 

+ ( 

) = (x 

x + 

m 

= (x 

+ y 

m 

) 

3 

3 

y) ] = [( 

n 

xy + y)(x − 

+ (y 

y)(x − 

)[(x 

x ) 

3 

n 

] 

m 

) 

2 

) 

3 

2 

= x 

xy + y) 

− (x 

xy + y) 

−[( 

3m 

m 

y) 

n n 

)(y ) + (y ) 

+ y 

به ياد داشته باشيد اگر Q , P و R پولينوم ها باشند:‏ 

‏(خاصيت تبديلى ضرب)‏ ⋅ 

‏(خاصيت اتحادى ضرب)‏ ⋅ 

P Q = Q ⋅ P 

P (Q ⋅R) 

= (P ⋅Q) 

⋅R 

8 باشد خاصيت هاى تبديلى و اتحادى 

ضرب را در آن ها بررسى كنيد.‏ 

2 

Q ( x) 

= 4x 

اگر‎1‎‏−‏ P(x) = 2x − x و − 

3 

] 

2 

3n 

2 

] 

در جدول زير مساحت(‏Area‏)‏ اشكال هندسى را دريابيد.‏ 

مساحت 

طول داده شده 

اشكال هندسى 

مستطيل 

مستطيل 

مثلث 

مربع 

مربع 

دايره 

+ 5 ، و عرض آن − 4 n 

، 3 + 3 و عرض آن −1 2y 

، 2 − 5 و ارتفاع آن + 2 2 b 

طول آن n 

طول آن y 

قاعدة آن b 

هر ضلع آن + 13 m ، مى باشد 

هر ضلع آن − 4 2g مى باشد 

شعاع آن + 2 c 3 مى باشد 

n 2 

b 

3 

+ n − 20 

− 

6y 

2 + 3y − 3 

5 

b 

2 

2 

+ 2b − 5 

m 2 + 26m + 169 

4g 

2 −16g 

+ 16 

2 

(9c + 12c + 4) 

π 

23

فعاليت 

حاصل ضرب ) + را دريابيد.‏ 

(a 

2 2 2 

b + c)(a + b + c − ab − bc − ac 

سؤال:‏ چهار سمت يك حوض مستطيل شكل،‏ راه سمنت شدة 

حوض مى باشد كه عرض راه x متر و طول و عرض حوض به ترتيب 

مى باشد مساحت راه را دريابيد.‏ 

حل:‏ مساحت مجموعى راه و حوض 

1250 

تمرين 

25 m و 50m 

A = (25+ 

2x)(50+ 

2x) = 1250+ 

150x + 4x 

150x + 4x 

2 

مساحت حوض:‏ ( 25m)(50m) = 1250m 

2 

2 

پس مساحت راه:‏ + 


در ضرب پولينوم ها ميتوان مونوم را در مونوم،‏ مونوم را در پولينوم و يا پولينوم را در 

پولينوم با هم ضرب كرد و در عملية ضرب خاصيت هاى تبديلى،‏ اتحادى و خاصيت 

توزيعى ضرب بالاى جمع نيز صدق مى كند.‏ 

−1250 

= 4x 

+ 150x 

2 

2 2 

2 2 

3 2 

− 2xy(2x + 2y − 2) , (4x y z)( −5xy 

.1 ضرب كنيد:‏ ) z 

2 − 4 مى باشد،‏ اگر 

( +1 

2. ارتفاع يك بكس x انچ،‏ طول آن ) x انچ و عرض آن x 

ارتفاع بكس 3 انچ باشد حجم اين بكس مساوى است به:‏ 

a ) 

40in 

3 

b) 

24in 

3 

c) 

48in 

3 

d) 

20in 

3 

مساوى است به:‏ 

a 

( 

a 

p 

−q 

) 

p−q 

a 

( 

a 

q 

−r 

) 

q−r 

a 

( 

a 

r 

−p 

) 

r−p 

3. حاصل ضرب 

a)1 

) صفر ) c b) − 1 

هر سه درست نيستند d 

24

تقسيم پولينوم بر مونوم 

4m 

n 

n 

2 

, 

1 

a 

1 

b 

, 

آيا حاصل تقسيم 

2 

3mn 

− mn 

14x 

2x 

را به دست آورده 

2 

5 

, 

و 

− x 

x 

2 

− n 

b 

n 

باشند)؟ 

مى توانيد؛ ‏(اگر تمام مخرج ها خلاف صفر 

a 

(x 

x 

r 

4 

4 

s 

تقسيم مونوم بر مونوم(‏monomial :(Dividing monomial by 

مثال‎1‎‏:‏ تقسيم كنيد.‏ 

5 5 7 

9 3 

2 

a 

36a 

b c 

4 4 6x y 3 3 − a 2−x 

− n a−b 

= 3ab c , = x y , = a , = −n 

4 3 

6 2 

x 

b 

12a 

+ 5x 

+ 5x 

x 

3 

2 

3 

bc 

2 

− 7x ) ÷ x 

− 7x 

2 

5 3 

− r s − 4r s 

2 

r s 

x 

= 

x 

8 2 4 6 3 9 

x y − x y − 4x y 

3 

x y 

6 

2 

4 

4 

2 

2 

5x 

+ 

2 

x 

3 

4 

= r s − r 

4x 

y 

7x 

− 

2 

x 

2 

5 5 

= x y − xy 

3 

− 4rs 

3 

2 

= x 

2 

− 4y 

− a 

+ 5x − 7 

8 

فعاليت 

حاصل تقسيم را به دست آوريد(مخرج ها خلاف صفر اند)‏ 

n 

تقسيم پولينوم بر مونوم:‏ 

(x 

3 

(x y ≠ 0) 

2 

(r s ≠ 0) 

2 

≠ 0) 

مثال‎2‎‏:‏ تقسيم كنيد:‏ 

6 13 

27x y −18x 

a : 

3 8 

9x y 

12 

y 

8 

2 2 

x x 

b : ÷ 

2 

y −1 

y −1 

3 

10b c 

c : 

2 7 

6b c 

7 

25

تقسيم پولينوم بر پولينوم:‏ وقتى كه يك پولينوم را بالاي پولينوم ديگر تقسيم مى نماييم 

مقسوم(‏Dividend‏)‏ و مقسوم عليه (Divisor) هر دو بايد به طور منظم ترتيب شوند.‏ 

مثال‎3‎‏:‏ حاصل تقسيم ) + را به دست 

آريد.‏ 

(13x 

2x 

4 

+ 12 + 3x 

3 

2 

− 4x ) ÷ (3 + x 

2 

− 2x 

2x 

4 

- 2x 

+ 3x 

4 

m 4x 

7x 

3 

3 

− 4x 

3 

± 6x 

−10x 

3 

_ 7x −+ 

14x 

4x 

− 4x 

2 

2 

2 

2 

+ 13x + 12 

2 

+ 13x 

2 

± 21x 

−8x 

+ 12 

m 8x ± 12 

0 

x 

2 

2x 

− 2x + 3 

2 

+ 7x + 4 

فعاليت 

x 

3 

_ x 

3 

± 3x 

− 3x 

m 3x 

−19x 

m 9x 

−10x 

− 30 

m10x 

m 30 

0 

حاصل تقسيم ) + را به دست آوريد.‏ 

5 5 

( a b ) ÷ ( a + b 


− مثال‎4‎‏:‏ حاصل تقسيم ) حل:‏ 

−19x 

− 30 x + 3 

2 

2 

2 

x 

( x 

3 19x − 30) ÷ (x + 3 

2 

− 3x −10 

26 

2 + 1 پوره 

x 

كدام عدد جمع شود تا بر − مثال‎5‎‏:‏ با پولينوم 6 تقسيم شود؟ 

حل:‏ 

4x 

3 

10x 

2 

+ 12x +

4x 

3 

_4x 

−10x 

3 

± 2x 

−12x 

m12x 

2 

2 

2 

2 

+ 12x + 6 

+ 12x 

m 

6x 

18x + 6 

_18x ± 9 

− 3 

2x + 1 

2x 

2 

− 6x + 9 

در نتيجه اگر با پولينوم فوق عدد 3 جمع شود به ) x پوره تقسيم مى شود،‏ متوجه 

بايد بود كه عملية تقسيم را تا وقتى ادامه ميدهيم كه باقيمانده صفر و يا درجة باقيمانده از 

درجه مقسوم عليه به اندازة يك كم باشد.‏ 

( 2 + 1 

فعاليت 

حاصل ضرب دو پولينوم − 1 مى باشد.‏ اگر يك پولينوم 

1 باشد پولينوم ديگرى را دريابيد.‏ 

6y 

3 

11y 

2 

+ 6y − 

3y 

2 − 4y 

+ 

3 2 4 3 2 پوره تقسيم 

x بر −1 12x 3x −13x 

+ x + 5 

12x 

4 

_12x 

+ 3x 

4 

3x 

_ 3x 

3 

3 

3 

−13x 

− 9x 

− 9x 

m 9x 

m 4x 

2 

2 

2 

2 

+ x + 5 

2 

+ x 

m x 

+ 2x + 5 

± 3 

2x + 2 

مثال‎6‎‏:‏ به كدام قيمت x پولينوم + 


حل:‏ 

3x 

2 

4x 

−1 

2 

+ x − 3 

3 2 1− پوره تقسيم مى شود.‏ 

2x + 2 = 0 

2x = −2 

x = −1 

پس براى 1 پولينوم فوق بر x 

x = − 

27

در تقسيم پولينوم مي توانيم مونوم را بر مونوم،‏ پولينوم را بر مونوم و يا پولينوم را بر پولينوم 

تقسيم كنيم طوري كه مقسوم و مقسوم عليه به طور نزولى ترتيب گردد و عملية تقسيم تا 

وقتى ادامه داده مي شود كه درجة باقيمانده به اندازة يك از درجه مقسوم عليه كم باشد.‏ 

تمرين 

13 پوره تقسيم مى شود؟ 

3 2 

x − بر 3x − 7x 

− 9x 

1. به كدام قيمتP پولينوم + p 

2. خارج قسمت ها را دريابيد.‏ 

(a 

(x 

(x 

3 

2 

5 

+ b 

3 

+ c 

5 

− y ) ÷ (x − y) 

5 2 8 4 

j k − 3j k 

4 

2j k 

5 4 2 

12x + 9x + 15x 

3 

3x 

6 13 12 8 

27a b −18a 

b 

3 8 

9a b 

3 

+ x − 6) ÷ (x − 2) 

− 3abc) ÷ (a + b + c) 

28

قضية باقيمانده 

(Remainder Theorem) 

آيا بدون انجام دادن عملية تقسيم مى توانيد 

بگوييد كه اگر پولينوم x 

− 4 تقسيم گردد باقيمانده چند 

خواهد بود؟ 

باقی 

3 − 6x 

2 − x − 

6 

بر x 

R = P(a) مى شوديا (a) 

اگر پولينوم a P تقسيم شود باقى مانده مساوى با P 

مثال‎1‎‏:‏ اگر پولينوم = 3 ( تقسيم شود باقيمانده 

) مساوى است.‏ 

2 

2x + 3x + 4 

2 

_ 2x ± 6x 

− 3x + 4 

m 3x m 9 

13 

x + 3 

2x − 3 

2 

x + ) بالاي P(x) 2x + 3x + 4 

P( − 3) = 2( −3) 

x − بر (x) 

P( 

(Remainder) با − 3 

حل:‏ 

حالا امتحان مى كنيم وعلمية را انجام مى دهيم.‏ 

(x) را بالاي a) ( x − تقسيم كنيم باقيمانده P(a) R = مى باشد.‏ 

2 

+ 3( −3) 

+ 4 = 13 

قضيه:‏ اگر پولينوم P 

ثبوت:‏ اگر خارج قسمت تقسيم P 

كه:‏ 

(x) و باقيمانده R باشد داريم 

Q ، ( x − a) بر (x) 

P(x) = Q(x)(x − a) + R 

P(a) = Q(a)(a − a) + R 

P(a) = R 

(2 − ( تقسيم شود باقى مانده چند خواهد 

x − a = 0 

x = a 

3 2 

x بالاي 2 − x − 7 

مثال‎2‎‏:‏ اگر پولينوم x 

بود؟ 

29

P(2) = 2(2) 

R = 5 

3 

− (2) 

2 

− 7 = 16 − 4 − 7 = 5 

حل:‏ 

فعاليت 

توسط قضية فوق باقيمانده را معلوم كنيد.‏ 

) تقسيم شود.‏ 

3 2 

( x بالاي + 17 x − x − 226x 

اگر + 1410 

3 2 

x بالاي x − 2x + 3x اگر + 5 

3 2 

x بالاي x + 18x + 164x + اگر‎199‎ 

4) − ( تقسيم شود.‏ 

8) + ( تقسيم شود.‏ 

1 

( x + 5 بالاي 2 + x − 9 

2 

مثال‎3‎‏:‏ اگر پولينوم ) x تقسيم شود بدون انجام دادن عملية 

تقسيم بگوييد كه باقيمانده چند خواهد بود.؟ 

حل:‏ 

1 1 2 1 

P( − ) = 5( − ) − − 9 

2 2 2 

1 1 5 1 5 − 2 − 36 33 

= 5( ) − − 9 = − − 9 = = − 

4 2 4 2 4 4 

) تقسيم كنيم 

3 2 

( 2y را بالاي + 1 P(y) 10y + 7y − y −11 

1 1 3 1 2 1 

P( − ) = 10( − ) + 7( − ) − ( − ) −11 

2 2 2 2 

1 1 1 1 

P( − ) = 10( − ) + 7( ) + −11 

2 8 4 2 

5 7 1 − 5 + 7 + 2 − 44 − 40 

= − + + −11= 

= = −10 

4 4 2 

4 4 

R = −10 

x + 

1 

2 

x = − 

= 0 

1 

2 

مثال‎4‎‏:‏ اگر پولينوم = 

بدون انجام دادن عملية تقسيم باقيمانده را دريابيد.‏ 

حل:‏ 

2y + 1 = 0 ⇒ 2y = −1 

1 

⇒ y = − 

2 

30

فعاليت 

باقيماندة سؤال مثال 4 را توسط انجام دادن عملية تقسيم دريابيد.‏ 

4 3 2 

4x 12x −13x بر 4) + x ( تقسيم گردد 

− 33x + 18 

P( −4) 

= 4( −4) 

4 

+ 12( −4) 

3 

−13( 

−4) 

مثال‎5‎‏:‏ اگر پولينوم + 

باقيمانده را دريابيد.‏ 

حل:‏ 

2 

− 33( −4) 

+ 18 

= 1024 − 768− 

208+ 

132 + 18 = 1174− 

976 = 198 

4x 

- 4x 

4 

4 

+ 12x 

± 16x 

− 4x 

m 4x 

3 

3 

3 

3 

−13x 

−13x 

m16x 

+ 3x 

2 

± 3x 

2 

2 

2 

2 

− 33x + 18 

− 33x 

± 12x 

− 45x + 18 

m 45x m180 

198 

x + 4 

4x 

3 

− 4x 

حال عملية تقسيم را انجام مى دهيم:‏ 

2 

+ 3x − 45 

اگر پولينوم P(x) را بالاي x-a) ( تقسيم كنيم بدون انجام دادن عملية تقسيم توسط قضية 

باقيمانده(‏Theorem (Remainder باقيماندة عملية تقسيم را دريافت كرده مى توانيم 

كه باقيمانده(‏R‏)‏ با P(a) مساوى مى باشد.‏ 

31

تمرين 

1. به كمك قضية(‏theorem (Remainder باقيمانده را دريابيد.‏ 

(5x 

(6x 

3 

2 

− x 

2 

+ 4x + 1) ÷ (x − 3) 

+ 15) ÷ (4x + 9) 

(6p 

(4y 

3 

2 

+ 2p 

2 

− p + 20) ÷ (p − 

− y − 6) ÷ (y −1.6) 

1 

) 

2 

+ 2 تقسيم شود به كمك قضية باقى 

مانده بگوييد كه به كدام قيمت k باقيمانده − 44 خواهد شد؟ 

) تقسيم شود به كدام قيمت k عدد 2 

3 2 2 

.2 اگر پولينوم − 6 x 5x − k x + 3k بر x 

1 

2 4 2 

.3 اگر پولينوم + 1 ky 2k y − بالاي − y ( 

2 

باقى مى ماند؟ 

(1− ( تقسيم شود به كدام قيمتm باقيماندة 

2 4 2 

.4 اگر پولينوم + 2 10x m x − بالاي x 

آن 17 مى شود؟ 

32

( x 

5 + 1) ÷ ( x + 1) 

5 

P( − 1) =[ ( −1 

)+ 1] 

= −1+ 

1 = 0 

قضية فكتور 

(The Factor Theorem) 

آيا (1− x ( يك فكتور پولينوم 

3 2 

)P است؟ 

x) 

= x − 4x 

+ x + 2 

فعاليت 

يك فكتور اين پولينوم مى باشد.‏ 

( x − a) بالاي (x) 

x − a شود؛ پس P ( a) 

اگر در پولينوم P(x) ، 0 = 

ثبوت:‏ به اساس قضية باقيمانده ) است،‏ اگر پولينوم P 

اگر 

P(x) = x 

P(2) = 2 

P(x) Q(x)(x − a) + R 

3 

3 

R = P(a 

تقسيم شود و خارج قسمت آن ) باشد داريم كه:‏ = 

+ 3x 

(x) مى باشد.‏ 

a) P( است.‏ 

(x) باشد؛ پس = 0 

Q(x 

P(x) = Q(x)(x − a) باشد؛ پس:‏ R = 0 

مشاهده مى شود كه ) − x يك فكتور پولينوم P 

( a 

و يا اگر ) يك فكتور پولينوم P 

( x − a 

مثال‎1‎‏:‏ به اساس قضية فكتور نشان دهيد كه (2 − x ( يك فكتور پولينوم 


حل:‏ 

2 

+ 3(2) 

+ 4x − 28 

2 

(x) مى باشد.‏ 

1− يك فكتور 

P(x) = x 

+ 4⋅2 

− 28 = 8 + 3(4) + 8 − 28 = 0 

) يك فكتور پولينوم P 

3 

+ 3x 

2 

+ 4x − 

x − 2 = 0 

x = 2 

چون R يا = 0 2) ( P است؛ پس − 2 x ( 

بدون اجراى عملية تقسيم به كمك قضية فكتور نشان دهيد كه x 


مثال‎2‎‏:‏ به كمك قضية فكتور نشان دهيد كه(‏ 


حل:‏ 

− 2 x ( يك فكتور پولينوم 

P(x) = 2x 

3 

−13x 

2 

+ 26x − 

P(x) = x 

5 − 

33

P(x) = x 

P(2) = 2 

5 

5 

− 32 

− 32 = 32 − 32 = 0 


مثال‎3‎‏:‏ آيا ) x يك فكتور پولينوم‎4‎ = مى باشد؟ 

چون = 0 P(2) R = است؛ پس 2) − x ( يك فكتور پولينوم − 5 x 

P(x) 

2x 

P( − 1) = 2( −1) 

3 

+ 5x 

3 

2 

+ 7x + 

+ 5( −1) 

2 

فعاليت 

( +1 

+ 7( −1) 

+ 4 = −2 

حل:‏ = 0 4 + 7 − 5 + 

) مساوى به صفر است؛ پس (1− x ( يك فكتور اين پولينوم مى باشد.‏ 

P(x) 

2x 

4 

− 3x 

3 

− x − 2k 

چون R يا (−1 P 

مثال‎4‎‏:‏ به كدام قيمت x ) ، k يك فكتور پولينوم = 

( −1 

4 3 

P(1) = 2(1) − 3(1) −1− 

2k = 2 − 3 −1− 

2k = −2 

− 2k 

− 2 − 2k = 0 ⇒ − 2k = 2 ⇒ k = −1 

مى باشد؟ 

حل:‏ 

چون براى k 1 باقيمانده صفر مى شود،‏ در نتيحه 1− x يك فكتور اين پولينوم 


توسط قضية فكتور نشان دهيد كه آيا دو حده هاى ‏(باينوم ها)‏ طرف چپ،‏ فكتور هاى 

پولينوم هاى مربوطه مى باشد و يا خير؟ 

(x − 6) : (x 

6 

− 36x 

+ 1296) 

1 3 

(x + ) : (20x + 7x + 6) 

2 

3 2 

(x − 0.1) : (10x −11x 

+ 1) 

3 

(y + 5) : (y 

3 

1 

(x − ) : (x 

2 

(x + 2) : (x 

= − 

+ 125) 

5 

3 

1 

− ) 

8 

+ 32) 

معكوس قضيه فكتور Theorem) :(Converse of Factor 

P ( a) 

(x) باشد؛ پس:‏ = 

اگر ( x − a 

) يك فكتور پولينوم 0 P است و عدد a يك 

جذر(‏Root‏)‏ معادلة پولينومى P 0 مى باشد.‏ 

مثال‎1‎‏:‏ اگر ) يك فكتور پولينوم = 6 باشد،‏ نشان 

P(x) 

x 

3 

− 6x 

2 

, 

, 

, 

+ 11x − 

( x) 

= 

( x − 2 

34

x 

3 

2) − ( يك 

P(2) = 2 

دهيد كه P 0 است و عدد 2 يك جذر معادله − 


حل:‏ اگر عدد 2 يك جذر معادلة 

فكتور اين پولينوم است و 0 مى باشد.‏ 

6x 

2 

+ 11x − 6 = 0 

3 2 

x باشد؛ پس:‏ x − 6x + 11x − 6 = 0 

3 

− 6(2) 

2 

P( 2) = 

+ 11(2) − 6 = 8 − 24 + 22 − 6 = 0 

فعاليت 

( 2) = 

باشد قيمت k را 

+ مثال 2: اگر عدد 2- يك جذر معادلة 0 دريابيد.‏ 

حل:‏ 

x 

3 

4x 

3 

2 

( −2) 

+ 4( −2) 

+ k( −2) 

+ 8 = 0 

−8 

+ 16 + k( −2) 

+ 8 = 0 

− 2k = −8 

+ 8 −16 

k = 8 

3 2 

= 0 12 + 5x x − 6x + مى 

3 2 

(3) − 6(3) + 5(3) + 12 = 0 

27 − 54 + 15 + 12 = 0 

54 − 54 = 0 

0 = 0 

2x 

4 

3k = 78 

k = 26 

− 6x 

3 

4 3 

2(3) − 6(3) 

2 

+ kx + 8 = 

مثال‎3‎‏:‏ نشان دهيد كه عدد 3 يك جذر معادلة پولينومى 

باشد.‏ 

حل:‏ 

مشاهده مى شود كه عدد 3 يك جذر اين معادلة پولينومى مى باشد.‏ 

نشان دهيد كه عدد 2 يك جذر معادلة 0 مى باشد.‏ 

− 7x 

2 

− 7(3) 

x 

3 

− 4x 

2 

+ kx −15 

= 0 

162 −162 

− 63 + 3k −15 

= 0 

3k = 15 + 63 + 162 −162 

= 78 

2 

+ 5x − 2 = 

مثال 4: به كدام قيمت k عدد 3 يك جذر معادلة 


حل:‏ 

+ 3k −15 

= 2(81) − 6(27) − 7(9) + 3k −15 

= 0 

35

اگر (x-a) يك فكتور پولينوم P(x) باشد،‏ پسP(a)=0‎ است،‏ و اگر در پولينوم P(x) , 

P(a)=0 شود،‏ (x-a) يك فكتور پولينوم P(x) مى باشد.‏ 

يك فكتور پولينوم 

ه كدا ق 

12 مى باشد؟ 

P(x) = 2x 

- 1 بهك كدام قيمت ( x − 2) , k 

4 

− x 

3 

+ kx 

2 

+ kx − 

) يك فكتور پولينوم = 27 مى باشد؟ 

- 3 توسط قضية فكتور نشان دهيد كه (7 + x ( يك فكتور پولينوم 


P(x) 

x 

5 

− x 

3 

+ 27x 

2 

− 

P(x) = x 

3 

- 2 آيا + 3 x ( 

+ 8x 

2 

+ 8x + 

- 4 بدون انجام دادن عملية تقسيم نشان دهيد كه آيا (7 − y ( يك فكتور پولينوم 


4 3 2 

P(y) = y + 2y − 6y −14y 

− 

1 

- 5 نشان دهيد كه آيا + m ( 

2 

−10x 

+ 

) يك فكتور پولينوم = 2 مى باشد؟ 

6- به كمك قضية فكتور پولينوم‎8‎ + را تجزيه كنيد.‏ 

) فكتور هاى پولينوم = 2 باشند قيمت 

x 

3 

Q(x) 

9x 

P(x) 

2 

P(x) 

x 

3 

2m 

x 

3 

− 5x 

2 

+ 4m − 

+ ax 

2 

2 

x 

3 

+ bx + 

−16x 

+ k 

x 

2 

-7 اگر −1) x ( و +1 x ( 

هاى a و b را دريابيد.‏ 

) يك فكتور پولينوم = 

+ 14x + k = 0 

- 8 به كدام قيمت ( x − 5 ، k 


تمرين 

- 9 به كدام قيمتk عدد ) −) يك جذر معادلة پولينومى − 


1 

36

تقسيم تركيبى 

(Synthetic Division) 

P(x) 

2x + 3x 

3 

− x 

2 

− 5 

بالاى − 2 x ( 

اگر پولينوم = 

) تقسيم شود 

آيا بدون انجام دادن عملية تقسيم،‏ خارج 

قسمت و باقيمانده را ميتوان دريافت كرد؟ 

براى تقسيم كردن پولينوم P(x) بالاى a) ( x − ، تقسيم تركيبى Method) (Horner's 

يك طريقه كوتاه مى باشد كه به طور عموم براى اين اهداف از آن كار گرفته مى شود.‏ 

- 1 يافتن قيمت پولينوم براى قيمت هاى مختلفx . 

- 2 براى يافتن جذر ناطق معادلة = P 

- 3 براى تجزيه افاده هاى الجبرى.‏ 

مثال‎1‎‏:‏ اگر پولينوم = 

تقسيم نماييم،‏ بدون انجام دادن عملية تقسيم توسط تقسيم تركيبى خارج قسمت 

(Quotient) و باقيمانده (Remainder) را دريابيد.‏ 

حل:‏ 

. (x) 0 

4 3 2 

( x + 4) را بالاى P(x) 4x + 12x −13x 

− 33x + 18 

4 

4 

12 

−16 

− 

4 

−13 

16 

3 

− 33 

−12 

− 45 

4x 

18 

180 

198 

3 

4x 

2 

− 4 

x + 4 = 0 

x = −4 

خارج قسمت − 45 و باقى مانده 198 مى باشدبه اين مفهوم كه:‏ 

P(x) = (x + 4)(4x 

3 

+ 3x − 

− 4x 

2 

+ 3x − 45) + 198 

سطر اول 

سطر دوم 

سطر سوم 

عملية فوق را در قدم هاى زير نشان داده مى توانيم:‏ اعداد سطر اول ضريب هاى مقسوم 

مى باشند كه نظر به توان x به طور نزولى ترتيب شده اند.‏ 

1. عدد 4 از سطر اول به سطر سوم پايين شده است.‏ 

37

4x 

3 

2. عدد 4 در (4-) ضرب شده كه (16-) مى شود و(‏‎16‎‏-)‏ در سطر دوم زير عدد 12 

نوشته شده است.‏ 

3. حاصل جمع اعداد 12 و (16-) را كه (4-) مى شود در سطر سوم مى نويسيم.‏ 

4. عدد (4-) را در (4-) ضرب كه 16 مى شود و در سطر دوم زير عدد 13- نوشته شده 

است.‏ 

5. حاصل جمع اعداد 16 و (13-) كه 3 مى شود در سطر سوم نوشته شده است.‏ 

6. حاصل ضرب 3 و (4-) كه (12-) مى شود در سطر دوم زير عدد 33- نوشته شده 

است.‏ 

7. حاصل جمع(‏‎33‎‏-)‏ و (12-) را كه 45- مى شود در سطر سوم نوشته شده است.‏ 

8. حاصل ضرب(‏‎45‎‏-)‏ و (4-) كه 180 مى شود در سطر دوم زير عدد 18 نوشته شده 

است.‏ 

9. حاصل جمع 180 و 18 كه 198 مى شود در سطر سوم قرار گرفته كه،‏ 198 باقيمانده 

45 خارج قسمت مى باشد.‏ 

2 

و − 3x − 4x + 

3 2 

Q(x) = 4x − 4x + 3x − و‎45‎ R = 198 

− 4x 

+ 3x − 45)(x + 4) + 198 

فعاليت 

P(x) = (4x 

3 

2 

باقيمانده + ‏(خارج قسمت)‏x ‏(مقسوم عليه)=‏ مقسوم 

(4x 

4 

توسط انجام دادن عملية تقسيم خارج قسمت و باقيماند ة سؤال فوق را دريابيد.‏ 

مثال‎2‎‏:‏ توسط تقسيم تركيبى و انجام دادن عملية تقسيم خارج قسمت و باقيمانده عمليه 


به ياد داشته باشيد عوض ضريب هاى حدوديكه وجود ندارد صفر مى نويسيم يا به عبارت 

ديگر پولينوم را به شكل پولينوم مكمل به طور نزولى ترتيب مى نماييم.‏ 

2 

تقسيم − 2 (x − 5x + 2x − 3) ÷ 

4 0 − 5 2 − 3 

8 16 22 48 

2 

4 

8 

11 

24 

45 

38

4x 

4 

− 4x 

4 

m 8x 

8x 

3 

−8x 

3 

3 

− 

− 5x 

5x 

m16x 

11x 

−11x 

x 

5 

2 

2 

2 

2 

2 

+ 2x − 3 

x − 2 

+ 2x 

m 22x 

24x − 3 

− 24x m 48 

45 

4x 

3 

4x 

+ 8x 

3 

حالا عملية تقسيم را انجام ميدهيم.‏ 

2 

+ 11x + 24 

خارج قسمت + 

و باقيمانده 45 ميباشد.‏ 

مثال‎3‎‏:‏ توسط تقسيم تركيبى خارج قسمت و باقيمانده 


5 3 2 

(x − x + 27x − 28) ÷ (x + 3 

3 2 

5 4 3 2 

− x + 27x − 28 = x − 0⋅ 

x − x + 27x + 0⋅ 

حل:‏ − 28 x 

8x 

2 

+ 11x + 24 

1 

0 

− 3 

−1 

9 

27 

− 24 

0 

− 9 

− 28 

27 

− 3 

x + 3 = 0 

1 

− 3 

8 

3 

− 9 

−1 

x = −3 

خارج قسمت − 9 و باقى مانده ) −) مى باشد.‏ 

مثال 4: توسط تقسيم تركيبى خارج قسمت و باقيمانده را دريابيد.‏ 

1 

x 

4 

3x 

3 

+ 8x 

2 

+ 3x − 

(2t 

3 

− 7t 

2 

− 2t + 14) ÷ (2t − 3) 

2 

2 

− 7 

3 

− 4 

− 2 

− 6 

− 8 

14 

−12 

2 

3 

2 

حل:‏ 

2t − 3 3 

= t − 

2 2 

3 

t − = 0 

2 

3 

t = 

2 

39

4 

8 خارج قسمت نيست،‏ بلكه خارج قسمت ) t مى باشد.‏ 

مثال 5: توسط تقسيم تركيبى division) (Synthetic خارج قسمت(‏quotient‏)‏ و 

باقيمانده (remainder) را دريابيد.‏ 

4 − 2 

18 

20 

( 2 − 2t 

− 4 

0 

90 

90 

5 

450 

455 

5 


(4V 

3 

− 2V 

2 

2t 

2 − 4t 

− 

+ 5) ÷ (V − 5) 

2 

پس + 90 18v Q(x) = 4v + و = R 

براى تقسيم پولينوم P(x) بالاى x-a) ( مقسوم را به شكل پولينوم مكمل به طور نزولى 

ترتيب مى دهيم و بدون اجراى عملية تقسيم توسط تقسيم تركيبى خارج قسمت و 

باقيمانده را به دست مى آوريم كه درجة خارج قسمت به اندازة يك،‏ از درجة مقسوم عليه 

كم مى باشد.‏ 

تمرين 

(10x 

(5x 

(6p 

(y 

(x 

5 

(4x 

3 

3 

3 

2 

+ 2x + 1) ÷ (x + 1) 

− 3x + 7) ÷ (x + 4) 

+ 2p 

−17y 

3 

− 2x 

+ 8x 

2 

3 

2 

2 

− p + 20) ÷ (p − 

− 9) ÷ (y − 3) 

+ 5) ÷ (x − 5) 

+ 8x + 7) ÷ (x + 7) 

1- توسط تقسيم تركيبى خارج قسمت و باقيمانده را دريابيد.‏ 

1 

) 

2 

, 

, 

(2x 

(6x 

3 

2 

− 7x 

2 

− 2x + 12) ÷ (2x − 3) 

+ 15) ÷ (4x + 9) 

2- توسط تقسيم تركيبى باقيمانده و خارج قسمت ها را دريابيد.‏ 

40

در يافت فكتور و قيمت 

پولينوم توسط تقسيم تركيبى 

آيا به كمك تقسيم تركيبى مى توانيد 

بگوييد،‏ كه (3 + x ( يك فكتور پولينوم 


x 

3 

+ 9x 

2 

+ 27x + 

2x 

4 

− x 

3 

2 

مثال‎1‎‏:‏ توسط تقسيم تركيبى نشان دهيد كه (1− x ( يك فكتور پولينوم 


2 −1 

−1 

1 −1 

− x 

P (1) = 2⋅1 

4 

2 

2 

1 

1 

0 

0 

1 

1 

0 

P(x) = 2x 

(1− ( يك فكتور اين پولينوم مى باشد.‏ 

+ x −1 

= (x −1)(2x 

3 2 

−1 

−1 

3 

+ x 

2 

+ 1) 

+ 1−1 

= 2 −1−1+ 

1−1 

= 0 

4 

− x 

3 

− x 

2 

+ x − 

چون 

و يا اين كه:‏ 

x است؛ پس R = 0 

و يا توسط قضيه باقيمانده:‏ 

) يك فكتور پولينوم + 150 مى باشد و يا خير؟ 

1 

1 

3 

−10 

− 7 

x 

3 

0 

70 

70 

3x 

2 

− 

−150 

− 700 

− 850 

−10 

مثال‎2‎‏:‏ آيا + 10 x ( 

چون 

نمى باشد.‏ 

x 3 + 3x 

−850 = R مى باشد 0) ≠ R ( ، پس 10) + x ( فكتور پولينوم − 150 2 

3 2 

P(x) 3x −12x را براى = 2 x توسط تقسيم 

+ 25+ 

5x 

1 

مثال‎3‎‏:‏ قيمت پولينوم = 

41

P(x) = 3x 

3 

−12x 

2 

تركيبى دريابيد.‏ 

حل:‏ در اول پولينوم P(x) را به طور نزولى ترتيب مى كنيم.‏ 

+ 5x + 25 

3 

3 

−12 

6 

− 6 

5 

−12 

− 7 

25 

−14 

11 

2 

در نتيجه = 11 (2) P مى باشد.‏ 

فعاليت 

3 2 

+ 5 10x P(x) x − x + را براى = 1 x و 

توسط تقسيم تركيبى قيمت پولينوم = 

= 3 x دريابيد.‏ 

1 

r 

42 

4 

مثال‎4‎‏:‏ توسط تقسيم تركيبى نشان دهيد كه (4 − r ( يك فكتور − 256 4 r مى باشد.‏ 

4 3 2 

− 256 = r + 0⋅r 

+ 0⋅r 

+ 0⋅r 

− 256 

حل:‏ 

1 0 0 0 − 256 

4 

4 

Q(x) = r 

R = 0 

3 

16 

16 

+ 4r 

2 

64 

64 

+ 16r + 64 

256 

0 

4 

درنتيجه 4) − r ( يك فكتور − 256 4 r مى باشد.‏ 

دريافت جذور معادله توسط تقسيم تركيبى:‏ 

مثال‎5‎‏:‏ اگر عدد (1) يك جذر معادلة x 0 باشد جذور ديگر اين 

3 + 4x 

2 + x − 6 = 

r − 4 = 0 

r = 4

معادله را توسط تقسيم تركيبى دريابيد.‏ 

x 

x 

3 

2 

+ 4x 

x = −3 

1 4 1 − 6 

2 

1 

1 

5 

+ 5x + 6 = 0 

(x + 3)(x + 2) = 0 

x = −2 

5 

6 

+ x − 6 = (x −1)(x 

6 

2 

0 

+ 5x + 6) 

حل:‏ 

خارج قسمت x 6 مى باشد.‏ 

2 

تمرين 

+ 5x + 

دو جذر ديگر اين معادله 3 مى باشند.‏ 

توسط تقسيم تركيبى مى توان كه فكتور و قيمت يك پولينوم و نيز جذر يك معادلة 

پولينومى را دريافت كرد.‏ اگر پولينوم P(x) را بالاى (x-a) تقسيم نماييم و (0=R) 

باشد،(‏x-a ( يك فكتور پولينوم P(x) است و عدد (a) جذر معادلة پولينومىP(x)=0‎ 


20x و 

3 7x + 6 

1 

( + 

2 

4 

x 2x 

− 2 و − 

1- توسط تقسيم تركيبى نشان دهيد كه ) x يك فكتور پولينوم + 

= 6 دريابيد.‏ 

) يك فكتور پولينوم − 2 مى باشد.‏ 

2 

+ x + 

) يك فكتور پولينوم‎1‎ − مى باشد؟ چرا؟ 

10x 

3 

11x 

2 

6 y − 6y + 

2 

y 

+ 

3 

( x +1 

-2 آيا − 0,1 x ( 

y 

را براى − 3- توسط تقسيم تركيبى قيمت پولينوم باشد جذور ديگر اين معادله 

+ 4- اگر عدد (1) يك جذر معادلة 0 را توسط تقسيم تركيبى دريابيد.‏ 

باشد به كمك تقسيم 

+ 5- اگر عدد(‏ 2-) يك جذر معادلة 0 تركيبى قيمت k را دريابيد.‏ 

x 

x 

3 

3 

x 

4x 

2 

2 

1 

−10x 

+ 8 = 

+ kx + 8 = 

43

خلاصة فصل 

افادة الجبرى به سه نوع ميباشد،‏ افادة الجبرى ناطق،‏ افادة الجبرى غير ناطق و افاده 

الجبرى پولينومى.‏ 

(Like terms) كه متحولين و درجه هاى شان عين چيز باشند حدود مشابه حدودى 

2 

و حدود مشابه اند.‏ 

ناميده مى شوند.‏ مثل 3x 

پولينوم عبارت از افادة الجبرى يك يا چنده حده مى باشد كه توان هاى حروف شان 

در ست اعداد مكمل شامل باشند.‏ 

درجة يك پولينومى كه از يك حرف ‏(متحول)‏ تشكيل شده باشد عبارت از بزرگترين 

توان اين حرف مى باشد و اگر پولينوم از چند حرف تشكيل شده باشد درجه مونومى كه 

بزرگترين توان را داراست عبارت از درجة پولينوم مى باشد.‏ 

به فكتور عددى Factor) (Numerical يك حد،‏ ضريب مى گويند؛ طور مثال:‏ در 


− 

2 2 

6x 

y 

4 y 

2 2 

يا x 

2 

و 5x 

2 

عدد 3 ضريب x 

2 

3x 

تمام اعداد ثابت پولينوم ها اند كه به نام پولينوم هاى ثابت ياد مى شوند كه درجة 

پولينوم هاى ثابت صفر است،‏ اما درجه پولينوم صفرى تعريف نه شده است.‏ 

پولينوم هايى كه داراى يك متحول باشد و ضرايب حدود مشابه آن ها با هم مساوى 

باشند،‏ به نام پولينوم هاى معادل يا د مى شوند.‏ 

قيمت يك پولينوم عددى است كه در نتيجة وضع كردن قيمت داده شده متحول در 

پولينوم به دست مى آيد.‏ 

اگر يك پولينوم از بزرگترين توان متحول تا عدد ثابت تمام حدود را داشته باشد به نام 

پولينوم مكمل و اگر يك يا چند حد نداشته باشد به نام پولينوم ناقص ياد مى شود.‏ 

اگر يك پولينوم از كوچكترين توان متحول تا بزرگترين توان متحول ترتيب شود،‏ 

پولينوم منظم صعودى و اگر از بزرگترين توان متحول تا كوچكترين توان ترتيب شود به 

نام پولينوم منظم نزولى ياد مى شود.‏ 

در عملية جمع پولينوم ها،‏ حدود مشابه terms) (Like با هم جمع و در عملية تفريق 

علامة مفروق تغيير مى كند و متباقى مراحل مثل عملية جمع،‏ به انجام رسانده مى شود.‏ 

44

‏(معكوس جمعى مفروق با مفروق منه جمع مى شود).‏ 

در عمليه هاى جمع و ضرب پولينوم ها خاصيت هاى تبديلى و اتحادى و نيز خاصيت 

توزيعى ضرب بالاى جمع صدق مى كند.‏ 

در عملية ضرب پولينوم ها مى توانيم مونوم را در مونوم،‏ مونوم را در پولينوم و يا 

پولينوم را در پولينوم ضرب كنيم.‏ 

به همين ترتيب در عملية تقسيم پولينوم ها،‏ ميتوانيم مونوم را بر مونوم،‏ پولينوم را بر 

مونوم و يا پولينوم را بر پولينوم تقسيم نماييم.‏ 

اگر پولينوم 

مساوى مى باشد.‏ 

اگر پولينوم 

(a) 

( x − a بالاى P(x) 

) تقسيم شود به اساس قضية باقيمانده،‏ باقى با P 

) تقسيم شود و باقيمانده صفر شود،‏ − x 

a) ( يك 

( x − a بالاى P(x) 

فكتور پولنيوم (x) P مى باشد.‏ 

M اساس معكوس قضية فكتور،‏ اگر ) − ( يك فكتور پولينوم به 

0 است و عدد c جذر معادله پولينومى M 0 مى باشد.‏ 

(x) باشد؛ پس 

( x) 

= 

P(x) را بالاى (a ( x − تقسيم نمود،‏ خارج 

x 

c 

P (c) = 

توسط تقسيم تركيبى ميتوان پولينوم 

قسمت و باقيمانده را به دست آورد،‏ و نيز توسط تقسيم تركيبى در يك قيمت داده شده 

متحول،‏ قيمت پولينوم P(x) را نيز دريافت كرده ميتوانيم.‏ 

توسط تقسيم تركيبى جذور معادلة پولينومى 0 را مى توان دريافت كرد.‏ 

توسط قضية باقيمانده مى توانيم افاده هاى الجبرى را نيز تجزيه كنيم.‏ 

P( x) 

= 

45

تمرين فصل 

3 

+ 125 kx P(x) x + باشد.‏ 

4 3 

Q(x) 2x − 3x − x − 2k 

- 1 قيمت k را دريابيد در صورتى كه:‏ 

( x اگر + 5 :a 



باشد.‏ 

( x اگر − 1 :b 

3 2 

:c اگر پولينوم −10 3kx P(x) = x + 2x − بالاى 3) + x ( تقسيم گردد و عدد 8 

(x 

5 

(30x 

+ 4x 

3 

4 

+ x 

− 20x 

P(x) 

2 

x 

باقى بماند.‏ 

- 2 توسط تقسيم تركيبى خارج قسمت ها (Quotients) و باقيمانده ها 

(Remainders) را در يابيد.‏ 

2 

− 3x − 28) ÷ (x + 4) 

−100x 

+ 1000) ÷ (x −10) 

3 − 

1 

8 

(1− ( يك فكتور پولينوم 

x 

, 

, 

(5x 

4 

(10x 

− 6x 

2 

2 

+ 3x − 4) ÷ (x + 4) 

− 31x + 24) ÷ (x − 

3 

) 

2 

- 3 توسط قضيه فكتور نشان دهيد كه x 


2 = 

− ( يك فكتور پولينوم - 4 توسط قضية فكتور نشان دهيد كه ) مى باشد.‏ 

P را توسط تقسيم تركيبى 

باشد قيمت پولينوم 9 دريابيد.‏ 

k را توسط تقسيم 

باشد قيمت پولينوم 1 3 4 − 5x 

2 + 4 = 0 

2 

( x) 

= 5x 

+ x − 

1 

2 

3 2 

( x) 

= 2x 

− 3x 

+ 4x 

+ 

P(x) = x 

3 

− 4x 

2 

+ x + 

1 

- 5 اگر − = x 

2 

- 6 اگر = x 

تركيبى در يابيد.‏ 

- 7 توسط تقسيم تركيبى نشان دهيد كه عدد 3 يك جذر معادله پولينومى 


x 

3 

− 3x 

2 

+ x − 3 = 

- 8 توسط قضيه فكتور نشان دهيد كه اعداد‎1‎‏−‏ و 2 جذر هاى معادله x 

مى باشند.‏ 

- 9 قيمت k را توسط تقسيم تركيبى در يابيد در صورتى كه (3 + x ( يك فكتور پولينوم 

46

(4x 

(7x 

4 

4 

− 5x 

2 

+ 41x 

− 6) ÷ (x + 6) 

3 2 

+ 24 22x P(x) = 3x + kx − باشد.‏ 

- 10 توسط تقسيم تركيبى خارج قسمت و باقى مانده را در يابيد.‏ 

+ 2x − 3) ÷ (x − 2) 

2 

(x 

3 

(5x 

− x 

3 

2 

−14x 

+ 11) ÷ (x − 4) 

− 3x + 7) ÷ (x + 4) 

- 11 قيمت هاى b و c را در صورتى دريابيد كه:‏ اگر پولينوم 

2 تقسيم كنيم و باقيماند صفر شود.‏ 

2 

4 3 2 

x − 3x + بر P(x) = x + 6x − 20x + bx + c 

3 2 

k(x) 2x + 5x − mx + 4 

( x 

بالاى −1 2x 2 + 

2 

2 

L = 16 + b(x −1) 

− 3b(x −1) و k = 3a(x −1) 

− a(x −1) 

- 13 اگر − 4 

Kb + La 

3 3 3 

+ y + z = 1 

- 14 قيمت − 3 z x + y + 

و = 20 zx xy + yz + باشد.‏ 

3 3 

- 15 اگر = 6 y x + و = 8 xy باشد قيمت x + y 

4 3 2 

P(x) = 12x + 3x −13x بالاى 

- 16 به كدام قيمت x پولينوم + 5 x + 

- 12 قيمت m را در يابيد،‏ در صورتى كه:‏ اگر پولينوم = 

) تقسيم شود باقيمانده صفر شود.‏ 

باشد 


x را دريابيد،‏ در صورتى كه xyz 


) پوره قابل تقسيم مى باشد؟ 

) پوره قابل 

تقسيم مى باشد؟ 

) تقسيم گردد بدون 

انجام دادن عملية تقسيم ميتوانيد بگوييد كه باقيمانده چند خواهد بود؟ 

a) 

a)2 

(3x 2 −1 

3 2 

- 17 به كدام قيمت P پولينوم K(x) = 3x − 7x − 9x + P بالاى −13 x ( 

3 

− 3 b) − 

2 

2 

x) ( بر 

= 5x 

+ 6x 

− 7 

3 2 

- 18 اگر پولينوم‎1‎‏−‏ P(x) = 2x − x + 3x بالاى + 1 2x ( 

c)3 

7 

d) 

2 

- 19 قيمت m را در صورتى دريابيد كه:‏ اگر پولينوم P 

(m ( x + تقسيم شود باقى مانده (1) باشد؟ 

− 4 

b) c) − 4 

d) 

5 

3 2 

- 20 اگر پولينوم‎8‎‏−‏ P(x) = x + 3x − 5x بالاى + 3 x ( 

a و b درست اند 

) تقسم گردد بدون انجام 

دادن عملية تقسيم بگوييد كه با قيمانده چند مى باشد؟ 

47

48 

صفر(‏a (b 

13 c) − 23 

d) 7 

2 باشد،‏ قيمت افاده هاى الجبرى زير را دريابيد.‏ 

z = و y = −3 

- 21 اگر = 4 x , 

2 

2 

2 1 2 1 2 1 2 

a : x yz + zxy + 3xyz b : x − y + Z 

2 3 4 

- 22 توسط تقسيم تركيبى قيمت هاى پولينوم هاى زير را براى قيمت هاى داده شده x 

دريابيد:‏ 

P(x) = 2x 

P(x) = 3x 

P(x) = 2x 

P(x) = 4x 

3 

3 

4 

4 

+ 3x 

+ 4x 

− 5x 

2 

2 

+ 6x 

3 

3 

− 2x + 5 

− 5x + 6 

+ 4x −1 

+ x 

2 

+ x − 3 

, 

, 

, 

, 

x = 2 

x = −1 

x = 1 

x = −2 

- 23 يك،يك جذر معادلات زير داده شده اند توسط تقسيم تركيبى جذر هاى ديگر اين 

معادله ها را معلوم كنيد.‏ 

0 يك جذر آن (3) مى باشد.‏ 

x 

3 

− 5x 

− 3x 

2 

+ x − 3 = 

+ 7x + 13 = 

يك جذر آن (1-) مى باشد.‏ 

0 يك جذر آن (1-) مى باشد.‏ 

0 يك جذر آن (1-) مى باشد.‏ 

0 x 

4 

x 

3 

− x 

3 

x 

2 

4 

− 9x 

2 

− 5x 

0 باشد درجة پولينوم P 

2 

+ 4 = 

−11x 

− 4 = 

(x) چند است؟ 

P ( x) 

- 24 اگر = 

a) 1 

5) + ( و x 

3) + ( و +1) x ( باشند.‏ 

- 26 اگر c) A = p(p − a)(p − b)(p − و = 13 a c = 12 , b = 5 , و 

a + b + c 

p = 

2 

3 2 

3 

- 27 اگر −1) x ( و x + ax + bx + c 

تعريف نشده است (d صفر(‏c (b 1- 

(2 + ( مى باشد مساحت مستطيل را 

- 25 از مساحت مستطيلى كه ابعاد آن x 

a) 

تفريق كنيد كه ابعاد آن x 

است به:‏ 

باشد قيمت A را دريابيد.‏ 

پولينوم هاى معادل باشند قيمت b مساوي 

1 

b) 3 

c) − 3 

) مساوى است به:‏ 

d) −1 

a + 1 2 

- 28 حاصل افادة ) − (a (a ÷ 

a −1 

a −1

a) a(a + 1) 

b) a(a − 2) 

c) 

a − 2 

a 

d) 

a −1 

a 

a) 

x 

2 

− y 

2 


b) x 

2 

- 29 حاصل ضرب ( x + y)( x − y)(x + y 

+ y 

2 

c) 2x 

2 

− y d) x − y 

- 30 پولينوم هاى زير را به طور نزولى Order) (Descending ترتيب و نيز درجه 

هاى آنها را معلوم كنيد.‏ 

a) 

− 5x 

2 

+ 3x 

5 

+ 9 

b) 

− x 

2 

+ xy 

2 

z 

3 

− x 

5 

c) 

3 

a) 

7 

(1−) مساوى است به:‏ 

b) − 7 

2 

Q قيمت Q ( x) 

= x + 3x 

- 31 در پولينوم − 5 

c) 1 

1 باشد قيمت افاده هاى زير را 

P(x) − Q(x) 

P(x) − P(x) 

13 

3x 

2 

d) −1 

2 

2 

Q ( x) 

= 2x 

+ 3x 

P( و − 

x) 

= x − 2x 

- 32 اگر + 3 

P(0) + Q(0) 

[P(x) + Q(x)] + p(x) 

دريابيد:‏ −1) Q( P(1) − 

- 33 پولينوم هاى زير را نظر به y به طور نزولى ترتيب نماييد.‏ 

2 

2 3 3 

3 3 2 2 4 

4 x y − 3xy + x + y 

4xy − 3x y + 2x y + x + 

- 34 در افاده هاى الجبرى زير،‏ پولينوم ها،‏ افاده هاى ناطق و غيرناطق الجبرى را نشان 

دهيد.‏ 

2 

, 

, 

2x 

x − 

1 

x 

, 

, 

0 

y 

2 

1 

− 

2 

y 

) مساوى است 

2 

2 2 

(1 + 2x + 3x ) + (3x − 5 − 2x ) + ( −x 

- 35 حاصل افادة + 4 5x − 

a ) 1 b ) صفر c ) −1 

d ) 2 

y 

4 

به:‏ 

- 36 حاصل ضرب دو افادة الجبرى ) + مى باشد.‏ اگر يك افادة 

(a 

3 

b 

3 

+ c 

3 

− 3abc 

49

4 

(12x + 3x 

3 

(4x −10x 

a−2 

x 

x 

(a 

(e 

2x 

x 

− 2)(a 

+ 1)(e 

x 

3 

2 

2x 

−13x 

2 

+ x + 5) ÷ (3x 

+ 12x + 6) ÷ (2x + 1) 

−1) 

− 2) 

2 2 2 

(0.1x )(0.1x )(0.1x ) , 

, 

, 

) باشد افادة ديگرى را معلوم كنيد.‏ 

- 37 خارج قسمت ها را دريابيد.‏ 

1 

(2 

2 

2 

1 

mn)(2 

2 

(a 

(a 

1 1 1 1 

( x + )( x + ) 

4 2 2 4 

2 2 2 

(m − 2n )(2m − n 

3 

5 

− m 

b 

m 

2 

) 

1 

mn)(2 

2 

a 

الجبرى ( a + b + c 

3 

+ b ) ÷ (a + b) 

5 

− b ) ÷ (a − b) 

mn) 

- 38 ضرب كنيد.‏ 

- 39 افاده هاى زير را ساده و جمع كنيد.‏ 

(a −1) 

+ 1− 

(a −1) 

− 3 , 

2 

2 

− (10mn − m) − (m + m) + m 

2 

2 

(y −1) 

+ (y −1) 

, [ − 4(a − b) − 5] + [(2a + b) − (a − b)] 

2 

10[ −{ 

−(x 

−1) 

+ 5} − x(x − 2)] , 10(x + 1) − (x + 1) − 3(x + 2) 

mn − 4 + mn − 5 

- 40 اگر = 9 b a + و = 20 ab باشد،‏ قيمت a − b 

2 

8ab(a 

2 2 

- 41 اگر = 7 b a + و = 1 b a − باشد،‏ قيمت هاى 4 ab ، a + b و ) b + 



−1) 

, 

, 

, 

50

فصل دوم 

رابطه

s 1 

s 2 

s n 

s 

s 1 

s 2 

x = 

s n 

s 

(s ,s ) 1 2 

(s ,s ) 2 2 

(s n,s n) 

R

جوره های مرتب و 

مستوی کارتيزينی 

جورة مرتب (a,b) در كدام صورت با 

جورة مرتب (c,d) مساوى شده مى تواند؟ 

آيا جورة مرتب (a,b) با جور ة مرتب 

(b,a) مساوي مي باشند؟ 

O 

اگر a وb عناصر يك ست و يا عناصر ست هاى مختلف باشند و a را عنصر اولى و b را 

عنصر دومى قبول كنيم در اين صورت (a,b) را جورة مرتب مى گويند و (b,a) نيز يك 

جورة مرتب مى باشد كه ) ≠ ( است،‏ در صورتى دو جورة مرتب (a,b) و(‏c,d‏)‏ 

مساوى شده مى توانند كه a=c و b=d شود.‏ 

باشد،‏ قيمت هاى x و y را دريابيد.‏ 

− مثال‎1‎‏:‏ اگر ) حل 

a,b) 

(b,a 

( x 2, y + 1) = (1,3 

y + 1 = 3 

y = 2 

x − 2 = 1 

x = 3 

53 

فعاليت 

اگر ) باشد قيمت هاى a و b را دريابيد.‏ 

( a + 1,2b − 3) = (0, −1 

مستوى كارتيزينى(‏Plane (Cartesian 

دو خط عمودى و افقى را رسم كنيد و نقطة تقاطع آن ها را به نام مبدأ (Origin) بناميد،‏ 

خط افقى را محور X و خط عمودى را محور Y مى گويند.‏ 

محور X را به X'OX و محور Y را به Y'OY نشان دهيد.‏ 

مستويى كه در آن اين محورها واقع اند به نام مستوى كارتيزينى ياد مى شود.‏ 

هر دو محور مستوى را به چهار حصة تقسيم مى كند كه هر حصة آن را ربع (Quadrant)

ربع 

مى گويند كه به خلاف حركت عقربة ساعت clockwise) (Anti به ترتيب عبارت از ربع 

اول،‏ دوم،‏ سوم و چهارم مى باشند،‏ طورى كه در شكل مشاهده مى شود.‏ 

ربع 

ربع 

ربع 

موقعيت نقطة P در اين مستوى توسط جورة مرتب اعدادحقيقى (x,y) طورى نشان داده 

مى شود كه x فاصلة عمودى نقطة P از محور Y بوده،‏ در صورتى كه y فاصلة عمودى نقطة 

P از محور X مى باشد.‏ 

O 

اگر نقطة P به طرف راست محور y واقع باشد قيمت x، مثبت و اگر به طرف چپ محور 

Y واقع باشد x منفى مى باشد؛ اگر نقطة P به روى محور Y واقع باشد 0 مى باشد.‏ 

همچنين اگر نقطة P بالاتر محور X واقع باشد قيمت y مثبت و اگر پايين تر از محور X واقع 

باشد قيمت y منفى (0>y) مى باشد.‏ 

اگر نقطة P به روى محور X واقع باشد 0=y مى باشد.‏ 

كه به طور خلص در شكل نشان داده شده اند.‏ 

x = 

54

(x, y) 

P مى گويند كه در (Cartesian Coordinates) را مختصات كارتيزينى y و x 

عنصر اولى يا x را به نام فاصله (abscissa) و عنصر دومى y را به نام ترتيب (Ordinate) 

ياد مى كنند.‏ مختصات مبدأ عبارت از (0,0) مى باشد،‏ واضح است كه براى هر جورة مرتب 

اعداد حقيقى يك نقطة (x,y) در مستوى و براى هر نقطه از مستوى يك جوره از اعداد 

حقيقى ارتباط دارند.‏ 

مثال‎2‎‏:‏ نقاط 

كميات وضعيه تعيين كنيد.‏ 

M( 

N(5,0),T(0,2), و −6,0 

K( −2,4), 

P( −3, 

−5) 

) را در مستوى 

O 

مثال‎3‎‏:‏ براى هر نقطه كه در شكل زير نشان داده شده است جورة مربوطه آن را بنويسيد.‏ 

O 

نقاط 

كنيد.‏ 

فعاليت 

−2, 2,0),(2,1),( ( و ( 

−1),( 

−1,2),(2, 

−1) 

(0,1 را در مستوى كميات وضعيه مشخص 

55

تمرين 

- 1 اگر فاصلة نقطة p مثبت و ترتيب نقطة P منفى باشد،‏ نقطة p در كدام ربع واقع است؟ 

- 2 اگر چهار رأس يك شكل عبارت از − 

باشند اين شكل كدام شكل هندسى مى باشد؟ 

(0,0) باشد در مستوى كميات وضعيه 

- 3 مثلثى كه سه رأس آن B 

رسم كنيد و بگوييد كه اين چه نوع مثلث است؟ 

) را در مستوى كميات وضعيه تعيين كنيد.‏ 

- 5 بگوييد كه جوره هاى مرتب ذيل در كدام ربع واقع اند؟ 

D(3, 

C( و −3) 

3, −3), 

B( −3,3), 

A(3,3) 

C و (0,2),A(2,0) 

P3 2 

1 

− 

- 4 نقاط (2, 3 3,2),P (1,5),P ( − 

(1,5) 

( −4, 

−6) 

1 

( − , −2) 

2 

1 1 

(2 , ) 

2 4 

(0, −1) 

, 

, 

, 

, 

( −5,1) 

(4, −5) 

1 

( − ,2) 

2 

(2,0) 

56

حاصل ضرب كارتيزينى 

و گراف آن 

آيا در شكل مقابل A × B 

مى توانيد؟ 

را نشان داده 

فعاليت 

} و{‏B={4,5‎ باشد:‏ 


تعداد عناصر را دريابيد.‏ 


را دريافت كرده مى توانيد؟ 

طور زير تعريف شده است:‏ 

A× 

B = {(x, y) x ∈ A ∧ y ∈ B} 

A × B 

اگر {1,2,3 A 

A × B 

A × B 

A × B = B× 

A آيا 

B× B و A × A آيا 

اگر A و B دو ست غير خالى باشند 

بدين معنى كه حاصل ضرب ) × ( عبارت از ستى مى باشد كه عناصر آن جوره هاى 

مرتب (x,y) مى باشند كه x عنصر ست A و y عنصر ست B باشد.‏ اگر باشد،‏ پس 


اگر تعداد عناصر ست A به m و تعداد عناصر ست B به n نشان داده شود،‏ تعداد عناصر 

) مى باشد.‏ 


مثال‎1‎‏:‏ اگر 

حل 

A ≠ B 

A 

B 

A × B ≠ B× 

A 

( m × n عبارت از A× B 

A × A و B × A, A × B باشد B = {3,4} و A = {0,1,2 } 

A× 

B = {0,1,2} × {3,4} = {(0,3),(0,4),(1,3)(1,4),(2,3),(2,4)} 

B× 

A = {3,4} × {0,1,2} = {(3,0),(3,1),(3,2)(4,0),(4,1),(4,2)} 

A × A = {0,1,2} × {0,1,2} = {(0,0),(0,1),(0,2)(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2)} 

57

فعاليت 

−4, { = A و } {1,4 = B باشد A × A , A × B و B× B را در يابيد.‏ 

اگر {1,0− 

...} {1,2,3 = N I و {0} = L باشد IN× L را دريابيد.‏ 

I N× 

L = {(1,0),(2,0),(3,0),(4,0)...} = {(x,0) / x ∈IN} 

W × IN باشد W = {0,1,2,3 ...} و I N = {1,2,3 ...} 


حل:‏ 


حل:‏ 


W × IN = {(0,1),(0,2),(0,3),...,(1,1),(1,2),(1,3),...,(2,1),(2,2),...,} 

= {(x, y) / x ∈ w ∧ y ∈ IN} 

گراف حاصل ضرب كارتيزينى Product) (Graph of Cartesian 

مى توانيم كه حاصل ضرب كارتيزينى را در مستوى كميات وضعيه نيز نشان دهيم.‏ 

را دريابيد و در مستوى كميات 


وضعيه نشان دهيد.‏ 

حل:‏ 

A × B = {(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)} 

A × B باشد B = {4,5} و A = {1,2,3 } 

به روى محور x اعداد 1,2,3 و به روى محور Y اعداد 4 و 5 را تعيين مى نماييم.‏ از 2,1 

و‎3‎ خطوط عمود و از 4 و 5 خطوط افقى را رسم مى نماييم.‏ نقاط تقاطع اين خطوط جوره 

هاى مرتب A × B رانشان مى دهد.‏ 

58

مثال‎5‎‏:‏ اگر } {1,2 = A و {2,3,4} = B باشد A × B و B× A را دريابيد و در شكل 

A× 

B = {1,2} × {2,3,4} = {(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4)} 

B× 

A = {2,3,4} × {1,2} = {(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)} 

مشخص كنيد.‏ 

A× 

B = {(x, 

A × B 

B× 

A 

مثال‎6‎‏:اگر [0,3]} = 3 ≤ x A = {x / x ∈ IR,0 ≤ و 

A × B باشد B = {y / y ∈ IR,0 ≤ y ≤ 2 = [0,2]} 

حل:‏ 

را در شكل نشان دهيد.‏ 

y) / 0 

≤ x ≤ 3 ∧ 0 ≤ y ≤ 2} 

فعاليت 

گاگ اگر } 1,2} = A و {3,4} = B باشد A × B را دريابيد و در شكل نشان دهيد.‏ 

59

تمرين 

- 1 اگر:‏ 

i ) B = {2,4} و A = { −1,1,3 

} 

ii ) B = {2,3} و A = { −1,1 

} 

را دريابيد و در شكل نشان دهيد.‏ 

- 2 براى ست هايى كه در سؤال اول داده شده اند ×B را دريابيد و در شكل نشان 

دهيد.‏ 


را 


A 

باشد A × B 

- 3 اگر } {1,2,3 = A باشد A × A 

B× B و A × A,B× 

- 4 اگر {2,4,6} = A و } {1,3,5 = B باشد A,A × B 

60

رابطه (Relation) 

عطااالله برادر عزت االله مى باشد.‏ 

‏(عطااالله R عزت االله)‏ كه برادر بودن نيز 

يك رابطه مى باشد.‏ 

ستى كه از جوره هاى مرتب اشيا و مفاهيم تشكيل شده باشد عبارت از رابطه است يا اگر 

× A يك 

Aو B دو ست غير خالى sets) (non empty باشند،‏ پس هر ست فرعى رابطه است از A در B. 

باشد مى گويند كه a با b رابطه دارد و به شكل (aRb) نوشته مى شود 

مى باشد و اگر R ست فرعى از 

⊂ اگر R يك رابطه ازA در B باشد،‏ پس باشد.‏ پس R رابطه يى در A است.‏ 

را دريابيد و چهار رابطه را از A در 

B بنويسيد.‏ 

حل 

R 

R 

R 

R 

B 

A× 

B = {(x,1),(x,2),(y,1),(y,2)} 

1 

2 

3 

4 

= {(x,1),(x,2)} 

= {(y,1)} 

= {(y,2)} 

= {(x,1),(y,1)} 

R A × B 

اگر ( a,b) ∈ R 

A × A 

مثال‎1‎‏:‏ اگر y} A = {x, و } {1,2 = B باشد A × B 

يا تمام روابط ازA A × B چهار مى باشد و تعداد تمام ست هاى فرعى B 

در B عبارت از = 16 4 2 مى باشد.‏ پس تعداد تمام روابط از A در B مساوى به 16 


مثال‎2‎‏:‏ اگر {19...,1,3,5} = A كه تعداد عناصر A مساوى به 10 مى باشد و 

} كه تعداد عناصر B سه مى باشد مجموع تمام جوره هاى مرتب × A يا 

B 

كه عناصر × A 

B = {2,4,6 

61

30 مى باشد و تعداد تمام رابطه ها از A در B 

30 

عبارت از 2 مى باشد.‏ 

متوجه بايد بود كه:‏ φ و × A در ست هاى فرعى شامل مى باشند.‏ 

تعداد عناصر A × B عبارت از = 3 × 10 

B 

مثال‎3‎‏:‏ اگر } {1,2,3 = A و = B 

حل:‏ 

كه سه رابطة آن عبارت اند از:‏ 

{a,b} باشد سه رابطه را از A در B بنويسيد.‏ 

A × B = {(1,a),(1, b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)} 

R 

R 

R 

1 

2 

3 

= {(1,a),(1, b),(2,a),(3,a),(3, b)} 

= {(1, b),(2,a),(3,a),(3, b)} 

= {(2,a),(2, b),(3,a)} 

فعاليت 

62 

اگر 5} = y R = {(x, y) / x − يك رابطه در } {1,2,3,4 = A باشد،‏ عناصر R را 

بنويسيد.‏ 

مثال :4 اگر 2} = y R = {(x, y) / x − يك رابطه در } {1,2,3,4 = A باشد،‏ عناصر R را 


حل:{(‏ مى باشد.‏ 

ناحية تعريف (Domain) و ناحية قيمت هاى (Range) يك رابطه 

ميدانيم اگر R يك رابطه از A در B باشد،‏ پس ⊆ مى باشد،‏ بدين معنى كه 

R يك ستى است كه عناصر آن جوره هاي مرتب (x,y) مي باشند؛ طورى كه x ∈ A و 


R A × B 

R = {(3,1),(4,2 

R 

y∈ B 

ناحية تعريف رابطة R عبارت از عناصر اولى جوره هاى مرتب مى باشد و به DomR نشان 

داده مى شود؛ همچنين ناحية قيمت هاى (Range) رابطه R عناصر دومى جوره هاى مرتب 

مى باشند و به Range نشان داده مى شود.‏ 

} باشد و R يك رابطه از A در B باشد،‏ اول عناصر 


اين رابطه را بنويسيد،‏ ثانياً‏ ناحية تعريف(‏ ( Dom و ناحيه قيمت ها Range را بنويسيد.‏ 

R 

R 

B = {x, y و A = {1,2 }

حل 

R = {(1, x),(2, x),(1, y),(2, y)} 

DomR = {1,2} RangR 

= {x, y} 

2 2 

−3, { = A تعريف 

−2,1,2,3 

13} = y R {(x, y) / x + در ست } 

مثال‎2‎‏:‏ اگر رابطة = 

شده باشد.‏ اول عناصر رابطة (R) را به صورت جوره هاى مرتب بنويسيد.‏ 

بعد ناحية تعريف Dom و ناحية قيمت هاى Rang را تعيين كنيد،‏ سپس گراف آن را 

رسم كنيد.‏ 

R = {( −3, 

−2),( 

−3,2),( 

−2, 

−3),( 

−2,3),(2, 

−3),(2,3),(3, 

−2),(3,2)} 

Dom 

R 

Range 

= { −3, 

−2,2,3} 

R 

و 

= { −3, 

−2,2,3} 

R 

R 

O 

فعاليت 

} باشد و ناحية تعريف R عبارت از {0,4,8 { باشد ناحية قيمت 

هاى R را تعيين كنيد.‏ 

اگر R = {(x, y) / y = 2x 

معكوس يك رابطه Relation) (Inverse of a 

اگر R يك رابطه از A در B باشد معكوس R كه به صورت − R نشان داده مى شود عبارت 

است از:‏ 

R 

−1 

(x, y) 

= {(y, 

∈ R ⇔ 

x) (x, y) 

(y, x) 

عبارت از ناحية قيمت 

∈ R 

1 

∈ R} 

−1 

1 

و ناحية تعريف − R 

1 

ناحية تعريف R عبارت از ناحية قيمت هاي − R 

هاى R مى باشد.‏ 

مثال:‏ اگر {( يك رابطه درست اعداد طبيعى باشد.‏ معكوس رابطة 

را مشخص كنيد.‏ 

R = {(1,2)(2,3)(3,4 

1 

R − يا R 

63

حل:‏ 

− 

R 1 = {(2,1)(3,2)(4,3)} 

رابطة معادل Relation) :(Equivalent رابطة R را در ست A رابطة معادل 

مى گويندكه سه خاصيت زير را داشته باشند.‏ 

1- خاصيت انعكاسى Property) :(Reflexive براى هر عنصر x ∈ A جورة مرتب 

∀x 

∈A 

⇒ (x, x) ∈R باشد يا ( x,x) ∈R 

2- خاصيت تناظرى Property) :(Symmetric از شموليت (x,y) در R جورة 

( x, y) ∈R 

⇒ (y,x) ∈R 

مرتب (y,x) نيز در R شامل باشد،‏ يا ∀ 

- 3 خاصيت انتقالى(‏Property :(Transitive اگر ( x, y) ∈ R و نيز ( y, z) ∈R 

باشد،‏ در نتيجه (x,z) نيز شامل R باشد.‏ يا 

مثال‎1‎‏:‏ رابطة مساوات درست اعداد حقيقى يك رابطة معادل است:‏ 

( x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R ⇒ (x, z) ∈ R 

1- براى هر x از اعداد حقيقى x=x مى باشد 5=5 ‏(خاصيت انعكاسى)‏ 

2- اگر x=y باشد،‏ پس y=x مى باشد ‏(خاصيت تناظرى)‏ 

3- اگر x=y و y=z باشد،‏ پس x=z مى باشد ‏(خاصيت انتقالى)‏ 

تمرين 

64 

-1 اگر } {1,2 = A و {0,4,6} = B باشد:‏ 

سه رابطه را از A در B بنويسيد.‏ 

چهار رابطه را از B در A بنويسيد.‏ 

در ست A چهار رابطه را نشان دهيد.‏ 

-2 اگر } {1,2,3,4 = A و } {1,3,5 = B و R = {(x, y) y < x 

R 

{(x, y) y + 1 = 2x 

2 

يك رابطه از A در B 

} باشد عناصر R را بنويسيد.‏ 

در ست عداد طبيعى يك رابطه 

= 3- اگر در ست اعداد طبيعى } باشد كه ناحيه تعريف (Domain) آن تمام اعداد طبيعى باشند Range آن را تعيين 

كنيد.‏

خلاصه فصل 

65 

) ‏:كه در آن ترتيب نوشتن اهميت دارد جورة مرتب ناميده مى شود كه a را 

مختصة اول و b را مختصة دوم مى گويند به طور عموم ≠ ( 

b = و a=c جورة مرتب ( ) در صورتى با هم مساوى مى باشند كه:‏ دو 

باشد.‏ 

حاصل ضرب كارتيزينى ) د كارتى)‏ دو ست A و B كه با ×A نشان داده 

d 

(b,a) a,b) ميباشد.‏ 

B 

A× B {( x, y) x ∈ A∧ 

y ∈ B} 

( c,d و a, b) 

( a, b 

= 

مى شود،‏ اين طور تعريف گرديده است:‏ اگر تعداد عناصر ست A را به m و تعداد عناصر ست B را به n نشان دهيم تعداد 


( را در مستوى كميات وضعيه نيز 

× مى توانيم كه حاصل ضرب دو ستA وB‏،‏ ) نشان دهيم.‏ 

×A يك رابطة R از ست A در B ميباشد.‏ 

رابطه:‏ هر ست فرعى باشد در ان صورت R يك رابطه در A است 

اگر تعداد عناصر ست A را به n نشان دهيم تعداد،‏ ست هاى فرعى A عبارت از 2 


اگر تعداد عناصر ست A را به m و تعداد عناصر ست B را به n نشان دهيم تعداد 

2 مى باشد 

روابط از A در B عبارت از اگر R يك رابط از A در B باشد ناحية تعريف Dom عبارت از ست عناصر اولى 

( عبارت از عناصر دومى جوره هاى 

R 

جوره هاى مرتب و ناحيه قيمت هاى 

مرتب R مى باشند.‏ 

R را به R معكوس رابطه باشد درB A رابطه از يك يك رابطه:‏ اگرR معكوس 

نشان ميدهد كه:‏ 

R. 

n 

−1 

−1 

= 

(x, y) 

{(y, 

x) (x, y) ∈ R} 

∈ R ⇔ 

(y, x) 

∈ R 

−1 

A 

R 

B 

Range 

) ، 

R 

عناصر A× B عبارت از m× n 

B 

R ⊂ A× 

A و اگر R ⊂ A× 

B 

mxn 

R 

−1 

−1 

واضح است ناحية تعريف با ناحية قيمت هاى R و ناحيه قيمت هاى R با ناحية 

تعريف R مساوى مى باشد.‏ 

رابطة معادل:‏ R را درست A يك رابطه معادل مى گويند اگر سه خاصيت زير را 

داشته باشند.‏ 

1- خاصيت انعكاسى.‏ 2- خاصيت تناظرى.‏ 3- خاصيت انتقالى.‏


A× B A و A× A را دريابيد.‏ 

B 

را در شكل نشان دهيد.‏ 

} 1,3,5 { و 2,4,6} { = B باشد , × 

0,1} { باشند A× B 

-1 اگر = A 

1,2,3} { و = B 

-2 اگر = A 

) ) ( باشد قيمت هاى x و y را دريابيد.‏ 

4- رابطة R را در } 1,3,5 { = A طورى به دست آوريد كه R رابطة مساوات باشد.‏ 

را بنويسيد 

-3 اگر (3,1 = y x − 2y,2x + 

2 

A باشد عناصر { a,b} 

} { درست اعداد حقيقى تعريف شده باشد گراف 

R = 

-5 اگر = A 

= (x, y) y x 

6- اگر رابطة 2 

رابطة R را ترسيم كنيد.‏ 

} { درست اعداد حقيقى تعريف شده باشد گراف 

R = (x, y) y 

-7 اگر رابطة = x 2 

رابطة R را ترسيم نماييد.‏ 

} { باشد ناحية تعريف و ناحية قيمت هاى 

R = (1, −1),(2, 

−2)(3, 

8- اگر رابطه (3− 

را مشخص كنيد.‏ 

−1 

R 

(1,5)(1,4)(1,3)(1,2)} = R باشد ناحيه هاى تعريف و ناحية قيمت هاى R و 

-9 اگر } 

را بنويسيد.‏ 

} { باشد تعداد رابطه ها را در A و تعداد رابطه 

−1 

R 

-10 اگر 3,6,12} { = A و −1,0 = B 

هاى از A در B را دريابيد.‏ 

(4b 3a, ( با هم مساوى باشند قيمت 

( a + 1, 2b و − 5 

+ a) 

11- اگر دو جوره مرتب 4 

هاىa و b را دريابيد.‏ 

B و ×B A را دريابيد.‏ 

A× باشد B = { x, 

y} و { a,b,c} 

-12 اگر = A 

66

فصل سوم 

تابع

تابع (function) 

فعاليت 

2 

ايا آيا هر تابع كيك رابطهوهر رابطه يك تابع مى باشد؟ 

 

آيا تابع و رابطه باهم فرق دارند؟ 

آيا هر ست جوره هاى مرتب يك تابع را نشان ميدهد؟ 

آيا مى توانيد كه تابع را به شكل يك ماشين فكر كنيد؟ 

بار اول مفهوم تابع توسط يك رياضى دان جرمنى به نام ليبنز (Leibniz) 

1646) – (1716 معرفى شد.‏ 

تابع يك رابطه يا قاعده يى است كه يك كميت را با كميت ديگر ارتباط مى دهد.‏ غرض 

وضاحت،‏ مفهوم تابع مثال هاى زير را درنظر بگيريد.‏ 

1- مساحت يك مربع (A) با ضلع مربع (x) مربوط مى باشد.‏ معادله يى كه مساحت مربع را 

با ضلع مربع مربوط مى سازد.‏ عبارت از:‏ = A مى باشد.‏ 

ضلع مربع 

مساحت مربع 

x 

A 

1 

1 

2 

4 

3 

9 

4 

16 

5 

25 

x 

. . . 

. . . 

يا مساحت مربع تابع ضلع مربع مى باشد يعنى (x) A = f 

2- نفوس جهان (p) با وقت (t) ارتباط دارد.‏ نفوس جهان را در سال هاى مختلف به حساب 

مليون طور تقريبى در جدول زير مشاهده كنيد:‏ 

1900 1910 سال ) t ( 

1650 1750 نفوس به ميلون ) p ( 

1920 1930 1940 1950 1960 1970 

1860 2070 2300 2560 3040 3710 

1980 

4450 

1990 

5280 

2000 

6080 

69

f (t) 

ديده مى شود كه نفوس (Population) يا P تابع وقت (t) مى باشد يا = p 

( A 

r 

3- مساحت دايره (A)، با شعاع دايره (r)، ارتباط دارد.‏ ) = 

V 

4 

πr 

3 

3 

2 

4- حجم كرة V) 

) مربوط شعاع كرة (r) مى باشد كه اين ارتباط توسط معادلة = 

نشان داده مى شود.‏ 

از مثال هاى فوق نتيجه مى شود كه در مفهوم تابع ، ارتباط نقش مركزى را دارد؛ طور مثال:‏ 

عمر هر انسان با يك عدد ارتباط دارد،‏ در يك مغازه هر جنس با يك قيمت مشخص ارتباط 

دارد،‏ هر موتر با يك نمره مشخص جوازسير ارتباط دارد،‏ ومكعب هر عدد،‏ يك عدد ميباشد 

3 

3 

. (2 = 8 , 3 = 27) 

درمثال هاى فوق مشاهده مى شود كه مساحت (A)، نفوس p وحجمv‏،‏ بالترتيب تابع ضلع 

مربع (x)، وقت (t) وشعاع كرة (r) مى باشند كه مساحت،‏ نفوس و حجم را متحول مقيد 

(dependentVariable) و كميت هايى از قبيل ضلع مربع،‏ شعاع كرة و وقت را متحول 

(Independent Variable) مى نيند.‏ گويند.‏ مى توان تابع را چنين تعريف كرد:‏ 

آزاد 

le) آزاد 

تعريف 

دربين دوست يك رابطه يا قاعديى مى باشد،‏ طوريكه هر عنصر ست اولى محض با يك 

تابع 

عنصر ست دومى ارتباط داشته باشد كه ست اولى را به نام ناحية تعريف (domain) وست 

دومى به نام ناحية قيمت ها Range ياد مى كنند.‏ 

يا تابع عبارت ازست جوره هاى مرتب مى باشد كه عناصر اولى آن تكرار نشده باشند.‏ 

} { باشد رابطه S يك تابع را نشان ميدهد؛ زيرا 

70 

اگر 4) 2)(4,3)(5, 4)(2,3)(3, (1, = S 

كه عناصر اولى جوره هاى مرتب آن تكرار نشده اند.‏ 

domain 

range 

s 

s 

= {1,2,3,4,5} 

= {2,3,4}

فعاليت 

اگر } { باشد آيا T يك تابع را نشان ميدهد؟ 

مثال اول:‏ درجدول هاى زير كدام يك از آنها،‏ يك تابع را نشان ميدهد؟ 

‏(جدول ( ІІІ ‏(جدول ( ІІ ‏(جدول (І 

Domain Range Domain Range Domain Range 

‏(جذر مربع عدد)‏ ‏(عدد)‏ ‏(مربع عدد)‏ ‏(عدد)‏ ‏(مكعب عدد)‏ ‏(عدد)‏ 

T = (1, 4),(2,3),(3, 2),(2, 4),(1,5) 

جدولІ و ІІ تابع را نشان ميدهد،‏ اما جدول ІІІ يك تابع را نشان نمى دهد،‏ زيرا كه يك 

عنصر ست اولى يا (Domain) با دو عنصر ست دومى يا Range ارتباط دارد.‏ يا به 

عبارت ديگر عناصر اولى ست جوره هاى مرتب تكرار گرديده اند كه جوره هاى مرتب آن 

) مى باشد و يا اين كه براى 

يك عنصر ست اول دو تصوير (Images) درست دوم موجود است.‏ خيلى خوب خواهد 

بود كه تابع را به شكل يك ماشين فكر كنيم،‏ شكلى كه در صفحة اول فصل داده شده است 

(x) به نام Range ياد 

( 9 , − 3),(9 ,3),(0,0),(4 , − 2),(4 , 2),(1 , −1),(1 , 1 

f 

مواد خام (input) يا Domain و خروجى (output) يا مى شوند.‏ 

اگر A و B ست هاى فرعى از اعداد حقيقى باشند هر تابعى از A به B به نام تابع حقيقى ياد 

Range⊆ مى باشد.‏ 

مى شود.‏ متوجه باشيد كه:‏ نشان دهنده يك تابع باشد،‏ 

{ = مثال دوم:‏ اگر } قيمت m را معلوم كنيد.‏ 

مى شود 

10 − 

حل:‏ چون = 

بدين معنا براى اين كه f يك تابع باشد بايد باشد.‏ 

مثال سوم:‏ كدام يك از دياگرام هاى زير يك تابع 

را نشان ميدهد؟ 

f 

codomain 

( −5,3m) 

, ( −5, 

2m −10) 

, (1, 2) 

m = − باشد،‏ درنتيجه 3m 

−5 = 5 است بايد −10 2m = 

(a) 

m −10 

71

(b) 

حل:‏ دياگرام a و b يك تابع را نشان ميدهد،‏ اما دياگرام c يك تابع را نشان نمى دهد.‏ 

تابع دربين دو ست x و y يك رابطه مى باشد كه هر عنصر ست Xيا(‏ (Domain محض 

با يك عنصر ست Y يا (Range) ارتباط داشته باشد.‏ كه x را متحول آزاد و y را متحول 

مقيد مى گويند.‏ يا تابع ست جوره هاى مرتب مى باشد كه عناصر اولى آن تكرار نشده 

باشند.‏ 

تمرين 

(c) 

1- كدام يك از جدول هاى مقابل يك تابع 

رانشان ميدهد؟ 

2- كدام يك از ست هاى جوره هاى مرتب زير يك تابع را نشان ميدهد؟ ناحية تعريف 

(Domain) و ناحية قيمت هاى (Range) آن ها را تعيين كنيد.‏ 

1− 

2 − 

3 − 

4 − 

5 − 

6 − 

72 

{(2, 

4) , (3,6) , (4,8) , (5,10)} 

{( 

−1, 

4) , (0,3) , (1, 2) , (2,1)} 

{(10, 

−10) 

, (5, − 5) , (0,0) , (5,5) , (10,10)} 

{( 

−10,10) 

, ( −5,5) 

, (0,0) , (5,5) , (10,10)} 

{(0,11),(1,1),(2,1),(3, 

2),(4, 2),(5,2) } 

{(1,1) 

, (2,1) , (3,1) , (1, 2) , (2, 2) , (3,2)}

طرق نوشتن و قيمت يك تابع 

چه وقت يك معادله يك تابع را نشان 

ميدهد؟ 

چه وقت يك رابطه يك تابع رانشان 

ميدهد؟ 

دركدام حالت يك جدول يك تابع را 

نشان ميدهد؟ 

براى اولين بار رياضى دان سويسى ايولر (1707- 1783) (Euler) اين عبارت كه y تابع 

از x است توسط معادله(‏x‏)‏ y = f نشان داد كه(‏x‏)‏ f عبارت از قيمت y يا قيمت f براى عدد 

x مى باشد.‏ اگر f(x) تابعى از A به B باشد به طور زير نشان داده مى شود:‏ 

B 

f : A → 

يا (x) y = f 

درشكل x عبارت از (input) و(‏f(x عبارت از (output) مى باشد توابع با حروف 

g , h , f وغيره نشان داده مى شوند.‏ 

توابع عموماً‏ به 4 طريق نشان داده شده مى شوند.‏ 

- 1 به طور شفاهى (Verbally) توسط عبارات.‏ 

- 2 به طور عددى (Numerically) توسط يك جدول.‏ 

- 3 مشاهده يى (Visually) توسط گراف.‏ 

- 4 به شكل الجبرى (Algebraically) توسط فورمول صريح ‏(واضح).‏ 

فعاليت 

اگر توابع f(x) و(‏g(x طور زير درجدول داده شده باشد قيمت اين توابع را در قيمت هاى 

داده شدة x دريابيد،‏ يا به عبارت ديگر ساحة تعريف (Domain) داده شده است قيمت 

هاى مربوطة تابع (Range) را دريابيد.‏ 

73

f (x) 

x= -1 -2 0 2 4 

f(x)= 

= 

1 

x 

2 

− 4 

? ? ? ? ? 

g( 

x) 

= x 3 −1 

x= 0 -1 1 2 

g(x)= 

? ? ? ? 

2 

f (aa را 

) 

3) − ( f و , 

f 

(0) 

, 

f 

(2 

) 

( f باشد x 

) 

= x + 3 

x − 

2 

( f 

3 اول:‏ اگر مثال 


حل:‏ 

2 

f (2) = 8 , f (0) = −2 

, f ( −3) 

= −2 

, f ( a) 

= a + 3a 

يا − 2 

و را دريابيد.‏ 

) 

f (2) = 2 

2 

0 

− 3 

a 

2 

f (2) 

f (x + 3) = (x + 3) 

f ( −x) 

= ( −x) 

2 

f (x + 3) , f ( −x باشد f (x) x + 3x + 5 

+ 3⋅ 

2 + 5 = 4 + 6 + 5 = 15 

2 

2 

2 

f (x) x + 3x − 2 (Rule) 

2 

f (2) = 2 + 3⋅ 

2 − 2 = 4 + 6 − 2 

2 

f (0) = 0 + 3⋅ 

0 − 2 = −2 

2 

f ( −3) 

= ( −3) 

+ 3( −3) 

− 2 = 9 − 9 − 2 

2 

f (a) = a + 3a − 2 

+ 3(x + 3) + 5 = x 

+ 3( −x) 

+ 5 = x 

قيمت هاي تابع تابع = 

2 

2 

− 3x + 5 

مثال دوم:‏ اگر = 

حل 

ساحه تعريف تابع 

+ 6x + 9 + 3x + 9 + 5 = x 

8 

− 2 

− 2 

2 

a + 3a − 2 

2 

+ 9x + 23 

فعاليت 

و را دريابيد.‏ 

) 

2 

g( 

− 5) g(x + 4) , g( −x باشد.‏ g ( x) 

= x − 2x 

اگر + 7 

(6)h و 

, f ( − 1) باشد.‏ f ( x) 

= 2x 

x) h( و + 6 

3 − 2x 

مثال سوم:‏ اگر = 


f ( −1) 

+ f (3 

74

f ( −1) 

= 2( −1) 

+ 6 = −2 

+ 6 = 4 

h(6) = 3 − 2⋅6 

= 3 −12 

= −9 

f ( −1) 

+ f (3) = 4 + 2⋅3 

+ 6 = 4 + 12 = 16 

حل 

مثال چهارم:‏ 

باشد قيمت هاى a و b را دريابيد.‏ 

و‎0‎ 1 

حل:‏ 

10 = 9a − 3b + 1 

, 

0 = a − b + 1 

2 

اگر + bx f (3) = 10,f (1) = f (x) = ax − 

10 = 9a − 3b + 1 

0 = _ 3a m 3b ± 3 

10 = 6a − 2 

12 = 6a 

a = 2 

a : 

x 

2 

10 = 18− 

3b + 1 

3b = 19 −10 

3b = 9 

b = 3 

مثال پنجم:‏ كدام يك از معادله هاى زير يك تابع را نشان ميدهد؟ 

2 

+ y = 4 b : x + y 

2 

= 4 

حل:‏ يك معادله وقتى نشان دهندة يك تابع مى باشد كه براى هر x يك y وجود داشته 

باشد.‏ 

a 

b 

2 

2 

: x + y = 4 ⇒ y = 4 − x 

y = 4 −1 

= 1 باشد‎3‎ = 2 

2 2 

2 

: x + y = 4 ⇒ y = ± 4 − x 

براى هرقيمت x يك قيمتy وجود دارد؛ طور مثال اگر x 

y يك تابع مى باشد.‏ 

2 

پس − x 4 = 

براى يك قيمت x دو قيمت y وجود دارد.‏ پس y يك تابع نيست.‏ 

) كه عناصر اولى 

طور مثال:‏ اگر = 1 x باشد ± 3 = y مى شود − 3 , 3)(1 ( 1 , 

آن تكرار شده اند.‏ 

75

فعاليت 

نشان دهيد كه معادلات 2 y نشان دهندة يك تابع مى باشند و 

معادلة 0 نشان دهنده يك تابع نيست.‏ 

3 

x − y = و − x 2 = 1 

x y = 

طرق نوشتن يك تابع،‏ ) مى باشد.‏ براى يافتن قيمت يك تابع،‏ قيمت داده شده x 

را در معادلة تابع وضع مى نماييم قيمت تابع به دست مى آيد.‏ يك معادله وقتى نشان دهندة 

يك تابع مى باشد كه براى هر x يك y وجود داشته باشد.‏ 

y = f (x 

تمرين 

2 

2 

x) f ( باشد 

= 2x 

+ 3x 

x) g ( و −1 

–1 اگر − 2 x = x + 

را معلوم كنيد.‏ 

f (0) ⋅ g( 

−2) 

)g و 

−2),f ( −3) 

, g(2) − g( −3) 

f ( −3) 

g(0) و −1) x f ( را 

, f ( − 2) باشد.‏ g( x) 

= x و + 4 f ( x) 

= x 

– 2 اگر − x 2 


)h و (4−) g را دريابيد.‏ 

− 3) , h(16) باشد h( x) 

= 1+ 

4x و g( x) 

–3 اگر = 3 x 

g( 

− 7),f (6) باشد h(x) 

2 

= 25− 

و x 

2 15 

g(x) = l6 + 3x − x , f (x) = - 4 

x − 3 

و ) را دريابيد.‏ 

f ( 0) + g(4) 

− h( 

−3 

g(x) باشد ,g(12) g (0) ,g(4) ,g(5) و (−2) g را در 

– 5 اگر − 2 40 + x = 

يابيد.‏ 

1 يك تابع را نشان ميدهد؟ 

– 6 آيا معادلة = xy x 2 + 

76

يافتن ناحية تعريف يك تابع 

آيا شده مى تواند كه ناحية تعريف هر تابع 

ست تمام اعداد حقيقى باشد؟ 

s 

يا 

ك كدام قيمت هاى x در دو مين يك تابع شامل مى باشند؟ 

1 

( x) 

= x − 4 

f ناحية تعريف تابع،‏ 

را تعيين كنيد.‏ 

x) g عدد −4 = x شامل مى باشد؟ 

3 x 

آيا در ناحية تعريف تابع = ( 

در ناحية تعريف (Domain) يك تابع تمام قيمت هاى x شامل مى باشند.‏ در صورتى كه 

تابع در آن قيمت ها تعريف شده باشد.‏ ياقيمت تابع يك عدد حقيقى باشد.‏ 

مثال اول:‏ ناحية تعريف (Domain) توابع ذيل را تعيين كنيد.‏ 

حل:‏ 

1 

2 

6x 

f (x) = 

h(x) = x − 7x Κ(x) 

= 

2 

x − 3 

x − 9 

g(x) = x R(x) = 3x + 12 

1 

f (x) = تابع 

x − 3 

در = 3 x تعريف نيست؛ زيرا براى = 3 x چمخرج تابع صفر 

مى شود.‏ يا براى = 3 x قيمت تابع يك عدد حقيقى نمى باشد؛ پس:‏ 

Domf 

= 

{ x ∈IR / x ≠ 3} 

g ( x) 

= x در تابع 

فعاليت 

براى اين كه قيمت تابع يك عدد حقيقى number) (Real 

77

domg 

باشد،‏ بايد ≥ 0 x باشد پس 0} ≥ x Dom g = { x ∈ IR / يا ∞) , [0 = 


x چون براى هر قيمت x تابع h(x) تعريف شده است.‏ 

Dom h 

IR = ( −∞ , ∞) 

h( 

x) 

= x 

درتابع − 7 2 

پس:‏ ) ست تمام اعداد حقيقى ( = 

عبارت است از:‏ 

Dom k 

6x 

k(x) = (x − 3)(x + 3) 

يا 

{ x ∈ IR / x ≠ 3 , ≠ 3} 

( x) 

= x − 

6x 

( x) 

= x 2 − 9 

k ناحيه تعريف تابع 

3x باشد،‏ پس 4− ≥ x مى شود.‏ 

درتابع + 12 3x R (x) = بايد ≥ 0 12 + 

Dom R = { x ∈ IR / x ≥ −4} 

= [ −4, 

∞) 

فعاليت 

ناحية تعريف توابع ذيل را دريابيد:‏ 

2 

5x 

f (x) = x + 3x −17 

, g(x) = 

2 

x − 49 

, 

h(x) = 

9x − 27 

x − 3 ≥ 0 ⇒ x ≥ 3 

Dom y = {x ∈IR / x ≥ 3} = [3 , ∞) 

f (x) 

مثال دوم:‏ ناحية تعريف تابع − 3 x y = را دريابيد.‏ 

مثال سوم:‏ ناحية تعريف توابع ذيل را دريابيد.‏ 

∞) + 2, [ يا 2} ≥ x = x − 2 Dom f = {x / 

2x 

+ 3 

x − 4 

g ( x) 

= dom g = IR −{ 4} , −∞ ( يا 4) U (4, + ∞) 

dom g = { x ∈ IR / x ≠ 4} 

يا به شكل ست : 

h(x) = 

x 

2 

− 2x − 3 

78

−∞, ( يا 3} ≥ x يا‎1‎‏−‏ ≤ x Dom h = {x / 

−1] 

U [3, ∞) 

گراف تابع وتشخيص تابع از روى گراف 

(Graph of a function and vertical line test) 

در اشكال داده شده كدام يك از گراف ها،‏ گراف يك تابع مى باشد؟ 

O 

O 

O 

O 

فعاليت 

يك خط موازى با محور Y را رسم كنيد.‏ 

مشاهد كنيد اين خط گراف تابع را در چند نقطه قطع مى كند؟ 

اگر اين خط گراف را دريك نقطه قطع كند آيا اين گراف،گراف يك تابع مى باشد؟ 

اگر اين خط،‏ گراف را اضافه تر از يك نقطه قطع كند آيا اين گراف،‏ گراف يك تابع 


( , f ( x)) 

اگر f(x) يك تابع حقيقى باشد،‏ گراف تابع f(x) عبارت از ست جوره هاى مرتب x 

مى باشد؛ كه در معادله(‏f(x =y صدق كنند.‏ 

يا گراف يك تابع عبارت از ست نقاط در مستوى YX ميباشد.‏ طورى كه 

(x)} {( x , y ) / y = f كه (x) x ∈ dom f باشد.‏ 

79

مثال اول:‏ گراف تابع y 1 را رسم كنيد.‏ 

= f ( x) 

= 2x 

+ 

input 

x 

0 

2 

− 2 

2x + 1 

2(0) + 1 

2(2) + 1 

2( −2) 

+ 1 

output 

y = f (x) 

1 

5 

− 3 

جوره مرتب 

تابع 

(x, y) 

(0,1) 

(2,5) 

( −2, 

−3) 

1− = را رسم كنيد ناحية تعريف و ناحية 

2 

f (x) = x + 1 

x − 3 − 2 

f (x) 

f ( −3) 

= ( −3) 

f ( −2) 

= ( −2) 

f ( −1) 

= ( −1) 

f (0) = 0 

10 

2 

2 

2 

2 

5 

−1 

2 

y و f ( x) 

= x 2 + 1 

( −3,10) 

, ( −2 

, 5) , ( −1 , 2) , 

+ 1 = 9 + 1 = 10 

+ 1 = 4 + 1 = 5 

+ 1 = 1+ 

1 = 2 

+ 1 = 0 + 1 = 1 

0 

1 

1 

2 

2 

5 

3 

10 

مثال دوم:‏ گراف توابع 

قميت هاى آنها را نيز تعيين كنيد.‏ 

حل 

بادر نظرداشت جوره هاى مرتب:‏ 

(0,1) , (1,2) , (2,5) , (3 , 10) 

گراف توابع را رسم كنيد.‏ 

f (1) = 1 

2 

f (2) = 2 

f (3) = 3 

+ 1 = 2 

2 

2 

+ 1 = 5 

+ 1 = 10 

Domf = ( −∞ , +∞) 

Rangf = [1, +∞) 

80

f ( 

x ) = −1 

In put 

جوره مرتب Out put 

x 

− 2 

0 

y = f (x) 

−1 

−1 

فعاليت 

( x, 

y) 

( −2, 

−1) 

( 0 , −1) 

Dom y = IR 

Range y = −1 

3 

−1 

( 3 , −1) 

گراف تابع f 4 را رسم كنيد.‏ 

( x) 

= x 2 − 

x) y f ( را رسم كنيد.‏ 

= x 

مثال سوم:‏ گراف تابع = 

3 

f (x) = x 

3 

x 

2 

1 

0 

−1 

− 2 

y = f (x) 

8 

1 

0 

−1 

− 8 

اگر يك خط عمودى ‏(موازى با محور ( y يك گراف 

را محض دريك نقطه قطع كند اين گراف،‏ گراف 

يك تابع مى باشد و اگر اضافه تر از يك نقطه قطع 

كند گراف،‏ گراف يك تابع نمى باشد.‏ 

81

مثال چهارم:‏ در گراف هاى داده شدة زير مشاهده مى شود كه:‏ b و c گراف هاى تابع 

ميباشند؛ زيرا كه خط عمودى،‏ گراف ها را دريك نقطه قطع كرده است؛ اما a و d گراف 

هاى تابع نمى باشند،‏ زيرا خط عمودى،‏ گراف ها را در اضافه تر از يك نقطه ‏(در دو نقطه)‏ 

قطع كرده است يا براى يك x دو قيمت y يا(‏f(x وجود دارد بنابرآن گراف تابع نمى 


درناحية تعريف (Domain) يك تابع اعدادى شامل مى باشند كه تابع در آن تعريف شده 

باشد.‏ يا قيمت تابع يك عدد حقيقى باشد.‏ گراف يك تابع در مستوي XY ست نقاط S مي 

باشد،‏ طوري كه {( = و x در ناحية تعريف تابع شامل باشد؛ اگر خط 

محور y گراف را محض دريك نقطه قطع كند گراف،‏ گراف يك تابع مى باشد.‏ 

وزىب با 

موازى S {(x, y) | y = f (x 

ناحيه هاي تعريف (Domain) توابع ذيل را دريابيد.‏ 

- 1 

f (x) = 

f (x) = 

x 

− 9 

x + 1 

7x 

f (x) = 

2 

x −16 

3 

f (x) = 

2 

x + 4 

2 

g(x) = 2x − 5 

g(x) = | x − 3 | 

2 

g(x) = 

, 

(x + 3)(x − 7) 

f ( x) 

x 

2 

و − = 

h(x) = 

x 

− 4 

3 

h(x) = 

x − 4 

4 

h(x) = 

2 

x + 11x + 24 

2 

2 

f ( x) 

- 2 گراف هاى توابع = x 

را رسم كنيد.‏ 

= −3 , − 2 , −1 ,0, 1, 2, 3, 

1 نا 

g ( x) 

= 2x 

- 3 گراف تابع − 

تمرين 

, 

, 

, 

, 

, 

1 را رسم كنيد،‏ اگر x 

باشد.‏ 

- 4 گراف − 2 2 x = y را رسم كنيد.‏ آيا اين گراف،‏ گراف يك تابع مى باشد؟چرا؟ 

82

تعيين ناحية تعريف ناحية تعريف 

و قيمت ها يك تابع و قيمت هاى 

يك تابع از روى گراف 

آيا در گراف هاى داده شده توابع زير ناحية تعريف (Domain) و ناحيه قيمت هاى 

(Range) توابع را تعيين كرده مى توانيد؟ 

فعاليت 

- 

o 

شكل را مشاهده كنيد سؤالات زير را جواب دهيد.‏ 

از روى شكل ناحية تعريف و ناحية قيمت هاى تابع 

f را دريابيد.‏ 

آيا عدد 4– در ناحية قيمت هاى تابع f شامل 

مى باشد؟ چرا؟ 

آيا 3– در ناحية تعريف f شامل است؟ چرا؟ 

آيا عدد 6 در ناحية تعريف تابع f شامل مى باشد؟ 

83

4 مى باشد ونيز از روي شكل ناحية تعريف 

( − 3,6] 

f ( 1) = و f ( −1) 

= 2 

dom f = ، پس 6∈dom 

f و 3∉dom f 

مشاهده مى شود كه 

تابع از(‏‎3‎ –) الى 6 مى باشد،‏ اما − 

مى باشد به همين ترتيب ناحية قيمت هاى تابع (Range) f , از عدد 4- الى‎4‎ مى باشد،‏ اما 

4] − 4 , ( f Range مى باشد.‏ 

4∉ Range f − ، پس = 

مثال اول:‏ در اشكال داده شده ساحة تعريف و ساحة قيمت هاى توابع را دريابيد.‏ 

( 1) (2) 

حل:‏ 

در گراف شكل اول ناحية تعريف تمام اعداد حقيقي از 1 الي 6 مي باشند.‏ و ناحية قيمت ها 

2 y ≤ 4 1 ≤ x ≤ 6 

تمام اعداد حقيقى بين 2 و 4 مى باشند.‏ يا و ≤ 

[ 2 , 10] 

[ 8] 

≤ y 

Dom = يا 2 x ≤10 

≤ 8 1 يا , 1 = Range 

در گراف شكل دوم:‏ ≤ 

مثال دوم:‏ شكل زير را درنظر بگيريد:‏ 

−2) ( f f ( 3) , و (5) f را دريابيد.‏ 

 

كميات وضعية نقاط تقاطع گراف با محور X و 

محور Y را دريابيد.‏ 

حل:‏ چون درنقطة تقاطع گراف با محور X قيمت 

y صفر مى شود.‏ 

0 مى باشد،‏ 

3,0) , 

f ( 5) = و f (3) = 0 , f ( −2) 

= 0 

( 

o 

پس گراف محور x را در نقاط − ( 

2, 0) 

84

= 3 0) ( است.‏ 

) قطع كرده است.‏ 

و ( 5 , 0 

چون در نقطة تقاطع گراف با محور ، y قيمت x صفر مى باشد f 

پس گراف محور y را درنقطه (0,3 ( قطع مى كند.‏ 

مثال سوم:‏ درشكل زير domain و Range تابع f را دريابيد.‏ (3) f و(‏‎6‎‏)‏ f را نيز 


حل:‏ مشاهده مى شود كه ناحية تعريف تابع از – 3 الى 6 مى باشد؛ اما عدد – 3 در ناحية 

تعريف شامل نمى باشد.‏ 6 مى باشد.‏ 

f (6) 

Domain f ( x) 

= −3 

,6] − 3 ( يا ≤ x < 

−5 (x) Range f مى باشد.‏ −3 = 

≤ y < 4 5 , 4 

) [ يا = 

ناحية قيمت هاى تابع:‏ − 

و −5 = (3) f است.‏ 

85

در اشكال داده شده:‏ 

تمرين 

2 

1 

3 

a) ناحية تعريف تابع 

b) ناحية قيمت هاى تابع 

X نقاط تقاطع با محور c) 

d) نقاط تقاطع گراف با محور Y و در شكل سوم قيمت هاى خواسته شده تابع را 


86

بعضي توابع خاص 

توابعى كه گراف هاى آن ها را در شكل 

مشاهده مى كنيد به چه نام ها ياد مى شوند؟ 

توابع انواع زيادي دارند كه بعضى از توابع خاص را تحت مطالعه مى گيريم.‏ 

تابع ثابت،‏ تابع عينيت،‏ تابع قيمت مطلقه،‏ تابع چند معادله يى و تابع علامه 

فعاليت 

تابع ثابت راچرا به نام تابع ثابت ياد مى كنند؟ 

آيا ناحية تعريف و ناحية قيمت هاى تابع عينيت باهم مساوى مى باشند؟ 

آيا ناحيه قيمت هاى تابع قيمت مطلقه،‏ قيمت هاى منفى را گرفته مى تواند؟ 

87

تابع ثابت function) (Constant 

در صورتى كه 

اگر x و y ست هاى اعداد حقيقى باشند در تابع → f 

y مساوى به يك عدد ثابت (c) باشد يا = به نام تابع ثابت ياد مى شود.‏ 

طور مثال:‏ = 2 وغيره توابع ثابت اند.‏ 

مثال اول:‏ گراف توابع = f 2 را ترسيم كنيد.‏ 

حل:‏ 

f (x) = 2 

x = 

f (x) = 

1 

2 

f (x) = y يا :x y 

2 

2 

3 

2 

−1 

2 

y f (x) = 

− 2 

2 

C 

f (x) −2 

, f (x) = −3 

, f (x) = 

f (x) = − و (x) 2 

− 3 

2 

f (x) = −2 

x = 

f (x) = 

1 

− 2 

2 

− 2 

3 

− 2 

−1 

− 2 

− 2 

− 2 

− 3 

− 2 

0 0 

بدين معنى كه تصوير هر عنصر ناحية تعريف تابع ثابت يك عدد ثابت مى باشد.‏ 

تابع عينيت function) :(Identity 

اگر تابع هر عنصر از ناحية تعريف به 

به نام 

( خودش ارتباط دهد يا تابع عينيت ياد مى شود.‏ 

را رسم 

( مثال:‏ گراف تابع كنيد.‏ 

f x) 

= x 

f x) 

= x 

f (x) = x 

x = 0 

f (x) = 0 

1 

1 

2 

2 

−1 

−1 

− 2 

− 2 

... 

... 

88

⎧ x 

f ( x) 

= ⎨ 

⎩− 

x 

, x ≥ 0 

, x < 0 

تابع قيمت مطلقه function) (Absolute value 

تابع قيمت مطلقه | = f طور ذيل تعريف شده است.‏ 

( x) 

| x 

مثال اول:‏ گراف تابع | = f را رسم كنيد.‏ 

( x) 

| x 

f (x) = | x | 

x = 0 1 

f (x) = 0 1 

2 

2 

3 

3 

−1 

1 

− 2 

2 

− 3 

3 

مشاهده مى شود كه ناحيه تعريف تابع قيمت مطلقه ست تمام اعداد حقيقى و ناحية قيمت 

هاى تابع (∞, 0 [ مى باشند.‏ 

تابع چند معادله يى function) (Piecewise و گراف آن:‏ 

آيا مى شود كه يك تابع درناحية تعريف توسط دو ياچند معادله مشخص شود؟ 

f ⎧2x 

+ 3: 

x < 4 

(x) = ⎨ 

⎩x 

2 −1 

: 4 ≤ x ≤ 10 

مثال اول:‏ اگر 

) و ناحية تعريف تابع f را دريابيد.‏ 

حل:‏ چون < 4 5 – مى باشد،‏ پس درمعادلة اول وضع مى شود داريم كه:‏ 

f ( − 5) = 2( −5) 

+ 3 = −10 

+ 3 = −7 

باشد − 5 ( f f (8) , 

چون عدد 8 بين 4 و 10 مى باشد < 10 8 < 4، پس در معادله دوم وضع مى شود داريم 

كه:‏ 

f (8) = 8 

2 

−1 

= 64 −1 

= 63 

10] , [ مى باشد.‏ 

ناحية تعريف f در معادلة اول ) ∞−) و درمعادلة دوم 4 

, 4 

89

10] , ∞ ( مى باشد.‏ 

پس ناحية تعريف تابع f عبارت از − 

فعاليت 

⎧ 

⎪ 

− 

g(x) = ⎨ 

⎪ 

⎩ 

11 

60 

1 

x 

5 

x + 15 ⇐: 

0 ≤ x < 60 

−8 

⇐: 

60 ≤ x ≤ 90 

اگر:‏ 


(80) 8 و 9. = (30) g 

باشد نشان دهيد:‏ كه = g 

گراف تابع چند معادله يى ) piecewise ( Graph of function defined 

مثال دوم:‏ ناحية تعريف،‏ ناحيه قيمت هاى تابع (x) f را دريابيد و گراف آن را نيز رسم 

كنيد.‏ اگر:‏ 

⎧x : 0 ≤ x ≤1 

f (x) = ⎨ 

⎩x 

−1:1 

< x ≤ 2 

[1,2 مى باشد 

0,1 

(x) عبارت از [0,2 [ مى باشد.‏ 

حل:‏ ناحية تعريف معادلة اول ] [ و از معادلة دوم ( 

در نتيجه ناحية تعريف f 

غرض ترسيم گراف ، گراف هر دو قسمت را ترسيم مى نماييم طورى كه 

90

y = f (x) = x 

y = f ( x) 

= x −1 

x 

y = f(x) 

0 

0 

0.5 

0.5 

0.8 

0.8 

1 

1 

x 

f (x) 

1,1 

0,1 

1,5 

0,5 

1,8 

0,8 

درنتيجه دو خط مستقيم به دست مى آيد كه هر دو گراف تابع (x) f مى باشد.‏ 

فعاليت 

) را دريابيد و گراف اين 

باشد (2 f f (0),f ( − 2) , 

⎧x 

⇐: 

0 ≤ x ≤ 4 

f (x) = ⎨ 

⎩x 

−1 

⇐: 

0 < x < −4 

تابع را نيز رسم كنيد.‏ 

را رسم،‏ ناحية تعريف و ناحية قيمت 

x 

f ( x) 

1 

2 

2 

3 

4 

5 

−1 

− 2 

− 2 

− 3 

⎧x 

−1⇐: 

x < 0 

( x) 

= ⎨ 

⎩x 

+ 1⇐: 

x > 0 

مثال سوم:‏ گراف تابع f 

هاى تابع را تعيين كنيد.‏ 

حل:‏ 

− 3 

− 4 

− 4 

− 5 

0 

مشاهده مى شود كه در ناحية تعريف تابع صفر شامل نميباشد.‏ (0 ≠ x ( يا 

) و ناحية قيمت هاى تابع (Range) عبارت از 

Dom f (x) = ( −∞ , 0) U(0, 

∞ 

−∞, ( يا > 1 y و −1 < y 

−1) 

U(1, 

∞) 

تابع علامه(‏function :(sign كه با(‏sgn(x نشان داده مى شود يك مثال تابع چند 

معادله يى مى باشد كه طور ذيل تعريف شده است:‏ 

91

نا حية تعريف اين تابع ست تمام اعداد حقيقى و ناحية قيمت 

⎧ 1⇐: 

x > 0 

⎪ 

sgn(x) = ⎨ 0⇐: 

x = 0 

⎪ 

⎩−1⇐: 

x < 0 

هاى(‏ ( Range آن − 1 , 0 , 1 

} { مى باشد.‏ 

Dom 

sgn 

= IR Range 

sgn 

= 

{ −1 , 0 ,1} 

| تابع قيمت مطلقه مى باشد كه 

ناحية تعريف آن اعداد حقيقى و ناحية قيمت هاى آن صفر و اعداد مثبت حقيقى مى باشند.‏ 

تابع علامه اين طور تعريف شده است:‏ 

f : IR → IR 

, 

f ( x) 

= | x تابع عينيت و f (x) = x تابع ثابت،‏ f ( x) 

= c 

⎧1 

⇐: 

x > 0 

⎪ 

Sgn( 

x) 

= ⎨0 

⇐: 

x = 0 

⎪ 

⎩−1⇐: 

x < 0 

ناحية تعريف تابع علامه ست اعداد حقيقى و ناحية قيمت هاى آن {1,0,1 − { مى باشد.‏ 

تمرين 

4 را رسم كنيد.‏ 

1 

h ( x) 

g(x) و = 

- 1 گراف هاى توابع −5 = (x) ، f = 

2 

f ( x) 

– 2 گراف تابع − | x | = 


باشد.‏ (0) 2,3)،f f ( − و (16) f را دريابيد.‏ 

⎧− 

x:x < 0 

f (x) = ⎨ 

- 3 اگر 

⎩ x:x ≥ 0 

باشد ساحة تعريف (x) h را تعيين كنيد.‏ 

⎧x 

+ 1: −1≤ 

x < 0 

h (x) = ⎨ 

- 4 اگر 

⎩− 

x + 1:0 ≤ x ≤1 

92

توابع متزايد و متناقص 

(Increasing and decreasing 

functions) 

در گراف هاى داده شده كدام گراف،‏ 

گراف تابع متزايد است؟ 

كدام گراف،‏ گراف تابع متناقص است؟ 

كدام گراف نه متزايد و نه متناقص است؟ 

متناقص 

باشد،‏ درنتيجه x2) f ( x1 ) < f ( 

1 

x2 

باشد،‏ در نتيجه x2) f ( x1 ) > f ( 

1 

x2 

– 1 يك تابع دريك انتروال متزايد است اگر < x 

شود.‏ 

- 2 يك تابع دريك انتروال متناقص مى باشد،‏ اگر < x 


) شود،‏ اين تابع نه متناقص 

است ونه متزايد.‏ طورى كه در شكل واضح مشاهده مى شود اين تابع يك تابع ثابت 


در كدام انتروال ها متزايد و در كدام انتروال 

f ( x1 ) = f ( باشد در نتيجه x2 x 

1 

– 3 در يك تابع اگر < x2 

f ( x) 

x 

2 

مثال:‏ گراف تابع = f و − = 

ها متناقص مى باشد؟ 

( x) 

x 

2 

x 

f ( x) 

= 

2 

x 

0 

0 

1 

1 

−1 

1 

2 

4 

− 2 

4 

x 

f (x) = −x 

2 

0 

0 

1 

−1 

−1 

−1 

2 

− 4 

− 2 

− 4 

93

−1 

< 2 

f ( −1) 

< 

1 < 4 

f (2) 

−1 

< 2 

f ( −1) 

> 

−1 

> −4 

f (2) 

در انتروال ) متناقص و در انتروال ∞ ( 

94 

0 , 

) 

(−∞ ,0 

( x) 

x 

مشاهده مى شود كه تابع = f 

0, 

) 

2 

متزايد مى باشد،‏ اما تابع = 

مىب باشد.‏ 

متناقص 

داده شده در 

اشكال 

در 

كدام انتروال گراف تابع 

متزايد و در كدام انتروال 

متناقص مى باشد و كدام 

گراف نه متزايد و نه 

متناقص مى باشد؟ 

0, در انتروال ) ∞−) متزايد و در انتروال ∞ ( 

f ( x) 

−x 

توابع جفت وطاق(‏functions (Even and odd 

f ( x) 

= f ( x 

f (x 

- 1 تابع x 

2 

) يك تابع جفت مى باشد اگر:‏ ) − باشد بدين معنى اگر در 

تابع x را به − عوض كنيم درقيمت تابع تغيير وارد نمى شود.‏ 

) يك تابع طاق مى باشد اگر:‏ ) − باشد يعنى اگر درتابع x 

را به − عوض كنيم قيمت تابع منفى مى شود.‏ 

f ( x) 

= − f ( x 

- 2 تابع f (x 

x 

فعاليت

مثال اول:‏ در توابع = f 

كدام تابع جفت و كدام تابع طاق مى باشد؟ 

حل:‏ در هر دو تابع x را عوض مى كنيم.‏ 

3 

و f (x) = x 

f ( −x) 

= ( −x) 

( x) 

x 

3 

− x 

2 

= ( −x)( 

−x)( 

−x) 

= −x 

يك تابع طاق مى 

باشد،‏ زيرا ) − مى شود.‏ مثل 

3 

f ( x) 

پس تابع = x 

f ( x) 

= − f ( x 

2 

f ( x) 

= x و f ( −2 ) = − f ( 2 ) = −8 

و در تابع = f 

(x ( داريم كه:‏ 

x 

2 

f ( −x) 

= ( −x) 

= ( −x)( 

−x) 

= 

يك تابع جفت مى باشد،‏ زيرا 

2 

3 

x 

2 

f ( x) 

پس تابع = x 

f ( − 2) = f (2) = 4 است.‏ f ( −x) 

= f ( x) 

مشاهده مى شودكه گراف توابع جفت نظر به محور Y 

و گراف توابع طاق نظر به مبدأ كميات وضعيه متناظر 


2 

x) ( و 

= x 2 − 4 

مثال دوم:‏ در توابع f 

2 كدام يك جفت و كدام 

يك تابع طاق مى باشد؟ 

2 

g( 

x) 

= x + 3x 

+ 

2 

2 

f ( − x) 

= ( −x) 

حل:‏ x) = x − 4 = f ( 4 − 

پس اين تابع جفت مى باشد.‏ 

و درشكل نيز مشاهده مى شود كه در دو نقطه 

(3,5) و 3,5) (− براى = 3 x و −3 = x 

قيمت تابع باهم مساوى است كه عبارت از عدد 5 

95

2− = قيمت تابع باهم مساوى 

مى باشد يعنى − 

است كه صفر مى باشد.‏ در نتيجه تابع جفت مى باشد.‏ 

2 كه اين تابع نه جفت است و نه طاق.‏ 

مثال سوم:‏ اگر f از اعداد حقيقى به اعداد حقيقى يك تابع طاق باشد.‏ قيمت k رادريابيد 

طورى كه:‏ 

حل:‏ چون f يك تابع طاق مى باشد.‏ 

f ( −x) 

= −f (x) 

f ( −2) 

= −f (2) 

k + 5 = −(2k 

+ 3) 

k + 5 = −2k 

− 3 

3k = −8 

8 

k = − 

3 

x و x همچنين در = 2 f ( 3) = f (3) = 5 

g(x) = ( −x) 

2 

+ 3( −x) 

+ 2 = x 

f ( 2) = 2k باشد.‏ 

−2) ( f و + 3 

= k + 5 

‏(نظر به تعريف تابع طاق)‏ 

باشد ونتيجه شود كه ) < f است تابع متزايد و اگر 

2 

f ( x) 

= f ( x) 

( x1 ) f ( x2 

1 

x 

2 

x < ، (x) 

− 3x + 

اگر درتابع f 

) شود تابع متناقص وهم:‏ اگر − 

f ( x1 ) > f ( باشد و درنتيجه x2 x 

1 

< x2 

f شود تابع f ( x) = −f (x) 

(x 

(x) طاق مى باشد.‏ 

باشد تابع ) f جفت و اگر − 

گراف توابع جفت نظر به محور Y و گراف توابع طاق نظر به مبداى كميات وضعيه متناظر 

باشند.‏ مى 

تمرين 

- 1 كدام يك از توابع زير متزايد ، متناقص ونه متزايد و نه متناقص مى باشد؟ 

f 

3 

2 

2 4 

( x) 

= x + x , f ( x) 

= x + x , f ( x) 

= x − x 

- 2 كدام يك از توابع زير داده شده جفت و كدام يك طاق مى باشد؟ 

f = 

4 

5 

( x) 

= x , f ( x) 

= | x | , f ( x) 

= x , f ( x) 

x 

96

(Translation) انتقال 

آيا ميتوانيد بگوييد كه گراف هاى داده 

شده باهم چه رابطه دارند؟ 

فعاليت 



2 

f ( x) 

= x گراف تابع 

f (x) = x 

گراف تابع + 2 


بگوييد كه اين گراف ها باهم چه رابطه دارند؟ 

f ( x) 

= x 2 − گراف تابع 

را رسم نماييم چطور مى توانيم كه از انتقال گراف = f 

نقطه 

گراف تابع 4 را رسم نماييم.‏ براى هر نقطة x 

4 قرار دارد،‏ پس هر نقطة گراف = y به 

مربوط 

( x) 

x 

2 

2 

y = x گراف ( , y) 

2 

x 

2 

f ( x) 

اگرگراف = x 

f ( x) 

= x 2 − 

y = x 2 − بالاى گراف ( x, 

y − 4) 

اندازة 4 واحد به طرف پايين انتقال مى كند تا گراف − 4 2 y = x به دست آيد طورى كه 

97

درشكل مشاهده مى شود.‏ اين انتقال به نام انتقال عمودى 

Translation) (Vertical ياد مى شود.‏ 

انتقال به 2 قسم است انتقال عمودى و انتقال افقى 

انتقال عمودى:‏ انتقال عمودى يا به طرف بالا ويا به 

طرف پايين مى باشد.‏ 

هرگاه > 0 c باشد.‏ 

1: اگر گراف تابع (x) y = f به اندازة عدد c به طرف 

بالا انتقال شده باشد.‏ گراف ( به دست 


2: اگر گراف تابع (x) y = f به اندازة عدد c به طرف 

پايين انتقال شده باشد گراف ( به دست 


2 

y = x با گراف تابع = x 2 − 3 

y = f x) 

+ c 

y = f x) 

− c 

چه رابطه 

مثال اول:‏ گراف توابع y 

دارد؟ هر سه گراف را در عين سيستم كميات وضعيه رسم نماييد.‏ 

را به اندازه (2) واحد به طرف بالا انتقال دهيم گراف تابع 

2 به دست مى آيد و اگر گراف تابع = y را به اندازة (3 ( واحد به طرف 

y و = x 2 + 2 

2 

x 

2 

حل:‏ اگر گراف تابع y = x 

y = x 2 + 

پايين انتقال دهيم گراف تابع − 3 2 y = x به دست مى آيد.‏ 

x = 

y = x 

y = x 

2 

y = x 

+ 2 

2 

2 

− 3 

0 

0 

2 

− 3 

1 

1 

3 

− 2 

2 

4 

6 

1 

−1 

1 

3 

− 2 

يا انتقال عمودى را اين طور نيز ميتوانيم تعريف كرد:‏ 

اگر درگراف تابع به عوض y – a ، y وضع شود كه a يك عدد ثابت مى باشد،‏ اگر 0

باشد گراف طور عمودى به اندازة | a | به طرف بالا انتقال مى كند و اگر < 0 a باشد به 

اندازه | a | طور عمودى طرف پايين انتقال ميكند.‏ 

2 

y = x − 2 , y = x 

2 

+ 2 

2 

مثال دوم:‏ از انتقال گراف y = x 

گراف هاى توابع 

= x 2 − 4 را در عين سيستم كميات وضعيه رسم وبا همديگر مقايسه 

y = x 

x 

0 

± 1 

± 2 

2 

y 

0 

1 

4 

2 

y = x + 2 

x 

0 

± 1 

± 2 

y 

2 

3 

6 

y = x 

x 

0 

± 1 

± 2 

2 

+ 4 

y 

4 

5 

8 

y = x 

x 

0 

± 1 

± 2 

2 

y 

− 2 

− 2 

−1 

2 

y و y = x 

2 + 4 

y = x 

x 

0 

± 1 

± 2 

2 

− 4 

y 

− 4 

− 3 

0 

كنيد.‏ 

انتقال افقى:‏ Translation) ( Horizontal 

اگر درگراف تابع به عوض x – b ، x وضع شود كه b يك عدد ثابت است گراف تابع 

| طور افقى انتقال مى كند.‏ اگر > 0 b باشد گراف به طرف راست و اگر 

0 باشد گراف به طرف چپ انتقال مى كند.‏ 

را 

2 

و 3) − x y = ( 

2 

x به اندازة 2 واحد 

گرا ف توابع y 

= ( x + 2) 

2 

به اندازة | b 

b < 

2 

مثال سوم:‏ از انتقال گراف y = x 

رسم كنيد.‏ 

حل:‏ طورى كه درشكل مشاهده مى شود ، اگر گراف تابع = y 

99

2 

به طرف چپ انتقال داده شود گراف به دست مى آيد.‏ اگر گراف 

2 

به اندازة 3 واحد به طرف راست انتقال داده شود گراف تابع = 

به دست مى آيد طورى كه در شكل نيز مشاهده مى شود.‏ 

y 

(x − 3) 

x 

2 

y = (x + 2) 

2 

− 2 

0 

0 

4 

−1 

1 

y = ( x + 2) 

− 3 

1 

− 4 

4 

.... 

.... 

y = x 

x = 

y = (x − 3) 

2 

3 

0 

4 

1 

2 

1 

5 

4 

1 

4 

.... 

.... 

فعاليت 

x) h ( را 

= | x − 3 | و g ( x) 

= | x + 2 | گراف توابع ( x) 

| x | 

از انتقال گراف تابع = f 

در عين سيستم كميات وضعيه رسم كنيد.‏ 

تركيب انتقال عمودى و افقى 

(Combining Horizontal and Vertical shifts) 


3 = مثال چهارم:‏ گراف توابع f را رسم مى نماييم كه به نام گراف معيارى تابع 

= حل:‏ در اول گراف تابع ( 

درجه دوم ياد مى شود.‏ حال به روى گراف سه نقطه مشخص مى نماييم.‏ 

f = را رسم مى نماييم،‏ با ناحية تعريف تابع g 

2 

بعد گراف تابع 

(2,4 را 

( x) 

x 

h ( x) 

= ( x + 1) 

و − 2 

(0,0) , 2,4) و (− 

2 

g (x) (x + 1) 

2 

( x) 

x 

2 

( x) 

= ( x + 1) 

100

2 

عدد (1) را جمع مى نماييم تا گراف = f به اندزة يك واحد به طرف چپ 

انتقال شود كه درشكل دوم نشان داده شده است.‏ 

( x) 

x 

سپس براى ترسيم گراف f 3 گراف شكل دوم را به اندازة 3 واحد 

به طور عمودى به طرف پايين انتقال مى كند كه گراف آن درشكل سوم نشان داده شده 

است.‏ 

f (x) = x 

x 0 

2 

2 − 2 

g(x) = (x + 1) 

x −1 

1 

( x) 

= ( x + 1) 

− 3 

f (x) 0 4 4 f (x) 0 4 4 f (x) 1 1 − 3 

2 

2 − 

f (x) = (x + 1) 

x 1 − 3 

2 

− 3 

−1 


y = | x + 3 | + گراف تابع | x | 

مثال پنجم:‏ از انتقال گراف تابع = y 

x 

y = | x | 

y = | x + 3| + 2 

0 

0 

5 

1 

1 

6 

−1 

1 

4 

− 2 

2 

3 

− 3 

3 

2 

3 

3 

8 

2 

2 

7 

101

انتقال به (2) نوع مى باشد ) عمودى و افقى ( 

انتقال عمودى:‏ هرگاه c يك عدد مثبت باشد.‏ 

) به اندازه c واحد عموداً‏ به طرف بالا انتقال شود 


- 1 اگر گراف تابع y = f (x 

y = f x) 

+ c 

گراف تابع ( 

) به اندازه c واحد عموداً‏ به طرف پايين انتقال شود.‏ 



y = f x) 

− c 

گراف تابع ( 

انتقال افقى:‏ هرگاه c يك عدد مثبت باشد.‏ 

) به اندازه c واحد به طرف چپ انتقال داده شود گراف 


) به دست مى آيد.‏ 

) به اندازه c واحد به طرف راست انتقال شود گراف 

تابع y = f ( x + c 



تابع y = f ( x − c 

تمرين 

2 

- 1 از انتقال گراف تابع y = x گراف هاى توابع زير را رسم كنيد:‏ 

2 

2 

2 

g( 

x) 

= x − 2 , g( 

x) 

= ( x − 2) , g( 

x) 

= x −1 

, g( 

x) 

= ( x − 2) 

را رسم كنيد و از انتقال آن گراف هاى توابع 


2 

+ 1 

f ( x) 

- 2 گراف تابع = x 

f (x) = x + و f (x) = x + 2 

| را رسم كنيد.‏ و از انتقال اين گراف ، گراف هاى توابع 


x) ( و 

= x 3 − 3 

f ( x) 

- 3 گراف تابع | x = 

h(x) 

= x − و g (x) = | x + 4 | , g(x) = | x | + 4 

‏،گراف هاى توابع g 

3 

f ( x) 

- 4 از انتقال گراف تابع = x 


3 

g( x) 

= ( x − 3) 

102

عمليه هاى توابع 

g (x) = 2x + و‎11‎ f ( x) 

اگر + 2 x = 

باشد.‏ g)(x) ( f + و g)(x) ( f − را 


(f + g)(x) = f (x) + g(x) 

(f ⋅g)(x) 

= f (x). g(x) 

dom (f + g)(x) = dom f I 

dom (f − g)(x) = dom f I 

dom (f ⋅g)(x) 

= dom f I 

f 

dom ( )(x) = dom f 

g 

I 

dom g 

عمليه هاى چهار گانه توابع طور ذيل تعريف شده اند.‏ 

) را دريابيد و نيز 

(f + g)(x) = f (x) + g(x) 

dom g 

dom g 

dom g 

(f − g)(x) = f (x) − g(x) 

f 

( 

g 

− 

)(x) = 

f (x) 

g(x) 

{ x / g(x) = 0} 

( f + g)(x باشد،‏ g ( x) 

= و x 2 − 4 ( x) 

= 2x 

+ 1 

f g)(x 

(f + g)(x) = (2x + 1) + (x 

dom g = IR dom f = IR 

2 

− 4) = 2x − 3+ 

x 

( g(x) ≠ 0) 

مثال اول:‏ اگر f 

ساحة تعريف تابع ) + ( را تعيين كنيد.‏ 

حل 

و 

dom (f + g)(x) = IR I IR = IR 

2 

= x 

2 

+ 2x − 3 

( f + g)(3) و ( f + g)(x) باشد.‏ g ( x) 

= 4x 

x) ( و + 5 

= x 2 − 3 

مثال دوم:‏ اگر f 


103

(f + g)(x) = (x 

(f + g)(3) = 3 

2 

2 

− 3) + (4x + 5) = x 

+ 4x + 2 

+ 4(3) + 2 = 9 + 12 + 2 = 23 

dom g = IR dom f = IR 

dom (f + g)(x) = IR I IR = IR 

2 

حل 

و 

فعاليت 

2 

x) g( باشد g)(x) ( f + و g)(4) ( f + را 

= 2x 

اگر‎1‎‏−‏ f (x) = 3x + 4x و + 7 

2 

x) g ( باشد.‏ 

= x + x و − 2 f ( x) 

= 2x 

−1 


مثال سوم:‏ اگر 

) را دريابيد و ناحيه هاى تعريف اين توابع را نيز 

(f − g)x = (2x −1) 

− (x 

dom(f − g)(x) = IR I IR = IR 

(f ⋅g)x 

= (2x −1)(x 

2 

2 

+ x − 2) = 2x −1− 

x 

+ x − 2) = 2x 

dom(f ⋅g)(x) 

= IR I IR = IR 

f 2x −1 

2x −1 

( )x = = 

2 

g x + x − 2 (x + 2)(x −1) 

f 

dom( 

)x = { x / x ≠ و −2 x ≠ 1} 

g 

3 

+ x 

2 

f 

( )(x و ( f ⋅ g)(x) 

g 

، ( f − g)(x) 

2 

− 5x + 2 

تعيين كنيد.‏ 

حل:‏ 

فعاليت 


− x + 2 = −x 

2 

+ x + 1 

چون dom f = IR و dom g = IR 

f 

⋅g)(x) ( f − g)(x) (f را 

( )(x) باشند،‏ g ( x) 

= و x 2 −1 f ( x) 

اگر − 5 x = 

g 


و 

f 

dom ( )(x) = IR I IR −{x / g(x) = 0} 

g 

104

x) g ( باشد.‏ 

= x و −1 ( x) 

= x + 3 

f 

( )(x و ( f ⋅ g)(x) 

،( f − g)(x) 

g 

( f − g)( 

x) 

= f ( x) 

− g( 

x) 

= x + 3− 

( x −1) 

= x + 3− 

x + 1 = 4 

2 

( f ⋅ g)( 

x) 

= f ( x) 

⋅ g( 

x) 

= ( x + 3)( x −1) 

= x + 2x 

− 3 

f 

( 

g 

مثال چهارم:‏ اگر f 

حل:‏ 


چون در ناحية تابع ) تمام اعداد حقيقى شامل مى باشند (x هر عدد حقيقى را گرفته 

مى تواند)‏ يا = dom 

)(x) = 

f 

dom( 

g 

f 

dom( 

g 

f (x) 

g(x) 

x + 3 

= 

x −1 

)(x) = IR − 

{} 1 

f (x 

dom g = IR به همين ترتيب f IR 

x ≠ 1 

{ x ∈ IR / x ≠ 1} 

dom (f − g)(x) = IR I IR = IR 

dom(f ⋅g)(x) 

= IR I IR = IR 

يا = )(x) 

f 

dom( 

)(x) = ( −∞, 

1) U (1, ∞) 

يا 

g 

x) g ( باشد 

= 3+ 

x و f x) 

= 4 − x 

مثال پنجم:‏ اگر ( 

f 

( 

g 

و 

g را دريابيد و ناحية تعريف آن ها را تعيين كنيد.‏ 

f 

(f + g)(x) = f (x) + g(x) = 

(f − g)(x) = f (x) − g(x) = 

(f ⋅g)(x) 

= f (x) ⋅g(x) 

= ( 

= 

12 + x − x 

4 − x + 

4 − x − 

4 − x )( 

f (x) 4 − x 4 − x 

)(x) = = = 

g(x) 3+ 

x 3+ 

x 

4] , (−∞ يا 4} ≤ x − x ≥ 0 , :{4 

domf 

2 

3+ 

x 

3 + x 

3 + x ) = 

f ⋅ g f − g , f + g 

(4 − x)(3 + x) 

حل:‏ 

105

) ,∞ 3 − [ يا −3} ≥ x dom g :{x / 3 + x ≥ 0, 

f g , f + g و f ⋅ g مى باشد.‏ 

( −∞,4] 

I[ 

−3, 

∞) 

= [ −3,4] 

] ناحية تعريف توابع − 

كه [− 3 , 4 

f 

g 

4] − 3 , ( Dom مى باشد.‏ 

0 مى باشد.‏ پس:‏ = 

f 

g ( −3) 

)(x) dom( چون = 

g 

حاصل ضرب تابع با عدد ثابت 

اگر c يك عدد ثابت و f يك تابع باشد،‏ پس حاصل ضرب آن عبارت است از:‏ 

( cf )(x) = c⋅f (x) 

3 

+ 2 x f (x) x − و = 5 c باشد.‏ 

(5 f )(x) = 5⋅f (x) = 5(x 

مثال ششم:‏ اگر = 

3 

− x + 2) = 5x 

3 

− 5x + 10 

تمرين 

زير را در نظر بگيريد:‏ 

توابع ) را دريابيد.‏ 

f 

( )(x و ( f ⋅ g)(x) , (f − g)(x) , (f + g)(x) 

- 1 

g 

- 2 ناحية تعريف آن ها را تعيين كنيد.‏ 

a: 

f ( x) 

= 2x 

+ 3 

c : f ( x) 

= 2x 

2 

− x − 3 

, 

, 

g( 

x) 

= x −1 

g( 

x) 

= x + 1 

, 

, 

2 

b : f ( x) 

= x − 5, 

g( 

x) 

= 3x 

d : f ( x) 

= x , g( 

x) 

= x − 5 

e : 

f ( x) 

= 

x + 4 

, 

g( 

x) 

= 

x −1 

, 

f 

: 

f ( x) 

= 

3x 

, g( 

x) 

= 

x 

2 

−1 

106

تركيب توابع يا توابع مركب 

composition of functions 

or composite functions 

g)( ( f o و )(x) ( g of را دريابيد.‏ 

x) باشد.‏ g ( x 

= x + 

= x 2 

( f و ) 3 

x 

) − 

اگر 2 

 

( f og)(x) = (g of )(x در كدام حالت 

) g(x) ( نشان ميدهند 

f يا ( o g) 


)(x) ( f o f و g)(x) ( g o را دريابيد.‏ 

 

اگر f و g توابع از x باشند،‏ تركيب f با g را به اين شكل f 

) عبارت از x است كه در 

Dom (fog)x 

( f o g )(x ناحية تعريف ( f o g)( 

x) 

= f ( g( 

x) 

) = f [ g( 

x) 

] 

ناحية تعريف g و (x) g درناحية تعريف f شامل باشد.‏ 

يا ناحية تعريف g) {x ∈ IR / x ∈dom g,g(x) ∈dom f} : (f o = 

1− x در ناحية تعريف g شامل باشد 

- 2 طورى كه (x) g درناحية تعريف f شامل باشد.‏ 

درشكل فوق تابع ) ( توسط دو ماشين نشان داده شده است.‏ درماشين اول ورودى 

(input) x ، و put) out‏)عبارت از g(x) مي باشد.‏ در ماشين دوم(‏input‏)‏ عبارت از 

f o g)(x 

) مى باشد و put) (Out عبارت از ) ( مى باشد.‏ اگر g(x) در ناحية تعريف 

fog)(x 

فعاليت 

g(x 

f شامل نباشد،‏ پس درماشين دوم(‏ ( f داخل شده نمى تواند.‏ 

107

x) g باشد.‏ (x) ( f o g) و (x) ( g o f ) را 

3x 

(f og)(x) = f 

(g o f )(x) = g( 

(f og)(x) ≠ (g o f )(x) 

2 

2 

9 x −1 

≠ 3x − 3 

x) f ( و = ( 

= x 2 −1 

2 

2 

( g(x) ) = f (3x) = (3x) −1 

= 9x −1 

2 

2 

2 

( f (x)) = g(x −1) 

= 3(x −1) 

= 3x − 3 

( g of )(x) و ( f o g)(x) باشد g ( x) 

= و x 2 + 6 ( x) 

= 3x 

− 4 

f 

g 

(x) عوض (Domain) يا x در تابع f وضع 

مثال اول:‏ اگر 


مشاهده مى شود كه:‏ 

مثال دوم:‏ اگر f 


حل:‏ درحقيقت در ( 


g تابع fog)(x) 

2 

2 

2 

2 

( g(x) ) = f (x + 6) = 3(x + 6) − 4 = 3x + 18 − 4 = 3x + 14 

2 

2 

( f (x)) = (g o f )(x) = g(3x − 4) = (3x − 4) + 6= 

9x − 24x + 22 

فعاليت 

(x)( g of ست تمام اعداد حقيقى مى باشند.‏ 

g)(x) f o و ( 

واضح است كه ناحية تعريف ( 

6 باشد نشان دهيد كه = ( 

f og)(x) 

(g o f )(x) 

g ( x) 

= x − و f ( x) 

اگر + 6 x = 


x) f ( باشد.‏ 

= x و g x) 

= 1− 

x 

مثال سوم:‏ اگر ( 

در قدم اول ناحية تعريف توابع f o g و g o f را دريابيد.‏ بعد f og 

آوريد.‏ 

حل:‏ ناحية تعريف f عبارت از:‏ 0 


و gof را به دست 

) [ و ناحية تعريف تابع g ست تمام اعداد حقيقى 

, ∞ 

( −∞, 

∞ 

Domf = [0, ∞) 

Domg = ( −∞, 

∞) 

يا:‏ 

Dom(fo g) = x / x ∈domg 

, g(x) ∈domf 

يا:‏ 

{ } 

108

Dom (fog) = {x / x ∈ IR ,1− 

x ≥ 0} , − x ≥ −1⇒ 

x ≤ 1 = ( −∞,1] 

Dom (g o f ) = {x / ∈domf 

,f (x) ∈domg} 

= {x / x ≥ 0 , x ∈ IR} = 

(f og)(x) = f (1 − x) = 

(g o f )(x) = g( 

x ) = 1− 

1− 

x 

x 

[ 0, ∞) 

براى وضاحت بهتر ناحية تعريف تابع مركب شكل زير را مشاهده كنيد:‏ 

(x) از 

h 

باشد:‏ به دو طريق نشان دهيد كه تابع مثال چهارم:‏ اگر 1 تركيب كدام دوتابع به دست آمده است؟ 

( 

را ميتوان به شكل تركيب دو تابع حل:‏ تابع ) باشد.‏ 

طورى كه:‏ 

Jok)( ( نوشت.‏ 

x) و g of )(x) 

(g of )(x) = g 

(jo k)(x) = j 

2 

2 

( f (x)) = g(3x + 1) = 3x + 1 

h( 

x) 

= 3x 2 + 

h(x 

g ( x) 

= x و f ( x) 

= 3x 2 + 1 

به همين ترتيب تابع ) را مى توان به شكل تركيب دو تابع (jok)(x) بنويسيم.‏ 

باشد 

طورى كه:‏ j 

2 

2 

( k(x) ) = j(3x ) = 3x + 1 

h(x 

2 

k ( x) 

= 3x و ( x) 

= x + 1 

x 

−2 x ‏)باشد.‏ 

), 

f (x) = 

x + 2 

(f of of )(x) (f of )(2) , f 

مثال پنجم:‏ اگر ≠ 

(x)) ( f را دريابيد.‏ 

x x 

+ + x x + 2 x 

(f of )(x) = x 2 = x 2 = ⋅ = 

x x + 2x + 4 

+ 2 

x + 2 3x + 4 3x + 4 

x + 2 x + 2 

حل:‏ 

و 

109

(f o f )(2) = ? 

(f of of )(x) = 

x 

= x + 2 = 

x 

3( ) + 4 

x + 2 

x 

(f o f ) (x) = 

3x + 4 

2 

⇒ (f o f )(2) = = 

3⋅2 

+ 4 

x x 

x + 2 x 2 x x + 2 x 

= + = ⋅ = 

3x 3x + 4x + 8 

+ 4 

x + 2 7x + 8 7x + 8 

x + 2 x + 2 

فعاليت 

2 

10 

= 

1 

5 

، ( g of )(x) , (f og)(x) باشد g( x) 

= x و + 3 ( ) = x 2 

f x − 

اگر 2 

) و(‏g)(3‎ را دريابيد.‏ 

تمرين 

( f o (g o f )( −2 

باشد:‏ 

3 

g ( x) 

= x و f ( x) 

= −3x 

- 1 اگر + 2 

g 

( f + g)(x) , (f − g)(x) , (g − f )(x) , (f ⋅g )(x) , ( )(x) 

f 

را دريابيد و نيز ناحية تعريف آن ها را تعيين كنيد.‏ 

g f 

( )(x) و ( )(x) , (f ⋅g)(x) باشد g ( x) 

= x و − 3 f ( x) 

- 2 اگر − 3 2 = x 

f g 


2 1 

k ( x) 

= 3x 

h( و + 4 

x) 

= 4 − x , g( 

x) 

x) f ( و = 

- 3 اگر‎1‎ + 2 = x 

x 

h 

f 

( )(x و ( h k)(x) , ( )(x) , (f ⋅g)(x) 

k 

g 

2 

( f و og)(1 ( g of )(3) باشد g ( x) 

= x , f ( x) 

= 3x 

- 4 اگر − 2 

باشد ناحيه هاى تعريف توابع ⋅ 



x) g( باشد f of g of , f og را دريابيد.‏ 

= 2 − x و f ( x) 

- 5 اگر = x 

گ 

و 

x) h( باشد h)(x) ( f og o را 

و + 3 x = 

10 x 

- 6 اگر = (x) g(x) = x , f 

x + 1 


110

تابع معكوس 

(Inverse Function) 

111 

فعاليت 

درشكل بين دو تابع كدام رابطه وجود دارد؟ 

آيا معكوس هر تابع،‏ يك تابع مى باشد؟ 

اگر معكوس يك تابع نيز يك تابع باشد اين گونه تابع را به كدام نام ياد مى كنند؟ 

} { باشد،‏ آيا تابع g معكوس 

g = (2,1)(5,3)(7,6) و f = {(1, 

اگر } 2)(3,5)(6,7) 

تابع f مى باشد ياخير؟ چرا؟ 

) باشد،‏ آيا تابع g معكوس تابع f مى باشد؟ 

در تصوير فوق يك ترماميتر را مشاهده مى كنيد و ميدانيم كه بين درجه هاى حرارت سانتى 

( f og)(x) = (g of )(x اگر 

گريد و فارنهايت رابطه 

كه:‏ 

9 f = c + 

5 

32 وجود دارد اگر اين معادله براى (c) حل شود داريم 

9 

f = c + 32 ⇒ f − 32 = 

5 

5 5 9 

⇒ (f − 32) = ( c) 

9 9 5 

c = 

5 

(f 

9 

− 32) 

9 

c 

5 

+ 32 − 32 

) مى باشد 

تابع c تابع معكوس تابع f مى باشد.‏ معكوس يك رابطه 

كه ناحية تعريف تابع معكوس عبارت از ناحية قيمت هاى تابع و ناحية قيمت هاى يك تابع 

معكوس عبارت از ناحية تعريف تابع مى باشد.‏ 

( y , x عبارت از:‏ ( x, 

y)

و 

−1 

f به f معكوس تابع domain f 

−1 = Rangef 

−1 

Range f = dom f 

نشان 

f (3) = 7 

f (1) = 5 

f (8) = −10 

f 

f 

f 

داده مى شود.‏ متوجه باشيد كه:‏ 

−1 

1 

(f (x) ≠ 

f (x) 

−10)} {(1,5)(3,7)(8, (x) f باشد.‏ 

مثال اول:‏ اگر تابع = 

پس 

−1 

−1 

−1 

(7) = 3 

(5) = 1 

( −10) 

= 8 

− 

{(5,1)(7,3)( = (x) f 1 مى باشد:‏ 

−10,8) 

} 

( x) 

= 

{(1,2)(3,2)(4,5)} 

مى باشد؛ پس ) نيز يك تابع مى باشد،‏ اما اگر f 

f −1 

(x 

− 

x) ( 1 مى باشد.‏ 

= {(2,1)(2,3)(5,4)} 

باشد؛ f 

مشاهده مى شود كه ) يك تابع نيست،‏ زيرا كه براى = 2 x دو تصوير مختلف در 

(2) 1 مى باشد؛ پس معكوس هر تابع،‏ تابع نمى 

باشد يا به عبارت ديگر هر تابع معكوس پذير نمى باشد.‏ 

هرگاه دريك تابع كه به شكل جوره هاى مرتب داده شده باشد جاهاى عناصر اولى و دومى 

باهمديگرعوض شود رابطه يى كه به دست مى آيد عبارت از معكوس تابع اولى مى باشد،‏ 

تابعى كه معكوس آن نيز يك تابع باشد گفته مى شود كه تابع معكوس پذير است.‏ 

مثال دوم:‏ آيا توابع f و g كه طور زير به شكل جوره هاى مرتب داده شده اند.‏ معكوس 

پذير مى باشند؟ 

f 

f −1 

(x 

f = و f ( 2) = 3 وجود دارد.‏ (Range) 

{( 1,2), ( − 2,3),(3,1) ,(0, −1) 

} = {(2,4) 

, (3,1) , (0,2) , (5,1)} 

= g 

حل:‏ اگر جاهاى عناصر اولى و دومى جوره هاى مرتب را باهم ديگر تبديل نماييم داريم 

{(2,1), 

(3, − 2),(1,3) ,( −1,0) 

} 

−1 

f = 

كه:‏ 

−1 

مشاهده مى شود كه f 

هاى مرتب 

تكرار نشده اند و 

يا معكوس تابع f نيز يك تابع مى باشد،‏ زيرا كه عناصر اولى جوره 

− 

g 1 = 

= 1 دو قيمت 3 و 

{(4,2) 

, (1,3) , (2,0) , (1,5)} 

f 

−1 

−1 

مشاهده مى شود كه g يا معكوس تابع ، g تابع نيست؛ زيرا كه براى x 

5 وجود دارد ، پس تابع g معكوس پذير نيست.‏ 

112

خلاصه اينكه چون f تابع يك به يك بوده،‏ درنتيجه معكوس پذير است.‏ و چون تابع g يك 

به يك نبوده معكوس پذير نيز نمى باشد.‏ 

نتيجه:‏ تنها معكوس تابع يك به يك ، يك تابع مى باشد.‏ 

تابع يك به يك(‏function ( one – to – one 

باشد درنتيجه ) ( f f x ) ≠ 

2 

( 

1 

x2 

) تابع يك به يك مى باشد،‏ اگر ≠ x 

1 

x 

فعاليت 

يك تابع f x) 

شود.‏ 

يا:‏ 

a ≠ b⇒ 

f ( a) 

≠ f ( b) 

a b⇒ 

f ( a) 

= f ( b) 

و اگر:‏ = 

اگر يك تابع،‏ تابع يك به يك باشد در آن صورت معكوس آن نيز يك تابع مى باشد.‏ 

2 

مثال سوم:‏ اگر = باشد نشان دهيد كه كدام يك 

از اين توابع،‏ تابع يك به يك مى باشد.‏ 


حل:‏ اگر 

g(x) 

= 25 − x و f (x) −4x 

+ 12 

− 4 a + 12 ≠ −4b 

a ≠ b باشد.‏ + 

پس تابع (x) f تابع يك به يك مى باشد.‏ 

طور مثال:‏ اگر 

f (2) = −4(2) 

+ 12 = −8 

+ 12 = 4 

= 2 x باشد:‏ 

اگر = 3 x باشد 

f (3) = −4(3) 

+ 12 = −12 

+ 12 = 0 

a ≠ b ⇒ f (a) ≠ f (b) 

2 ≠ 3⇒ −4 

≠ 0 

g(x) 

2 

25 − x 

(x 

g (3) = 25 − 9 = 16 = 4 

اگر = 3 x باشد.‏ 

g ( − 3) = 25− 

9 = 16 = 4 

اگر −3 = x باشد.‏ 

−3) ( f f ( 3) = اما −3 ≠ 3 

پس تابع ) f تابع يك به يك مى باشد.‏ و در = 

پس تابع (x) g تابع يك به يك نمى باشد.‏ 

باشد نشان دهيد كه كدام يك از توابع،‏ تابع يك به 

يك مى باشد و كدام يك از آنها تابع يك به يك نيست؟ چرا؟ 

2 

g ( x) 

= x و f (x) 3x + 8 

اگر = 

113

تشخيص تابع يك به يك از روى گراف 

اگر خط افقى موازى با محور x گراف تابع را دريك نقطه قطع كند اين تابع ، تابع يك 

به يك است و اگر خط افقى گراف تابع را در اضافه تر ازيك نقطه قطع كند اين گراف ، 

گراف تابع يك به يك نيست.‏ 

مثال چهارم:‏ دراشكال داده شده مشاهده مى شود كه خط موازى با محور x گراف تابع 

اولى را دريك نقطه و گراف تابع دومى رادر دو نقطه قطع كرده است؛ پس تابع اولى ، تابع 

يك به يك بوده،‏ اما تابع دومى تابع يك به يك نمى باشد.‏ 

در يك نقطه قطع كرده است 

در دو نقطه قطع كرده است 

تعريف تابع معكوس:‏ اگر f يك تابع يك به يك باشد كه ناحية تعريف آن x و ناحية 

قيمت هاى آن y باشد،‏ پس تابع g درصورتى معكوس تابع f مى باشد كه ناحية تعريف ،g 

y باشد و ناحية قيمت هاى آن x باشد ويا يك تابع g درصورتى معكوس تابع f مى باشد كه 

اگر:‏ 

f 

f باشد معكوس تابع مثال پنجم:‏ اگر 2 حل:‏ 

(f o g)(x) = x 

(g o f )(x) = x 

(f o g)(x) = (g o f )(x) = x 

f −1 ( x يا (x) 

( x) 

= 3x 

+ 


y = f (x) = 3x + 2 

x = 3y + 2 

3y = x − 2 

114

x − 2 

y = 

3 

−1 

x − 2 1 2 

f (x) = = x − 

3 3 3 

−1 

−1 

f (f (x)) = f (f (x)) = x 

اين مثال به طور خلاصه درشكل نيز نشان داده شده 

است.‏ 

−1 g را 

( x ) 

y = x 

x = y 

3 

3 

+ 1 

+ 1 

x − 2 

g(x) = را به f −1 

( x) 

3 

و از طرف ديگر اگر 

نشان دهيم 

( f og)(x) = (g o f )(x) = x ميباشد.‏ زيرا كه:‏ 

x − 2 

(f o g)(x) = 3( ) + 2 = x − 2 + 2 = x 

3 

3x + 2 − 2 3x 

(g o f )(x) = = = x 

3 3 

−1 

( f ( x) 

) x 

f = 

−1 

x) f ( f ( و 

يا = x ) 

باشد 

2 

g ( x) 

= x و اگر 1 ( x ) 

⇒ y 

3 

= x −1⇒ 

y = 

f − باشد f ( x) 

= x 3 + 1 

3 

x −1 

مثال ششم:‏ اگر 


حل:‏ 

) نشان دهيم؛ پس:‏ 

f − 

اگر y را به ( x 1 

f 

− 1 

(x) = 

g(x) = x 

3 

2 

x −1 

⇒ y = x 

2 

⇒ x = 

−1 

y = ± x يا g ( x) 

= ± x 

y 

115

= 2 ويا −2 = x باشد 

g − 

مشاهده مى شود كه ( x 1 

) يك تابع نمى باشد،‏ زيرا اگر x 

4 مى شود شكل را مشاهده كنيد،‏ پس g(x) يك تابع معكوس 

g( 2) = و g( −2) 

= 4 

پذير نمي باشد.‏ 

مثال هفتم:‏ براى كدام قيمت x تابع 2 با تابع معكوس خود مساوى مى شود؟ 

حل:‏ اگر y 2 باشد معكوس آن x 

f ( x) 

= 5x 

− 

= 5 y − 2 ⇒ 5y 

= x + 2 

= 5x 

− 

x + 2 

y = 

5 

x + 2 

= 5x 

− 2 

5 

f 

x 2 

(x) = 

5 

−1 + 

⇒ 24x 

= 12 ⇒ x = 

1 

2 

تابع (x) f با تابع معكوس خود مساوى مى شود.‏ 

فعاليت 

1 

= 

2 

به قيمت x 

معكوس يكديگر 

(f o g)(x) = f (g(x)) = 

1 2 

g ( x) 

= x + و ( x) 

= 7x 

− 2 

7 7 

1 

f ( 

7 

x + 

2 

) 

7 

(g o f )(x) = f (g(x)) = g(7x − 2) = 

مثال هشتم:‏ نشان دهيد كه توابع f 

اند.‏ 

حل:‏ 

= 

1 

7( 

7 

1 

(7x 

7 

2 

x + ) − 2 = x 

7 

2 

− 2) + = x 

7 

(x) معكوس يكديگر اند از اينجا نتيجه مى شود كه تركيب تابع و تابع 

x) (x) ( مى باشد.‏ 

پس (x) f و g 

معكوس آن تابع عينيت = f 

(f o f 

−1 

) را دريابيد ونيز نشان دهيد (x)( = x 

f − 

باشد ( x 1 

2x + 1 

f ( x) 

− 2 x اگر = 


گراف تابع و گراف تابع معكوس آن 

(( يك رابطه 

(f 

−1 

دربين گراف تابع يك به يك (x) f و گراف تابع معكوس آن x) 

116

,a) يك نقطه بالاى 

متناظر 

(x) باشد ( 

y = x نظر به خط ( b , a) و ( , b) 

وجود دارد،‏ زيرا اگر ) a يك نقطه بالاى گراف f 

( , b 

) مى باشد.‏ كه نقاط a 

f − 

گراف تابع ( x 1 


1 2 

( x) 

= x + 

3 3 

مثال نهم:‏ اگر f 2 باشد واضح است كه f تابع معكوس 

f مى باشد.‏ گراف هر دو تابع را درعين سيستم كميات وضعيه رسم نماييد و مقايسه كنيد كه 

گراف ها نظر به خط = y متناظر مى باشند.‏ 

−1 

( x) 

= 3x 

− 

x 

y=x 

f 

x 0 1 2 

f ( x) 

− 2 1 4 

1 ( x) 

− 

x 

− 2 

0 

1 

1 

4 

2 

مشاهده مى شود كه گراف هر دو تابع نظر به خط مستقيم y = x 

متناظر مى باشند.‏ 

مثال دهم:‏ اگر (x) f داراى جوره هاى 

−3, 1,0),( − ( و 2) ( 4, 

مرتب 2) − 

−1 f و (x) f را درعين 

باشد،‏ گراف ) x ( 

سيستم كميات وضعيه رسم كنيد و نشان 

دهيد كه هر دو گراف نظر به خط = y 

متناظر مى باشند.‏ 

x 

مشاهده مى شود كه گراف هاى (x) f و 

1− f نظر به خط y=x متناظر مى باشند.‏ 

(x) 

117

معكوس تابع يك به يك نيز يك تابع مى باشد.‏ 

خط موازى با محور x ‏(خط افقى)‏ گراف تابع يك به يك را دريك نقطه قطع 

مى كند.‏ 

y و y را به x حل مى نماييم بعد x معادلة تابع را براى y = ) دريافت معكوس براى 

− 

y f تابع معكوس (x) f مى باشد.‏ 

1 ( x ) 

y = x نظر به خط (x) 

f (x 

را به x تبديل مى كنيم.‏ تابع به دست آمده = 

متناظر مى باشد.‏ 

f و گراف تابع معكوس f ) تابع گراف 


) − 

( ) 

1 − 

Range f x = dom f ( x و dom f ( x) 

= Range f 

1 ( x) 

(x 

تمرين 

- 1 معكوس توابع زير را دريابيد و بگوييد كه معكوس كدام تابع نيز يك تابع مى باشد؟ 

f = {( −1,0),( 

−2,1),(4,3),(3,4)} 

, h = {(1,4),(2,3),(4,1)} 

g = {(1,2),(2,3),(3,2),(4,1)}, 

k = {(3,0),(2, −1),(1,2),(0,1),( 

−1,2)} 

f (f 

−1 

f (x) = x 

(x) = x 

f (x) = x + 3 

3 

+ 2 

– 2 معكوس هر يك از توابع ذيل رادريابيد وصحت جواب خود را با 

امتحان كنيد.‏ 

, 

, 

f (x) = 2x 

f (x) = (x + 2) 

3 

f (x) = 

f (x) = 

2x 

1 

x 

+ 3 

– 3 گراف هاى توابع ذيل را رسم كنيد وتوسط خط موازى با محور x ‏(خط افقى)‏ نشان 

دهيد كه معكوس آن نيز يك تابع مى باشد.‏ 

, 

, 

f ( x) 

= 1− 

x 

2 

, 

7 − 2x 

g( 

x) 

= 

5 

– 4 كدام يك از توابع ذيل تابع يك به يك مى باشد؟ 

y = 4x − 5 

, 2 

y = 6 − x , y = (x − 2) , y = 9 , 

1 

y = 

x + 2 

118

توابع پولينومي 

آيا ميدانيد كه تابع درجه يك را چرا تابع 

خطى ميگويند؟ 

آيا گراف تابع درجه يك،‏ يك خط 

مستقيم مى باشد؟ 

o 

پولينوم ها را در فصل اول مطالعه كرده ايد.‏ 

تابع خطى function) (Linear يا تابع درجه يك:‏ 

تابع پولينومى است كه درجة آن يك باشد.‏ 

شكل عمومى تابع درجه يك ‏(تابع خطى)‏ = 

اعداد حقيقى باشند.‏ 

≠ 0 و a , b 

119 

a مى باشد كه b 

f (x) ax + 

1 

f ( x) 

= x و f (x) 2x , f (x) = x −1 , f (x) = 3x + 4 

2 

3 

f (x) x − 

4 

به طور مثال:‏ = 

توابع خطى اند.‏ 

را رسم كنيد ونقاط تقاطع گراف را با محور هاى 

= مثال اول:‏ گراف تابع 3 X و Y دريابيد.‏ 

نقطة تقاطع گراف با محور X عبارت از 

(4,0) و با محور Y نقطه 3) − 0, ( مى 

باشد.‏ مشاهده مى شود كه گراف تابع 

درجه يك،‏ يك خط مستقيم مى باشد 

از اين سبب تابع درجه يك را به نام تابع 

خطى نيز ياد مى كنند.‏ براى ترسيم گراف 

تابع خطى كافى است كه نقاط تقاطع 

گراف را با محور هاى X و Y به دست آوريم و خط مستقيم 

را رسم نماييم طوري كه در شكل مشاهده مي شود.‏ 

0 

3 

f (x) = x − 3 

4 

x = 8 4 0 

f (x) 3 0 − 3

فعاليت 

1− x = را رسم كنيد وكميات وضعيه نقاط تقاطع 

گراف تابع y 

گراف با محور هاى X و Y را دريابيد.‏ 

y و = f ( x) 

= x + 1 

2 

( x) 

= x + 

3 

مثال دوم:‏ گراف تابع خطى f 2 را رسم كنيد.‏ 

حل:‏ در نقطة تقاطع گراف با محور Y قيمت x صفر مى باشد ) 0 = x) 

2 

f ( 0) = (0) + 2 = 2 

پس:‏ 

3 

x) ( ( درنتيجه:‏ 

= 0) 

نقطة تقاطع گراف با محور Y عبارت از (0,2) مى باشد.‏ 

و درنقطة تقاطع گراف بامحور X قيمت y يا(‏f(x صفر مى باشد f 

(3,0 مى باشد.‏ 

2 

0 = x + 2 ⇒ x = −3 

3 

پس نقطة تقاطع گراف با محور X عبارت از −) 

با وصل كردن دو نقطه ( ) ميتوانيم خط مستقيم را رسم نماييم وهم ميتوانيم 

چند نقطة ديگر گراف تابع را دريابيم كه بالاى همين خط مستقيم قرار دارند.‏ 

2) 0 , و (−3 , 0 

x = 

f (x) = 

0 

2 

3 

4 

− 3 

0 

6 

6 

− 6 

− 2 

... 

... 

120

تابع درجه دوم Function) (Quadratic و گراف آن 

اين گراف ها از كدام نوع تابع اند؟ 

اين دو گراف باهم چه فرق دارند؟ 

2 

2 

2 

2 

k(x) = x , h(x) = x + 3x ,g(x) = x + 1,f (x) = x + 7x + درتوابع‎12‎ 

و 1 كدام يك از آنها تابع درجه دوم نمى باشد.‏ 

يك تابع پولينومى درجه يك به نام تابع درجه يك يا تابع خطي function) (Liner ياد 

مى شود.‏ تابع پولينومي درجه دوم به نام تابع درجه دوم ياد مى گردد.‏ 

r( x) 

= 2x 

− 

121 

فعاليت 

گراف تابع درجه دوم را به نام چى ياد مى كنند؟ 

محور تناظر گراف تابع درجه دوم كدام خط مى باشد؟ 

دهن گراف تابع درجه دوم چه وقت به طرف بالا و چه وقت به طرف پايين باز 

مى شود؟ 

رأس گراف تابع درجه دوم در كدام حالت اصغرى (Minimum) و در كدام حالت 

اعظمى (Maximum) مى باشد؟ 

آيا كميات وضعية نقطة رأس تابع درجه دوم را دريافت كرده مى توانيد؟ 

دركدام حالت گراف تابع محور هاى X و Y را قطع كرده مى تواند؟ 

آيا كميات وضعية نقاط تقاطع گراف تابع درجه دوم را با محور هاى X و Y دريافت 

كرده مى توانيد؟

c شكل عمومى تابع درجه دوم مى باشد كه در آ ن b و c اعداد 

حقيقى و a 

گراف تابع درجه دوم 

ساده ترين تابع درجه دوم = كه 

0 مى باشد.‏ اگر چند قيمت براى 

, a 

f ( x) 

y = x 

2 

2 

f (x) = ax 

≠ 0 است.‏ 

+ bx + 

b = c = و a = 1 

x داده شود و قيمت هاى مربوطه تابع يا y به دست 

آورده شود گراف آن رسم شده مى تواند.‏ طورى 

كه درشكل مشاهده مى شود.‏ 

گراف تابع درجه دوم به نام پارابولا (parabola) 

ياد مى شود.‏ 

كه اين گراف نظر به محور y متناظر مى باشد.‏ خطى 

كه از رأس پارابولا بگذرد و با محور y موازى باشد به 

نام محور تناظر ياد مى شود كه در اين گراف محور Y 

محور تناظر پارابولا مى باشد.‏ نقطه يى كه در آن محور تناظر پارابول را قطع مى كند به نام 

رأس (Vertex) پارابول ياد مى شود.‏ 

اگر > 0 a باشد دهن پارابول به طرف بالا و رأس نقطه اصغرى پارابول مى باشد.‏ گراف تابع 

در انتروال ) ∞−) متناقص و در انتروال ∞ ( 

) ,0 متزايد است.‏ 

,0 

2 

y = x 

2 

مثال اول:‏ گراف y = x− 


حل:‏ 

دهن پارابول بطرف پايين است،‏ زيرا كه < 0 a مى باشد 

گراف در انتروال ) متزايد و در انتروال ∞ ( 

متناقص مى باشد و راس نقطة اعظمى پارابول مى باشد.‏ 

x 

y 

0 

0 

1 

1 

2 

4 

−1 

1 

− 2 

4 

0, 

) 

(−∞ ,0 

x 

y 

0 

0 

1 

−1 

−1 

−1 

2 

− 4 

− 2 

− 4 

122

فعاليت 

گراف تابع + 4 2 y = x را رسم كنيد.‏ 

را درعين سيستم 

g ( x) 

= 2x 

x = 

0 

g(x) = 

0 

2 

f ( x) 

= x 

x = 

0 

f (x) = 

0 

2 

1 

h ( x) 

= x 

2 

0 

x = 

h(x) = 

0 

2 

1 

2 

2 

h ( x) 

و = x 

1 

2 

1 

1 

1 

1 

2 

-1 

2 

- 1 

1 

- 1 

1 

2 

مثال دوم:‏ گراف توابع = 

كميات وضعيه ترسيم نماييد و گراف ها را باهم مقايسه كنيد.‏ 

2 

8 

2 

4 

2 

2 

- 2 

8 

- 2 

4 

- 2 

2 

g (x) 2x , f (x) = 

2 

x 

2 

مثال سوم:‏ گراف تابع y 4 را رسم كنيد.‏ 

= x 2 − 

x 

y 

0 

− 4 

1 

− 3 

−1 

− 3 

2 

0 

− 2 

0 

3 

5 

− 3 

5 

2 

كه درحقيقت گراف y = x 

پايين انتقال مى يابد.‏ 

چهار واحد به طرف 

مثال چهارم:‏ گراف y را رسم كنيد.‏ 

حل:‏ اگر چند قيمت براى x داده شود وقيمت هاى مربوط y آن به دست آورده شود 

= ( x − 4) 

2 

123

گراف تابع رسم مى شود.‏ طور زير:‏ 

x 

y 

4 

0 

5 

1 

3 

1 

6 

4 

2 

4 

... 

... 

x=4 

مشاهده مى شود كه گراف در انتروال 

متناقص و در انتروال ) ∞ ,4 ( متزايد مى باشد.‏ 

از شكل مشاهده مى شود كه گراف به 

اندازة 4 واحد طور افقى به طرف راست انتقال 

كرده است،‏ رأس پارابول نقطة (0, 4) ومحور تناظر 

گراف = 4 x مى باشد.‏ 

مثال پنجم:‏ گراف تابع y 1 را ترسيم كنيد.‏ 

سه واحد به طرف چپ 

و يك واحد به طور عمودى به طرف 

بالا انتقال شده است و نقطه رأس پارابول 

(−∞ , 

4) 

y = x 

2 

= −( 

x + 3) 

2 + 

2 

گراف y = x 

(3,1−) است كه بلند ترين نقطة پارابول 

‏(نقطه اعظمى)‏ مى باشد.‏ محور تناظر 

3 مى باشد.‏ كه درشكل نيز 

مشاهده مى شود.‏ 

پارابول − = x 

x 

y 

− 3 

1 

− 2 

0 

− 4 

0 

− 5 

− 3 

−1 

− 3 

فعاليت 

2 

گراف هاى توابع وy = را رسم كنيد.‏ 

2 

y −3x 

= 

3x 

نقاط تقاطع گراف با محور هاى X و Y: براى آسانى ترسيم يك پارابول مى توانيم 

كه نقاط تقاطع پارابولا را با محورهاى X و Y دريابيم ‏(درصورتى كه تقاطع با محور X 

y 

ax 

2 

+ bx + c 

داشته باشد)‏ براى دريافت نقطة تقاطع گراف با محور Y در معادلة = 

124

0=x وضع مى شود در نتيجه y=c ميشود و براى دريافت نقاط تقاطع با محور X درمعادله 

0=y وضع مى شود،‏ پس داريم كه:‏ 

y = ax 

0 = ax 

ax 

2 

2 

2 

+ bx + c 

+ bx + c 

+ bx + c = 0 

يك معادلة درجه دوم ميباشد و چون مى دانيد كه جذر هاى اين معادله عبارت اند از : 

− b ± 

x = 

b 

2 − 4ac 

2a 


ميدانيد كه جذر هاى اين معادله در صورتى اعداد حقيقى مى باشند كه 

باشد.‏ 

اگر 0 باشد گراف محور X را قطع نمى كند يا به طور خلص درجدول زير 

b 2 

− 4ac ≥ 0 

2 

( a ≠ 0) y ax + bx + c 

b 2 − 4ac < 

مشاهده كنيد.‏ گراف تابع = 

گراف تابع درجه دوم محور X را در دو نقطه قطع مى كند در صورتى كه 

= 0 4ac b 2 باشد.‏ 

> 0 4ac b 2 − باشد.‏ 

محور X را دريك نقطه قطع مى كند درصورتى كه − 

< 0 4ac b 2 باشد.‏ 

محور X را قطع كرده نمى كند درصورتى كه − 

دريافت كميات وضعية نقطة رأس پارابول:‏ توسط طريقه تكميل مربع مى توان 

كميات وضعيه رأس پارابول را دريافت كرد.‏ 

y = ax 

2 

+ bx + c = a(x 

2 

+ 

x) + c 

⎡ 2 b b 2 b 2⎤ 

⎡ b 

y = a⎢(x 

+ x + ( ) − ( ) + c = a⎢(x 

+ ) 

⎣ a 2a 2a ⎥ 

⎦ ⎣ 2a 

2 

2 

b 2 b 

b 2 b 

= a(x + ) − a( ) + c = a(x + ) − + c 

2 

2a 4a 

2a 4a 

2 

b 2 4ac − b 

y = a(x + ) + 

2a 4a 

2 

f (x) = a(x − h) + k 

b 

a 

2 

2 

b 

− 

4a 

2 

⎤ 

⎥ + c 

⎦ 

a 

b 

c 

125

Δ = b 

) مى باشند؛ 

x 

b 

− 

2a 

2 

b 4ac 

− b 

) , − ( ويا ( h , k 

2a 

4a 

پس كميات وضعيه رأس پارابول 

چون محور تناظر از نقطة رأس پارابول مى گذرد،‏ معادلة محور تناظر = 

است اگر 0 باشد رأس اصغرى (Minimum) و اگر a 0 باشد رأس اعظمى 

(Maximum) مى باشد.‏ 

مثال ششم:‏ گراف تابع = 5 را رسم كنيد.‏ 

2 

< 

c = و = 5 4 , a = 2 

− 4ac = 4 

f (x) 

2x 

2 

+ 4x + 

a > 

- 1 نقطة تقاطع با محور X را به دست مى آوريم،‏ چون b 


2 

− 4⋅2⋅5 

= −24 

< 0 

پس گراف محور x را قطع نمى كند،‏ زيرا < 0 Δ مى باشد.‏ 

- 2 نقطة تقاطع گراف را با محور Y به دست مى آوريم،‏ در اين حالت = 0 x مى باشد.‏ 

2 

درتابع y = ax + bx + c درصورتى كه = 0 x شود y = c مى گردد c) 0, ( 

نقطه تقاطع گراف با محور y مى باشد.‏ 

f (0) = 2 ⋅0 

2 

+ 4 ⋅0 

+ 5 = 5 

كه در اين مثال (0,5 ( نقطة تقاطع گراف با محور 

Y مى باشد.‏ 

– 3 كميات وضعية رأس پارابول عبارت اند از:‏ 

b 4 − 4 

x = − = − = = −1 

2a 2⋅2 

4 

2 

2 

4ac − b 4⋅2⋅5 

− 4 40 −16 

24 

y = = = = = 3 

4a 4⋅2 

8 8 

(3 1-) , كميات وضعية رأس پارابولا مى باشد و 

رأس اصغرى است،‏ زيرا كه > 0 a مى باشد.‏ 

– 4 معادلة محور تناظر 

2 

f (x) = 2x + 4x + 5 

x = −1 

− 2 0 

f (x) = 3 5 5 

1 

11 

− 3 

−1 = مى باشد.‏ 11 

b 

a 

x = − 

2 

− 4 

= = −1 

4 

معادله محور تناظر گراف x 

126

2 

y = −3( 

x 

2 + x) 

+ 1 

3 

غرض ترسيم گراف مى توانيم چند نقطة ديگر گراف را نيز دريابيم.‏ 

مثال هفتم:‏ گراف تابع = 1 را رسم كنيد.‏ 

y 

−3x 

2 

− 2x + 

مربع نصف ضريب x را هم جمع و تفريق مى نماييم.‏ 

⎡ 

y = −3 

⎢ 

x 

⎣ 

⎡ 

y = −3 

⎢ 

x 

⎣ 

2 

2 

y = −3(x 

+ 

+ 

+ 

2 

3 

2 

3 

1 

) 

3 

1 2 1 2 ⎤ 

x + ( ) − ( ) 1 

3 3 ⎥ 

+ 

⎦ 

1 2 ⎤ 1 ⎡ 2 2 1 2 ⎤ 4 

x + ( ) 3( ) 1 3 x x ( ) + 

3 ⎥ 

− − + = − 

9 ⎢ 

+ + 

⎣ 3 3 ⎥ 

⎦ 

⎦ 3 

2 4 

+ 

3 

1 

= − 

3 

1 

1 

+ = 0 ⇒ x = − 

3 

3 

1 4 

(− , 

3 3 

a < 

در نتيجه x 

معادلة محور تناظر بوده،‏ 

زيرا كه:‏ x 

مى شود.‏ و 

) كميات وضعية رأس مى باشد؛ چون 

0 است،‏ پس رأس پارابول نقطة اعظمى آن 


يادداشت:‏ اگر تابع درجه دوم به شكل 

2 

y = a( x − h) 

+ k يا y − k = a( x − h) 

معادلة محور تناظر و 

) كميات وضعيه رأس مى باشند.‏ 

) شكل عموى تابع درجه يك يا تابع خطى مى باشد و 

آورده شود.‏ x = h 

( h, 

k 

( a ≠ 0 ، f (x) = ax + b 

شكل عمومى تابع درجه دوم بوده كه گراف تابع 

درجه دوم را به نام پارابولا (parabola) ياد مى كنند.‏ اگر 0 باشد رأس اصغرى و 

a > 

2 

a ≠ 0 , f ( x) 

= y = ax + bx + c 

2 

127

4ac − b 

, 

2a 4a 

0 باشد رأس اعظمى مى باشد.‏ ) − كميات وضعية رأس پارابول 

( 

2 

تمرين 

اگر < a 

معادله محور تناظر پارابول مى باشد.اگر Δ 0 باشد پارابول 

محور X را در دونقطه و اگر = 0 Δ باشد پارابول محور X را دريك نقطه قطع مى كند و 

اگر < 0 Δ باشد پارابول محور X را قطع كرده نمى تواند.‏ 

= b 2 − 4ac > 


1 را درعين سيستم كميات 

b 

و − = x 

2a 

3 

h ( x) 

- 1 گراف + x − = 

2 

g ( x) 

= 2x 

x) g ( و − 

= 2x 

– 2 گراف هاى توابع + 1 

وضعيه رسم و باهم مقايسه كنيد.‏ 

و 

1 

f = 

2 

2 

2 

2 

( x) 

x , f ( x) 

= 3x 

, f ( x) 

2x 

3– گراف هاى توابع = 

را در عين سيستم كميات وضعيه رسم و باهمديگر مقايسه كنيد.‏ 

1 

f ( x) 

= x 

3 

– 4 معادله هاى محور هاى تناظر گراف توابع زير را دريابيد.‏ 

2 

را 

f (x) = x 

2 

+ 8x + 13 

2 

h ( x) 

و 3) − x ( = 

f (x) = x 

2 

−12x 

+ 30 

f (x) = 3x 

2 

− 2x + 6 

2 

2 

g ( x) 

= ( x + 1) , f ( x) 

– 5 گراف هاى توابع 2) − x ( = 

رسم كنيد و بگوييد كه با گراف = f 

(x ( چه ارتباط دارند؟ 

x 

2 

– 6 كميات وضعيه رأس گراف تابع y 1 عبارت اند از:‏ 

= −x 

2 − 

a : (− 1 ,1) 

b: ( 1, − 1) 

c: ( 0 , − 1) 

d : (0 , 1) 

– 7 كميات وضعيه رأس تابع y 2 عبارت اند از:‏ 

= ( x −1) 

a : ( 1 , 1) 

b: (− 1,2) 

c: ( − 1, − 2) 

d : ( 1, − 2) 

2 − 

128

توابع ناطق يا توابع نسبتى 

(Rational Functions) 

اين شكل،‏ گراف هاى چى نوع تابع 

مى باشند؟ 

ايا آيا معادلة مجانب عمودى تابع ناطق را دريافت كرده مى توانيد؟ 

 

آيا در ناحية تعريف هر تابع ناطق،‏ ست تمام اعداد حقيقى شامل شده مى توانند؟ 

آيا مجانب افقى يك تابع ناطق را دريافت كرده مى توانيد؟ 

آيا هر تابع ناطق داراى مجانب عمودى مى باشد؟ 

تابع ناطق عبارت از تابع است كه از خارج قسمت دو تابع پولينومى تشكيل شده باشد.‏ اگر 

تات (x) 

f (x ( g(x) 

x) f ( باشد،‏ 0) ≠ 

= 

p( 

x) 

g( 

x) 

فعاليت 

تعريف 

) را تابع ناطق مى گويند؛ درصورتى كه p 

و (x) g پولينوم ها باشند.‏ 

ناحية تعريف تابع ناطق ست تمام اعداد حقيقى مى باشد بدون آن قيمت هاى x ‏،كه در آن 

مخرج تابع ناطق مساوى به صفر مى شود.‏ 

g ( x) 

= 3 ، 

g(x) 

3 

x −1 

x −1 

, h(x) = , f (x) = 

2 

x − x − 6 

x 

1 

x 

طور مثال توابع:‏ = 

و 3 توابع ناطق اند.‏ 

P( 

x) 

= 2x 2 − 

129

فعاليت 

يك تابع ناطق مى باشد؟ چرا؟ 

x −1 

k ( x) 

+ 2 x آيا = 

دريافت ناحية تعريف يك تابع ناطق 

(Finding Domain of Rational function) 

مثال اول:‏ ناحية تعريف هريك از توابع ناطق ذيل را دريابيد:‏ 

2 

x − 9 

f ( x) 

− 3 x و = 

x 

x + 3 

g( x) 

= , h( 

x) 

= 

2 

2 

x − 9 

x + 9 

) مخرج تابع به = 3 x صفر مى شود؛ پس عدد (3) درناحية تعريف تابع 

Dom f (x) 

{ x / x ∈ IR , x ≠ 3} 

حل:‏ در تابع f x) 

) شامل نيست يا:‏ = 

3− = مخرج تابع صفر مى شود ، درنتيجه اعداد 3 و 3- در 

Dom g(x) = 

(x 

{ x / x ∈ IR , x ≠ 3 , x ≠ −3} 

ناطق f (x 

درتابع (x) g به = 3 x يا x 

ناحية تعريف (x) g شامل نيست.‏ 

چون مخرج تابع ) به هيچ قيمت x صفر نمى شود؛ پس ناحية تعريف ) h ست تمام 

اعداد حقيقى مى باشند.‏ 

h(x 

Dom h(x) = IR يا Dom h(x) = ( −∞ , ∞) 

فعاليت 

ناحية تعريف توابع ناطق ذيل را دريابيد.‏ 

2 

x − 25 

x 

x + 5 

f (x) = , g(x) = , h(x) = 

2 

2 

x − 5 

x − 25 

x + 25 

مثال دوم:‏ ناحية تعريف و ناحية قيمت هاى توابع ناطق ذيل را دريابيد.‏ 

130

x + 3 

f (x) = 

x − 4 

, 

فعاليت 

x − 3 

g(x) = 

x + 5 

حل:‏ ناحية تعريف (x) f تمام اعداد حقيقى بدون عدد 4 مى باشند.‏ 

domf (x) = IR −{4} 

= IR \{4} 

x + 3 

y = f (x) = ⇒ y(x − 4) = x + 3 

x − 4 

4y + 3 

x y − 4y = x + 3 ⇒ x = 

y −1 

Range f (x) = IR \{1} يا IR −{1 } 

xy − x = 4y + 3 

(y −1)x 

= 4y + 3 

ناحية تعريف تابع ،g(x) تمام اعداد حقيقى بدون (5-) مي باشد.‏ 

domg(x) 

= IR −{ 

−5} ≠ x { x ∈ IR / يا −5} 

x − 3 

g(x) 

= y = ⇒ y(x + 5) = x − 3 ⇒ xy + 5y = x − 3 

x + 5 

− 5y − 3 

x = Range g(x) = IR −{1} يا { y ∈ IR / y ≠ 1} 

y −1 

1 

(x) = 

x 

h 

3 

ناحية تعريف وناحية قيمت هاى توابع زير را دريابيد.‏ 

, x + 1 

4x −1 

x 

k(x) = , r(x) = , m(x) = 

3 

2 − x 

3x − 2 

گراف تابع ناطق function) (Graphing Rational 

مثال سوم:‏ گراف تابع = ( را ترسيم كنيد.‏ 

حل:‏ چون به = 0 x مخرج تابع صفر مى شود؛ پس صفر در ناحية تعريف تابع f 

شامل نمى باشد.‏ 

(x) 

domf 

x 

f (x) 

= IR −{0} 

... − 4 

... − 

1 

4 

− 3 

− 

1 

3 

− 2 

− 

1 

2 

−1 

−1 

− 

1 

2 

− 2 

− 

1 

4 

− 4 

f 

x) 

− 

1 

3 

− 3 

1 

x 

1 

2 

2 

1 

1 

2 

1 

2 

3 

1 

3 

4... 

1 

... 

4 

131

1 

x 

حال وضعيت تابع = ( را مطالعه مى كنيم،‏ 

چون 0=x درناحية تعريف تابع شامل نمى باشد،‏ 

براى ترسيم گراف اين تابع به x قيمت هايى داده 

مى شود كه از هردو طرف به صفر نزديك شود 

‏(تقرب كند ( اگر x از طرف چپ به صفر نزديك 

شود ) قيمت تابع به − تقرب 

و اگر x از طرف راست به 

مى كند 

صفر نزديك شود ) → قيمت تابع به + 

∞ 

∞ 

f 

( x 

x) 

f (x) 

) ( جدول زير را مشاهده كنيد.‏ 

0 

+ 

(x) → ∞ 

( x → 0 

→ −∞ 

تقرب مى كند f 

:x a از طرف چپ به صفر تقرب مى كند.‏ 

− 

x 

1 

f (x) = 

x 

x 

f (x) = 

1 

x 

... −1 

− 0.5 − 0.1 − 0.01 − 0.001 

x → 0 

... −1 

− 2 −10 

−100 

−1000 

f (x) → −∞ 

0 

+ 

← x 0.001 0.01 0.1 0.5 1... 

:x b از طرف راست به صفر تقرب مى كند.‏ 

∞ ← f (x) 1000 100 10 2 1... 

مجانب عمودى Asymptotes) (Vertical 

− 

p( 

x) 

g( 

x) 

هرگاه دريك تابع ناطق = f كه صورت ومخرج فكتور مشرك نداشته باشند و 

( x) 

a مجانب عمودى تابع (x) f مى باشد كه 

موازى با محور y است تعداد مجانب هاى عمودى مساوى به جذر هاى مخرج مى باشند.‏ 

، پس خط عمودى 

يا به عباره ديگر اگر 

مجانب عمودى تابع مى باشد.‏ 

x = باشد خط g (a) باشد اگر = 0 p(a) 

≠ 0 

f (x) → −∞ يا f (x) → +∞ درنتيجه x → a 

x = a 

پس x=a مجانب عمودى تابع مى باشد.‏ x هر قدر كه به 

يا اگر 

قيمت a نزديك شود گراف تابع،‏ خط مستقيم = x راقطع كرده نمى تواند.‏ 

a 

x → a ⇒ f (x) 

→ ∞ 

132

زيرا كه عدد a درناحية تعريف تابع (x) f شامل نمى باشد مثل كه درناحية تعريف تابع 

f 

x) 

1 

x 

صفر شامل نمى باشد؛ پس x 0 يا محور Y مجانب عمودى تابع = ( 

= 

1 

f ( x) 

= 

x 


g(x) و 

2 

x 

x 2x 

,f (x) = 

− 25 x − 3 

مثال چهارم:‏ مجانب هاى عمودى توابع = 


x + 5 

h(x) 

= 

x 

2 + 25 

حل:‏ 

- 1 غرض يافتن مجانب عمودى تابع (x) f آن قميت x را كه مخرج تابع را صفر مي كندبه 

دست مى آوريم؛ پس عدد 3 در ساحه تعريف تابع (x) f شامل نمى باشد.‏ 

domf (x) 

g 

2 

(x) = 

x 

= {x / x ∈ IR 

x − 5 = 0 ⇒ x = 5 

x + 5 = 0 ⇒ x = −5 

= 5 و −5 = x 

dom g(x) 

, x 

≠ 3} 

x x 

= 

− 25 (x − 5)(x + 5) 

خط مستقيم 3=x مجانب عمودى تابع ) f مى باشد.‏ 

(x 

) صفر مى شود؛ پس اعداد x 

= {x / x ∈ IR , x ≠ −5, 

x ≠ 5} 

(x) مى باشند.‏ 

= 5 و −5 = x مخرج تابع g (x 

-2 

به قيمت x 

در ساحة تعريف تابع g 

(x) شامل نمى باشند.‏ 

5 مجانب هاى عمودى تابع g 

خطوط = 5 x و − = x 

صفر نمي شود،‏ يا اين تابع مجانب 

x + 5 

h(x) 

x 

2 + 25 

- 3 چون با هيچ قيمت x مخرج تابع = 

عمودي ندارد يا ساحة تعريف اين تابع تمام اعداد حقيقي مي باشند.‏ 

مجانب افقى Asymptote) ( Horizontal 

هرگاه دريك تابع ناطق صورت و مخرج هم درجه باشند،‏ واضح است كه خارج قسمت 

133

يك عدد ثابت مى باشد.‏ اگر اين عدد ثابت b باشد پس خط افقى y = b مجانب افقى تابع 

بوده كه اين خط،‏ خود محور X ويا موازى با محور X مى باشد.‏ درحقيقت عدد b عبارت 

از نسبت ضرايب بلندترين توان هاى صورت و مخرج مى باشد و يا صورت را بالاى مخرج 

تقسيم مى كنيم.‏ 

عبارت از خط = 2 y مى باشد.‏ 

134 

2 

2x 

x) 

= x −1 

( 

2 

طورمثال مجانب افقى تابع f 

مجانب افقى را اينطور تعريف مينماييم.‏ 

اگر 

مى باشد يا اگر | x 

f (x) مجانب افقى تابع b 

y = پس خط ، f (x) → b و درنتيجه x → −∞ يا x → ∞ 

y = b خط مستقيم b 

∞ |→ درنتيجه → y 

2x 

( x) 

= x −1 

مجانب افقى تابع مى باشد.‏ 

مثال پنجم:‏ گراف تابع f را ترسيم كنيد.‏ 

حل 

- 1 تقاطع گراف با محور X: درنقطه تقاطع گراف با محور (X) قيمت = f 

(x) 

0 

2x 

0 ⇒ 2x = 0 ⇒ x = 0 

x −1 

مى شود درنتيجه داريم كه:‏ = 

گراف تابع محور X را درنقطة (0,0) قطع مي كند.‏ 

– 2 نقطه تقاطع گراف با محور Y: = 

2⋅ 

0 0 

= 0 = (0) f ، پس نقطة 0,0) ( نقطة 

0 −1 

−1 

تقاطع گراف با محور X و Y مى باشد يا گراف اين تابع از مبدأ كميات وضعيه مى گذرد.‏ 

مى باشد اين خط را ترسيم 

− - 3 معادله مجانب عمودى تابع عبارت از 1 كنيد.‏ 

مجانب افقى را نيز 

ترسيم كنيد.‏ 

– 5 كميات وضعية چند نقطة ديگر را نيز 

معلوم مى كنيم،‏ طورمثال : 

1 

x 1 = 0 ⇒ x = 

4 

2 مجانب افقى تابع مى باشد يا 

x 

y = f ( x) 

0 

0 

− 2 

4 

3 

−1 

2 

y = f ( x) 

- 4 مجانب افقى گراف تابع = 2 پس = 

1 

2x 2 

1 

= 2 + 

2 4 

x −1 

x −1 

2 

− 2 

8 

3

نقاط تقاطع با محور ها را تعيين مى كنيم.‏ مجانب ها را رسم نموده بعد گراف تابع را رسم 

مى كنيم،‏ طوريكه درشكل مشاهده مى شود.‏ 

فعاليت 

را ترسيم كنيد.‏ 

3x 

( x) 

= x − 2 

گراف تابع f 

x + 2 

( x) 

= x − 2 

135 

مثال ششم:‏ گراف تابع f را ترسيم نماييد مجانب افقى و عمودى تابع را 


حل:‏ معادله هاى مجانب هاى عمودى و افقى عبارت اند از:‏ 

- 1 معادله مجانب عمودى:‏ = 2 x 

f ( x) 

- 2 معادله مجانب افقى:‏ = 1 y = 

- 3 تقاطع با محور Y: بايد 0=x شود.‏ در نتيجه = 1 مي شود،‏ گراف محور Y 

را در نقطة ) − ( قطع مي كند.‏ 

- 4 تقاطع با محور X: بايد f(x)=0 شود در نتيجه 

x + 2 = 0 

x = −2 

f (x) 

− 

0, 

1 

در نقطة (2,0-) گراف محور X را قطع مي كند.‏

- 5 براى آسانى ترسيم گراف،‏ چند قيمت هاى هر شاخه تابع درجدول ذيل مشاهده كنيد.‏ 

x 

f (x) 

−1 

1 

− 

3 

0 

−1 

1 

− 3 

3 

5 

4 

3 

5 

1 

2 

3 

− 2 

0 

اگر صورت بر مخرج تقسيم گردد 

x + 2 4 

. = 1+ 

x − 2 x − 2 

f 

x) 

1 

x 

درحقيقت گراف تابع = ( 

به اندازة يك واحد به طرف بالا و به اندازة 2 واحد به 

طرف راست انتقال شده است و = 1 =y مجانب افقى تابع مى باشد.‏ 

مجانب مايل:‏ asymptote) (slant or Oblique 

هرگاه درجة صورت يك تابع ناطق از درجة مخرج به اندازة يك،‏ اضافه ترباشد واضح است 

كه تابع مجانب افقى نداشته و در اين صورت تابع مجانب مايل دارد.‏ 

f (x) 

(1,-3) 

2 

x + 1 

( x) 

= x −1 

مثال هفتم:‏ گراف تابع f را ترسيم كنيد.‏ 

حل 

- 1 براى يافتن مجانب مايل،‏ صورت را بر مخرج تقسيم مى نماييم داريم كه:‏ 

f ( x) 

= 

2 

x + 1 2 

= x + 1+ 

x −1 

x −1 

اگر | x | هر چه بزرگتر شود 

2 

1 

x − 

مجانب مايل 

به صفر نزديك مى شود،‏ درنتيجه گراف به خط 

1 نزديك مى شود كه همين خط y 

+ 1 x = عبارت از مجانب مايل 

y = f ( x) 

= x + 

136

تابع (x) f مى باشد.‏ 

2 

0 + 1+ 

= 1− 

2 = − 

0 −1 

– 2 نقطة تقاطع با محورY‏:‏ = 1 گراف محور Y را در 

) قطع مى كند.‏ 

- 3 واضح است كه گراف محور X را قطع كرده نمى تواند زيرا كه = 1 مى شود.‏ 

x 

− 

f (0) 

x=1 

نقطه − 1 0, ( 

– 4 مجانب عمودى 

x −1 = 0 ⇒ x = 1 

– 5 واضج است كه مجانب افقى ندارد.‏ 

– 6 يك چند قيمت ديگرى را نيز به دست 

مى آوريم وگراف تابع را رسم مى نماييم.‏ 

x 

f (x) 

2 

5 

3 

5 

5 

6.5 

−1 

−1 

− 3 

− 2.5 

− 2 = 0 ⇒ x = 2 

2 

x + 1 

( x) 

= x − 2 

مثال هشتم:‏ گراف تابع f 


2 مى باشد،‏ زيرا كه:‏ x 

2 

x + 1 5 

= x + 2 + 

x − 2 x − 2 

– 1 مجانب عمودى تابع = x 

− 2 تقسيم مى كنيم داريم كه:‏ 

به صفر نزديك مى شود و گراف تابع به خط + 2 x y = 

5 

x − 2 

y x + 

x بر x 2 + 1 - 2 

اگر x بزرگ شود 

نزديك مى شود،‏ كه = 2 مجانب مايل اين تابع مى باشد.‏ 

مى باشد،‏ زيرا اگر = 0 x شود 

1 

– 3 تقاطع گراف با محور Y عبارت از − 

2 

f (0) 

0 + 1 1 

= = − 

0 − 2 2 

137

- 4 گراف با محور X تقاطع ندارد،‏ زيرا كه اگر f 0 شود پس:‏ 

‏(كه در اعداد حقيقى تعريف نشده است ( 

( x) 

= 

2 

x + 1 2 

0 = ⇒ x + 1 = 0 ⇒ x 

x − 2 

2 

= 

−1 

با رسم كردن مجانب ها و توسط تعيين كردن نقطة تقاطع با محور y و چند نقطة ديگر تابع 

مى توان گراف تابع را رسم كرد.‏ 

x 

f (x) 

0 

1 

− 

2 

1 

− 2 

4 

8.5 

( x) 

P( 

x) 

g( 

x) 

f 

= اگر در تابع پس:‏ 

– 1 اگر m < n 

– 2 اگر m = n باشد y = b 

اعداد n , m به ترتيب درجه هاى صورت و مخرج باشند،‏ 

باشد محور X مجانب افقى مى باشد.‏ 

مجانب افقى ميباشد.‏ b عبارت از نسبت ضرايب حدود درجه 

a 

n 

y = باشد ( bn ≠ 0) 

bn 

، f (x) 

a 

nx 

b x 

n 

n 

n 

+ ... + a 

+ ... + b 

هاى m و n مى باشد يا اگر = 

0 

0 

– 3 اگر m > n 

عبارت 

از مجانب افقى تابع(‏f(x مي باشد.‏ 

باشد گراف مجانب افقى ندارد.‏ 

– 4 اگر درجه صورت به اندازة يك اضافه تر از درجة مخرج باشد،‏ گراف تابع مجانب مايل 

دارد كه در بى نهايت با گراف موازى مى شود.‏ 

يك تابع ناطق مى تواند يك يا چند مجانب عمودى را دارا باشد،‏ درحالى كه يك مجانب 

افقى يا مايل داشته مى باشد.‏ 

138

تمرين 


2 

3x 

x) 

= x − 4 

– 1 مجانب هاى عمودى و افقى تابع f 

( 

2 

مجانب عمودى دارد؟ چرا؟ 

4 

x 

f ( x) 

– 2 آيا تابع = 

x 

2 

+ 1 

– 3 ناحية تعريف توابع داده شدة ذيل را دريابيد و نيز معادله هاى مجانب هاى عمودى آن 

ها را بنويسيد.‏ 

2 

5x 

3x 

x + 7 x + 7 

(x) = , g(x) = 

, h(x) = , k(x) = 

2 

x − 4 (x − 5)(x + 4) x − 49 x + 49 

f 

2 

– 4 مجانب هاى عمودى توابع ذيل ) اگر داشته باشد)‏ را دريابيد.‏ 

f x 

x + 3 

x 

x 

(x) = , g(x) = , h (x) = , k(x) = 

x + 4 x(x + 4) x(x + 4) x 

2 + 4 

4x 

f ( x) 

= 

x − 2 

, 

2x 

g( 

x) 

= 

x − 4 

– 5 گراف توابع ناطق زير را رسم كنيد.‏ 

a : 

y = 2 

b : 

y = 3 


را رسم كنيد و با گراف تابع 

c : y = −2 

3 

و = (x) f 

x + 2 

3x + 1 

- 6 مجانب افقى تابع = (x) f 

x − 3 

d : y = −3 

1 

- 7 گراف توابع = (x) f 

x + 2 

= (x) f مقايسه كنيد.‏ 

1 

x 


- 8 مجانب مايل تابع xx 2 

−1 

139


تابع در بين دو ست يك رابطه يا قاعده مى باشد،‏ طورى كه هر عنصر ست اولى محض 

با يك عنصر ست دومى ارتباط داشته باشد.‏ ست اولى به نام ناحية تعريف (Domain) و 

ست دومى به نام (Ragne) ياد ميشود يا تابع ست جوره هاى مرتب مى باشد كه عناصر 

اولى آن تكرار نشده باشند.‏ 

طرق ارائة يك تابع ) = y مى باشد،‏ براى يافتن قيمت يك تابع،‏ در يك نقطه قيمت 

داده شده x را در معادلة تابع وضع مينماييم،‏ قيمت تابع در همان نقطه به دست مى آيد.‏ يك 

معادله وقتى نشان دهندة يك تابع مى باشد كه براى هر x يك y وجود داشته باشد.‏ 

درناحية تعريف (Domain) يك تابع اعدادى شامل مى باشند كه تابع در آن تعريف 

شده باشد يا قيمت تابع يك عدد حقيقى باشد.‏ گراف يك تابع در مستوي XY ست نقاط 

S مي باشند،‏ طوري كه } = كه x در ناحية تعريف تابع شامل باشد.‏ 

اگر خط موازى با محور y گراف را محض دريك نقطه قطع كند گراف،‏ گراف يك تابع 


) تابع عينيت و 

| تابع قيمت مطلقه مى باشد كه ناحية تعريف آن اعداد حقيقى و ناحية قيمت 

f (x 

S {( 

x, 

y) | y = f ( x) 

f (x) = x ،(a تابع خطى ≠ 0 f (x) = ax + b تابع ثابت،‏ f ( x) 

= c 

f ( x) 

= | x 

هاى آن صفر و اعداد مثبت حقيقى مى باشند.‏ 

تابع علامه اين طور تعريف شده است 

f : IR 

→ IR 

⎧ 1 : x > 0 

⎪ 

sgn(x) = ⎨ 0 :x = 0 

⎪ 

⎩ −1: 

x < 0 

ناحية تعريف اين تابع ست اعداد حقيقى و ناحية قيمت هاى آن {1,0,1 − { مى باشد.‏ 

a ≠ 0 , y = ax 

2 

+ bx + c 

شكل عمومى تابع درجه دوم بوده كه گراف تابع درجه دوم 

< 0 

> 

را به نام پارابولا ) parabola ( ياد مى كنند.‏ اگر a 0 باشد رأس اصغرى و اگر a 

b 4ac − b 

( − , 

2a 4a 

2 

باشد رأس پارابول نقطة اعظمى گراف مى باشد.‏ ) كميات وضعيه رأس 

140

0 4ac = b 2 − باشد 

Δ معادلة محور تناظر پارابول مى باشد؛ اگر x 

b 

− 

2a 

پارا بول،‏ = 

پارابول محور X را در دونقطه،‏ اگر Δ 

= 0 باشد پارابول محور X را دريك نقطه قطع مى 

كند و اگر < 0 Δ باشد پارابول محور X را قطع كرده نمى تواند.‏ 

باشد ونتيجه شود،‏ كه ) < f شود تابع متزايد و 

2 

f درتابع اگر 

f ( x) 

= f ( x) 

( x1 ) f ( x2 

) شود تابع متناقص.‏ اگر − 

(x) طاق مى باشد.‏ 

x < ، (x) 

1 

x 

f ( x1 ) > f ( باشد و درنتيجه x2 x 

1 

اگر < x2 

f شود تابع f ( x) = −f (x) 

(x 

باشد تابع ) f جفت و اگر − 

انتقال به (2) نوع مى باشد ) انتقال عمودى و انتقال افقى ( 

انتقال عمودى:‏ هرگاه c يك عدد مثبت باشد.‏ 

اگر گراف تابع ) = y به اندازة c واحد طور عمود به طرف بالا انتقال شود گراف تابع 


اگر گراف تابع ) = y به اندازة c واحد طور عمودى به طرف پايين انتقال شود،‏ گراف 


انتقال افقى:‏ هرگاه c يك عدد مثبت باشد.‏ 

اگر گراف تابع ) = y به اندازه c واحد به طرف چپ انتقال داده شود،‏ گراف تابع 


اگر گراف تابع ) به اندازه c واحد به طرف راست انتقال شود،‏ گراف تابع به 

) دست مى آيد.‏ 

عمليه هاى توابع طور زير تعريف شده اند:‏ 

(f + g)(x) = f (x) + g(x) 

(f ⋅g)(x) 

= f (x). g(x) 

dom (f + g)(x) = dom f I 

dom (f − g)(x) = dom f I 

dom (f ⋅g)(x) 

= dom f I 

dom g 

dom g 

dom g 

f 

( 

g 

)(x) = 

f (x) 

g(x) 

f (x 

y = f ( x) 

+ c 

f (x 

y = f ( x) 

تابع − c 

f (x 

y = f (x 

(f − g)(x) = f (x) − g(x) 

f 

dom ( )(x) = dom f I domg − = 

g 

, 

, 

{ x / g(x) 0} 

y = f ( x + c 

y = 

( g(x) ≠ 0) 

f ( x − c 

141

ناحيه تعريف توابع مركب:‏ 

Dom(f o g)(x) = 

Dom (g of )(x) = {x / x ∈domf 

{ x / x ∈domg 

, g(x) ∈domf} 

, 

f (x) ∈domg} 

معكوس تابع يك به يك نيز يك تابع مى باشد.‏ 

خط موازى با محور x ‏(خط افقى)‏ گراف تابع يك به يك را دريك نقطه قطع 


براى دريافت معكوس تابع يك به يك ) = y معادله را براى x حل مى نماييم،‏ 

f (x) تابع معكوس f −1 

( x ) 

f (x 

(x 

بعد x را به y و y را به x تبديل مى كنيم.‏ تابع به دست آمده 


گراف تابع ) f و گراف تابع معكوس (x) f نظر به خط y=x متناظر يكديگر 


( x) 

P( 

x) 

g( 

x) 

f اعداد n , m به ترتيب درجه هاى صورت و مخرج 

= اگر در تابع ناطق باشند.‏ پس:‏ 

باشد محور X مجانب افقى مى باشد.‏ 

مجانب افقى بوده و b عبارت از نسبت ضرايب حدود 

a 

n 

y = (bn 

(x) f باشد 0) ≠ 

b 

n 

a 

nx 

b x 

n 

n 

n 

+ ... + a 

+ ... + b 

0 

0 

– 1 اگر m < n 

– 2 اگر m = n باشد y = b 

درجه هاى m و n مى باشد يا اگر = 

عبارت از مجانب افقى تابع(‏f(x مي باشد.‏ 

باشد مجانب افقى ندارد.‏ 

– 4 اگر درجة صورت به اندازة يك اضافه تر از درجه مخرج باشد،‏ گراف مجانب مايل 

دارد.‏ 

يك تابع ناطق مى تواند يك يا چند مجانب عمودى را دارا باشند،‏ در حالى كه يك 

مجانب افقى يا مايل داشته مى باشد.‏ 

– 3 اگر m > n 

142


- 1 كدام يك از ست هاى جوره هاى مرتب زير تابع را نشان مى دهد؟ ناحيه هاى تعريف 

و قيمت هاى آن ها راتعيين كنيد.‏ 

1− 

2 − 

3 − 

4 − 

{(1,2),(3,4),(5,5)} 

{(3,4),(3,5),(4,4),(4,5)} 

{( −3, 

−3),( 

−2, 

−2),( 

−1, 

−1),(0,0)} 

{(1,4),(1,5),(1,6)} 


2 

g (x و + 5 g( 

- 2 اگر + 3 2x g(x) = x + باشد −1) x),g( − 

4 2 

)h و (3a) h را دريابيد.‏ 

- 3 اگر + 1 x h(x) = x + باشد −1),h(2) − x), h( 

- 4 ناحية تعريف توابع ذيل را دريابيد.‏ 

f (x) = 2x 

f (x) = 

2 

16− 

x 

f (x) = 

3 

2 

x + 25 

, 

, 

, 

f (x) = (x − 3) 

f (x) = 

x 

2 

1 

2 

2 

f (x) = 

2 

x − 4 

− 4x − 5 



x = y 

باشد،‏ (3) (0),f f و − 2 ( f 

⎧x 

+ 3 : x < 0 

f (x) = ⎨ 

- 5 اگر 

⎩4x 

+ 7 : x ≥ 0 

⎧x 

+ 3 : x ≥ −3 

g( 

g( و − 3 

− 6),g(0) باشد،‏ g (x) = ⎨ 

- 6 اگر 

⎩− 

(x + 3) : x < −3 

2 

⎧x 

− 9 

باشد،‏ (3)h,(0) h او (5) h را دريابيد.‏ 

⎪ 

h(x) = ⎨ x − 3 

⎪ 

⎩6 

x + y = 16 

2 

, 

, 

⇐ x ≠ 3 

- 7 اگر 

⇐ x = 3 

- 8 كدام يك از معادله هاى زير يك تابع را تعريف مى كند:‏ 

x 

2 

y = 

+ y = 16 

x + 4 

, 

, 

x 

2 

+ y 

x + y 

3 

2 

= 16 

= 8 

143

- 9 در توابع زير كدام يك تابع طاق،‏ كدام يك جفت و كدام يك نه تابع جفت و نه طاق 


f (x) = x 

144 

(x) 

x 

4 

2 

− 2x 

2 

+ 5 

, 

f (x) = x 

2 

+ 2x −1 

,. 

2 

f (x) = 

x − 6 

1 و را رسم و با گراف = f 

مقايسه كنيد.‏ 

توابع زير را دريابيد وناحية تعريف هر يك را تعيين كنيد.‏ 

و(‏ ) 

f (x) = 4x −1 

f (x) = 

f (x) = 4x 

(f + g)(3) 

f 

( 

g 

)(4) 

f (x) = −x 

f (x) = 

f (x) = 

1 

x 

2x + 5 

f (x) = 8x + 12 

2 

f (x) = 5x + 3 

3 

−11x 

+ 2 

+ 2 

x + 2 

(fog)(2) 

2 

2 

f (x) = (x −1) 

- 10 گراف هاى توابع − x f (x) = 

باشد ؛پس:‏ 

(f + g)( −5) 

g(x) = 3x −1 

g(x) = −x 

g(x) = 4x 

g(x) = x 

2 

g(x) = 8x 

g(x) = 6x + 3 

g(x) = 

g(x) = x 

2 

2 

2 

f 

( (f ⋅ g),(f − g),(f + g - 11 

g 

4x − 9 

+ 5 

g(x) = 8x و + 1 f (x) = 4x 

- 12 اگر 2 − 2x 

+ 4x + 3 

− 6 

(f ⋅g)(4) 

(gof)( −5) 


- 13 fog و gof را دريابيد اگر:‏ 

- 14 با در نظرداشت گراف تابع y=f(x) بگوييد كه گراف تابع = 5 به اندازه 

5 واحد:‏ 

a- به طرف پايين انتقال شده است b- به طرف بالا انتقال شده است 

- c به طرف راست انتقال شده است d- به طرف چپ انتقال شده است 

- 15 اگر(‏f(x طور زير تعريف شده باشد،‏ گراف آن را رسم و ناحيه هاى تعريف و قيمت 

y 

, 

, 

, 

, 

, 

, 

, 

f (x) − 

, 

, 

, 

, 

,

⎧− 

x + 2 

⎪ 2 

f (x) = ⎨x 

⎪ 

⎩x 

+ 2 

x > 1 

−1< 

x < 1 

x < −1 

هاى آن را تعيين كنيد.‏ 

(x) f را تعيين كنيد.‏ 

2x 

x + 1 

- 16 ساحة تعريف و ساحة قيمت هاى تابع = 

- 17 ساحة تعريف و ساحة قيمت هاي تابع = 1 را تعيين كنيد.‏ 

- 18 ساحه هاي تعريف توابع ناطق زير را دريابيد و اگر مجانب عمودي داشته باشند،‏ معادله 

هاي مجانب هاي عمودي را نيز به دست آوريد.‏ 

5x 

f (x) = 

x − 4 

x + 8 

f (x) = 

x 

2 + 64 

, 

, 

f (x) 

2x − 

7x 

g(x) = 

x −8 

g(x) 

x + 7 

= 

x 

2 − 49 

, 

, 

h(x) 

h(x) 

x + 8 

= 

x 

2 − 64 

x + 7 

= 

x 

2 − 36 

- 19 گراف هاي توابع 

و‎2‎ را در عين سيستم 

2 

f (x) = x 

2 

− 

f (x) = x 

2 

−1 , f (x) = x 

2 

+ 1 , f (x) = x 

كميات وضعية رسم و با گراف تابع = f مقايسه كنيد.‏ 

- 20 كميات وضعيه رأس ها و معادله هاى تناظر توابع درجه دوم زير را دريابيد.‏ 

(x) 

2 

2 

y = (x − 2) , y = (x + 3) − 4 

x 

- 21 گراف تابع − = y 

2 

2 

x − 5 

f (x) 

x + 2 

x + 1 

- 23 معادلة مجانب افقي = h(x) 

x − 4 

1 

a ) y = −1 

b) y = 1 c) y = − d) y = 4 

4 

x 

2 


- 22 مجانب عمودي و مايل تابع = 



2 

+ 

145


⎧3x 

+ 1 : x < 2 

f (x) = ⎨ 

- 24 گراف تابع 

⎩− 

x : x ≥ 2 

g(x) 

- 25 گراف تابع − x = 

5 را رسم و ناحية قيمت هاي اين تابع را مشخص كنيد.‏ 

- 26 در ناحية قيمت هاي تابع علامه كدام اعداد شامل مي باشند؟ 

f (f 

−1 

1 

f (x) = x 

8 

4x + 6 

f (x) = 

5 

(x) = x 

, 

, 

- 27 معكوس هر يك از توابع زير را دريابيد و نيز نشان دهيد كه 

مي باشد.‏ 

f (x) 

f (x) = x 

= 8x −1 

, f (x) = x 

2 + 6 

3 − 

1 

معكوس پذير مي باشد ‏(معكوس آن نيز يك تابع مى باشد)‏ 

باشد تابع f با g چى رابطه دارد؟ 

) با محور هاي X و Y را 

= - 30 كميات وضعية نقاط تقاطع گراف تابع دريابيد.‏ 



= - 32 كميات وضعيه نقطه رأس گراف تابع 5 (x) 

x 

2 

f (x) 

(x) 

g(x) 

2x 

1 

x 

2 

3 

3 − x 

2 

2 

2 

+ 4x + 

2 

- 28 آيا تابع g (x) = x 

- 29 اگر ( fog)(x) = (gof )(x 

- 31 گراف تابع − = (x) f 

- 33 در عين سيستم كميات وضعيه گراف هاى توابع = f 

1 

x 

3 

2 

و را رسم و با گراف تابع = f 

a : y = x 

b : y = x −1 

c : y = x + 1 

2 

2 

f (x) = 

= = 

f (x) 

2x 

, 

f (x) 

3x 



x 

2 −1 

- 34 مجانب مايل تابع = (x) f 

x 

146

فصل چهارم 

توابع مثلثاتى

زاويه و راديان(‏Radian (Angle and 

گيرى 

زاويه و واحدهاى اندازه 

يك زاويه 

آيا زاويه در مثلثات و هندسه با هم فرق 

دارد؟ 

آيا در هندسه زواياى منفى وجود دارد؟ 

(Angle 

هندسه ميدانيم،‏ زاويه شكليست كه از اتحاد دو نيم خط كه مبدأى مشترك داشته باشند از 

تشكيل شده باشد كه مبدأى مشترك عبارت از رأس زاويه مى باشد.‏ در هندسه زاويه از 1 

° مى باشد؛ ليكن در مثلثات علاوه بر زواياى مثبت يا منفى به هر اندازه زاويه را 

ميتوانيم داشته باشيم.‏ 

در مثلثات زاويه از دوران يك خط طورى كه يك انجام آن ثابت باشد حاصل مى شود،‏ 

كه بعد از دوران خط اولى،‏ موقعيت ضلع دومى را اختيار مى كند.(يك ضلع آن در نقطة 

رأس دوران مى كند)‏ 

دوران مطابق حركت عقربه ساعت(‏clockwise‏)‏ منفى و مخالف حركت عقربة ساعت 

clockwise) (counter مثبت فرض شده است.‏ 

ضلع اول را ضلع ابتدايى side) (initial و ضلع دوم را ضلع نهايى side) (terminal 

مى گويند؛ طورى كه در شكل نشان داده شده است:‏ 

° 

الى 360 

زاوية منفى 

زاوية مثبت 

B 

ضلع دومى 

O 

زاوية منفى 

زاوية مثبت 

ضلع اولى 

O 

A 

B 

O 

A 

149

اگر در شكل نيم خط → OA را خلاف جهت حركت عقربة ساعت دوران دهيم زاوية θ به 

o 

دست مى آيد.‏ اگر نيم → خطOA را به اندازة 360 ‏(يك دور مكمل)‏ دوران دهيم و دوران 

را ادامه دهيم تا نيم → خطOA به موقعيت OB برسد در 

اين صورت اندازة زاوية تشكيل شده مى باشد،‏ 

اگر بعد از دو دور كامل به نقطة B برسيم اندازه زاوية 

و به همين ترتيب اگر نيم خط 

→ OA را K دوران دهيم و به نقطة B برسيم اندازة زاويه 

θ 

o 

+ 360 

o 

پيموده شده + 720 θ 

o 

θ + K ⋅360 

مى شود؛ طورى كه مشاهده مى شود در 

o 

مثلثات زاويه هاى بزرگتر از 360 

مثال‎1‎‏:‏ زواياى 

نيز وجود دارد.‏ 

o 

و − 720 

o 

o o o o 

720 ، − 360 ،360 ، − 60 ، 60 


فعاليت 

زواياى 


o 

o o o 

−180 و 180 

, 90 

, 45 

واحدهاى اندازه گيرى زاويه:‏ زاويه را توسط درجه،‏ گراد و راديان اندازه مى كنند.‏ 

150

1 1 

درجه:‏ حصة يك دوران (Rotation) عبارت از درجه مى باشد يا حصة يك 

90 

360 

زاوية قايمه عبارت از درجه است.‏ 

1 

o 

1 

( 

60 

= 60′ 

) 

o 

, 1′ 

= 60′′ 

, 

1 

1 

= 1′ 

, ( )′ 

= 1′′ 

, 

60 

o 

48,3625) 

o 

= 60⋅60 

= 3600′′ 

1 

( 

3600 

) 

o 

= 1′′ 

مثال دوم:‏ ′ 7 را به شكل اعشارى درجه بنويسيد و ( را به درجه،‏ 

دقيقه و ثانيه (DMS) تبديل كنيد.‏ 

حل 

= 48 

+ (21)' + (0,75⋅60)" 

= 48 

21' 

45" 

35 o 15 2 ′ 

o 

o 15 o 27 o o o 

o 

o 

35 15′ 

27′′= 

35 + ( ) + ( ) = 35 + 0,25 + 0,0075 = 35,2575 

60 3600 

o o 

o o 

o 

48,3625 = 48 + 0,3625 = 48 + (0,3625⋅60)′ 

= 48 + (21,75)' 

o 

o 

فعاليت 

" را به درجه تبديل كنيد و 55 

را به درجه،‏ دقيقه و ثانيه DMS 

o 

,967663 

36 o 47' 12 

Degree, Minute, Second تبديل كنيد.‏ 

گراد:‏ گراد نيز واحد اندازه گيرى زاويه ميباشد كه 

1 

400 حصة يك دوران عبارت از گراد 

1 1 

مى باشد.‏ حصة يك گراد عبارت از دقيقه گراد و حصة دقيقه گراد عبارت از 

100 

100 

ثانيه گراد مى باشد.‏ 

1 g = 100'g , 1`g = 100''g , 1g = 10000''g 

تبديل درجه به گراد و گراد به درجه:‏ مى توانيم كه درجه را به گراد و گراد را به 

o 

درجه تبديل نماييم.‏ ‏(يك دوران 360 مى باشد.)‏ 

مثال سوم:‏ 45 را به گراد و 100g را به درجه تبديل كنيد.‏ 

o 

حل:‏ چون يك دور مكمل 360 مى باشد.‏ 

و يا 400 g 

يا 400 g 

o 

151

همچنين:‏ 

ويا:‏ 

360 

152 

o 

= 400g 

0 400 10 

1 = g = g 

360 9 

o 10 

45 = 45( )g = 50g 

9 

d g 

= , 

180 200 

180⋅100 

o 

d = = 90 

200 

d 

180 

= 

100 

200 

400g = 360 

360 o 

1g = ( ) = 

400 

9 

100g = 100( ) 

10 

o 

9 

( 

10 

o 

) 

o 

= 90 

∧ 

∧ 

o 

راديان :(Radian) علاوه از درجه و گراد واحد ديگر اندازه گيرى زاويه عبارت از 

راديان ميباشد.‏ راديان عبارت از اندازة زاوية 

مركزى مى باشد كه طول قوس مقابل آن 

مساوى به طول شعاع دايره باشد.‏ راديان در 

رياضيات عالى موارد استعمال زياد دارد،‏ در 

شكل زاويه مركزى ACB كه شعاع دايره 

r و طول قوسAB مساوي به r است.‏ اندازه 

عبارت از 1 radian مى باشد.‏ 

∧ 

ACB 

ACB = 1radian = 1 

s 

r 

R 

و يا 

∩ 

اگر قوس AB مساوى به شعاع دايره (r) باشد θ به حسب راديان مساوى است به:‏ 

∧ 

AB θ = = 

r 

s = r θ 

در دايرة مثلثاتى يا دايرة واحد Circle) (Unite كه شعاع 

آن واحد طول و مركز آن در مبدأى كميات وضعيه واقع باشد،‏ 

اندازة زاوية مركزى بر حسب راديان مساوى به طول قوس 

مقابل مى باشد.‏

∩ 

∩ 

AB AB 

∩ 

θ = = = AB = S 

r 1 

بدين معنى كه يك دور 

2 

r 

r 

radian 

= 2 

radian است،‏ پس C 2πr 

R 

و يا 2π 

چون محيط دايره = 


o 

مكمل 360 

R o 

2π 

= 360 

o 

R 360 180 

1 = = 

2π 

π 

o 2π 

π 

1 = = 

o o 

360 180 

را معلوم كنيد اگر قطر دايره 

s = r ⋅θ = 15( 

π 

) 

3 

o 

o 

180 

o o 

≈ ≈ (57.29578) ≈ 57 17' 45'' ≈ (57.3) 

3.14159 

3.14159 

≈ ≈ 0.01745Randians 

o 

180 

 

3 

radian 

= 5πm 

≈ 15.7m 

مثال چهارم:‏ طول قوس مقابل زاويه مركزى 

باشد.‏ 

حل:‏ چون = مى باشد.‏ 

d 30m 

r = = 15m 

2 2 

o 

30m 

فعاليت 

طول قوس مقابل يك زاوية مركزى 1Rad چند سانتى متر مىباشد،‏ اگر شعاع دايره ‎10cmباشد؟ 

تبديل درجه و گراد به راديان و تبديل راديان به درجه و گراد:‏ 

360 π مي باشد.‏ 

o 

R 

چون = 2 400g = 


d 

180 

= 

g 

200 

R 

= 

π 

و يا 

d g R 

= = 

360° 400 2π 

o 

360 = 2π 

1 

o 

R 

2π 

= ( ) 

360 

R 

= 

π 

( ) 

180 

R 

ويا 

153

1 

1 

R 

R 

360 o 180 o 

= ( ) = ( ) 

2π 

π 

200g 200g 

= = ≈ 63,66198g 

π 3,1415 

, 100g و 40 

R o 

2 = 360 

به همين ترتيب چون:‏ π 

° را به راديان تبديل كنيد.‏ 

π 5π 

75°⋅ 

= radain 

180 12 

π 20π 

− 400⋅ 

= − radain 

180 9 

2π 

R π R 

1g = ( ) = ( ) 

400 200 

π 

−100g 

= ( −100⋅ 

) 

200 

R 

− 

o 

− 400 , 

مثال پنجم:‏ زواياى 220 

است؛ پس:‏ 

مى باشد؛ پس:‏ 

π 

= ( − ) 

2 

R 

o 

, 75 

o 

1 

π 11π 

220⋅ 

= radain, 

180 9 

π 2π 

40°⋅ 

= radian 

180° 

9 

π 

180 

o 

R 

چون ) ( = 

400 g 

R 

چون يك دور مكمل 2π و يا 

سؤال:‏ اگر از اندازة زاويه يى بر حسب گراد 30 واحد كم كنيم،‏ عدد حاصل برابر اندازة 

زاويه بر حسب درجه خواهد بود.‏ اندازة اين زاويه برحسب راديان چقدر است؟ 

حل 

10 

270 R 3π 

D − 30= 

D 

= ⇒ R = Radian 

9 

180 π 2 

10 

10D − 9D 

D − D = 30⇒ 

= 30⇒ 

D = 270° 

9 

9 

زاوية مطلوب 3π 

2 

6 π و 4 π π 5 

, , 

π : a 

9 5 6 

مثال ششم:‏ 

راديان مى باشد.‏ 

راديان رابه درجه تبديل كنيد.‏ 

4 حصه يك دوران (Revolution) چند راديان مى شود؟ 

1 -b 

154

R 180 o 

1 = ( ) , 

π 

5 

5π 

180 o 

a : ( ) ⋅( 

) = 150 

6 π 

π 

⋅ 

180 o 

= 36 

π 

180 

o 

, 6π⋅ 

= 1080 

π 

, 

حل:‏ 

4π 

180 

⋅ = 80 

9 π 

o 

b : 

1 R 

= ⋅ 2π 

4 

π 

= radian 

2 

1 

Re v 

2 

1 

⋅ 2π = π 

2 

R 

اشكال زير را مشاهده كنيد.‏ 

1 

Re v 

4 

1 π 

⋅ 2π = Radain 

4 2 

O 

O 

1 Re volution 

2 πRadians 

, 

, 

3 

Re volution 

4 

3 3π 

⋅2π = Radians 

4 2 

O 

O 

155

غرض وضاحت 

بيشتر ارتباط بين 

درجه و راديان 

شكل زير را نيز 

مشاهده كنيد.‏ 

R 

Radian 

فعاليت 

زواياى 

مثال هفتم:‏ 

5π 

و − 

4 

 

و − 

6 

11 π 2 

, 

π 

6 3 

3 π 

, 

π 

4 12 

(a) زاويه هاى 

راديان را به درجه تبديل كنيد.‏ 

را درشكل نشان دهيد.‏ 

و بر 

2 1 

(b) در شكل چرخ بزرگ و كوچك نشان داده شده اند.‏ اگر مقدار زواياى 

r در يابيد.‏ 

r 1 ، و 2 

حسب راديان باشد مقدار زاوية را از جنس 1 

2 

حل:‏ (a) 

156

θ 

r 

2 2 

= θ r 

1 1 

⇒θ 

2 

حل:‏ (b) 

θ r 

= 

r 

1 1 

2 

از شكل مشاهده مى شود كه اضلاع دوم زواياى 11π 

6 

 

و − 

6 

با هم منطبق اند.‏ 

مثال هشتم:‏ مقدار زاوية مثبت را به راديان دريابيد،‏ درصورتى كه ثانيه گرد ساعت 40 

ثانيه دوران كرده باشد.‏ 

2 

Re v 

60 3 

2 4 

2π 

R = 

π 

3 3 

است 

حل:‏ چون 60 ثانيه يك دور مكمل يا 2π راديان مى شود،‏ پس = 40 

و چون يك دوران 2 Radian مى باشد،‏ پس ⋅ 

Radian 

 

استفاده 

و نيز براى يافتن زاويه در بين دو عقربه ساعت از فورمول 

كرده مى توانيم؛ طور مثال:‏ در ساعت 3 و‎40‎ دقيقه،‏ زاويه بين عقربة ساعت گرد و دقيقه 

گرد چند درجه است؟ 

θ = 5,5min− 

30hr 

θ = 5 ,5⋅ 

40 − 30⋅3 

= 130 

o 

تمرين 

11- اگر قوس مقابل يك زاوية مركزى 50 cm و شعاع دايره 25 باشد،‏ زاوية مركزى 

چند راديان مى شود ؟ 

را به درجه،‏ دقيقه و ثانيه تبديل كنيد.‏ 

1 

3- 8 حصة يك دوران چند راديان،‏ چند درجه و چند گراد مى شود؟ 

cm 

o 

32 ,4222 -2 

157

− , 5 

18 

5π -4 

4 راديان چند گراد و ° 7 چند راديان مى شود؟ 

را به راديان و گراد تبديل كنيد.‏ 

4 

6- معلوم كنيد كه 1 و حصة يك دايره ‏(يك دوران)‏ چند راديان و 

5 

چند درجه مى شود؟ 

o 

و 45 

, 

1 

24 

o o o 

720 , −315 

,225 -5 

1 

, 

9 

5π 

و − 

12 

2 π π π π 9π 

11 

, − , − , , , 

π 

5 10 6 6 4 3 

-7 

تبديل كنيد.‏ 

R 

راديان را به درجه 

8- اگر طول ثانيه گرد يك ساعت 6 cm باشد.‏ در 40 ثانيه،‏ ثانيه گرد چند سانتى متر فاصله 

را طى مى كند؟ 

5 

9- اگر شعاع دايره 3 cm و زاوية مركزى راديان باشد طول قوس مقابل اين زاوية 

3 

مركزى چند سانتى است؟ 

10- اگر گردش ثانيه گرد يك ساعت 35 ثانيه باشد،‏ ثانيه گرد چند راديان زاوية مثبت را 

طى مى كند؟ 

11- مجموع دو زاويه ° 152 است.‏ اگر اندازة يكى از آنها برحسب درجه برابر اندازة 

ديگرى برحسب گراد باشد،‏ اندازة هر زاويه را برحسب راديان دريابيد.‏ 

12- ° 1620 چند راديان مى شود؟ 

a) 

4π 

R 

b) 8π 

R 

c) 9π 

R 

d) 10π 

13- چهار دوران چند راديان مى شود؟ 

a) 

2 π 

R 

b) 4π 

R 

c) 6π 

R 

d) 8π 

R 

14- اگر شعاع يك دايره 10 m باشد طول قوس مقابل زاوية مركزى 45 radian 

متر مى شود؟ 

چند 

158

حالت معيارى يك زاويه و 

زواياى كوترمينل 

مى توانيد بگوييد كه:‏ آيا اضلاع دوم 

o o 

زواياى 60 و 420 

با هم منطبق اند؟ چرا؟ 

o 

حالت معيارى يك زاويه angle) :(Standard position of an 

اگر رأس زاويه در مبداى كميات وضعيه و ضلع اولى آن بالاى جهت مثبت محور X واقع 

باشد،‏ اين زاويه درحالت معيارى مى باشد.‏ 

θ در حالت معيارى نشان داده شده اند.‏ 

2 

طور مثال:‏ در شكل زير زواياى θ1 و 

مثال اول:‏ زواياى 115° ، ° 280 و ° 300 − را در حالت معيارى رسم كنيد.‏ 

O 

O 

O 

159

در حالت معيارى اگر ضلع دوم يك زاويه بالاى محور X و يا محور Y منطبق شود اين زاويه را 

فعاليت 

o 

,270 

o 

,180 

o 

,90 

به نام زاوية ربعى angle) (Quadrantale مى نامند،‏ مثل زواياى 360 

و غيره.‏ 

o 

و 

رادر حالت معيارى رسم كنيد.‏ 

o 

− 210 

o o o 

زواياى 500 ,50 ,130 

زواياى كوترمينل(‏angles (Conterminal 

دو يا چند زاويه يى كه اضلاع دومى شان در حالت معيارى با هم منطبق باشند به نام زواياى 

كوترمينل ياد مى شوند.‏ 

مثال دوم:‏ در شكل نشان دهيد كه زواياى 60 و همچنين زواياى 110 

كه در حالت معيارى واقع اند با هم زواياى كوترمينل مى باشند.‏ 

حل:‏ چون در حالت معيارى اضلاع اولى اين زوايا با هم منطبق مى باشند و طورى كه در 

شكل مشاهده مى شود اضلاع دومى sides) (Conterminal زواياى 60 نيز 

با هم منطبق مى باشند،‏ پس نظر به تعريف،‏ اين دو زاويه با هم كوترمينل مى باشند.‏ 

نيز زواياى كوترمينل مى باشند.‏ 

o 

و 830 

o 

و 420 

o 

o 

o o 

و 420 

o 

و 830 

o 

همچنين زواياى 110 

O 

O 

o 

مثال سوم:‏ در حالت معيارى سه زاوية كوترمينل را با زاوية 60 

نشان دهيد.‏ 

o o o o o 

o o 

o o 

+ 360 = 420 , 60 − 360 = −300 

,60 + 2⋅360 

حل:‏ 780 

دريابيد و در شكل نيز 

60 = 

160

O 

O 

O 

- 

فعاليت 

باهم كوترمنيل اند؟ رسم كنيد.‏ 

o 

و ياچند دور ⋅ 360 n 

θ + 2π 

θ + 2⋅ 

2π 

θ + 3⋅ 

2π 

− − − − − 

θ + 2nπ 

, 

, 

, 

o 

−130 

R 

(360 يا 2 

o ) 

o 

و نيز زاويه 230 

و 

o 

و 590 

o 

آيا زاواياى 230 

چون زواياى كوترمينل به اندازة يك دور مكمل 

با هم فرق دارند،‏ پس زواياى كوترمينل با زاوية θ عبارت اند از:‏ 

o 

θ + 360 

o 

θ + 2⋅360 

o 

θ + 3⋅360 

− − − − − 

θ + n ⋅360 

o 

مثال چهارم:‏ 

(a) چهار زاوية كوترمينل را با زاويه 30 در يابيد.‏ 

° دو زاوية كوترمينل را دريابيد و درشكل نيز نشان دهيد.‏ 

حل(‏a‏)‏ 

o o o 

π 13π 

= 2π + يا = 390 360 + 30 

6 6 

Radian 

π 25π 

30 ° + 2⋅360° 

2⋅ + يا 750° = 

2π = 

6 6 

Radian 

π 37π 

30 ° + 3⋅360° 

3⋅ + يا 1110° = 

2π = 

6 6 

Radian 

π 49π 

30 ° + 4⋅360° 

= 4⋅2π + يا 1470° = 

6 6 

Radian 

90 ° + 360° 

= 450° 

90° + 2⋅360° 

= 810° 

o 

(b): با زاويه 90 

حل(‏b‏)‏ 

161

مثال پنجم:‏ آيا زواياى 

هم كوترمينل اند يا خير؟ 

تمرين 

با 

162 

o 

o o o o o o 

− 680 , 40 800 , 80 410 , 50 و 60° و 410 

° = 50° + 360° 

حل:‏ چون 410 

پس زواياى 50 

0 o 

800 80 + 2⋅ 

360 

با هم كوترمينل اند و = 

o 

o o 

680 = 40 − 2⋅ 

360 

o 

o 

و 410 

o 

نيز با هم كوتر مينل مى باشند.‏ همچنين 

پس زواياى 

− زواياى 

o o 

‎80‎و 800 

o o 

40 و − 680 

نيز با هم كوترمينل مى باشند.‏ 

° مى باشد پس زواياى ° 410 و 60° باهم كوترمينل نمى باشند.‏ 

اما:‏ + 360 60° ≠ ° 410 

اگر رأس زاويه در مبداى كميات وضعيه و ضلع اولى آن بالاى جهت مثبت محور X واقع 

باشد زاويه درحالت معيارى مى باشد.‏ اگر در حالت معيارى اضلاع دومى دو،‏ يا چند زاويه 

با هم منطبق باشند به نام زواياى كوترمينل ياد مى شوند.‏ 

را در حالت معيارى رسم كنيد.‏ 

2- كوچكترين زاوية مثبتى را در يابيد كه با زواياى زير كوترمينل باشد.‏ 

− 

o 

o 

40 −125 

o 

و 240 

o o o 

-1 زواياى − 270 ,120 ,90 

o 

o 

o 

o 

o 

450 539 60 90 135 

o o 

o o 

-3 آيا زواياى ) 80 − ، 280 ( و ) 35 395 ، 

o 

4- شش زاوية كوترمينل را با زاوية 40 

930° − ( و ,900° 180° ( 

5- آيا زواياى (150°, 

دهيد.‏ 

( با هم كوترمينل مى باشند؟ 


) با هم كوترمينل اند؟ در شكل نيز نشان

توابع مثلثاتى 

(Trigonometric Fuctions) 

آيا گفته مى توانيد كه نسبت هاى مثلثاتى 

زاوية θ به طول اضلاع θ ارتباط دارد يا 

خير؟ 

ميدانيم كه نسبت هاى مثلثاتى ratios) (Trigonometric يك زاويه حاده (θ) در 

يك مثلث قايم الزاويه قرار زير تعريف شده اند:‏ 

AB y 

sin θ = = 

AC r 

AB y 

tan θ = = 

BC x 

AC r 

secθ = = 

BC x 

BC 

cosθ = = 

AC 

BC 

cotθ = = 

AB 

AC 

cscθ = = 

AB 

x 

r 

x 

y 

r 

y 

مى 

1 

و = θ cot 

tan θ 

θ = 

1 

1 

, cscθ = 

cos θ sin θ 

در نتيجه مشاهده مى شود كه sec 


مثال‎1‎‏:‏ اگر در حالت معيارى ضلع دوم زاوية θ 

از نقطة ) ( بگذرد نسبت هاى مثلثاتى زاويه 

θ را دريابيد.‏ 

مى 

2 2 

r x + 

y 

2 

8,15 

چون نظر به قضيه فيثاغورث = 

باشد.‏ 

163

2 

r = 

= 8 

2 

y 15 x 8 

sin θ = = , cos θ = = 

r 17 r 17 

y 15 x 8 

tan θ = = , cot θ = = 

x 8 y 15 

secθ = 

y 

2 

+ x 

+ (15) 

289 = 17 

2 

r 

x 

2 

17 

= 

8 

= r 

2 

= 64 + 225 = 289 

, cscθ = 

...................I 

2 2 2 

y x r 

+ = 

2 2 2 

r r r 

y 2 x 2 

( ) + ( ) = 1 

r r 

2 

2 

sin θ + cos θ = 1 

r 

y 

17 

= 

15 

بعضى از رابطه هاى اساسى بين نسبت هاى مثلثاتى زوايا 

نظر به قضيه فيثاغورث در شكل داريم كه:‏ 

2 

هر دو طرف را به r 

2 

اگر اطرف معادله (I) را به y 

تقسيم مى نماييم:‏ 

تقسيم نماييم داريم كه:‏ 

y 

y 

2 

2 

x 

+ 

y 

1+ 

cot 

2 

2 

2 

2 

y x 

+ 

2 

x x 

2 

1+ 

tan 

r 

= 

y 

2 

2 

θ = csc 

x 

⇒1+ 

( ) 

y 

2 

θ 

2 

r y 

= ⇒ ( ) 

2 

x x 

2 

θ = sec θ 

2 

2 

2 

2 

= 

r 

( 

y 

r 

+ 1 = ( 

x 

) 

) 

2 

2 

2 

اگر اطراف معادله (I) را بر x 

از طرف ديگر:‏ 

تقسيم نماييم:‏ 

164

sin θ 

= 

cosθ 

y 

r 

x 

r 

= 

y 

= tan θ 

x 

cosθ 

= 

sin θ 

x 

r 

y 

r 

= 

x 

y 

= cot θ 

و از اين جا نتيجه مى شود كه:‏ 

2 

2 

2 

2 sin θ 

sin θ + cos θ = 1 , sin θ⋅cscθ = 1 , 1+ 

tan θ = sec θ , tan θ = 

cos θ 

2 

2 cos θ 

tan θ ⋅cot 

θ = 1 , cos θ⋅secθ = 1 , 1+ 

cot θ = csc θ , cot θ = 

sin θ 


چون اين روابط براى هر قيمت θ درست اند از اين سبب به نام مطابقت هاى مثلثاتى نيز ياد 

مى شوند 

فعاليت 

اگر در حالت معيارى ضلع دوم θ از نقطة (12,5 ( بگذرد نسبت هاى مثلثاتى زاويه θ را در 

يابيد.‏ 

قيمت هاي فوق توابع مثلثاتى محض به مقدار θ ارتباط دارد و به موقعيت نقطةP كه بالاى 

ضلع دوم θ قرار دارد ارتباط ندارد ما مى توانيم اين حقيقت را در شكل به اساس تشابه 

1 

مثلث هاى 

مشاهده كنيم.‏ 

Δ 

OH 2P 2 

و 

| OP | = 1 

cos θ = 

sin θ = 

Δ 

Δ 

OH P 1 

،OPH 

| OH | 

| OP | 

| PH | 

| OP | 

| OH1 

| | OH 

2 

| 

= = 

| OP1 

| | OP2 

| 

| P1 

H1 

| | P2H 

2 

| 

= = 

| OP | | OP | 

1 

2 

165

اگر زاوية θ برحسب راديان باشد.‏ 

csc θ و θ,cot 

θ, 

tan θ,cos 

θ, 

sin θ 

متحول مستقل عبارت از θ ميباشد.‏ sec 

متحول هاى مقيد ‏(مربوط)‏ اند،‏ بدين معنى 

و 

csc توابع مثلثاتى اند كه مقدار آن ها به طول 

اضلاع زاوية ارتباط ندارند،‏ بلكه مربوط به 

مقدار زاوية مى باشد؛ چون دايرة مثلثاتى 

Circle) (Trigonometric دايره يى است 

كه طول شعاع آن واحد طول باشد.‏ در دايرة 

مثلثاتى كه مركز آن در مبداى مختصات و محور 

قطر هاى افقى و عمودى دايره مى باشند.‏ 

بنابر قرار داد محور ′y oy را محور ساين ها و محور ′x ox را محور كوساين ها مي نامند.‏ 

كه در نقطة A بر دايره مماس است محور تانجانت و محورq'Bqكه در نقطة 

B بر دايره مماس است محور كوتانجانت ناميده ميشود.‏ مبدأى محور ساين ها و كوساين ها 

مركز دايره و مبدأى محور تانجانت نقطة A و مبدأى محور كوتانجانت نقطة B است.‏ 

∧ 

اگر از نقطة A در جهت مثبت تا نقطة M حركت كنيم و زاويه MOA را θ بناميم توابع 

مثلثاتى زاويه θ به صورت زير نيز تعريف مى شود.‏ 

r = OM = 

HM 

sin θ = 

OM 

HM 

tan θ = 

OH 

OH 

cot θ = 

HM 

Y' 

OH′ 

OH′ 

= = = OH′ 

OM 1 

= 

= 

θ 

( OA = OB = 1) 

AP 

OA 

= AP 

BQ 

= BQ 

OB 

q 

x 

، 

، 

، 

sec θ,cot 

θ, 

tan θ ,cos θ, 

كه sin θ 

cosθ = 

OH 

OM 

OM 

secθ = 

OH 

OM 

cscθ = 

HM 

= 

= 

OP 

OA 

و YY' 

OH 

= = OH 

1 

= OP 

OQ 

= OQ 

OB 

هاى X′ X 

محور TAT' 

بدين لحاظ نسبت هاى مثلثاتى را خطوط مثلثاتى نيز مى گويند.‏ 

به همين ترتيب اگر ضلع دوم زاوية θ و يا انتهاى قوس در ربع دوم،‏ سوم يا چهارم باشد 

166

ميتوان نسبت هاى مثلثاتى را به دست آورد.‏ علامه هاى نسبت هاى مثلثاتى در هر چهار ربع 

(quadrants) قرار زير ميباشد.‏ 

secθ, 

cosθ 

+ 

_ 

_ 

+ 

tan θ, 

cot θ 

+ 

_ 

+ 

_ 

sin θ > 0 

cosθ < 0 

tan θ < 0 

cot θ < 0 

secθ < 0 

cscθ > 0 

sin θ < 0 

cosθ < 0 

tan θ > 0 

cot θ > 0 

secθ < 0 

cscθ < 0 

sin θ > 0 

cosθ > 0 

tan θ > 0 

cot θ > 0 

secθ > 0 

cscθ > 0 

sin θ < 0 

cosθ > 0 

tan θ < 0 

cot θ < 0 

secθ > 0 

cscθ < 0 

مثال دوم:‏ اگر در حالت معيارى قرار شكل زير ضلع دوم زاوية در ربع دوم واقع و 

− 3 

cos است ، 

= 

5 

sin θ, 

csc 

ربع θ 

+ I 

+ II 

_ III 

_ 

IV 

باشد نسبت هاى مثلثاتى را دريابيد.‏ 

− 3 

cos 

= 

5 

حل:‏ در اول كميات وضعية نقطة p را معلوم ميكنيم.‏ چون 

در ربع دوم قيمت x منفى مى باشد،‏ پس 

5 است . نظر به قضيه 

فيثاغورث داريم كه : 

r = و x = −3 

5 

y 

2 

2 

= ( −3) 

= 25 − 9 = 16 

y = ± 

y = 4 

16 

2 

+ y 

2 

167

y 4 x − 3 

sin θ = = ، cos θ = = ، 

r 5 r 5 

r 5 r 5 

cscθ = = ، secθ = = ، 

y 4 x − 3 

) زيرا كه نقطة p در ربع دوم واقع است،‏ 0

نسبت هاى مثلثاتى بعضى زواياى 

خاص 

آيا مى توانيدبگوييد كه = sin 


30 

o 

cos 60 

o 

o 

نسبت هاى مثلثاتى : 45 در يك مثلث قايم الزاويه متساوى الساقين دو ضلع قايم آن را 

يك،‏ يك واحد در نظر ميگيريم.‏ 

r 

r 

2 

2 

2 2 

= 1 + 1 

= 2 ⇒ r = 

sin 45 

cos45 

tan 45 

cot 45 

sec45 

csc45 

o 

o 

o 

o 

o 

o 

2 

π 

= sin = 

4 

π 

= cos = 

4 

π 

= tan 

4 

= 

π 

= cot 

4 

= 

π 

= sec = 

4 

π 

= csc = 

4 

ضلع مقابل 

وتر 

ضلع مجاور 

وتر 





وتر 


وتر 


= 

= 

= 

= 

y 

r 

x 

r 

= 

= 

1 

= = 

2 

y 1 

= = 1 

x 1 

x 

y 

r 

x 

r 

y 

1 

= = 

2 

1 

= = 1 

1 

= 

= 

2 

1 

2 

1 

= 

= 

2 

2 

2 

2 

2 

2 

169

فعاليت 

يك مثلث قايم الزاوية متساوى الساقين را در نظر بگيريد كه هر ضلع قايم آن b واحد باشد.‏ 

نسبت هاى مثلثاتى زاوية 45 را به دست آريد.‏ 

o 

A B را كه هر ضلع آن 2 واحد باشد در نظر مى گيريم،‏ از رأس 

Δ 

مثلث متساوى الاضلاع C 

o 

A ارتفاع AH را رسم مى نماييم،‏ چون ∧ A نصف شده كه نصف آن مساوى 30 

است.‏ 

h 

h 

2 

2 

+ 1 

2 

= 4 −1 

= 3 

h = 3 

= 2 

2 

h 

π 1 

π 3 

sin30° 

= sin = 

, cos30° 

= cos = 

6 2 

6 2 

π 1 

π 

tan30° 

= tan = , cot30° 

= cot = 3 

6 3 

6 

o π 2 2 3 

o π 2 

sec 30 = sec = = , csc30 = csc = = 1 

6 3 3 

6 1 

فعاليت 

يك مثلث متساوى الاضلاع را در نظر بگيريد كه هر ضلع آن a واحد باشد.‏ نسبت هاى 

π را دريابيد.‏ 

مثلثاتى زاويه = o 30 

6 

170

sin 60 

o 

tan 60° 

= 

sec 60 

sin 30 

sec30 

o 

o 

o 

π 

= sin = 

3 

3 

3 

2 

π 

= sec = 2 

3 

= cos60 

= csc60 

o 

o 

cos30 

csc30 

o π 1 

cos 60 = cos = 

3 2 

o π 1 

cot 60 = cot = = 

3 3 

π 2 

csc 60° 

= csc = 

3 3 

همچنين نظر به شكل 


o 

o 

= sin 60 

= sec60 

o o 

30 60 = 

o 

o 

90 

o 

3 

3 

مشاهده مى شود چون + 

باشد،‏ اگر يك زاوية θ باشد زاوية ديگر 

o x 

sin(90 − θ) 

= 

r 

o y 

cos(90 − θ) 

= 

r 

o x 

tan(90 − θ) 

= 

y 

sec(90 

o 

− θ) 

= 

csc(90 − θ) 

= 

o 

r 

y 

r 

x 

x 

, cosθ 

= 

r 

y 

, sin θ = 

r 

x 

, cot θ = 

y 

, cscθ = 

, 

, 

, 

, 

, 

, 

secθ = 

r 

y 

r 

x 

o 

o 

tan 30 = cot 60 

cot 30° 

= tan 60° 

o 

يا به صورت عموم هرگاه مجموعة دو زاويه 90 

) مى شود.‏ 

⇒sin(90 

⇒ cos(90 

⇒ tan(90 

⇒ 

⇒ 

o 

sec(90 

− θ) 

= cosθ 

o 

o 

o 

, 

, 

− θ) 

= sin θ 

− θ) 

= cot θ 

− θ) 

= cscθ 

o 

csc(90 − θ) 

= secθ 

(90 

o 

− θ 

171

فعاليت 

به همين ترتيب نشان دهيد كه:‏ cot( مى باشد.‏ 

90° − θ) 

= tan θ 

طورى كه در مثلثات صنف نهم خوانده ايد جدول نسبت هاى مثلثاتى زوايا نيز به همين 

اساس ترتيب گرديده است.‏ 

o 

مثال اول:‏ نسبت هاى مثلثاتى زاوية 39 


o 

داده شده است،‏ نسبت هاى مثلثاتى 51 

را 

sin 39 

o 

= 0,6293 

cos39 = ,7771 

, 

, 

tan 39 

o 

cot 39 

o 

= 0,8098 

= 1,235 

, 

, 

sec39 

csc39 

o 

o 

= 1,287 

= 1,589 

حل:‏ چون ° 39 مى شود؛ بنابرآن:‏ 

° + 51° 

= 90 

sin51 

tan51 

sec51 

o 

0 

o 

= cos39 

= cot39 

= 0,7771 

= 1,235 

= csc39 = 1,589 

o 

o 

, 

, 

, 

cos51 

cot51 

csc51 

o 

o 

o 

= sin39 = 0,6293 

= tan39 

= sec39 

تمرين 

o 

o 

= 0,8098 

= 1,287 

sin17 

o 

= 0,2927 

cos17 

o 

= 0,9563 

sec17 

o 

= 1,046 

csc17 

o 

- 1 اگر:‏ 

= 3,420 

271 و باشند،‏ نسبت هاى مثلثاتى زاوية 73 را دريابيد.‏ 

o 

tan17 

o 

= 0,3057 

cot17 

o 

= 3, 

2 ‏-كدام يك از مساوات زير درست نيست؟ 

sin 28° 

= cos 62° 

sec 12° 

= sec88° 

, 

, 

cos12° 

10' 

tan 70° 

= cot 

20'' 

20° 

= sin 77° 

49' 

40'' 

172

نسبت هاى مثلثاتى زواياى 

o 

و 360 

تعريف شده 

270 

o 

,180 

o 

o 

و tan 270 

,90 

o 

,0 

o 

o 

آيا tan 90 

اند؟ 

r = 1 

π 

نسبت هاى مثلثاتى زاوية = o 90 

2 

چون نقطة ) روى دايرة مثلثاتى بالاى ضلع دوم زاوية 90 

فعاليت 

واقع است،‏ بنابرآن:‏ 

x = 0 

π 

o y 1 

sin = sin 90 = = = 1 

2 

r 1 

π 

o y 1 

tan = tan 90 = = 

2 

0 

π 

sec = sec90 

2 

o 

= 

x 

r 

x 

o 

y = 1 

= 

1 

0 

و csc0° تعريف نه شده اند؟ چرا؟ 

π 

cos = cos90 

2 

π 

cot = cot 90 

2 

π 

csc = csc90 

2 

P(0,1 

o 

o 

o 

x 0 

= = = 0 

r 1 

x 0 

= = = 0 

y 1 

= 

r 

y 

1 

= = 1 

1 

o 

آيا مى توانيد بگوييد كه cot 0 

نسبت هاى مثلثاتى زاوية : 180 چون نقطة (1,0−) p روى دايرة مثلثاتى بالاى ضلع 

دوم زاويه ° 180 قرار دارد.‏ 


sin180 

tan180 

o 

o 

y 0 

= sin π = = = 0 

r 1 

y 0 

= tan π = = = 0 

x −1 

cos180 

cot180 

o 

o 

o 

پس = 1 r x = −1 و = y 

x −1 

= cos π = = = −1 

r 1 

x −1 

= cot π = = = 

y 0 

‏(تعريف نشده است)‏ 



173

فعاليت 

sec180° و 180° csc را در يابيد.‏ 

3 o 

: = 270 

2 

نسبت هاى مثلثاتى 

) روى دايرة مثلثاتى بالاى ضلع 

واقع مى باشد.‏ 

P(0, 

چون نقطة 1− 

o 

دوم زاوية 270 

r = 1 

x = 0 

3π 

o y −1 

sin = sin 270 = = = −1 

2 

r 1 

3π 

o y −1 

tan = tan 270 = = 

2 

x 0 

3π 

sec = sec 270 

2 

با هم مساوى مى باشند.‏ 

y = −1 

o 

= 

r 

x 

o 

و 0 

= 


1 

0 


3π 

cos = cos 270 

2 

3π 

cot = cot 270 

2 

3π 

csc = csc 270° 

= 

2 

o 

o 

x 0 

= = = 0 

r 1 

x 0 

= = = 0 

−1 

y 

r 

y 

= 

1 

−1 

= −1 

o 

بايد به ياد داشته باشيد كه نسبت هاى مثلثاتى زواياى 360 

بگوييد كه چرا؟ 

174

: ° = 2π 

نسبت هاى مثلثاتى 360 

چون نقطة ) P بالاى ضلع دوم زاويه 360 قرار دارد پس:‏ 

o 

(1,0 

x = 1 y = 0 r = 1 

0 y 0 

o x 1 

sin 2π = sin 360 = = = 0 cos 2π = cos360 = = = 1 

r 1 

r 1 

o y 0 

tan 2π 

= tan 360 = = = 0 

x 1 

o x 1 

cot 2 = cot 360 = = 

y 0 

‏(تعريف نه شده است)‏ π 

sec 2π 

= sec360 

o 

= 

r 

x 

1 

= = 1 csc2 

1 

= csc360 

o 

r 1 

= = 

y 0 

‏(تعريف نه شده)‏ π 

فعاليت 

تمام نسبت هاى مثلثاتى 0 را دريابيد.‏ 

o 

را زواياى محورى ميگويند كه دو،‏ دو نسبت هاى 

o 

و 360 

o o o o 

زواياى 270 ,180 ,90 ,0 

مثلثاتى هر زاويه تعريف نه شده اند.‏ 

175

تمرين 

θ 

sin θ 

o 

0 

π 

2 

π 

3π 

2 

2π 

-1 

جدول زير را پر كنيد 

cosθ 

tanθ 

تعريف نشده است − a 

) 

1 

b) 

1 

c) 

0 

d) 

tan 270° = ? -2 

cos 90° = ? -3 

تعريف نشده است − a 

) 

1 

b) 

1 

c) 

0 

d) 

است؟ چرا؟ 

3π 

9π 

cos = cos 

2 2 

4- آيا 

176

ارتباط بين نسبت هاى مثلثاتى 

يك زاويه حاده با زواياى ديگر 

چون در صنف نهم خوانده ايد كه جدول 

مثلثاتى محض نسبت هاى يك زاويه مثبت 

حاده را نشان مى دهد براى اين كه نسبت 

هاى مثلثاتى زواياى منفى و منفرجه را نيز از 

جدول به دست آورده بتوانيم،‏ رابطه نسبت 

هاى مثلثاتى يك زاويه مثبت حاده با نسبت 

هاى مثلثاتى اين زوايا را به دست آوريم.‏ 

− θ 

: 

∧ 

رابطه بين نسبت هاى مثلثاتى زواياى ∧ و − θ 

زاوية حاده θ مثبت و به اندازة زاويه θ هم جهت حركت عقربة ساعت زاويه را در دايره 

مثلثاتى به حالت معيارى رسم مى كنيم.‏ 

نقطة ) بالاى ضلع دوم زاويه θ و نقطة ) P بالاى ضلع دوم زاويه θ واقع اند.‏ 

( x1, 

1 

1 

y 

x1 

= x | y1 

| = | y | y1 

= −y 

y1 

y1 

sin( −θ) 

= = = y1 

= −y 

= −sin 

θ 

r 1 

x 

cos( −θ) 

= = x = cos θ 

r 

sin( −θ) 

− sin θ 

tan( −θ) 

= = = − tan θ 

cos( −θ) 

cos θ 

cos( −θ) 

cos θ 

cot( −θ) 

= = = − cot θ 

sin( −θ) 

− sin θ 

با هم مساوى اند.‏ 

Δ 

و OMP 

π 

= − 

6 

1 

P( x, 

y 

Δ 

چون دو مثلث OMP 

مثال‎1‎‏:‏ نسبت هاى مثلثاتى ) را دريابيد.‏ 

حل 

( −30 

o 

o 1 

o 

o 

sin( −30 

) = −sin 30 = − cos( −30 

) = cos30 = 

2 

o 

3 

2 

177

o 

tan( −30 

) = − tan30 

o 

sec( −30 

) = sec30 

o 

o 

= 

= − 

2 

3 

1 

3 

o 

cot( −30 

) = −cot30 

o 

csc( −30 

) = −csc30 

فعاليت 

o 

o 

= − 

= −2 

3 

نشان دهيد كه:‏ Sec 

( −θ) 

= Secθ 

, 

csc( −θ) 

= −cecθ 

3π 

3π 

sin( − ) = −sin 

= −( 

−1) 

= 1 

2 2 

3π 

3π 

cos( − ) = cos = 0 

2 2 

3π 

مثال 2: نسبت هاى مثلثاتى زاوية − 

2 

حل:‏ 

فعاليت 


3π 

چهار نسبت مثلثاتى متباقى زاوية − 

2 

را در يابيد.‏ 

sin( −θ) 

= −sin 

θ 

tan( −θ) 

= − tan θ 

sec( −θ) 

= secθ 

cos( −θ) 

= cosθ 

cot( −θ) 

= − cot θ 

csc( −θ) 

= − cscθ 

تمرين 

يا − 2 راديان را دريابيد.‏ 

o 

- 1 نسبت هاى مثلثاتى − 360 


o 

o 

) 30 ( و − 60 ( 

راديان و − 

راديان را دريابيد.‏ 

π 

يا − 

4 

π 

2 

o 

- 2 نسبت هاى مثلثاتى − 45 

- 3 نسبت هاى مثلثاتى ° 90 − يا − 

178

ارتباط بين نسبت هاى مثلثاتى 

دو زاويه كه مجموعه و يا فرق 

باشد.‏ 

o 

شان π يا 180 

o 

آيا نسبت هاى مثلثاتى زواياى 150 


o 

و 135 

آيا sin135° و 45° sin باهم مساوى 

مى باشند؟چرا؟ 

مى توانيد بگوييد كه sin130° آيا 

و 50° sin با هم چه رابطه دارند؟ 

o 

دو زاويه يى كه مجموعة شان π يا 180 باشد،‏ در نظر مى گيريم.‏ اگر يك زاويه حاده 

θ باشد زاوية ديگر ) π مى شود اين هر دو زاويا در دايره مثلثاتى به حالت معيارى 

( − θ) 

( − θ 

رسم مى نماييم.‏ 

بالاى ضلع دوم زاويه π 

1 

بالاى ضلع دوم زاويه θ و نقطة ) 

نقطة ) قرار دارند.‏ 

) با هم مساوى اند.‏ 

چون دو مثلث OAM و ( r = 1) 

M (x1, 

y1 

Δ 

OM1B 

(r = 1) x1 

= x − x1 

= x ⇒ x1 

= −x 

y1 

= y 

o 

y1 

y1 

sin(180 − θ) 

= sin( π − θ) 

= = = y1 

= sin θ 

r 1 

o 

x1 

− x − x 

cos(180 − θ) 

= cos( π − θ) 

= = = = −x 

= − cos θ 

r r 1 

o 

o 

sin(180 − θ) 

sin θ 

tan(180 − θ) 

= tan( π − θ) 

= 

= = − tan θ 

o 

cos(180 − θ) 

− cos θ 

فعاليت 

Δ 

M(x, 

y 

يا − θ 180 ( 

سه نسبت مثلثاتى متباقى زاوية ) π را دريابيد.‏ 

( − θ 

179

o 

ارتباط بين نسبت هاى مثلثاتى دو زاويه يى كه فرق شان 180 

باشد.‏ 

و يا π راديان 

sin120 

cos120 

tan120 

sin 240 

o 

o 

o 

o 

sin(180 + θ) 

= y 

o 

cos(180 + θ) 

= x 

اگر زاويه حاده θ باشدزاويه ديگرى (θ ( π + 

مى باشد نقطة ) M روى دايرة مثلثاتى بالاى 

(x, y 

(x1, M بالاى 

y1) 

) ( + يا ) + 180° ( قرار 

1 

ضلع دوم زاوية θ و نقطة 

ضلع دوم زاويه 

دارد.‏ 

چون مثلث هاى OAM با هم مساوى 

اند،‏ پس:‏ = 

o 

1 

sec(180 + θ) 

= 

o 

cos(180 

o 

1 

csc(180 + θ) 

= 

o 

sin(180 

1 

1 

Δ Δ 

1 

y1 −y 

, x1 

= − 

و OBM 

= −y 

= −sin 

θ 

= −x 

= − cos θ 

o 

o sin(180 + θ) 

− sin θ 

tan(180 + θ) 

= 

= = tan θ 

o 

cos(180 + θ) 

− cos θ 

o 

o cos(180 + θ) 

− cosθ 

cot(180 + θ) 

= 

= = cot θ 

o 

sin(180 + θ) 

− sin θ 


o 

و 240 

o 

= cos( π − 60 ) = −cos60 

o 

= tan( π − 60 ) = − tan 60 

o o 

o 

= sin(180 + 60 ) = −sin 60 = − 

= 

+ θ) 

− 

= 

+ θ) 

− 

o 

o o 

o 

= sin( π − 60 ) = sin(180 − 60 ) = sin 60 = 

o 

o 

1 

cos 

1 

sin 

x 

= − secθ 

θ 

= − cscθ 

θ 

o 

مثال اول:‏ نسبت هاى مثلثاتى زواياى 120 

حل 

o 

1 

= − 

2 

= − 

3 

3 

2 

3 

2 

180

cos 240 

tan 240 

o 

o 

o o 

o 

= cos(180 + 60 ) = −cos60 

o o 

o 

= tan(180 + 60 ) = tan 60 = 

فعاليت 

1 

= − 

2 

3 


o 

و 240 

o 

سه،‏ سه نسبت متباقى زواياى 120 

راديان را در يابيد.‏ 

و 4π 

3 

مثال دوم:‏ cos ، sin و tan زاويه 3π 

4 

حل:‏ 

3π 

π 

π − = 

4 4 

3π 

3π 

π 2 

sin( π − ) = sin = sin = 

4 4 4 2 

3π 

3π 

π 

cos( π − ) = cos = − cos = − 

4 4 4 

3π 

3π 

π 

tan( π − ) = tan = − tan = −1 

4 4 4 

4π 

π 

− π = 

3 3 

4π 

π π 3 

sin = sin( π + ) = −sin 

= − 

3 3 3 2 

4π 

π π 1 

cos = cos( π + ) = −cos 

= − 

3 3 3 2 

4π 

π π 

tan = tan( π + ) = tan = 3 

3 3 3 

2 

2 

O 

O 

چون ضلع دوم زاوية ) ° در ربع دوم قرار دارد،‏ در ربع دوم sin مثبت 

و متباقى نسبت هاى مثلثاتى زاوية ) ° منفى مى باشند،‏ وچون ضلع دوم زاوية 

csc و 

( 180 − θ 

( 180 − θ 

181

تمرين 

θ و cot θ مثبت و متباقى نسبت هاى 

) در ربع سوم واقع است tan 

( + ( يا 180 + ) 

مثلثاتى زاويه ) + منفى ميباشند.‏ 

( 180 

o 

1- نسبت هاى مثلثاتى زاوية 225 


o 



o 



3π 

cot = ? 

4 

1 

a) 

− 

2 

b) 1 

c) 

0 

-4 

d) −1 

sec( 225 

o ) = ? -5 

a) 

2 

2 

b) 

− 

2 

2 

c) 

2 

2 

d) 

− 

2 

2 

182

نسبت هاى مثلثاتى دو زاويه يى 

يا 

2 

o 

كه مجموعة شان 90 

راديان باشد 

مى باشد؟ چرا؟ 

o 

o 

sin 60 = cos30 آيا 

نسبت هاى مثلثاتى زواياى 150° و 60° 

با هم چه ارتباط دارند؟ 

فعاليت 

) مى باشد كه مجموعة θ 

 

( − عبارت از زاوية A O ∧ M' و زاوية θ ، A O 

∧ 

M 

2 

o π 

− θ مساوى 90 

2 

زاوية 

با هم مساوى 

OH' = OH 

= HM 

Δ 

O H' M' 

π 

sin( − θ) 

= cos θ 

2 

H' M' 

و 

اند.‏ 

Δ 

2 مى شود؛ چون دو مثلث OHM 

يا π 

و 

π 

cos( − θ) 

= sin θ 

2 

π 

sin( − θ) 

π 

cos θ 

tan( − θ) 

= 2 = = cot θ 

2 π 

cos( − θ) 

sin θ 

2 

π 1 1 

cot( − θ) 

= = = tan θ 

2 π 

tan( − θ) 

cot θ 

2 

نشان دهيد كه csc( مى باشد.‏ 

90 − θ) 

= secθ 

, sec(90 − θ) 

= cscθ 

183

sin 23 

o 

cot 23 

sin 67 

cos 67 

o 

o 

tan 67 

o 

o 

= 0,3907 

= 2,356 

= cos 23 

o 

= sin 23 

o 

= cot 23 

o 

، 

، 

cos 23 

sec 23 

= 0,9205 

= 0,3907 

= 2,356 

o 

o 

= 0,9205 

= 1,086 

، 

، 

، 

، 

، 

tan 23 

csc 23 

مثال اول:‏ اگر:‏ 


cot 67 

o 

sec67 

csc67 

o 

فعاليت 

o 

o 

= 0,4245 

= 2,559 

o 

باشند،‏ نسبت هاى مثلثاتى 67 

حل:‏ 

= tan 23 

o 

o 

= csc 23 

= sec 23 

o 

= 0,4245 

o 

= 2,559 

= 1,086 

sin8 

tan8 

o 

o 

sec8 

o 

10' = 0,1421 

10' = 0,1435 

10' = 1,010 

، 

، 

، 

cos8 

cot8 

csc8 

o 

o 

o 

10' = 0,9899 

10' = 6,968 

10' = 7,040 

اگر 

باشد نسبت هاى مثلثاتى زاوية '50 81 o 


o 

π 

رابطه بين نسبت هاى مثلثاتى زاويه هايى كه فرق شان راديان يا 90 

2 

باشد:‏ 

π π 

sin( + θ) 

= sin[ − ( −θ)] 

= cos( −θ) 

= cos θ 

2 2 

π π 

cos( + θ) 

= cos[ − ( −θ)] 

= sin( −θ) 

= −sin 

θ 

2 2 

π 

sin( + θ) 

π 

cos θ 

tan( + θ) 

= 2 = = −cot 

θ 

2 π 

cos( + θ) 

− sin θ 

2 

π 

cos( + θ) 

π 

− sin θ 

cot( + θ) 

= 2 = = − tan θ 

2 π 

sin( + θ) 

cos θ 

2 

184

π 1 

sec( + θ) 

= = 

2 π 

cos( + θ) 

− 

2 

π 1 

csc( + θ) 

= = 

2 π 

sin( + θ) 

2 

1 

cos 

1 

sin 

= −csc 

θ 

θ 

= sec θ 

θ 

o 

مثال دوم:‏ نسبت هاى مثلثاتى زاوية 120 

حل 


o 

o o 

o 3 

sin120 = sin(90 + 30 ) = cos30 = 

2 

o 

o o 

o 1 

cos120 = cos(90 + 30 ) = −sin 30 = − 

2 

o 

o o 

o 

tan120 = tan(90 + 30 ) = −cot 30 = − 3 

o 

o o 

1 

cot120 = cot(90 + 30 ) = − tan 30° 

= − 

3 

o 

o 

o 

sec120 = sec(90 + 30) = −csc30 

= −2 

o o 

o 2 

csc120 = csc(90 + 30) = sec30 = 

3 

π 

sin( − θ) 

= cosθ 

, π 

sin( + θ) 

= cos θ 

2 

2 

π 

cos( − θ) 

= sin θ , π 

cos( + θ) 

= −sin 

θ 

2 

2 

π 

tan( − θ) 

= cot θ 

2 

π 

cot( − θ) 

= tan θ 

2 

π 

sec( −θ 

) = cscθ 

2 

π 

csc( − θ) 

= secθ 

2 

, 

, 

, 

, 

π 

tan( + θ) 

= −cot 

θ 

2 

π 

cot( + θ) 

= − tan θ 

2 

π 

sec( + θ) 

= −cscθ 

2 

π 

csc( + θ) 

= secθ 

2 

185

o 


تمرين 


2- نسبت هاى مثلثاتى زاوية ° 150 را دريابيد.‏ 

π 

sin( − x) = ? -3 

2 

a) 

cos x 

b) sin x 

c) − cos x 

d) − sin x 

a ) 

tanθ 

b) − tanθ 

c)cotθ 

π 

cot( + θ) 

= ? 

2 

d) − cotθ 

-4 

186

رابطه بين نسبت هاى مثلثاتى 

زاويه هايى كه مجموعه يا فرق 

o 

شان 360 يا 2 π راديان باشد:‏ 

آيا صحت رابطه 

و 


sin( 360° − θ) 

= −sin 

θ 

cos( 360° − θ) 

= cos θ 

را نشان داده 

x 

1 

= x | y 

sin(360 

cos(360 

tan(360 

o 

o 

o 

1 

| = | y | 

− θ) 

= y 

− θ) 

= x 

= x = cosθ 

sin(360 

− θ) 

= 

cos(360 

1 

1 

= −y 

= −sin 

θ 

o 

o 

داريم كه:‏ 

Δ Δ 

D 

y1 1 

= − 

و OP1 

− = y ⇒ y 

− θ) 

− sin θ 

= = − tan θ 

− θ) 

cosθ 

از تساوى دو مثلث OPD 

y 

o 

360 − θ و θ زاويه هاى csc و cot 

فعاليت 

به همين ترتيب رابطه بين نسبت هاى مثلثاتى sec, 

را دريابيد و با ارتباط نسبت هاى مثلثاتى زواياى θ و - θ مقايسه كنيد.‏ 

يا 11π 

6 

o 

مثال‎1‎‏:‏ نسبت هاى مثلثاتى زاوية 330 


187

11π 

sin = sin(2π − 

6 

π 

) 

6 

= sin 330 

o 

= sin(360 

11π 

π 

o 

o o 

o 3 

cos = cos(2π − ) = cos330 = cos(360 − 30 ) = cos30 = 

6 

6 

2 

11π 

π 

o 

o o 

o 1 

tan = tan(2π − ) = tan330 = tan(360 − 30 ) = − tan30 = − 

6 

6 

3 

11π 

π 

o 

o o 

o 

cot = cot(2π − ) = cot330 = cot(360 − 30 ) = −cot30 

= − 3 

6 

6 

11π 

π 

o 

o o 

o 2 

sec = sec(2π − ) = sec330 = sec(360 − 30 ) = sec30 = 

6 

6 

3 

11π 

π 

o 

o o 

o 

csc = csc(2π − ) = csc330 = csc(360 − 30 ) = −csc30 

= −2 

6 

6 

o 

حل 

فعاليت 


0 

o 

− 30 ) = −sin 30 = − 

1 

2 

o 

نسبت هاى مثلثاتى زاوية 315 

نسبت هاى مثلثاتى زواياى كوترمينل 


° باهم برابر اند؟چرا؟ 

آيا 

o 

o 

o 

و csc 405 tan390 , sin 450 آيا 

و sin 790 sin 450° 

، sin 90° 

188 

چون در حالت معياري اضلاع دوم زواياى حادة θ و 360 با هم منطبق اند؛ پس:‏ 

sin(360 

tan(360 

csc(360 

+ θ) 

= sin θ 

o 

, 

o 

o 

+ θ) 

= tan θ 

+ θ) 

= cscθ 

, 

, 

° + 

o 

cos(360 + θ) 

= cos θ 

o 

cot(360 + θ) 

= cot θ 

o 

sec(360 + θ) 

= sec θ

o 

مثال دوم:‏ نسبت هاى مثلثاتى زاوية 405 

حل 


o π 

o o 

o 1 

sin 405 = sin(2π + ) = sin(360 + 45 ) = sin 45 = = 

4 

2 

o π 

o o 

o 1 

cos 405 = cos(2π + ) = cos(360 + 45 ) = cos 45 = = 

4 

2 

o π 

o o 

o 

tan 405 = tan(2π + ) = tan(360 + 45 ) = tan 45 = 1 

4 

o π 

o o 

o 

cot 405 = cot(2π + ) = cot(360 + 45 ) = cot 45 = 1 

4 

o π 

o o 

o 

sec 405 = sec(2π + ) = sec(360 + 45 ) = sec 45 = 2 

4 

csc 405 

o 

sin1500 

cos1500 

tan1500 

cot 1500 

sec1500 

csc1500 

= csc(2π + 

o 

o 

o 

o 

o 

o 

π 

) 

4 

= tan(4 ⋅360 

= cot(4⋅360 

= sec(4 ⋅360 

= csc(360 

o 

o 

o 

+ 45 ) = csc 45 = 

2 

2 

2 

2 

2 

مثال سوم:‏ نسبت هاى مثلثاتى زاوية ‎1500‎را دريابيد.‏ 

o o 

o 3 

= sin(4⋅360 

+ 60 ) = sin 60 = 

2 

o o 

o 1 

= cos(4 ⋅360 

+ 60 ) = cos 60 = 

2 

o 

o 

o 

o 

o 

+ 60 ) = tan 60 = 

o 

o 

+ 60 ) = cot 60 = 

o 

+ 60 ) = sec 60 

o 

o 

= 2 

o o 

o 2 

= csc(4⋅360 

+ 60 ) = csc 60 = 

3 

مثال چهارم:‏ cos ، sin و tan زواياى 900° و 930° − را دريابيد.‏ 

حل 

1 

3 

3 

189

190 

2 

3 

cos30 

) 

30 

cos(180 

cos150 

) 

930 

cos( 

2 

1 

sin30 

) 

30 

sin(180 

sin150 

) 

930 

sin( 

150 

360 

3 

930 

= − 

= − 

− 

= 

= 

− 

= 

= 

− 

= 

= 

− 

= 

⋅ 

+ 

− 

o 

o 

o 

o 

o 

o 

o 

o 

o 

o 

o 

o 

o 

3 

1 

tan 30 

) 

30 

tan(180 

tan150 

) 

930 

tan( 

− 

= 

= 

− 

= 

= 

− 

o 

o 

o 

o 

o 

0 

tan180 

) 

180 

360 

tan(2 

tan900 

1 

cos180 

) 

180 

360 

cos(2 

cos900 

0 

sin180 

) 

180 

360 

sin(2 

sin 900 

= 

= 

+ 

⋅ 

= 

= − 

= 

+ 

⋅ 

= 

= 

= 

+ 

⋅ 

= 

o 

o 

o 

o 

o 

o 

o 

o 

o 

o 

o 

o 

.ديبايرد ار 3 

7 و 2 

5 

− ةيواز ىتاثلثم ىاه تبسن :مجنپ لاثم 

:لح 

3 

3 

tan 

) 

3 

tan(2 

3 

7 

tan 

0 

1 

) 

2 

cos( 

) 

2 

sin( 

) 

2 

tan( 

) 

2 

5 

tan( 

2 

1 

3 

cos 

) 

3 

cos(2 

3 

7 

cos 

0 

2 

cos 

) 

2 

cos( 

) 

2 

5 

cos( 

2 

3 

3 

sin 

) 

3 

sin(2 

3 

7 

sin 

1 

2 

sin 

) 

2 

sin( 

) 

2 

5 

sin( 

= 

π 

= 

π 

π + 

= 

π 

− 

= 

π 

− 

π 

− 

= 

π 

− 

= 

π 

− 

= 

π 

= 

π 

π + 

= 

π 

= 

π 

= 

π 

− 

= 

π 

− 

= 

π 

= 

π 

π + 

= 

π 

= − 

π 

= − 

π 

− 

= 

π 

− 

هدشن فيرعت 

، 

، 

) 

2 

2 

( 

2 

5 π 

π − 

− 

= 

π 

−

π 

cos( − ) 

5π 

π 2 0 7π 

π π 

cot( − ) = cot( − ) = = = 0 cot( ) = cot(2π + ) = cot = 

2 2 π 

sin( − ) 

−1 

3 

3 3 

2 

فعاليت 

1 

3 

5π 

و − ( 

2 

دو،‏ دو نسبت مثلثاتى متباقى زاواياى 7 

θ 


3 

sin(2π − θ) 

= sin(360 

cos(2π − θ) 

= cos(360 

tan(2π − θ) 

= tan(360 

cot(2π − θ) 

= cot(360 

sec(2π − θ) 

= sec(360 

csc(2π − θ) 

= csc(360 

sin(2π + θ) 

= sin(360 

cos(2π + θ) 

= cos(360 

tan(2π + θ) 

= tan(360 

cot(2π + θ) 

= cot(360 

sec(2π + θ) 

= sec(360 

csc(2π + θ) 

= csc(360 

o 

o 

o 

o 

o 

− θ) 

= −sin 

θ 

o 

o 

− θ) 

= cos θ 

− θ) 

= − tan θ 

− θ) 

= −cot 

θ 

− θ) 

= secθ 

− θ) 

= − csc 

o 

o 

o 

o 

+ θ) 

= sin θ 

o 

+ θ) 

= cosθ 

+ θ) 

= tan θ 

+ θ) 

= cotθ 

+ θ) 

= secθ 

+ θ) 

= cscθ 

191

تمرين 



o 

و 390 

o 

و 300 

و ) 20' (1095 o را دريابيد.‏ 

o 

1- نسبت هاى مثلثاتى زواياى 480 

o 

2- نسبت هاى مثلثاتى زواياى 600 

o 


4- نسبت هاى مثلثاتى زاوية 25π راديان را دريابيد.‏ 

6 


5- نسبت هاى مثلثاتى زاوية 5π 


و 3 

4 

3 

4 π 41 

, 

π 

3 6 

6- نسبت هاى مثلثاتى زواياى 


o o o 

, 300 و 420 

cos( −3 ) = ? 

-8 

7- نسبت هاى مثلثاتى زواياى − 780 

a)1 

b) 

−1 

c) 0 

1 

d) 

2 

cos( − 15π) 

= ? 

-9 

هرسه درست نيست.‏ − a 

)1 

b) 

1 

c) 0 

d) 

o 

sin( −1110 

) = ? −10 

1 

a) 

2 

b) − 

1 

2 

c) 

3 

2 

d) − 

3 

3 

192

گراف توابع مثلثاتى 

O 

آيا ميتوانيد بگوييد كه دورة تناوب توابع 

چقدر 

است؟ 

آيا ميتوانيد بگوييد كه domain توابع 

كدام 

اعداد اند؟ 

f (x) = cos x و f (x) = sin x 

f (x) = cos x و f (x) = sin x 

:(graph of the sine function) : (x) sin x 

ساحة تعريف (domain) تابع f (x) = sin x 

π 

−1,1 

رسم گراف تابع = f 

ست تمام اعداد حقيقى و Range آن 

] [ مى باشد،‏ دورة تناوب اين تابع 2 است،‏ زيرا طورى كه ميدانيد ساحة تعريف 

يك تابع تمام اعداد حقيقى Numbers) (Real مى باشد كه تابع در آن تعريف شده باشد.‏ 

براى هر عدد حقيقى x يك زاوية x راديان و نقطة تقاطع ضلع دُوم زاوية x راديان با دايرة 

مثلثاتى هر وقت تعريف شده است؛ اگر x برحسب راديان باشد تمام اندازه هاى اين زوايا 

x راديان است؛ بنابر اين ساحة تعريف توابع sin ست تمام اعداد 

193 

فعاليت 

cosine و e 

2k + 

حقيقى مى باشد.‏ 

چون 

كميات وضعية يك نقطه بالاى دايرة مثلثاتى مى باشد،‏ پس Range 

x در بين‎1‎ و (1 −) مى باشد يا انتروال 


cos x و sin x 

f ( x) 

= y = cos و f ( x) 

توابع = y = sin x 

y = cos و = sin 

] [−1,1 عبارت از Range توابع y 

نشان دهيد كه 1 مى باشد.‏ 

−1 ≤ sin ,cos 

≤ 

به ياد داشته باشيد كه تابع f را متناوب مى گويند،‏ در صورتى كه عدد t خلاف صفر باشد 

نيز در ساحة تعريف (domain) تابع f شامل 

بوده و + 

كوچكترين عدد t كه در رابطه ) + صدق كندعدد (t) به نام تناوب اصلى 

به شرطى كه x ∈ DF 

باشد x + t و x − t 

t) f ( x باشد.‏ 

= f ( x) 

f ( x t) 

= f ( x

تابع f ناميده مى شود؛ اگر t دورة تناوب تابع f باشد t- نيز دورة تناوب تابعf مى باشد؛ 

مى باشد كه k يك 

طوريكه ميدانيد + 

عدد تام است،‏ بنابر آن توابع sin x و cos x توابع متناوب بوده و كوچكترين عدد مثبتى كه 

در رابطه هاى فوق صدق مى كند 2π است،‏ لذا،‏ تناوب اصلى اين دو تابع 2 π است.‏ 

∧ 

مطابق شكل t راديان رادر حالت معيارى در نظر بگيريد؛ طورى كه در نقطة P ضلع دوم 

زاوية t دايرة مثلثاتى را قطع مى كند؛ پس مختصة y نقطة p عبارت از sin t مى باشد.‏ 

تابع را در جدول و شكل زير مشاهده كنيد.‏ 

cos( x + 2Kπ) 

= cos x و sin( x 2Kπ) 

= sin x 

sint و t تغييرات h (t) = 

sin t 

گراف مربوطه 

sin t 

حركت نقطه P 

تغيير در قيمت t 

از 0 الى π 

2 

از (1,0 ( الى 

(0,1) 

از صفر الى يك 

تزايد مى كند 

2 الى π 

از (0,1 ( الى از π 

از يك الى صفر (1,0−) 

تناقص مى كند 

از π الى 3π 

2 

از (1,0 −) الى 

از صفر الى -1 1) − 0, ( 


از 1) − 0, ( الى از 3 π الى 2 π 

2 

(1,0) 

از - 1 الى صفر 


194

t 

h(t) = sint 


0 

0 

sin( t 2 ) = sint 

π 

2 

1 

به همين قسم در هر 2 تكرار مى شود.در نتيجه ± 

جدول و شكل زير را مشاهده كنيد:‏ 

π 

3π 

2 

0 −1 

2π 

0 

مى توانيم با نشان دادن زواياى يك دور برحسب درجه تغييرات sin t را در جدول وشكل 

زير نشان دهيم:‏ 

h(t) = sin t 

t 

0 

° 

30 

45 

60 

90 

° 

° 

° 

° 

120 

135 

150 

° 

° 

° 

0 

1 

2 

2 

2 

3 

2 

1 

3 

2 

2 

2 

1 

2 

تقریبی 

واقعی 

0.00 

0.50 

0.71 

0.87 

1.00 

0.87 

0.71 

0.50 

180 

210 

225 

240 

270 

300 

315 

330 

360 

° 

° 

° 

° 

° 

° 

° 

° 

° 

0 

1 

− 

2 

2 

− 

2 

3 

− 

2 

−1 

3 

− 

2 

2 

− 

2 

1 

− 

2 

0 

0.00 

− 0.50 

− 0.71 

− 0.87 

−1.00 

− 0.87 

− 0.71 

− 0.50 

0.00 

195

O 

با توجه به اينكه دورة ‏(پريود)‏ تناوب تابع sin 

گراف تابع sint در انتروال هاى 0 


فعاليت 

sin( t ± 2π) 

= sin t مى باشد 2π عبارت از t 

[0,2π ‏]و ... يكسان 

− ،[ 4 π, 

6π] 

،[ 2 π, 

4π] 

،[ ,2π] 

و − 4π 

قيمت تابع sin 

π, − 3 معلوم كنيد.‏ 

− 2π, 

− π, 

0 , π, 

2π, 

4π را در t 

مثال اول:‏ تمام قيمت هاى t، كه در آن sin t 

قيمت 1- دارد نشان دهيد.‏ 

حل:‏ چون قيمت sint در بين ) 1 ( و(‏‎1‎‏-)‏ واقع مى باشد و در هر 2 π بالاى محور افقى 

تكرار مى شود،‏ پس قيمت هاى بى شمار وجود دارند كه در آن قيمت sin t عدد 1- 

مى باشد.‏ طور نمونه چند نقطه در شكل به رنگ سرخ نشان داده شده است.‏ 

فقط يك نقطه ) وجود دارد كه به رنگ سرخ 

نشان داده شده است.‏ تمامى قيمت هايى كه در آن sin مساوى به 1- مى باشد عبارت از 

196 

3π 

( , −1 

2 

t 

درگراف sin t از 0 الى 2 π

x 

] ,2 [ رسم كنيد.‏ 

0 

y = sin x +1 1 

كه K يك عدد تام است.‏ 

3π 

t = + 2Kπ 

2 

مثال دوم : گراف تابع y 1 را در انتروال 0 

π 

2 

2 

π 

1 

= sin x + 

[ 0,2 و 

حل:‏ ناحية تعريف اين تابع ] 

Range تابع [0,2 ‏]مى باشد.‏ براى رسم 

كردن گراف اين تابع كافى است كه 

را رسم كرده و آن 

را به اندازة يك واحد بالاى محور y به 

سمت بالا انتقال دهيم.‏ ‏(انتقال عمودى)‏ 

3 π 

2 

گراف y = sin x 

پريود و دامنة(‏Amplitude‏)‏ توابع sine و :cosine اگر > 0 b باشد گراف هاى 

π يك دوره cycle) ( را مي سازد و 

و 

0 

2 π 

g (t) = cos bt f (t) = sin bt در بين 0 و 2 

1 

مى باشد؛(‏ ( 0 به طور مثال:‏ پريود تابع = y 

cos3t عبارت است 

b > 

پريود هر دو تابع 2π 

b 

مى باشد؛ 

2π 

2π 

= = 4π 

b 1 

2 

و y = a cos bt عبارت از ( a ≠ 0 ) a مى باشد؛ 

2 2π 

π 

= = 

y −2sin 4 

b 4 2 

عبارت است از 

1 

و پريود تابع y = sin t 

2 

2π 

2π 

= 

b 3 

از 

و دامنة آن 

و دامنة توابع y = a sin bt 

طور مثال:‏ پريود تابع = t عبارت است از π 


a = − 2 = 

مثال سوم:‏ گراف تابع = x را رسم و با گراف تابع = مقايسه كنيد.‏ 

2 مى باشد كه عدد 

حل:‏ فرق گراف اين تابع با تابع = 

y 

sin x 

− 2 ≤ y ≤ اين است كه y sin x 

y 

2sin 

2 را دامنه مى گويند،‏ زيرا كه = 2 2 است و پريود اين تابع نيز 2 مى باشد.‏ 

197

x 

sin x 

2 sin x 

0 

0 

0 

π 

2 

1 

2 

π 

0 

0 

3π 

2 

-1 

-2 

2π 

0 

0 

y 3sin 2x را در انتروال ] 0, [ ترسيم نماييد.‏ 

مثال چهارم:‏ گراف تابع = 

مى باشد و دامنة 

2 = 

2 

حل:‏ پريود اين تابع 

3 است.‏ جدول و شكل زير را مشاهده 

كنيد.‏ 

آن = 3 

x 

2x 

sin 2x 

3sin 2x 

0 

0 

0 

0 

π / 4 

π / 2 

1 

3 

π / 2 

π 

0 

0 

3π 

/ 4 

3π 

/ 2 

−1 

− 3 

π 

2π 

0 

0 

، 3 ، 2 ، ، 0.0) 

2 متزايد 

از 0 الى 

ناحية تعريف تابع sin t 

گراف تابع sin 

ست تمام اعداد حقيقى بوده،‏ 

) و محور x را نيز در نقاط ( 

و غيره قطع مى كند و تابع sin t 

الى 2 متزايد مى باشد.‏ 

t محور y را در ( 0.0 

− 4 

3 

− ، − 2 

، − ... و 4 

و از الى متناقص از الى متناقص و از 3 3 

2 

2 

2 

(Graph of the cosine function) 

گراف تابع f (t) = cos t 

ناحية تعريف (domain) اين تابع نيز ست تمام اعداد حقيقى مى باشد و Range آن 

198

] −1,1 [ و دورة تناوب ‏(پريود)‏ تابع cos x نيز 2 π 


مطابق شكل يك زاوية ∧ t راديان را در حالت معيارى Position) (Standard در نظر 

بگيريد كه ضلع دوم زاويه ∧ t دايرة مثلثاتى را در نقطةp قطع كند،‏ پس مختصة x نقطةp 

f 

t) 

cost 

عبارت از cos t مى باشد،‏ براى ترسيم گراف تابع = ( 

اشكال و جدول زير را 

مشاهده كنيد.‏ 

x يا مختصه cos t 

نقطة p 

شكل 

حركت نقطه P 

تغيير در قيمت t 

از 0 الى π 

2 

از يك الى صفر 


از (1,0 ( الى 

(0,1) 

از صفر الى 1- 


2 الى π 

از (0,1 ( الى از π 

(−1,0) 

از π الى 3π 

2 

از (1,0 −) الى 

از -1 الى صفر 1) − 0, ( 


از 1) − 0, ( الى از 3 π الى 2 π 

2 

(1,0) 

از صفر الى 1 


199

cos( t 2 ) = cost جدول و شكل 

به همين قسم در هر 2 تكرار مى شود.‏ در نتيجه ± 

زير را مشاهده كنيد:‏ 

t 0 

f ( t) 

= cost 

1 

π 

2 

π 

0 −1 

3π 

2π 

2 

0 1 

y 

f را نيز رسم نماييم.‏ 

و نيز مى توانيم برحسب درجه گراف تابع = ( 

t) 

cost 

O 

X 

(t f ( عبارت از 2 π مى باشد،‏ زيرا كه گراف تابع 

y = cost 

دورة تناوب ‏(پريود)‏ تابع = 

[0,2π [ و غيره يكسان مى باشد.‏ 

π, 4 ‏]و − 

6π] 

،[ 2 π, 

4π] 

،[ ,2π] 

cost در انتروال 0 

ناحية تعريف تابع cost ست اعداد حقيقى بوده و Range يا قيمت y آن در بين 1- و‎1‎ 


مى باشديا انتروال −] 

cost تابع Range ، 1,1 ] 

200

f ( t) 

= cost 

t 

0 

o 

30 

45 

60 

90 

o 

o 

o 

o 

120 

135 

150 

o 

o 

o 

1 

3 

2 

2 

2 

1 

2 

0 

1 

− 

2 

2 

− 

2 

3 

− 

2 

تقریبی 

واقعی 

1.00 

0.87 

0.71 

0.50 

0.00 

− 0.50 

− 0.71 

− 0.87 

180 

210 

225 

240 

270 

300 

315 

330 

360 

o 

o 

o 

o 

o 

o 

o 

o 

o 

−1 

3 

− 

2 

2 

− 

2 

1 

− 

2 

0 

1 

2 

2 

2 

3 

2 

1 

−1.00 

− 0.87 

− 0.71 

− 0.50 

0.00 

0.50 

0.711 

0.87 

1.00 

فعاليت 

در كدام قيمت ها گراف تابع = g 

(t) محور y را قطع مى كند؟ 

cos t 

مثال‎1‎‏:‏ تمامى قيمت هاى t را نشان دهيدكه در آن قيمت تابع cos t 

2 باشد.‏ 

مساوى به 1 

t مى باشد،‏ در شكل 

1 

2 

حل:‏ چون زواياى بى شمارى موجود مى باشد كه در آن = cos 

چند نقطه طور نمونه به رنگ سرخ نشان داده شده است.‏ 

201

1 

) , و 

3 2 

مى شود و عبارت از ( π 

1 

cos = 

2 

1 

t 

2 

در انتروال ] 0 ‏]دو نقطه وجود دارد كه t 

) مى باشند.تمامى قيمت هايى كه در آن = cos مى باشد عبارت اند از:‏ 

π 

t = + 2kπ يا π 

+ 2kπ 

3 3 

از‎0‎ الى y cost 

2 

الى 2 

,2π 

5 1 

( π , 

3 2 

كه k يك عدد تام است.‏ 5 

ناحية تعريف توابع sin و cos ست تمام اعداد حقيقى مى باشد،‏ تابع = 

متناقص و از الى نيز متناقص بوده،‏ اما از الى متزايد بوده و از 3 3 

2 

2 

2 

اين تابع نيز متزايد مى باشد،‏ پريود توابع = 

مى باشد بدين معنى 


f تابع جفت مى باشد؛ زيرا 

= يك تابع طاق و t مى باشد.‏ 

يا گراف تابع sin نظر به مبدا متناظر وگراف تابع cos نظر به محور y متناظر مى باشد.‏ 

2 ، y = cost و y sint 

cos( t ± 2π) 

= cos t , sin(t ± 2π) 

كه:‏ = sin t 

(t) cos t 

f ( t) 

تابع = sin 

cos( − t) = cos t و sin( −t) 

= −sin 

t 

t 

t 

گرافت توابع زير را در انتروال هاى داده شده رسم كنيد:‏ 

11- [ 2π,6π] g(t) = cos t :[ π, 

π] 


2π, t = 1 , [ − 6π] 


2π, t = 0 , [ − 6π] 

f (t) = sin t : 

3 

2- براى كدام قيمت هاى t در انتروال sin 

3- براى كدام قيمت هاى t در انتروال cos 

π, − [ رسم كنيد.‏ 

6π] 

تمرين 

1 

g( t) 

-4 گراف تابع − sin = 

2 

t را در انتروال 2 

202

گراف تابع تانجانت 

آيا مى دانيد كه تابع tan يك تابع متزايد 

است؟ 

ميباشد،‏ در صورتيكه 

t يا x ≠ 0 

y sin t 

چون = = t tan 

x cost 

≠ 0 cos باشد ميتوان گفت كه 

ساحة تعريف تابع tan همه اعداد حقيقى مى باشد به جز زاويه هايى كه cos آنها صفر 

باشد cos هاى تمام زاويه هاى 

3 + 2k 

2 

و 

2k 

و 3 و يا + 2 

2 2 

صفرمى باشند.‏ 

 

چون (0,1 ( نقطة تقاطع ضلع دوم زاويه راديان با دايرة مثلثاتى مى باشد،‏ پس با جمع 

2 

كردن يك دور ( 

⋅⋅⋅ − 

7 3 

5 

9 

, , , , 

زواياى ⋅⋅⋅ 

) 2 با زاوية 

2 2 2 2 2 

2 

π 

t kπ ± 

2 

دست مى آيد كه قيمت tan آنها تعريف نشده است و خطوط مستقيم = 

هاى عمودى تابع tan مى باشد 

به همين ترتيب نقطة ) − ( بالاى ضلع دوم زاوية 3 

2 

3π 

7π 

11π 

, , 

2 2 2 

⋅⋅⋅ 

0, 

1 

يك دور مكمل با زاوية 3 

2 

زواياى 

مى آيد كه در ساحه تعريف تابع tan شامل نمى باشند.‏ 

به 

مجانب 

قرار دارد با جمع كردن ) 2 ( يا 

⋅⋅⋅ − 

5π 

, 

2 

π 

− , 

2 

/ t 

به دست 

يا ناحيه تعريف (domain) تابع tan تمام اعداد حقيقى مى باشند بدون مضرب طاق π 

2 

و Range تابع تانجانت ست تمام اعداد حقيقى 

و يا 

tan( t π) 

= tan t 

IR −{t 

π 

∈ IR , t = kπ + 

2 

مى باشد.‏ پريود تابع تانجانت π مى باشد براى زاوية t راديان داريم كه ± 

203

مقدار tan t نيز از صفر تا ∞ + 

است.‏ با افزايش مقدار زاوية ∧ t از صفر تا π 

2 

مرتباً‏ 

تا 

2 

تعريف نشده است).‏ در ناحية دوم نيز وقتى كه زاويهt از π 

تا صفر افزايش مى يابد.‏ 

افزايش مى يابد ) π tan 

2 

π افزايش مى يابد tan t از ∞ − 

∧ 3π از صفر تا 

به همين ترتيب در ناحية سوم با افزايش زاوية ∧ t از π تا تانجانت زاويه t 

2 

∞ + افزايش مى يابد.‏ در ناحية چهارم تانجانت زاوية ∧ t از − تا صفر افزايش مييابد.‏ 

جدول زير تحولات تابع تانجانت را نشان مى دهد و تحولات اين تابع در اشكال زير نيز نشان 

داده شده است:‏ 

t 

tant 

0 

0 

∞ 

π 

2 

+ ∞ 

− ∞ 

π 

0 

3π 

+ ∞ 

/ 2 

− ∞ 

2π 

0 

اگر بر حسب درجه باشد شكل و قيمت هاى تابع tan طور زير مشاهده كنيد:‏ 

tan θ 

θ 

− 90 

o 

90 

o 

تعريف 

نشده 

تعريف 

نشده 

حقيقى 

تقريبى 

− 60 

o 

120 

− 

3 

o 

−1.73 

− 45 

o 

135 

-1 

-1 

o 

o 

− 30 

o 

150 

3 

3 

− 0.58 

o 

0 

180 

0 

0 

o 

o 

30 

210 

3 

3 

0.58 

o 

o 

45 

255 

1 

1 

o 

o 

60 

240 

3 

1.73 

o 

204

O 

چون تغييرات تابع تانجانت در فاصلة ) π مثل تغييرات در انتروال (π ,0 ( مى باشد،‏ پس 

دورة تناوب تابع تانجانت π مى باشد و تابع tan يك تابع متزايد مى باشد.‏ 

و يك دوره 

از طرف ديگر اگر > b 

(t) 

( ,2π 

π π 

0 باشد گراف تابع f (t) = tan bt در بين − 

2 2 

tan 2t 

f = مى باشد؛ طور مثال:‏ پريود تابع b 

π را مى سازد.‏ و پريود اين تابع (cycle) 

عبارت از 

π π 

= 

b 2 


−1 t tan باشد.‏ 

t 

مثال:‏ تمام قيمت هاى t را دريابيد كه در آن = 

حل:‏ چون قيمت هاى tan درفاصله π تكرار مى شود . پس قيمت هاى بى شمار t 

وجود دارد كه مساوى به 1- است كه در شكل زير چند نقطة آن به طور نمونه 

نشان داده شده است:‏ 

y = tan t 

-1 

 

2 

π 

( , −1 

4 

( 

π π 

, 

2 2 

205 

چون در انتروال ) − محض يك نقطه ) − دارد.‏ پس تمام قيمت هاى t كه

π 

= − + Kπ 

4 

در آن = 1 است مساوى است به:‏ (K t يك عدد تام است)‏ 

تابع tan هر وقت متزايد بوده در تمام اعداد حقيقى تعريف شده بدون زوايايى كه داراى 

tan t 

− 

. tan( t π) 

= tan(t) 

π 

2 مضرب طاق باشند دورة تناوب آن π مى باشد زيرا كه:‏ ± 

tan( (t = − tan t است،‏ لذا y = tan t يك تابع طاق مى باشد و در مضرب عدد 

تمرين 

چون − 

2 مجانب عمودى نيز دارد.‏ 

تام طاق π 

خلص مشخصات توابع cosine ، sine و tangent 

Domain Range 

طاق 

پريود 

تمام اعداد حقيقى 

از − 1 الى 1 

ست تمام اعداد 

حقيقى 

سمبول 

تابع 

sin e 

cosine 

tan gent 

D 

D 

sin 

tan 

= D 

cos 

= {x ∈ IR 

f ( t) 

= sint 

f ( t) 

= cost 

f ( t) 

= tant 

= IR 

: 

2 

جفت 2 

طاق 


از − 1 الى 1 




بدون مضرب طاق π 

2 

R 

sin 

cos x ≠ 0} 

= R 

cos 

= [ −1,1] 

 

يا به عباره ديگر:‏ 

كمتر از صفر است؟ 

) - 1 به كدام قيمت زاوية t، قيمت تابع tan را رسم كنيد.‏ 


هر سه درست نيستند (d 

tan عبارت است از:‏ 

تحول كند تحول a) 2 π 

π π 

t درا نتروال , − ( 

2 2 

y = 3tan 

- 2 گراف تابع θ 

- 3 پريود تابع tan θ 

b) π c) 3 π 

o o 

θ 

- 4 اگر زاوية θ از 0 الى 90 

از ∞ − تا ∞ + c) از صفر تا ∞ + b) از -1 تا ∞ − a) 

206

گراف تابع كوتانجانت 

AC AC 

cot( t) = = = AC 

OC 1 

آيا ميدانيد كه دورة تناوب تابع كوتانجانت 

چقدر است؟ 

اگر 

شده است؟ يا خير چرا؟ 

= 0 t sin باشد آيا ) cot(t تعريف 

مى باشد اگر 

cot(t باشد sin t = 0 

cost 

cot( t) 

چون = 

sint 

) تعريف نشده است كه t يك 

عدد تام است.‏ ناحية تعريف(‏domain‏)‏ تابع cot تمام اعداد حقيقى است 

بدون مضرب تام يا به عبارت ديگر − يا 

} وRange اين تابع ست تمام اعداد حقيقى مى باشند.‏ 

IR 

{t / t ∈ IR , t = kπ,k 

∈ z 

dom cot 

= {t ∈ IR / sin t ≠ 0 

) در مضرب عدد تام مجانب عمودى Vertical) 

) كه k يك عدد تام است.‏ با افزايش مقدار زاويةt از صفر 

F ( t) 

گراف تابع = cot( t 

( t = kπ دارد.‏ (asymptotes 

π 

2 تا قيمت ) cot(t از ∞ + تا صفر كاهش مى يابد(‏ 0° cot تعريف نشده)‏ در ناحية 

 

كاهش مى 

دوم وقتى كه زاويه t از تا افزايش مى يابد cot(t 

2 

يابد.‏ با توجه به اينكه دورة تناوب تابع cot مساوى به است در ناحيه هاى سوم و چهارم 

نيز تغييرات cot(t) مثل تغييرات ناحيه هاى اول و دوم مى باشد.‏ حقيقت فوق را در جدول 

و شكل زير مشاهده كرده مى توانيد.‏ 

) ازصفر تا ∞ − 

t 

cot t 

0 

+ ∞ 

3π 

π π 

2 

2 

2π 

+ ∞ 

+ ∞ 

0 − ∞ 

0 − ∞ 

207

گراف تابع secant(t) (Graph of the secant Function) 

گراف sec( 

گراف تابع f (t) = sec(t 

(t و (t) cos باهم چه رابطه دارند؟ 

) با گراف تابع cos( 

مى باشد اگر ) sec( را به شكل 1 

(t رابطة معكوس دارد،‏ زيرا كه 

در نظر بگيريم وقتى كه 

(t از (1 ( به صفر 

cos(t) 

t 

1 

sec( t ) = 

cos( t) 

 

قيمت زاوية t از صفر به طرف يا ° 90 زياد مى شود قيمت cos( 

2 

يا sect از‎1‎ به طرف ∞ + زياد مى شود.‏ اگر 

° كمى زياد شود قيمت (t ، sec( 

نزديك مى شود،‏ وقيمت هاى 1 

cos(t) 

t تعريف نشده است و اگر t از 90 

1 مى شود.‏ به همين ترتيب اگر t از 180° به 

از‎1‎‏−‏ 

= 180° = مساوى به − 

sec شود t = 90° 

− 

∞ شده و در t 

1 به طرف صفر تقارب مى كند و sect 

t) از − 

° زياد شود،‏ پس قيمت cos( 

(t غير معين مى شود،‏ هم چنان 

3 

= 270° = قيمت sec( 

2 

° به 360° افزايش كند cos( t 

270 

به ∞ تناقص ميكند و در t 

) از صفر الى ( 

و قتيكه زاويه t از 270 

تا به 1 تناقص مى كند مشاهده مى شود كه:‏ 

(1 قيمت ميگيرد و 

Domain sec t = IR −{t 

1,1] [ و 

| t 

− 

sec(t) از ∞ + 

π 

= (2k + 1) , k ∈ z} 

2 

Range sec(t) = IR −{t 

| −1 

و ≤1 t ≤ 

F( t) 

يا Range تابع = sect 

} يا تمام اعداد حقيقى بدون انتروال − 

تمام اعداد حقيقى اند كه بزرگتر يا مساوى به يك و يا 

كوچكتر يا مساوى به‎1‎‏−‏ باشد طورى كه مشاهده ميشود دورة تناوب تابع sec( 

2 نيز t) 

208

مجانب هاى عمودى دارد كه k 

π 

x = (2k + 1) در (t) sec(t) 

2 

مى باشد و تابع = F 

يك عدد تام است.‏ 

OM OM 

sec t = = = OM 

OB 1 

t 

t 

F (t) = 

sec t 

0 

π 

2 

π 

3π 

2 

فعاليت 

2π 

0 ° 90 ° 180 ° 270° 

360 

1 

+ ∞ −1 

− ∞ 

− ∞ 

+ ∞ 

1 

4 

گراف تابع f (t) = sec(t 

3 

) را ترسيم نماييد.‏ 

209

گراف تابع (Graph of the cosecant Function ) Cosecant 

گراف تابع sin(t) f (t) = با گراف تابع F (t) = csc(t 

) چه رابطه دارد؟ 

مى باشد.‏ sin t و (t csc( معكوس 

t) 0 باشد t) csc( تعريف 

F t) 

csct 

1 

چون = t csc 

sint 

يكديگر اند.‏ وقتى كه = sin( 

نشده است ناحية تعريف تابع = ( تمام اعداد 

حقيقى مى باشد بدون زوايايى كه مضرب هاى تام 

باشند.‏ ‏(زوايايى كه sinآنها صفر مى باشند)‏ كه در اين 

قيمت ها داراى مجانب هاى عمودى نيز مى باشند.‏ 

) تمام اعداد حقيقى مى باشد 

F (t) = csc(t تابع Range 

كه بزرگتر يا مساوى به يك و كوچكتر يا مساوى به (1 −) 

باشند و پريود اين تابع نيز 2 مى باشد.‏ 

وقتى كه زاوية t از ° 0 تزايد كند،‏ پس ) sin( از صفر الى (1 ( تزايد مى كند 

= 90° باشد‎1‎ = t) csc( 

t 

° الى 90 

و t) csc( از ∞ + الى ( 1 

) تناقص مى كند.‏ در صورتى كه t 

مى شود و اگر زاويه t از 90° الى 180° تزايد كند،‏ پس (t sin( از يك به صفر تناقص 

مى كند و csc( 

∞ تزايد مى كند.‏ وقتيكه t 

= 180° باشد = 0 t) sin( و 

° الى ° 270 تزايد كند t) sin( 

(t از‎1‎ الى + 

قيمت csc( t 

) غير معين ميگردد.‏ اگر زاوية t از 180 

) تناقص مى كند و csc( 

t) از − 

از 0 الى 1−) 

= 270° t قيمت csct مساوى به (1−) مى شود.‏ 

به همين ترتيب وقتى كه زاوية t از 270 

صفر نزديك مى شود و csc 

∞ الى (1 −) تزايد مى كند و در قيمت 

° الى ° 360 تزايد كند t) sin( از − 

1 به طرف 

t از 1) (− به طرف ∞ − تناقص مى كند.‏ اگر = 360° t 

باشد قيمت csct غير معين مى شود.(تعريف نشده است)‏ در = k π 

عمودى دارند k يك عدد تام مى باشد.‏ 

در شكل دايرة مثلثاتى در نقطة C يك مماس را رسم ميكنيم.‏ 

OC 

Δ 

در مثلث قايم الزاويه A 


t اين تابع مجانب هاى 

210

csc(t) = cscOAC = 

t 

F( t) 

= csc t 

∧ 

OA 

OC 

= 

π 

0 2 

+ ∞ 

OA 

= OA 

1 

∧ 

∧ 

(t = OAC) 

تحولات خط OA يا (csct) را در جدول زير خلص ميكنيم.‏ 

π 3π 

2 

+ ∞ 

−1 

مشاهده مى شود كه اگر زاوية t قيمت هايى از صفر الى 360° يا ) 2 ( را به خود بگيرد 

(t 1 مى شود.‏ شكل زير را مشاهده كنيد.‏ 

2π 

1 − ∞ 

− ∞ 

پس −1 ≤ t) csc( و يا ≥ csc( 

فعاليت 

(t )h را ترسيم كنيد.‏ 

−3csct 

گراف تابع = 

Domain 

Range 

جدول زير را مشاهده كنيد.‏ 

طاق و جفت پريود 

جفت 


كوچكتر يا مساوى 

1 بزرگتر و يا 

مساوى به يك 


بدون مضرب طاق 

2 

سمبول 

F (t) = 

sec t 

به − 

2 

211

f (t) = 

csc(t) 

طاق 


كوچكتر يا مساوى 

1 بزرگتر و يا 

مساوى به يك 

تمرين 


بدون مضرب تام 

به − 

تمام اعداد حقيقى تمام اعداد حقيقى 

طاق 

بدون مضرب تام 

از توابع مثلثاتى اين نتيجه به دست مى آيد كه با افزايش مقدار زاوية θ يا زاويه t نسبت هاى 

θ نيز زياد مى شوند اما قيمت cos كم مى گردد.‏ 

f (t) = 

cot(t) 

cot θ و θ 

2 

 

مثلثاتى sin θ و tan 

) در كدام قيمت t تعريف نه شده است و چرا؟ 

- 1 تابع f (t) = cot(t 


 

- 2 وقتى كه زاويه از به تحول كند تحول cot 

2 

هر دو غلط اند a c) 

) 1 → −∞ b) 0 → −∞ 

a ) صفر b ) −1 

) 

باشد قيمت ) cot(t عبارت است از:‏ 

∧ 

- 3 اگر t = 

تعريف نشده c 

- 4 Range توابع sec و csc عبارت است از:‏ 

} تمام اعداد حقيقى b 

a ) IR − {t | −1 

< t < 1} ) 

c) 

IR −{t 

| −1 

≤ t ≤1 

f (t) = csc(t 

- 5 ناحية تعريف (Domain) تابع ) عبارت است از:‏ 

تمام اعداد حقيقى بدون مضرب طاق b π تمام اعداد حقيقى بدون مضرب تام a ) 

هرسه درست نيست ) d تمام اعداد حقيقى بدون مضرب تام 2 

c ) 

) 

2 

⎡ π⎤ 

⎢ 

0 , 

- 6 تابع csc(t) f (t) = در انتروال 2⎥ ⎣ 

⎦ 

نه متزايد است نه متناقص ) c متناقص است ) b متزايد است ) a 

212


ميتوانيم اندازة زاويه را از يك واحد به واحد ديگرى 

R g d 

= = 

200 180 

توسط رابطة 

تبديل نماييم.‏ 

يك راديان عبارت از زاوية مركزى است كه طول قوس مقابل آن مساوى به شعاع 

دايره باشد.‏ 

s 

= 

r 

برحسب راديان مساوى است به كه s قوس مقابل زاوية مركزى وr شعاع 

دايره مى باشد.‏ 

اگر رأس زاويه در مبداى كميات وضعيه وضلع اولى آن بالاى جهت مثبت محور X واقع 

باشد زاويه در حالت معيارى است.‏ 

اگر در حالت معيارى اضلاع دومى دو يا چند زاويه با هم منطبق باشند اين زوايا به نام 

زواياى كوترمينل ياد مى شوند.‏ 

دايره مثلثاتى دايره يى است كه شعاع آن واحد طول باشد.‏ 

sin(90 − θ) = cosθ 

cos(90 − θ) = sinθ 

tan(90 − θ) = cotθ 

cot(90 − θ) = tanθ 

sec(90 − θ) = cscθ 

csc(90 − θ) = secθ 

π 

sin( + θ ) = cosθ 

2 

π 

cos( + θ ) = −sinθ 

2 

π 

tan( + θ ) = −tanθ 

2 

π 

cot( + θ ) = −tanθ 

2 

π 

sec( + θ ) = −cscθ 

2 

π 

csc( + θ ) = secθ 

2 

sin( −θ 

) = −sinθ 

cos( −θ 

) = cosθ 

tan( −θ 

) = −tanθ 

cot( −θ 

) = −cotθ 

sec( −θ 

) = secθ 

csc( −θ 

) = −cscθ 

sin(π + θ) = −sinθ 

cos(π + θ) = −cosθ 

tan(π + θ) = tanθ 

cot(π + θ) = cotθ 

sec(π + θ) = −secθ 

csc(π + θ) = −cscθ 

sin( π − θ) 

= sin θ 

cos(π − θ ) = −cosθ 

tan( π − θ) 

= −tan 

θ 

cot(π − θ ) = −cotθ 

sec( π − θ) 

= −secθ 

csc(π − θ ) = cscθ 

sin(2π − θ) 

= −sin 

θ 

cos(2π − θ) = cosθ 

tan(2π − θ) 

= −tan 

θ 

cot(2π − θ ) = −cotθ 

sec(2π − θ) 

= secθ 

csc(2π − θ) = −cscθ 

213

( θ + 2kπ و زواياى 

) كه k يك عدد تام است زواياى كوترمينل مى باشند كه تمام 

نسبت هاى مثلثاتى شان با هم مساوى اند.‏ 

cos و sin توابع domain 

] −1,1 [ است.‏ 

تابع طاق است،‏ زيرا كه − 

ست تمام اعداد حقيقى مى باشند و Range آنها 

sin( ) = −sin 

y = sin تابع 

نظر به مبداى كميات وضعيه متناظر مى باشد.‏ تابع y = cos 

مى باشد و گراف اين تابع 

يك تابع جفت است،‏ زيرا 

= cos نظر به محور y متناظر است.‏ 

كه cos( − ) = cos 

y و گراف تابع 

3 ، ، دو نسبت هاى زواياى ، 0 ° دو 

2 2 

دورة تناوب توابع sec ، cos ، sin و csc عبارت از 2 

توابع tan و cot عبارت از مى باشد.‏ 

و 2 تعريف نشده اند.‏ 

تابع tan هر وقت متزايد و تابع cot هر وقت متناقص مى باشد.‏ 

و دورة تناوب ‏(پريود)‏ 

توابع cos و sec توابع جفت مى باشند و توابع cot ، tan ، sin و csc توابع 

طاق اند.‏ 

اگر گراف توابع نظر به محور y متناظر باشند اين گونه توابع جفت اند كه براى هر 

) صدق كند.‏ 

F ( − x) 

= F( 

x رابطه x ∈ domF 

گراف توابع نظر به مبداى كميات وضعيه متناظر باشند،‏ توابع طاق اند.كه براى هرx‏،‏ اگر 

) صدق كند.‏ 

F( − x) 

= −F( 

x رابطه x ∈ domF 

تحول توابع مثلثاتى طور خلص در جدول زير نشان داده شده اند.‏ 

214

215


- 1 زاوية 42,6033° را به درجه،‏ دقيقه و ثانيه تبديل كنيد.‏ 

- 2 اگر گردش ثانيه گرد يك ساعت 3 دقيقه و 25 ثانيه باشد ثانيه گرد چند راديان زاوية 

مثبت را طى مى كند؟ 

- 3 در مثلث JLK قيمت هاى زير را در يابيد.‏ 

216 

85cm 

sin K 

sec K 

sin J 

sec J 

cos J 

cot J 

cos K 

cot K 

tan K 

csc J 

tan J 

csc K 

- 4 اگر شعاع يك دايره 20 cm و طول قوس مقابل زاوية مركزى = s باشد،‏ زاوية 

مركزى چند راديان است؟ 

- 5 طول قوس هاى مقابل زواياى مركزى ‎1‎و radian 2radian را در يابيد در صورتى كه 

باشد.‏ 

) زواياى زير در كجا واقع مى شود؟ 

3π 

2 

, 

− 7π 

, 

11π 

− 

2 

, 

− 500° 

, 

قطر دايره 10 cm 

- 6 ضلع دوم ( ter min al side 

900° 

π 

6 

, 

, 

− π 

- 7 زواياى زير را كه به راديان داده شده اند به درجه تبديل كنيد.‏ 

π 

8 

, 

π 

15 

, 

π 

4 

, 

π 

3 

, 

π 

2 

, 

17π 

45 

- 8 در مدت 54 دقيقه،‏ ساعت گرد و دقيقه گرد هريك چند راديان مى چرخند؟ 

- 9 اگر قطر تاير كوچك يك تراكتور يك متر و قطر بزرگ آن 120 cm باشد وقتى كه 

تاير كوچك به اندازه زاويه ° 70 بچرخد تاير بزرگتر چند راديان را طى مى كند؟ 

- 10 چرخى در يكساعت 300 ReV دور ميزند.‏ در يك ثانيه چند راديان را مى پيمايد؟ 

πx 

- 11 زواياى يك مثلث به ترتيب 4 x درجه ، 70 گراد و راديان است.‏ هر يك از 

20 9x 

اين زوايا چند درجه مى باشد؟ 

و ∧ D زواياى يك چهار ضلعى مى باشند،‏ اگر 

8 

L 

J 

15 

17 

، A 

∧ + D 

∧ 

= 240° 

K 

∧ 

C ، ∧ B ، ∧ A -12

باشد.‏ اندازة زواياى اين چهار ضلعى را بر حسب 

2 

B 

∧ R 

 

+ D 

∧ 

∧ C و = 

+ D 

∧ 

= 200g 

3 

درجه به دست آوريد.‏ 

12 يك دوران مكمل مساوى است به : 

1 - 13 

a) 

= 30 

o 

b) 

π 

radian 

6 

c) 

100 

g 

3 

هرسه درست اند (d 

- 14 مجموعه دو زاويه 17° و تفاضل آنها 17 گراد است،‏ مقدار اين دو زاويه را دريابيد.‏ 

- 15 برحسب درجه مجموع دو زاويه x و تفاضل آنها بر حسب گراد نيز x مى باشد مقدار 

اين دو زاويه را دريابيد.‏ 

- 16 اندازة زواياى زير را به شكل اعشارى درجه بنويسيد.‏ 

47 ° 15' 36'' 15° 

23 .16° 4. 2075° 

24' 

45'' 

- 17 اندازه زواياى زير را به درجه،‏ دقيقه و ثانيه DMS) ( تبديل كنيد.‏ 


7 

cot 

6 

و 

3 

tan 

، sin( ) 

4 3 

- 18 نسبت هاى مثلثاتى زواياى − 

= 1 sin مى باشد؟ 

[ − 2 

- 19 درانتروال ,2 

tan − [ تابع 2 

,2 

- 20 در انتروال ] 

( i) 

- 21 از ( iii − 

] به كدام قيمت هاى ، 

به كدام قيمت هاى مجانب عمودى دارد؟ 

) كدام رابطه درست نيست؟ 

(i) 

(iii) 

sin( −x) 

= −sin x 

tan( −x) 

= − tan x 

(ii) cos( −x) 

= −cos x 

i ( a و ii درست است.‏ ( b فقط ii درست است.‏ 

i ( c و iii درست است.‏ ( d هر سه درست است.‏ 

( e هيچكدام درست نيست.‏ 

217


8 

tan π و sin( − 13π) 

، 

3 

47π cos - 22 

2 

- 23 زاويه يى را در يابيد كه اگر از اندازة آن بر حسب گراد 23 واحد كم كنيم اندازة آن 

بر حسب درجه به دست آيد.‏ 

- 24 مجموع سه زاويه 240 گراد است.‏ اگر زاوية اولى 40 گراد،‏ دومى 3π راديان 

4 

باشد،‏ زاوية سومى چند درجه است؟ 

- 25 نسبت هاى مثلثاتى زاويه ° 4185 را دريابيد.‏ 

- 26 نسبت هاى مثلثاتى زاويه ) − را دريابيد.‏ 

( 3660° 

3 

: [ , 2 

] 

2 

) متناقص است ) b متزايد است ) a 

a) 2π 

b) 

π 

- 27 تابع y = cos در انتروال 

هم متزايد و هم متناقص است c 

- 28 پريود تابع y = tan عبارت است از:‏ 

π 

3π 

c) 

d) 

2 

2 

t) F ( يك تابع : 

- 29 تابع t) = cot( 

نه جفت و نه طاق است ) c طاق است (b جفت است (a 

- 30 تابعى كه گراف آن نظر به مبدأ متناظر باشد عبارت از تابع:‏ 

نه جفت است و نه طاق ) c طاق است ) b جفت است (a 

- 31 دورة تناوب تابع y = cos عبارت است از:‏ 

3π 

a) π b) 

c) 2π 2π 

d) 3π 

2 

sin با sin 67° 

- 32 

a ) sin 787° > sin 67° 

b) sin 787° < sin 67° 

c) sin 67° 

= sin 787° 

787° چه رابطه دارد؟ 

- 33 كدام يك از تساوى هاى زير درست است؟ 

a ) sec 135° = −csc 45° 

b) sec135° 

= csc 45° 

d )sec135° = sec45° 

c) sec135° = −sec 

45° 

218

- 34 كدام يك از تساوى هاى زير درست است؟ 

a) tan 240° 

= tan 60° 

c) tan 240° 

= cot 60° 

b) tan 240° 

= − tan 60° 

d) tan 240° 

= − cot 60° 

cot 0° = ? 

- 35 

a) 1 b) 

− 1 c) 

0 ) 

cos 9 = ? 

- 36 

تعريف نشده است d 

a) 1 

b) 

−1 

c) 

0 d) 

13π 

sin( − ) = ? 

- 37 

2 

a) 1 

b) 

− 1 c) 

0 ) 

1 

2 

هر سه درست نيست d 

- 38 نسبت هاى مثلثاتى زاويه ° 2430 − را دريابيد.‏ 

sin( 270° − ) = ? 

- 39 

a ) sin 

b) 

− sin 

c) 

cos 

d) 

− cos 

9 

sin( − ) = ? 

- 40 

2 

a) 1 b) 

− 1 

c)0 

) 

تعريف نشده d 

9 

sec( − ) = ? 

- 41 

2 

a) 1 b) 

− 1 

c)0 

) 

tan( − 15π) 

= ? 

- 42 

a) 1 b) 

− 1 

c)0 

) 



sec( − 1530° 

) = ? - 43 

a) 1 b) 

− 1 

c)0 

) 

cot( − 2430° 

) = ? 

- 44 

a) 1 b) 

− 1 

c)0 

) 



235 

sin( ) = ? 

2 

- 45 

219

a) 1 b) 

− 1 

c)0 

) 

407 

cos( ) = ? 

2 

a ) 1 

b) 

0 

c) 

− 1 d) 


∞ 

- 46 

tan( 90 + θ) 

= ? - 47 

a) cot 

b) 

− cot 

c) 

− tan 

d) 

tan 

tan( 270 + ) = ? 

- 48 

a ) cot 

b) 

− cot 

c) 

tan 

d) 

− tan 

sin( − 1980° 

) = ? 

- 49 

a) 1 

b) 

− 1 

c)0 

d) 

3 

sin( − ) = ? 

2 

- 50 

a) 1 

b) 

− 1 

c)0 

1 

d) 

2 

1 

2 

- 51 كدام يك از رابطه هاى زير درست است؟ 

3π 

π 

a) sin = sin 

4 4 

3π 

π 

b)sin > sin 

4 4 

3π 

π 

c)sin < sin 

4 4 

220

فصل پنجم 

تطبيقات مثلثات

R 

S 

Q 

O 

A 

B 

A+B 

T 

P

قوانين نسبت های مثلثاتی زواياى مرکب 

فورمول های جمع و تفاضل 

نسبت های مثلثاتی مجموع دو زاويه 

آيا درستى رابطه 

Sin( α + β) 

= Sinα 

cosβ + CosαSinβ 

را نشان داده مى توانيد؟ 

∧ 

Z را مساوى به و زاوية را مساوى به 

β جدا ميكنيم و آنها را طورى پهلوى هم قرار مى دهيم كه دو زاوية مجاور تشكيل شوند.‏ 

ZOT 

∧ 

-1 محاسبه ) : Sin( + زاوية XO 

به روى قطعه خط OT قطعه خط OB را مساوى به واحد جدا ميكنيم.‏ از نقطة B عمود BA 

را بر OZ رسم مى نماييم؛ سپس از نقطة A عمود AH را بر OX رسم ميكنيم با توجه به 

شكل داريم كه:‏ 

AB AB 

Sinβ = = = AB 

OB 1 

OA OA 

Cosβ = = = OA 

OB 1 

H A HA 

Sinα = = ⇒ HA = sin ∝α 

cosβ 

OA cosβ 

OH OH 

Cosα = = ⇒ OH = cosα 

cosβ 

OA cosβ 

KB KB 

sin( α + β) 

= = = KB 

OB 1 

OK OK 

cos( α + β) 

= = = OK 

OB 1 

223

از نقطة A عمود AM را بر KB رسم مى نماييم.‏ چهار ضلعى KHAM مستطيل است در 

نتيجه KM=HA و MA=KH مى باشند.‏ 

زاوية MBA مساوى به زاويه مى باشد(‏ اضلاع اين دو زاويه يكى بر ديگر عمود 

مى باشند)‏ در مثلث قايم الزاويه MBA داريم كه:‏ 

∧ 

MB MB 

cos(M BA) = cosα = = ⇒ MB = cos ∝α 

sinβ 

AB sinβ 

∧ 

MA MA KH 

sin(MBA) = sinα = = = ⇒ KH = sin α∝ 

sinβ 

AB sinβ 

sinβ 

KB KM + MB به عوض KB ، KM و MB قيمت هاى آن ها را 

= AH = sin α cosβ 

sin( α + β) 

= sin α cos β + cos αsin 

β 

OK OH − KH 

اگر در رابطه = 

) ( داريم كه:‏ 

عوض كنيم KM 

) : به همين ترتيب اگر در رابطه = 

OK، KH و OH قيمت هاى آن را عوض كنيم داريم كه:‏ 

به عوض 

cos( α + β) 

= cos α cos β − sin α sin β 

sin( α + β) 

sin α cosβ + cos α sin β 

tan( α + β) 

= = 

cos( α + β) 

cos α cosβ − sin α sin β 

cos cos تقسيم مى نماييم.‏ 

:2 محاسبة cos( α + β 

:3 محاسبه ) tan( + 

صورت و مخرج را بر 

tan( α + β) 

= 

sin α cosβ 

cosαsin 

β 

+ 

cosα 

cosβ 

cosα 

cosβ 

cosα 

cosβ 

sin αsin 

β 

− 

cosα 

cosβ 

cosα 

cosβ 

tan α + tanβ 

= 

1− 

tan α tanβ 


5 

tan π 7 

cos 120° و 

، sin 120° 

، sin 

مثال:‏ π 

12 

12 

حل 

224

7π 

sin 

12 

π 

= sin( 

3 

3 

= ⋅ 

2 

+ 

π 

) 

4 

2 

2 

+ 

π 

= sin 

3 

1 2 

⋅ 

2 2 

cos 

= 

π 

4 

6 

4 

+ cos 

3 1 1 

= 0⋅ 

−1⋅ 

= − 

2 2 2 

π π 

tan + tan 

5π 

π π 

tan = tan( + ) = 4 6 

12 4 6 π π 

1− 

tan ⋅ tan 

4 6 

+ 

2 

4 

π 

sin 

3 

= 

π 

4 

6 + 

4 

sin120° 

= sin(90° + 30° 

) = sin 90° 

cos30° + cos90° 

sin 30° 

3 1 3 

sin120° 

= 1⋅ 

+ 0⋅ 

= 

2 2 2 

cos120° 

= cos(90° + 30° 

) = cos90° 

cos30° − sin 90° 

sin 30° 

3 + 

= 

3 − 

3 

3 

o 

o o 

sin 120 = sin(180 − 60 ) = ? 

2 

3 

1+ 

= 3 

3 

1−1⋅ 

3 

1+ 

= 

1− 

3 

3 

3 

3 

3 + 3 

= 3 

3 − 3 

3 

نسبت هاى مثلثاتى تفاضل دو زاويه 

اگر در فورمول هاى جمع را به − 

عوض كنيم داريم كه:‏ 

sin[ α + ( −β)] 

= sin α cos( −β) 

+ cos αsin( 

−β) 

sin( α −β) 

= sin α cos β + cos α( 

−sin 

β) 

cos( −β) 

= cosβ 

sin( −β) 

= −sin 

β 

tan( −β) 

= − tanβ 

چون ميدانيم كه:‏ 

225


= sin α cosβ − cos α sin β 

cos[ α + ( −β)] 

= cos α cos( −β) 

− sin αsin( 

−β) 

cos( α −β) 

= cos α cosβ + sin α sinβ 

tan α + tan( −β) 

tan[( α + ( −β)] 

= 

1− 

tan α ⋅ tan( −β) 

tan α − tan β 

tan( α −β) 

= 

1+ 

tan α ⋅ tan β 

فعاليت 


cot α ⋅cot 

β + 1 

α −β) 

= 

cot β − cot α 

به همين ترتيب نشان دهيد كه:‏ cot( 

π π 

cos = cos( − 

12 4 

π 

) 

6 

= 0⋅ 

و 150° sin را در يابيد.‏ 

π π π π 

= cos cos + sin sin 

4 6 4 6 

3 

2 

− ( −1) 

⋅ 

1 

2 

= −( 

− 

cos π 

12 

1 

) 

2 

1 

2 

مثال اول:‏ 

حل:‏ 

2 3 2 1 6 2 6 + 2 

= ⋅ + ⋅ = + = 

2 2 2 2 4 4 4 

sin 150° 

= sin(180° − 30° 

) = sin 180° 

cos 30° − cos 180 ° sin 30° 

π 

− θ) 

= sin θ 

2 

π π π 

cos( − θ) 

= cos cos θ + sin sin θ = 0⋅cos 

θ + 1⋅sin 

θ = sin θ 

2 2 2 

270° − θ) 

= −sin 

θ 

مثال دوم:‏ توسط فورمول هاى تفاضل نشان دهيد كه cos( مى باشد.‏ 

حل:‏ 

cos(270° 

− θ) 

= cos 270° 

cosθ + sin 270° 

sin θ 

cos(270° − θ) 

= 0⋅cosθ + ( −1)sin 

θ = −sin 

θ 

مثال سوم:‏ نشان دهيد كه : cos( 

حل:‏ 

= 

226

tan 120 را دريابيد:‏ 

مثال چهارم:‏ o 

حل:‏ 

tan120 

o 

o 

o 

o o tan180 − tan 60 

tan(180 − 60 ) = 

o 

1+ 

tan180 ⋅ tan 60 

= 

o 

0 − 

= 

1+ 

0 ⋅ 

3 

3 

= − 

3 

1 

= − 

3 

فعاليت 

sin 211 cos59° + cos 211° و 

sin 59° 

= −1 

cos 211° 

cos149° − sin 211° 

sin149° 

= 

نشان دهيد كه ° 

1 مي باشد.‏ 

sin( α + β) 

= sin α cosβ+ 

cosαsinβ 


= sin α cosβ 

− cosαsinβ 

cos( α + β) 

= cos α cosβ − sin αsin 

β 


= cos α cosβ + sin αsin 

β 

tan α + tanβ 

tan( α + β) 

= 

1− 

tan α tanβ 

tan α − tanβ 

tan( α −β) 

= 

1+ 

tan α tanβ 

227

تمرين 

1− 

tan θ 

tan(45 − θ) 

= 

1+ 

tan θ 

sin( α + β) 

+ sin( α −β) 

= 2sin α cos β 


− cos( α + β) 

= 2sin α sin β 

1- نشان دهيد كه : 

2- نشان دهيد كه:‏ 

o o 

o o 

cos 277 cos97 + sin 277 sin 97 = ? 

-3 

1 

a) 

−1 

b) 1 c) 0 d) 

2 

cos 240° و 240° tan را دريابيد.‏ 

، 240° 

4- توسط فورمول هاى جمع sin 

5- توسط فورمول هاى جمع و تفاضل نشان دهيد كه 


1 

[cos(x 

2 

+ y) + cos(x − y] = cos x ⋅cos 

y 

6- نسبت هاى مثلثاتى زاوية ° 210 را توسط فورمول هاى جمع دريابيد.‏ 

( 105° = 60° + 45° 

cos 105° و 105° tan را دريابيد.‏ ) 

، sin 105° 

-7 

π 

cos( + x 

4 

باشد ) را دريابيد.‏ 

3π 

< x < 2π 

2 

sin x و 

3 

-8 اگر − = 

4 

9- نشان دهيد كه:‏ cos( مى باشد.‏ 

α + β) 

− cos( α −β) 

= −2sin 

αsinβ 

a) 

−1 

b)1 

c)0 

sin 2° cos88° + cos 2° 

sin88° 

= ? -10 

1 

d) 

2 

228

x 

x 

x 

x 

sin cos 

+ 

cos 

sin 

= 

? 

3 

3 

3 

3 

cos 

2 

x − sin 

2 

x = ? 

نسبت هاى مثلثاتى 2 از 

جنس : 

آيا نشان داده مى توانيد كه:‏ 

α مى باشد؟ 

cos2α = cos 

2 

α − sin 

2 

α = 2cos 

sin 2α = sin( α + α) 

= sin α cos α + cos αsin 

α = 2sin α cos α 

cos 2α = cos( α + α) 

= cosα 

cosα − sin αsin 

α = cos 

cos 2α = 1− 

sin 

cos 2α = cos 

2 

2 

α − sin 

2 

α − (1 − cos 

α = 1− 

2sin 

α) 

= cos 

2 

α 

2 

2 

α −1= 

1− 

2sin 

α − sin 

2 

α 

α مى باشد.‏ 

2 

2 

cos α = 1− 

چون sin 

2 

2 

1− = α sin است؛ پس : 

cos α 

α −1+ 

cos 

tan α + tan α 2 tan α 

tan 2α = tan( α + α) 

= 

= 

2 

1− 

tan α ⋅ tan α 1− 

tan α 

2 

2 

2 

α = 2cos 

2 

α −1 

2 

و همچنين 

cos 2 و 

، 2 

و ضلع دوم در ربع دوم باشد sin 

4 

sin = 

5 

مثال اول:‏ اگر θ 


) θ ضلع دوم در ربع دوم ميباشد).‏ 

tan 2 

θ = − − 

2 

حل:‏ cos 1 sin 

cos θ = − 

4 

1− 

( ) 

5 

2 

= − 

16 

1− 

25 

= − 

25 −16 

25 

= − 

9 

25 

3 

= − 

5 

229

4 3 24 

sin 2θ = 2sin θcosθ = 2( )( − ) = − 

5 5 25 

2 2 − 3 2 4 2 

cos2θ = cos θ − sin θ = ( ) − ( ) = 

5 5 

24 

− 

sin 2θ 

25 24 

tan 2θ = = = 

cos2θ 

− 7 7 

25 

9 

25 

فعاليت 

16 

− = − 

25 

7 

25 

و ضلع دوم در ربع اول باشد tan 2 

و ضلع دوم در ربع دوم واقع باشد sin 2 

را دريابيد.‏ اگر 


4 

اگر = α cos 

5 

12 

sin β = 

13 

مثال دوم:‏ نسبت هاى مثلثاتى زاوية ° 120 را از جنس نسبت هاى مثلثاتى ° 60 


sin 2α = 2sin α cos α 

sin120° 

= 2sin 60° 

cos 60° 

= 2⋅ 

cos 2α = cos 

cos120° 

= cos 

α − sin 

2 tan α 

tan 2α = 

2 

1− 

tan α 

sin θ = 2sin 

2 

2 

θ 

cos 

2 

2 

α 

60° − sin 

θ 

2 

2 

1 

60° 

= ( ) 

2 

3 1 

⋅ = 

2 2 

2 

3 

2 

3 2 

− ( ) = 

2 

1 

4 

3 

4 

= − 

2 tan 60° 

2⋅ 

3 

⇒ tan120° 

= 

= = − 

2 

1− 

tan 60° 

1− 

3 

− 

1 

2 

3 

حل 

به همين ترتيب:‏ 

230

cos θ = cos 

x 

2 

( −3) 

را 

+ y 

2 

y = ± 

2 

θ 

− sin 

2 

باشد،‏ قيمت cos 2 

2 

= r 

+ y 

4 

2 

2 

2 

= 4 

2 

− ( −3) 

2 

2 

θ 

2 tan 

θ 

2 θ 

2 θ 

= 2cos −1 

= 1− 

2sin , tan θ = 2 

2 2 

2 

2 θ 

1− 

tan 

2 

3 

cos θ = − باشد و ° < θ < 180° 

4 

مثال سوم:‏ اگر 90 


حل:‏ 

) زيرا كه قيمت y در ربع دوم مثبت مى باشد.)‏ y 

= 

7 

sin θ = 

y 

r 

= 

cos 2θ = cos 

2 

7 

4 

θ − sin 

2 

θ = ( − 

3 

) 

4 

2 

7 

− ( ) 

4 

2 

1 

= 

8 

فعاليت 

O 

باشد قيمت sin θ را دريابيد.‏ 

2 

1 

اگر 180° < θ < ° 90 باشد و − = θ cos 

3 

اگ 

را از جنس tan θ دريابيم:‏ 

2 

همچنين ميتوان قيمت هاى cos ، sin و tan 

θ θ 

2sin cos 

sin θ = 2 2 

1 

sin 

2 

θ 

+ cos 

2 

2 

θ 

= 1 

2 

θ θ 

2sin cos 

= 2 2 

2 θ 2 θ 

sin + cos 

2 2 

زيرا ميدانيم كه : 

تقسيم مى كنيم)‏ 

θ 

) صورت و مخرج را بالاى cos 2 

2 

231

θ θ θ 

2sin ⋅cos 

2sin 

2 2 2 

2 θ 

θ 

θ 

cos 

cos 2 tan 

sin θ = 2 = 2 = 2 

2 θ 2 θ 

2 θ 

2 θ 

sin + cos sin 1+ 

tan 

2 2 2 + 1 2 

2 θ 

2 θ 

cos cos 

2 

2 

2 θ 2 θ 2 θ 2 θ 

2 θ 2 θ cos − sin cos − sin 

cos θ = cos − sin 

2 2= 

2 2 = 2 2 

1 

2 θ 2 θ 

2 θ 2 θ sin + cos 

cos − sin 2 2 

2 2 

2 θ 2 θ 

2 θ 

cos − sin cos 

cos θ = 2 2 = 2 

2 θ 2 θ 2 θ 2 θ 

sin + cos sin cos 

2 2 2 + 2 

2 θ 2 θ 

cos cos 

2 2 

θ 

2 tan 

2 

2 θ 

2 θ θ 

1− 

tan 

1+ 

tan 2 tan 

2 

sin θ 

cos θ = 

, tan θ = = 2 = 2 

2 θ 

1 tan 

cos θ 

2 θ 

2 θ 

+ 

1− 

tan 1− 

tan 

2 

2 2 

2 θ 

1+ 

tan 

2 

به 

cos 

232 

2cos 

2cos 

همچنين ميتوانيم نسبت هاى مثلثاتى زاوية را از جنس نسبت هاى مثلثاتى زاوية 2 

دست آوريم.‏ 

2 

2 

2 

1+ 

cos 2θ 

θ = 

2 

cos θ = ± 

θ −1 

= cos 2θ 

θ = 1+ 

cos 2θ 

1+ 

cos 2θ 

2 

يا 

θ 

cos = ± 

2 

1+ 

cos θ 

2

1− 

2sin 

− 2sin 

2 

sin 

2 

2 

θ 

sin θ = ± 

tan θ = ± 

sin 30° 

= 

cos30° 

= 

tan 30° 

= 

x 

x 

θ = cos2θ 

= −1+ 

cos2θ 

1− 

cos2θ 

θ = 

2 

1− 

cos 2θ 

2 

1− 

cos 2θ 

1+ 

cos 2θ 

θ 

sin = ± 

2 

θ 

tan = ± 

2 

1− 

cos θ 

2 

1− 

cos θ 

1+ 

cos θ 


در نتيجه : 

مثال اول:‏ نسبت هاى مثلثاتى ° 30 را از جنس 60° دريابيد.‏ 

حل:‏ 


2 

2 

+ y 

2 

= r 

+ ( −2) 

2 

1 

1− 

1− 

cos 60° 

= 2 = 

2 2 

1 

1+ 

1+ 

cos 60° 

= 2 = 

2 2 

1 

1− 

cos 60° 

2 1 

= = 

1+ 

cos 60° 

3 3 

2 

باشد،‏ قيمت cos θ 

2 

2 

= 3 

2 

1 

2 

2 

3 

2 

2 

= 

= 

1 

4 

3 

2 

= 

1 

2 

2 

< 270° < ° و − = θ sin 

3 

180 

مثال دوم:‏ اگر حل:‏ 

x − 5 

2 2 

cosθ = = 

x = ± 3 − ( −2) 

= − 5 

r 3 

180 ° θ 270° 

< < يا 135° < θ < ° 90 

چون < 270 < 180° 

2 2 2 

° است،‏ پس 

يا 

يا 

233

مى باشد،‏ بدين معنى كه علامة cos θ 

2 

منفى مى باشد.‏ 

 

cos = − 

2 

 

cos = − 

2 

1+ 

cos 

2 

1+ 

( 

2 

5 

) 

3 = − 

1 

(1 

2 

+ 

5 

) = − 

3 

1 

2 

+ 

5 

6 

234 

، 

2 


θ θ 

2 θ 

sin θ = 2sin cos و cos = 2cos −1 

2 2 

2 

نشان دهيد كه:‏ θ 

4 

cos = 

5 

tan θ و cos θ 

2 2 

باشد و ضلع دوم در ربع اول باشد قيمت هاى sin θ 

θ مثال سوم:‏ اگر را دريابيد.‏ 

sin θ = 

θ 

sin = 

2 

θ 

cos = 

2 

θ 

tan = 

2 

1− 

cos 

2 

θ = 

1− 

cos θ 

= 

2 

1+ 

cos θ 

= 

2 

1− 

cos θ 

= 

1+ 

cos θ 

4 2 16 3 

1− 

( ) = 1− 

= 

5 25 5 

4 1 

1− 

5 1 1 1 

= 5 = ⋅ = 

2 2 5 2 10 

4 9 

1+ 

5 5 9 1 3 

= = ⋅ = 

2 2 5 2 10 

4 

1− 

5 1 1 

= = 

4 

1+ 

9 3 

5 

sin 3θ 

cos 3θ 

− = 2 

sin θ cos θ 

حل:‏ 

مثال چهارم:‏ نشان دهيد كه 

فعاليت

sin3θ 

cos3θ 

sin3θ 

cosθ − cos3θsinθ 

sin(3θ − θ) 

− = 

= 

sinθ 

cosθ 

sinθcosθ 

sinθcosθ 

sin 2θ 

2sinθcosθ 

= = 

= 2 

sinθcosθ 

sinθcosθ 

حل:‏ 

θ θ 

sin 2θ = 2sin θcosθ 

, sin θ = 2sin cos 

2 2 

2 2 

2 

2 

cos 2θ = cos θ − sin θ = 2cos θ −1 

= 1− 

2sin θ 

2 θ 2 θ 

2 θ 

2 θ 

cosθ = cos − sin = 2cos −1 

= 1− 

2sin 

2 2 2 

2 

2tan θ 

tan 2θ = 

2 

1− 

tan θ 

sin θ = ± 

tan θ = ± 

1− 

cos2θ 

2 

1− 

cos2θ 

1+ 

cos2θ 

, 

, 

θ 

2tan 

tan θ = 2 

2 θ 

1− 

tan 

2 

1+ 

cos2θ 

cosθ = ± 

2 

235

تمرين 

1- نسبت هاى مثلثاتى زاوية 240° را از روى نسبت هاى مثلثاتى زاوية 120° دريابيد.‏ 

cos 2 و tan 2 را 

و ضلع دوم در ربع اول باشد ، sin 2 

3 

- 2 اگر = sin 

5 


4 

- 3 اگر = sin 

5 و ضلع دوم در ربع دوم باشد cos 2 را دريابيد.‏ 

در يابيد.‏ 


و ضلع دوم در ربع دوم باشد sinو 2 tan 

sin را از جنس sin π - 4 

6 

12 

12 

- 5 اگر = θ sin 

13 

- 6 نسبت هاى مثلثاتى زاوية 15° را به كمك نسبت هاى مثلثاتى زاوية 30° دريابيد.‏ 

مساوى است 

a) 

120 

169 

sin 2 

b) 

cos3β 

sin 3β 

− = ? 

cosβ 

sin β 

باشد و ضلع دوم در ربع دوم باشد،‏ قيمت 

120 

169 

169 

c) = − 

120 

12 

- 7 اگر = β sin 

13 

d) 

به:‏ 

هر سه درست نيست − 

- 8 

a) 

2 

b) 

1 

c) 

− 2 

d) −1 

236

4 cos 3 45 

o − 3c 

cos 45 o 

= 

? 

نسبت هاى مثلثاتى زاوية 3 از 

جنس نسبت هاى مثلثاتى زاوية 

را نشان داده مى توانيد؟ 

3 

آيا صحت رابطة ° 

چون 

sin( α + β) 

= sin α cosβ + cosαsinβ 

sin3α 

= 2sinαcosα ⋅ cosα + (1 − 2sin 

= 2sinαcos 

= 2sinα(1 

− sin 

= 2sinα − 2sin 

α + sinα − 2sin 

sin3α = 3sinα − 4sin 

α) 

+ sinα − 2sin 

α + sinα − 2sin 

α 

cos90° = 4cos 30° − 3cos30 

sin3α = sin(2α + α) 

= sin 2αcosα + cos2αsinα 

2 

2 

3 

3 

3 

α 

3 

3 

α 

α 

2 

α)sinα 

(sin2α = 2sinαcosα) 

(cos2α = 1− 

2sin 

2 

α) 

مثال اول:‏ ° sin را از جنس 60° sin به دست آوريد.‏ 

حل:‏ 

180 

sin180° 

= 3sin 60° − 4sin 

= 

3 3 

2 

− 

3 3 

2 

= 

3 

60° 

= 3⋅ 

0 

= 0 

2 

3 

2 

− 4( 

3 

) 

2 

3 

3 3 12 3 

= − 

2 8 

چون:‏ 

237

cos( α + β) 

= cosαcosβ − sinαsinβ 

cos3α = cos(2α + α) 

= cos2αcosα − sin2αsinα 

= (2cos 

= 2cos 

3 

= 2cos 

3 

= 2cos 

3 

cos3α = 4cos 

3 

2 

α −1)cosα − 2sinαcosαsinα 

α − cosα − 2sin 

α − cosα − 2cosα(1 

− cos 

α − cosα − 2cosα + 2cos 

α − 3cosα 

2 

αcosα 

2 

3 

α) 

α 

90° دريابيد.‏ 

2 

2 

(sin α = 1− 

cos 

α) 

cos270 

s270° 

° را از جنس cos 

فعاليت 

cos180° 

= 4cos 

tan α + tan β 

tan( α + β) 

= 

1− 

tan α tan β 

3 


1 

60° − 3cos 60° 

= 4( ) 

2 

cos 

cos را از جنس مثال دوم:‏ ° حل:‏ 

3 

1 1 

− 3⋅ 

= 4⋅ 

− 

2 8 

180 

2 tan α 

+ tan α 

tan 2α + tan α 

2 

tan 3α = tan(2α + α) 

= 

= 1− 

tan α 

1− 

tan 2α ⋅ tan α 2 tan α 

1− 

⋅ tan α 

2 

1− 

tan α 

3 

2 tan α + tan α − tan α 

2 

3 

3 

− α 2 tan α + tan α − tan α 3tan α − tan α 

= 1 tan = 

= 

2 

2 

2 

2 

2 

1− 

tan α − 2 tan α 1− 

tan α − 2 tan α 1− 

3tan α 

2 

1− 

tan α 


tan135 

° را از جنس tan 

3 

2 

= 

1 

2 

− 

3 

2 

= −1 

مثال سوم:‏ قيمت 

حل:‏ 

238

3 

3tan 45° − tan 45° 

3⋅1−1 

tan135° 

= 

= = 

2 

1− 

3tan 45° 

1− 

3⋅1 

− 

مي شود.‏ 

4sin θ(sin 60 

2 

2 

o 

o 

4sin θsin(60 

− θ)sin(60 

+ θ) 

= sin 3θ 

o 

cosθ − cos60 

o 

sin θ)(sin 60 

= −1 

مثال چهارم:‏ نشان دهيد كه 

حل:‏ 

cosθ + cos60 

sin θ) 

3 1 3 1 

= 4sin θ( 

cosθ − sin θ)( 

cosθ + sin θ) 

2 2 2 2 

3 2 1 2 

2 2 

= 4sin θ( 

cos θ − sin θ) 

= sin θ(3cos 

θ − sin θ) 

4 4 

2 

2 

2 

3 3 

= sin [3(1 − sin θ) 

− sin θ] 

= sin θ⋅3 

− 3sin θ − sin θ 

3 

= 3sin θ − 4sin θ = sin 3θ 

: ( α + β + γ) 

sin( α + β + γ) = sin[ α + ( β + γ)] = sin α cos( β + γ) + cosαsin( 

β + γ) 

= sin α(cosβcos γ − sinβsin γ) + cosα(sinβcos γ + cosβsin γ) 

cos[ α + ( β + γ)] = cos α cos( β + γ) − sin αsin( 

β + γ) 

= cos α(cosβcos γ − sin βsin γ) − sin α(sin 

βcos γ + cosβsin γ) 

o 

o 

نسبت هاى مثلثاتى 

= sin α cosβcos γ − sin αsinβsin γ + sin βcos 

α cos γ + sin γ cos α cosβ 

= cos α cosβcos γ − cos αsin 

βsin γ − cos γsin αsin 

β − cosβsin 

αsin γ 

tan α + tan( β + γ) 

tan( α + β + γ) = tan[ α + ( β + γ)] = 

1− 

tan α ⋅ tan( β + γ) 

tan β + tan γ 

tan α + 

1− 

tan β tan γ 

tan( α + β + γ) = 

tan β + tan γ 

1− 

tan α 

1− 

tan β⋅ tan γ 

tan α − tan α tan β tan γ + tan β + tan γ 

1− 

tan β tan γ 

= 

1− 

tan β tan γ − tan α tan β − tan α ⋅ tan γ 

1− 

tan β⋅ tan γ 

239

tan α + tan β + tan γ − tan α ⋅ tan β⋅ tan γ 

= 

1− 

tan α ⋅ tan β − tan β tan γ − tanα 

tan γ 

+ 60° 45° sin( 30 + دريابيد.‏ 

) 

مثال پنجم:‏ ° sin را از جنس ° 

حل:‏ 

135 

sin135° = sin(30° + 45° + 60° 

) = sin 30° 

cos 45° 

cos 60° 

− sin 30° 

sin 45° 

sin 60° + sin 45° 

cos30° 

co60° + sin 60° 

cos30° 

cos 45° 

= 

= 

1 

2 

2 1 

⋅ ⋅ − 

2 2 

6 

− + 

8 

2 

8 

1 

⋅ 

2 

6 

8 

2 

2 

+ 

⋅ 

3 2 

8 

3 

⋅ + 

2 

= 

2 

8 

2 

2 

+ 

⋅ 

3 

2 

3 2 

8 

1 3 

⋅ + ⋅ 

2 2 

4 2 

= = 

8 

3 

⋅ 

2 

2 

2 

2 

2 

تمرين 

cos 30° و 

، 30° 

° را به ترتيب از جنس sin 

tan 90 ، cos 90° 

، sin 90 

° -1 

tan 30 

° در يابيد.‏ 

135 ° = (30° + 45° + 60° 

cos 135° و 135° tan را دريابيد.‏ ) 

-2 

3 

8cos − 6cos 

= ? 

-3 

a)cos3θ b) 2cos3θ 

c) − 2cos3θ 


∧ 

∧ 

∧ 

4 را از جنس نسبت هاى مثلثاتى زواياى وB C 

,A 

∧ 

Cos(A− 

B+ 

C) − 

∧ 

∧ 


o 

o 

4cos x cos(60 − x)cos(60 + x) = cos3x 

o 

o 

tan x tan(60 − x) tan(60 + x) = tan 3x 

240

sin30 

° 

+ sin 60 

° 

= 

? 

tan 45 

° 

+ tan 60 

° =? 

? 

تبديل مجموع و تفاضل نسبت 

هاى مثلثاتى زوايا به شكل 

حاصل ضرب 

sin(A + B) = sin A cosB + cosAsin B....(I) 

sin(A − B) = sin A cosB − cosAsin B....(II) 

) و II) ( باهم جمع شوند 

چون ميدانيم 

I) فرض شود و رابطة q 

sin( A + B) + sin(A − B) = 2sin A cos B 

اگر A + B = P و = B A − 


A + B = p 

− 

A m B = −q 

2B = P − q 

P − q 

B = 

2 

A + B = p 

A − B = q 

2A = P + q 

P + q 

A = 

2 

p + q p − q 

sin p + sin q = 2sin cos 

2 2 

sin(A + B) − sin(A − B) = 2cos Asin B 

p + q p − q 

sin p − sin q = 2cos sin 

2 2 

درنتيجه داريم كه:‏ 

اگر از رابطة I رابطة II تفريق شود داريم كه:‏ 

241


cos(A + B) = cos A cos B − sin Asin B....III 

cos(A − B) = cos A cos B + sin Asin B....IV 

cos(A + B) + cos(A − B) = 2cos A cos B 

p + q p − q 

cos p + cos q = 2cos cos 

2 2 

اگر رابطة III با رابطة IV جمع شود داريم كه:‏ 

اگر از رابطة III رابطة IV تفريق شود داريم كه:‏ 

cos(A + B) − cos(A − B) = −2sin Asin B 

p + q p − q 

cos p − cos q = −2sin 

sin 

2 

2 

فعاليت 

ق مت 

° را دريابيد.‏ 

cos 60° + و cos30 sin 60° + sin 

30° 

قيمت ° 

tan p + tan q = 

tan p − tan q = 

sin p 

cos p 

sin p 

cos p 

+ 

− 

sin q 

cos q 

sin q 

cos q 

sin p cos q + cos psin q sin(p + q) 

= 

= 

cos p cos q cos p cos q 

sin p cos q − cos psin q sin(p − q) 

= 

= 

cos p cos q cos p cos q 

sin 7θ + sin 3θ 

= tan 5θ 

cos 7θ + cos 3θ 

مثال اولa‏:‏ نشان دهيد كه:‏ 

7θ + 3θ 

7θ − 3θ 

2sin cos 


θ θ 

= 2 2 sin 5 cos 2 

= 

= tan 5θ 

cos 7θ + cos3θ 

7θ + 3θ 

7θ − 3θ 

2cos cos 

cos5θcos 2θ 

2 2 

sin 3x 

+ sin x = 2⋅sin 2x ⋅cos x نشان دهيد :b 

242

sin 3x 

3x + x 3x − x 

+ sin x = 2sin cos = 2⋅sin 2x ⋅cos x 

2 2 

حل:‏ : b 

فعاليت 

cot p 

sin(q − p) 

− cot q = 

و 

sin psin q 

cot p 

sin(p + q) 

cotq = 

sin psin q 

نشان دهيد كه:‏ + 


cos 2θ − cos 2β 

θ) = tan( β − و 

sin 2θ + sin 2β 

مثال دوم:‏ نشان دهيد كه:‏ 

θ مى باشد.‏ 

حل:‏ 

cos 4θ 

− cos 2θ = −2sin 3θsin 

2θ + 2β 

2θ − 2β 

− 2sin sin 

cos 2θ − cos 2β 

− θ + β θ −β 

= 2 2 2sin( )sin( ) 

= 

sin 2θ + sin 2β 

2θ + 2β 

2θ − 2β 

2sin cos 

2sin( θ + β)cos( 

θ −β) 

2 2 

sin( θ −β) 

= − = − tan( θ −β) 

= tan( β − θ) 

cos( θ −β) 

4θ + 2θ 

4θ − 2θ 

cos 4θ − cos 2θ = −2sin 

sin = −2sin 3θsin 

θ 

2 2 

تبديل حاصل ضرب نسبت هاى مثلثاتى زوايا به مجموع و تفاضل:‏ 

p + q p − q 

sin p + sin q = 2sin cos 

چون:‏ A + B = P 

2 2 

A − B = q 

sin( A + B) + sin(A − B) = 2sin A cos B 

يا 

2sin A cos B = sin(A + B) + sin(A − B) 

sin A cos B 

= 

1 

[sin(A 

2 

+ B) + sin(A − B)] 

چون:‏ sin( A + B) − sin(A − B) = 2cos A sin B مي باشد 

2cos Asin B = sin(A + B) − sin(A − B) 

پس:‏ 

243

244 

cos Asin B 

= 

1 

[sin(A 

2 

+ B) − sin(A − B)] 

cos( A + B) + cos(A − B) = 2cos A cos B 

چون:‏ 

2cos A cos B = cos(A + B) + cos(A − B) 

پس:‏ 

cos A cos B 

= 

1 

[cos(A 

2 

+ B) + cos(A − B)] 

cos( A + B) − cos(A − B) = −2sin A sin B 

چون:‏ 

− 2sin Asin B = cos(A + B) − cos(A − B) 

پس:‏ 

sin Asin B= − 

a : 

b : 

= 

1 

[cos(A 

2 

1 

[cos(A 

2 

cos 75° − cos15° 

= − 

+ B) − cos(A − B) 

− B) − cos(A + B)] 

sin 8x + sin 5x + sin 2x 

= tan 5x 

cos8x + cos5x + cos 2x 

8x + 2x 8x − 2x 

2sin cos + sin 5x 

= 2 2 

8x + 2x 8x − 2x 

2cos cos + cos5x 

2 2 

2sin 5x cos3x + sin 5x sin 5x(2cos3x + 1) 

= 

= 

= tan 5x 

2cos5x cos3x + cos5x cos5x(2cos3x + 1) 

2 

2 

مثال اول:‏ نشان دهيدكه:‏ 

75° + 15° 

75° −15° 

cos75° − cos15° 

= −2⋅sin 

sin = −2sin 45° 

sin30° 

2 2 

2 1 2 

= −2⋅ 

⋅ = − 

2 2 2 

حلa‏:‏ 

حلb‏:‏

مثال دوم:‏ به شكل جمع يا تفاضل تبديل كنيد:‏ 

2cos95° 

sin13° 

= sin(95° + 13° 

) − sin(95° −13° 

) = sin108° − sin 82° 

cos38° 

cos 61° 

= 

cos(x + 

= 

π 

)cos(x 

4 

1 

2 

1 

2 

π 

− ) 

4 

[cos(38° + 61° 

) + cos(38° − 61° 

)] 

1 

[cos99° + cos( −23° 

)] = [cos99° + cos 23° 

] 

2 

1 

π 1 

= [cos 2x + cos ] = cos 2x 

2 

2 2 

مثال سوم:‏ 

1 

1 

cos 34° 

sin 28° 

= [sin(34° + 28° 

) − sin(34° − 28° 

)] = (sin 62° − sin 6° 

) 

2 

2 

2cos 45° 

cos15° 

= cos(45° + 15° 

) + cos(45° −15° 

) = cos 60° + cos30° 

1 3 1+ 

3 

= + = 

2 2 2 

1 

1 

sin10θcos 4θ = [sin(10θ + 4θ) 

+ sin(10θ − 4θ)] 

= (sin14θ + sin 6θ) 

2 

2 

1 

[cos(x 

2 

1 

[cos(x 

2 

+ (cos x cos y + sin x sin y)] 

= 

1 

(2cos x cos y) 

2 

مثال چهارم:‏ نشان دهيد كه:‏ + 


حل:‏ 

+ y) + cos(x − y)] 

y) + cos(x − y)] = cos x cos y 

= cos x cos y 

1 

= [(cos x cos y − sin x sin y) 

2 

1 

= [(cos x cos y + cos x cos y)] 

2 


sin 8θcos 

θ − sin 6θcos3θ 

= tan 2θ 

cos 2θcos 

θ − sin 3θsin 4θ 

مثال پنجم:‏ نشان دهيد كه : 

245

1 

1 

(sin 9θ + sin 7θ) 

− (sin 9θ + sin 3θ) 

sin 8θcos 

θ − sin 6θcos 3θ 

= 2 

2 

cos 2θcos 

θ − sin 3θsin 4θ 

1 

1 

(cos 3θ + cos θ) 

+ (cos 7θ − cos θ) 

2 

2 

sin 7θ − sin 3θ 

2cos 5θsin 2θ 

sin 2θ 

= 

= 

= = tan 2θ 

cos 3θ + cos 7θ 

2cos 5θcos( 

−2θ) 

cos 2θ 

حل:‏ 

A + B A − B 

sin A + sin B = 2⋅sin 

⋅ cos 

2 2 

A + B A − B 

sin A − sin B = 2⋅ 

cos ⋅sin 

2 2 

A + B A − B 

cos A + cos B = 2⋅ 

cos ⋅ cos 

2 2 

A + B A − B 

cos A − cos B = −2 

⋅sin 

⋅sin 

2 2 

sin(A + B) 

sin(A − B) 

tan A + tan B = 

tan A − tan B = 

cos A cos B 

cos A cos B 

1 

sin AcosB = [sin(A + B) + sin(A − B)] 

2 

1 

cosAsin B = [sin(A + B) − sin(A − B)] 

2 

1 

cosAcosB = [cos(A + B) + cos(A − B)] 

2 

1 

SinAsin B = − [cos(A + B) − (cosA − B)] = 

2 

1 

[cos(A 

2 

− B) − cos(A + B)] 

246


تمرين 

cos37° + sin 37° 

= cot 8° 

cos37° − sin 37° 

2- حاصل ضرب هاى نسبت هاى مثلثاتى زواياى زير را به شكل جمع يا تفاضل تبديل 

كنيد.‏ 

sin5x cos8x 

sin32°⋅cos24° 

sin88° 

sin12° 

2cos8θ⋅sin 4θ 

, sin3θ 

cos5θ 

, 

, cos5x sin8x , 

, 

2sin 60°⋅sin 20° 

, 2cos75α ⋅sin 25α 

, 

cos30° 

cos60° 

cos7θsin5θ 

A + B A − B 

sin ⋅cos 

2 2 

3- حاصل جمع و يا حاصل تفريق نسبت هاى مثلثاتى زواياى زير را به حاصل ضرب تبديل 

كنيد.‏ 

cos56° + cos22° 

cos86° + cos22° 

cos95° − cos41° 

3A 

cos 

4 

+ cos 

4A 

3 

, sin84° − sin 76° 

, 

, cos84° − cos76° 

, 

, , 

P + Q P − Q 

sin − sin 

2 2 

, cos84° + cos76° 

, 

sin94° − sin86° 

sin8θ + sin 4θ 

5x 5x 

sin − sin 

3 6 

A + B A − B 

cos + cos 

2 2 


sin 4A − sin 2A 

= tan A 

cos4A + cos2A 

1 

sin10°⋅sin30°⋅sin50°⋅sin 70° 

= 

16 

1 

cos20°⋅ 

cos40°⋅ 

cos60°⋅ 

cos80° 

= 

16 

, 

cosβ + cos9β 

= cot5β 

sinβ + sin9β 

247

° باشد ‏(مجموع زواياى داخلى يك مثلث)‏ نشان دهيد كه:‏ 

∧ 

∧ 

∧ 

A + B+ 

-5 اگر = 180 C 

sin A + sin B + sin C = 

A 

4cos 

2 

B 

cos cos 

2 

6- نشان دهيد كه:‏ ° 0 مى باشد.‏ 

sin 10 + sin 50° − sin 75° 

= 

sin 30° cos60° + cos30° 

sin 60° 

= ? 

-7 

1 

a) 

−1 

b)1 c) 0 d) 

2 

C 

2 

8- توسط فورمول هاى جمع و يا تفاضل نشان دهيد كه:‏ 

sin( 180° + θ) 

= −sin 

θ , 

sin(360° − θ) 

= −sin 

θ , 

, 

cos(270° + θ) 

= sin θ 

cos(180° + θ) 

= −cosθ 

sin(270° + θ) 

= −cosθ 

cos(360° − θ) 

= cosθ 

248

طول قوس(‏length (Arc 

اگر شعاع يك دايره 5 باشد طول 

قوس مقابل زاوية مركزى 45° آن چند 

مى شود؟ 

cm 

cm 

اگر طول شعاع هاى دو قوس باهم مساوى باشند،‏ طول هاى اين دو قوس با اندازة قوس 

برحسب راديان متناسب مى باشند،‏ طورى كه در شكل مشاهد مى شود.‏ 

∩ ∩ 

A B A ′ B ′ 

= 

mA B ∩ 

m A ′ B ′ 

اندازه هاى اين دو قوس برحسب راديان مى باشد،‏ اگر اندازة 

قوس دو برابر شود طول قوس نيز دو چند مى شود.‏ 

و B' m A ' 

∩ 

كه m A B 

اگر اندازة يك قوس ، θ شعاع دايره R، طول قوس مقابل زاويه θ 

(L) و محيط دايره 

o 

o 

C باشد،‏ داريم كه:‏ 

L C 

= 

θ° 

360° 

C است،پس:‏ 

2 

r 

چُ‏ ون محيط دايره = 

L 2πR 

= 

o o 

θ 360 

o 

θ 

⇒ L = πR 

180 

o 

متوجه بايد بود كه اگر اندازة قوس و يا برحسب راديان باشد L = R مى شود.‏ 

مثال اول:‏ طول قوسى را كه در مقابل زاوية مركزى 45° واقع باشد دريابيد،‏ اگر شعاع 

دايره 14 cm باشد.‏ 

249

حل:‏ 

o 

45 

14 14 22 

L = ⋅ π⋅14cm 

= πcm 

≈ ⋅ cm = 11cm 

o 

180 

4 4 7 

 

مثال دوم:‏ طول قوس كه در مقابل زاوية مركزى راديان واقع باشد دريابيد،‏ اگر 

4 

باشد.‏ 

L = R θ 

π 22 1 

L = 14cm ≈ 14cm ⋅ ⋅ = 11cm 

4 7 4 

° طول قوس‎3πcm 

شعاع دايره 14 cm 

مثال سوم:‏ اگر در يك دايره،‏ در مقابل زاوية مركزى 45 

اين دايره را دريابيد.‏ 

حل:‏ چون ° است،‏ بنا بر آن:‏ 

45 

π 

= 

4 

radian 

باشد،‏ شعاع 

L = Rθ 

L 3πcm 

4 

R = = = 3π⋅ 

cm = 12cm 

θ π π 

4 

∩ 

قطاع يك دايره:‏ قوس A B يك دايره را به مركز O و شعاع R در نظر ميگيريم.‏ 

مجموع تمام قطعه خط هاى OP كه P يك نقطه از قوس A ∩ B مى باشد قطاع ناميده 

A مساوى به راديان باشد،‏ را زاوية قطاع دايره مى گويند 

مى شود،‏ اگر اندازه قوس ∩ B 

يا قطاع را اين طور نيز تعريف كرده مى توانيم:‏ 

قسمتى از سطح دايره وى كه بين دوشعاع دايره واقع باشد قطاع ناميده مى شود.‏ 

250

مساحت قطاع دايره:‏ مساحت قطاع راديان در دايره يى به شعاع R مساوى است به 

2 

θ 

كه S عبارت از مساحت قطاع و R شعاع دايره مى باشد؛ زيرا كه:‏ 

⎪⎫ 

2 

π R πR 

⋅θ 1 

⎬⇒ 

S = = R θ 

S ⎪⎭ 2π 

2 

R 

2 

π 

2 

R 

1 

S = 

2 

R 

2 

θ 

2 

360° 

πR 

⎫ 

2 θ 

⎬⇒ 

S = πR 

θ° S ⎭ 360° 

و يا اگر برحسب درجه باشد 

مثال اول:‏ اگر شعاع يك دايره 10 باشد.‏ مساحت قطاع را در يابيد،‏ در صورتى كه،‏ 

زاوية قطاع 90 

1 2 

S = R θ 

2 

1 

S = (10cm) 

2 

2 

π 

⋅ = 

2 

1 

⋅100cm 

2 

2 

cm 

است:‏ 

π 

⋅ = 25πcm 

2 

2 

90 

° = θ باشد.‏ 

π 

= 

2 

حل:‏ چون ° 

Radian 

مثال دوم:‏ اگر شعاع دايره 10 باشد.‏ مساحت قطاع دايره يى را دريابيدكه زاوية قطاع 

π 2π 

72° 

= 72⋅ 

= Radian 

180° 

5 

1 2 1 

2 2π 

S = R θ = ⋅100cm 

⋅ = 20πcm 

2 2 5 

2 

cm 

آن 72° = θ باشد.‏ 

حل:‏ 

مثال سوم:‏ اگر شعاع يك دايره 6cm 

قطاع را دريابيد.‏ 

حل:‏ 

15πcm باشد طول قوس اين 

و مساحت قطاع آن 2 

1 2 

2 1 

2 

S = R θ يا 15 πcm 

= (6cm ) θ 

2 

2 

251

15πcm 

طول قوس 

15π 

5 

= 18θ ⇒ θ = = Radian 

18 6 

5π 

L = Rθ = 6cm = 5πcm 

≈ 5⋅3.14cm 

≈15.7cm 

6 

2 π 

مثال چهارم:‏ دايره يى داراى شعاع 7 است،‏ محيط و مساحت دايره و طول قوس 

مقابل زاوية مركزى 60° و مساحت قطاع مقابل 60° را دريابيد.‏ 

cm 

22 

C = 2πR 

≈ 2⋅ 

⋅7cm 

≈ 44cm 

7 

π 7π 

L = Rθ = 7 ⋅ = cm , 

3 3 

, 

π 

60 = Radian 

3 

2 22 2 

2 

AS 

= πR 

≈ ⋅49cm 

≈154cm 

7 

1 2 1 2 π 

2 

A = R θ = ⋅ 49cm ⋅ ≈ 25.6cm 

2 2 3 

حل:‏ چون ° 

است،‏ پس:‏ 

مثال پنجم:‏ اگر شعاع يك دايره 8cm و زاوية قطاع آن 45° باشد،‏ مساحت قطاع،‏ طول 

قوس مقابل قطاع و محيط اين قطاع را دريابيد.‏ 

حل:‏ 

مساحت قطاع 

قوس مقابل قطاع 

محيط قطاع 

2 θ 

2 45° 

A = πR 

= (8cm) (3,14) ⋅ ≈ 

s 360° 

360° 

θ 

45° 

L = 2πR 

= 2⋅8cm 

⋅3.14⋅ 

≈ 

360° 

360° 

θ 

= 2πR 

+ 2R = 6.28cm + 2⋅8cm 

≈ 

360° 

25,12cm 

6.28cm 

22.28cm 

اگر شعاع دايره 10 

فعاليت 

cm باشد مساحت قطاع را در يابيد كه اندازة قوس آن ° 180 ، ° 216 

و 324° باشد.‏ 

252

مثال هشتم:‏ مطابق شكل زير در يك قطاع 90° مربع به شعاع R محاط شده است.‏ 

مساحت ناحية خط شده را دريابيد.‏ 

حل:‏ چون شعاع دايره R مى باشد قطر مربع در ربع دايره،‏ = 

d R = a 2 است.‏ 

S مى باشد چون 

R 

2 

2 

R و مساحت مربع = 

اگرa ضلع مربع باشد يك ضلع مربع = a 

مساحت ربع دايره 1 π 

است.‏ 

2 

4 

R 

2 

1 

4 

R 

2 

1 

− R 

2 

2 

2 

R 

= ( π − 2) 

4 

بنابر آن مساحت قسمت خط شده مساوى است به:‏ π 


مثال هفتم:‏ در شكل زير،‏ قطاع دايره يى به شعاع 1cm و به زاوية مركزى 300 

شده است.‏ محيط اين شكل چند سانتى متر مى باشد؟ 

محيط اين شكل.‏ 

° داده 

360° 

300° 

2πR 

x 

300°⋅ 

2πR 

5πR 

x = = cm 

360° 

3 

5 

= ( πR 

+ 2) cm 

3 

قطعة دايره:‏ قسمتى از سطح دايره بين قوس و وتر مقابل آن را قطعه مى گويند.‏ قطعة 

دايره برحسب قوس آن مشخص مى گردد؛ 

∩ 

طور مثال:‏ اگر قوس A B 

راديان باشد قطعه را 

مساوى به 

6 

6 راديان مى نامند.‏ 

 

253

254 

مساحت قطعه:‏ اندازة مساحت قطعه راديان در دايره به شعاع R مساوى است به:‏ 

1 2 

S = R ( θ − sin θ) 

2 

زيرا اگر قوس AB مساوى به راديان باشد و نقطة O را با نقاط A و B وصل كنيم 

داريم كه:‏ مساحت مثلث -AOB مساحت قطاع =AOB مساحت قطعه 

مساحت مثلث S مساحت قطاع =S مساحت قطعه 

متساوى الساقين مى باشد بدين اساس 

θ 

h = R cos 

AB 

2 

θ 

sin = 2 

2 R 

θ 

AB 2R sin 

2 

A O 

Δ 

B 

OAB 

− 

S Δ 

AOB 

در شكل زير مشاهده مى شود كه مثلث 

پس قاعدة مثلث:‏ = 

ارتفاع 

= مساحت مثلث A O Δ B 

A O Δ 

مساحت مثلث B 


مساحت قطاع مى باشد.‏ 

θ 

cos = 

2 

h ⋅ AB 

= 

2 

2 

θ θ 

چون sin θ = 2sin cso 

2 2 

θ θ 

R cos ⋅ 2R sin 

در نتيجه:‏ = 1 R 2 sin θ 2 = 2 

2 2 

1 

2 

2 

= R θ 

R sin θ 

s 

SOAB 

چون = 

2 

2 

1 2 1 2 1 2 

پس:‏ S = R θ − R sin θ = R ( θ − sin θ 

2 2 2 

مساحت مثلث و A 

) قطعه ‏(مساحت قطعه)‏ 

مثال اول:‏ در شكل قبلى cm اگر شعاع يك دايره = r و زاوية يك 

6,8cm 

R = 6.8 

قطاع آن دايره ° 71 باشد مساحت قطاع،‏ مساحت مثلث A Δ و مساحت قطعة اين 

O B 

قاعده . ارتفاع 

θ = 

h 

R

R = 6,8cm 

θ = 71° 

2 θ 

2 71° 

A = πR 

= (6.8cm) ⋅3.14 

≈ 28.64cm 

360° 

360° 

θ 

71° 

h = R cos = 6.8cm ⋅cos 

≈ 5.54cm 

2 

2 

o 

cos 35 30' = 0.8141 

θ 

71° 

b = 2⋅ 

R sin = 2⋅6.8cm 

⋅sin 

≈ 7.9cm 

2 

2 

o 

sin 35 30' = 0.5807 

دايره را دريابيد.‏ 

حل:‏ 

مساحت قطاع 

ارتفاع مثلث 

قاعده مثلث 

مساحت مثلث 

o 

sin 71 = 

A = 

0.9455 

1 

R 

2 

2 

sin θ = 

1 

(6.8cm) 

2 

مساحت مثلث - مساحت قطاع = مساحت قطعه 

2 مساحت قطعه 

S = 

1 

2 

2 π 

= 72cm ( − 

3 

= 28 ,64cm 

= 

دريابيد؛ اگر:‏ 

2 

R ( θ − sin θ) 

= 

2 − 21,96cm 

2 6,68 cm 

2 

⋅sin 71° 

≈ 21.96cm 

∩ 

مثال دوم:‏ مساحت قطعة دايره يى را به شعاع R و قوس A B 

1 

(12cm) 

2 

3 

) = 24πcm 

2 

2 

2 

− 36 

3 cm 

باشد.‏ 

∩ 

مى باشد،‏ پس:‏ 

π π 

( − sin ) = 

3 3 

2 

2 

2 

A B= 

60° 

, R = 12cm 

R 

π 

60 = 

3 

1 

2 π 

⋅144cm 

( − 

2 3 

= (24π − 36 

o 

حل:‏ چون 

3)cm 

2 

3 

) 

2 

255

مساحت قطعه يى از دايره را به شعاع 6 

∩ 

وقوس 120° = AB دريابيد.‏ 

cm 

cm 

مثال سوم:‏ مساحت قطعه يى از دايره را دريابيد كه شعاع آن 6 

6cm جدا شده باشد.‏ 

فعاليت 

بوده و توسط وتر 

 

راديان است.‏ 

3 

حل:‏ چون قوس قطعه 

S = 

1 

2 

2 

R ( θ − sin θ) 

= 

2 π 

= 18cm ( − 

3 

2 

≈ 6(3.14)cm 

1 

(6cm) 

2 

3 

) = (6π − 9 

2 

2 

− 9(1.73)cm 

2 

π 

( − 

3 

3)cm 

2 

= 3.27cm 

3 

) 

2 

2 

فعاليت 

يك ضلع مثلث متوازى الاضلاع كه در دايره رسم شده 

اگر طول 

cm باشد،‏ مساحت قطعه يى را دريابيد كه وتر آن يك 

ضلع مثلث باشد.‏ ‏(قسمت رنگه شده)‏ 

است 6 

تمرين 

مساحت قطاع دايره را در صورتى دريابيد كه شعاع آن 20 

-1 

cm بوده و در مقابل زاوية 

1 ا 

 

6 مركزى راديان واقع باشد.‏ 

55 .5cm و شعاع آن 

2- زاوية مركزى قطاع دايره يى را در يابيد كه مساحت آن 2 

باشد.‏ 

3- اگر شعاع يك دايره 10 m باشد طول قوس هايى را كه در مقابل زواياى مركزى 3 

راديان و 27 راديان واقع باشند دريابيد.‏ 

,8 

12cm 

256

مساحت مثلث از جنس دوضلع 

و زاويه بين اين دو ضلع : 

اگر طول دو ضلع يك مثلث 4 و 

باشند و زاويه بين اين دو ضلع 30 

باشد،‏ آيا مساحت مثلث را در يافت كرده 


° 

cm 

8cm 

را در نظر ميگيريم و از رأس B ارتفاع BH 

را بر ضلع AC 

رسم مينماييم.‏ 

Δ 

مثلث A BC 

در نتيجه h = csin A مى شود.‏ 

BH h 

چون = = A sin 

c c 

S 

S 

ABC 

ABC 

b⋅ 

h 

= 

= 

2 

1 

b csin A 

2 

= S ( است.‏ 

2 

(h = csin A) 

از هندسه ميدانيم كه مساحت يك مثلث ) 

فعاليت 

ارتفاع . قاعده 

از رأس هاى A و C مثلث مذكور ارتفاع ها را رسم كنيد و نشان دهيد كه:‏ 

1 

1 

S ABC 

= acsin B و S ABC 

= absin C 

2 

2 


c = 6cm و 3,5cm 

مثال اول:‏ مساحت مثلثى را دريابيد كه طول ضلع = a 

وسعت زاوية B 

حل:‏ 

= 47, 5° باشد.‏ 

بوده و 

257

1 

A = acsin B 

2 

o 

sin 47.5 = 0.73727733 

A = 

A = 

1 

2 

⋅3,5cm 

⋅6cm 

⋅sin 47,5° 

≈ 

1 

absin C 

2 

2 

7,74cm 

مثال دوم:‏ مساحت مثلثى را كه در شكل زير مشاهده مى شود دريابيد.‏ 

حل:‏ 

1 

= (8)(13)sin130 

2 

o 

≈ 39.83cm 

2 

o 

sin 130 = 

0.7660 

o 

A = 30 

Δ 

مثال سوم:‏ در مثلث متساوى الساقين AB و زاوية 

مى باشد مساحت اين مثلث را دريابيد.‏ 

1 

o 

S = AB⋅ 

ACsin 30 

2 

1 1 

S = ⋅8⋅8⋅ 

= 16cm 

2 2 

= AC = 8cm, ABC 

2 

A 

sin 

2 

مساحت مثلث از روى سه ضلع آن(فورمول هيرون)‏ 

براى اين كار sin نصف زاويه را از جنس طول اضلاع مثلث به دست مى آوريم.‏ در هر 

مثلث ABC روابط زير صدق مى كنند.‏ 

= 

(p − b)(p − c) 

,sin 

bc 

a + b + c 

(p 

2 

B 

2 

= 

(p − a)(p − c) 

ac 

C 

,sin 

2 

= 

(p − a)(p − b) 

ab 

c اضلاع مثلث و p نصف محيط مثلث مى باشد.‏ ) = در دروس 

قبلى خوانده ايد كه:‏ 

كه b, a , 

A 

sin 

2 

258 

= 

1− 

cos A 

2 

، 

B 

sin 

2 

= 

1− 

cos B 

2 

، 

C 

sin 

2 

= 

1− 

cos C 

2

مى باشد كه اين رابطه را به نام قضيه cos ine 

ياد 

cos A 

b 

2 

2 

+ c − a 

2bc 

در هر مثلث = 

مى كند.‏ از ثبوت آن در اين جا صرف نظر ميكنيم عندالموقع ثبوت خواهد شد.‏ به عوض 

قيمت آن را وضع مى كنيم.‏ 

2 

cos A 

A 

sin 

2 

= 

b 

1− 

2 

2 

+ c − a 

2bc 

2 

2 

= 

2 

2bc − b − c 

4bc 

2 

+ a 

2 

= 

a 

2 

2 

2 

− (b − 2bc + c ) 

4bc 

= 

a 

2 

− (b − c) 

4bc 

2 

= 

(a − b + c)(a + b − c) 

4bc 

چون:‏ a + b + c = 2 p مى باشد.‏ 

a − b + c = a + b + c − 2b = 2p − 2b = 2(p − b) 

a + b − c = a + b + c − 2c = 2p − 2c = 2(p − c) 

) را عوض مى كنيم داريم كه : 

( a + b − c و ( a b + c) 

قيمت هاى − 

A 

sin 

2 

= 

2(p − b)2(p − c) 

= 

4bc 

(p − b)(p − c) 

bc 

فعاليت 

همين طريق نشان دهيدكه:‏ 

به 

sin مى باشد.‏ 

B 

2 

= 

(p − a)(p − c) 

ac 

, 

C 

sin 

2 

= 

(p − a)(p − b) 

ab 

به همين ترتيب ميتوان نصف cos يك زاويه را از روى طول اضلاع مثلث به دست 

آورد.‏ 

ine 

A 

cos 

2 

= 

p(p − a) 

bc 

B 

، cos 

2 

= 

p(p − b) 

ac 

، 

C 

cos 

2 

= 

p(p − c) 

ab 

259


A 

cos 

2 

1+ 

cos A 

2 

قيمت cos A 

ثبوت:‏ چون = 

را وضع مى نماييم.‏ 

A 

cos 

2 

= 

b 

1+ 

2 

+ c − a 

2bc 

2 

(b + c + a)(b + c − a) 

= 

4bc 

b + c + a − 2a = 2p − 2a 

b + c − a = 2p − 2a = 2(p − a) 

A p(p − a) 

cos = 

2 bc 

2 

2 

= 

2 

2bc + b + c 

4bc 

2 

− a 

2 

= 

2 

(b + c) − a 

4bc 

در نتيجه داريم كه:‏ 

فعاليت 

2 

tan مى باشد.‏ 

A 

2 

(p − b)(p − c) 

p(p − a) 

است نشان دهيد كه:‏ = 

را وضع 

sin A = 2 

sin A = 2 

sin A = 

A A 

است اگرقيمت هاى sin و cos 

2 2 

2 

bc 

(p − b)(p − c) 

⋅ 

bc 

p(p − a) 

bc 

p(p − a)(p − b)(p − c) 

2 

(bc) 

⋅ 

p(p − a)(p − b)(p − c) 

A 

A 

sin 

A 

tan = 2 

چون 

2 A 

cos 

2 

A A 

2sin cos 

2 2 

sin 

= مى دانيم كه نماييم داريم كه:‏ 

260 


1 1 1 

S absin C = acsin B = bcsin A 

2 2 2 

چون مساحت مثلث =

S ABC 

1 

= bc⋅sin 

A 

2 

قيمت sin A را وضع مى كنيم.‏ 

S 

S 

ABC 

ABC 

= 

= 

1 

2 

bc⋅ 

2 

bc 

p(p − a)(p − b)(p − c) 

p(p − a)(p − b)(p − c) 

از مقايسة مساوات فوق مى توان نوشت كه : 

2 2S 

2S 

sin A = ⋅S 

= ، sin B = ، sin C = 

bc bc 

ac 

2S 

ab 

مثال سوم:‏ مساحت مثلثى را دريابيد كه طول اضلاع آن قرار زير داده شده باشد.‏ 

a = 5cm , b = 4cm , c = 3cm 

a + b + c 5cm + 4cm + 3cm 

P = = 

= 6cm 

2 

2 

S = 

= 

p(p − a)(p − b)(p − c) = 

6⋅1⋅ 

2⋅3 

= 

36 = 

2 

6cm 

6(6 − 5)(6 − 4)(6 − 3) 

حل:‏ 

فعاليت 

b 5cm , c = 6cm و a = 4cm باشند.‏ 

مساحت مثلثى را دريابيد كه اضلاع آن = 

S = 

، 24cm b = و c = 30cm باشد 

a + b + c 18 + 24 + 30 

P = = 

= 36cm 

2 2 

= 

p(p − a)(p − b)(p − c) 

36(36 −18)(36 

− 24)(36 − 30) = 

مثال چهارم:‏ اگر اضلاع يك مثلث = a 

مساحت اين مثلث را دريابيد.‏ 

حل 

18cm 

36⋅18⋅12⋅6 

= 

2 

216 cm 

261

s = 

262 

b = 42,3ft و 

، 29,7ft 

مثال پنجم:‏ مساحت مثلثى را دريابيد كه طول اضلاع آن = a 


a + b + c 29,7 + 42,3 + 38,4 

p = = 

= 55,2ft 

2 

2 

= 

p(p − a)(p − b)(p − c) = 

55,2(25,5)(12,9)(16,8) = 552ft 

2 

c = 38,4ft 

حل:‏ 

55,2(55,2 − 29,7)(55,2 − 42,3)(55,2 − 38,4) 

دريافت شعاع دايرة محيطى يك مثلث:‏ 

دايرة محيطى دايره يى است كه مثلث در داخل دايره واقع بوده و دايره با هرسه رأس مثلث 

مماس بوده و مركز دايرة محيطى نقطة تقاطع هرسه ناصف عمودى 

) Bisector (Perpendicular اضلاع مثلث مى باشد.‏ مطابق شكل طول اضلاع 

Δ 

مثلث A BC 

عبارت از b a، و c مى باشند كه نقطة O مركز دايره بوده و نقطة تقاطع 

هرسه ناصف هاى عمودى اضلاع مثلث نيز مى باشد؛ چون مثلث BOC متساوى الساقين 

∧ 

و قاعده مثلث را نيز تنصيف مى كند.‏ 

∧ 

sin A = sin BO L = sin LOC 

∧ 

BO 

∧ 

C 

∧ 

A 

است؛ پس ارتفاع مثلث،‏ زاوية 

∧ 

در نتيجه:‏ = 

∧ 

BO L = L O C 

‏(زيرا زاويه مركزى دو چند زاويه محيطى مى باشد كه در مقابل عين قوس قرار داشته 

باشند.)‏ 

a 

∧ 

a 

sin A = 2 = 

R 2R 

a a 

R = = = 

2sin A 2s 

2⋅ 

bc 

a 

و از = R 

2sin A 

a = R ⋅ 2sin A 

داريم که : 

a 

sin A 

= 2R 

abc 

4s 

(sin A = 

2S 

) 

bc

، 

a 

sin A 

b c 

a b 

= = = 2R يا R = = = 

sin B sin C 

2sin A 2sin B 

به همين ترتيب 

c 

2sin C 

مثال اول:‏ شعاع دايرة محيطى مثلث ABC را دريابيد كه اضلاع مثلث a = 11cm 

b =12cm و c = 13cm باشد.‏ 

حل:‏ 

abc 11⋅12⋅13 

11+ 

12 + 13 

R = = 

= 6,98cm , p = = 18cm 

4s 4 18⋅7 

⋅6⋅5 

2 

30 cm و 24 cm ، 

كه طول اضلاع مثلث 18 

شعاع دايرة محيطى مثلثى را دريابيد 

باشد.‏ 

cm 

فعاليت 

، 5cm b = و 

مثال دوم:‏ شعاع دايرة محيطى مثلثى را دريابيد كه اضلاع آن = a 

3cm 

c = 6cm باشد . 

حل:‏ 

R = 

4⋅ 

abc 

p(p − a)(p − b)(p − c) 

= 

4⋅ 

3⋅5⋅6 

90 

= 

7 ⋅4⋅2⋅1 

4⋅ 

56 

45 

= 

2⋅ 

56 

≈ 3cm 

شعاع دايرة محاطى يك مثلث:‏ 

دايرة محاطى يك مثلث عبارت از دايره يى است كه دايره در داخل مثلث واقع بوده و 

دايره در داخل با سه ضلع مثلث مماس بوده،‏ و مركز دايرة محاطى تقاطع هرسه 

ناصف الزاوية مثلث مى باشد.‏ 

ABC 

مساحت + A B مساحت مثلث + C A مساحت = BC مساحت مثلث Δ 

O Δ 

O Δ 

O Δ 

263

1 1 

S ABC 

= ar + br + 

2 2 

S = r ⋅ p ⇒ r = 

s = 

r = 

p 

s 

p 

1 

cr 

2 

P(p − a)(p − b)(p − c) 

(p − a)(p − b)(p − c) 

1 

1 

== r(a + b + c) = r ⋅ 2p 

2 

2 

و 

S = 

r = 

8 cm ، 

s 

p 

مثال سوم:‏ شعاع و مساحت دايرة محاطى مثلثى را كه طول اضلاع آن 7 

باشند دريابيد.‏ 

cm 

7 + 8 + 9 

p = = 12cm 

2 

12(12 − 7)(12 −8)(12 

− 9) = 26.83cm 

26.83cm 

= 

12cm 

πr 

2 

2 

= 2.23cm 

22 

= ⋅(2.23cm) 

7 

2 

≈15.6cm 

2 

2 

9cm 

حل:‏ 

مساحت دايرة محاطى مساوى است به : = 

مثال چهارم:‏ دو ضلع قايم يك مثلث قايم الزاويه به ترتيب 3 cm و 4 cm مى باشند 

شعاع دايرة محيطى و محاطى اين مثلث را دريابيد.‏ 

حل:‏ 

3 + 4 + 5 

p = = 6cm 

2 

abc 3⋅4⋅5 

R = = 

= 

4s 4⋅ 

6(6 − 3)(6 − 4)(6 − 5) 4⋅ 

60 60 

= = 

6⋅3⋅2⋅1 

4⋅6 

60 

24 

264

5 

= cm = 2,5cm 

2 

s 6 

r = = = 1cm 

p 6 

2 

AC = 

2 

AC = AB 

+ BC 

9 + 16 = 5 

2 

مثال پنجم:‏ در مثلث قايم الزاوية MTN مطابق شكل اگر اضلاع قايم آن m و n داده 

شده باشند مساحت و شعاع دايرة محيطى اين مثلث را دريابيد.‏ 

حل:‏ 

2 2 2 

(MN) = m + n 

2 2 

t = MN = m + n 

2 

n ⋅m 

m ⋅n 

⋅ t m ⋅n 

⋅ m + n 

S = , R = = 

2 4S n m 

4 

2 

m 

2 2 

+ n 

= 

2 

مساحت مثلث 

2 

2 

m n m + n 

= 

2mn 

2 

فعاليت 

35 cm ، 

مساحت دايرة محاطى يك مثلث را دريابيد اگر طول اضلاع مثلث 34 


cm 

و 36 cm 

در يافت ارتفاع،‏ مساحت،‏ شعاع دايرة محيطى و شعاع دايرة محاطى مثلث 

متساوى الاضلاع:‏ 

h 3 

sin 60° 

= = ⇒ h = 

a 2 

a 

2 

3 

265

h 

h 

2 

2 

h = 

a 2 2 

+ ( ) = a 

2 

2 2 2 

2 a 4a − a 

= a − = 

4 4 

3a 

2 

= 

a 

2 

3 

3a 

= 

4 

2 

نظر به قضيه فيثاغورث داريم كه:‏ 

h ⋅ a 

S = = 

2 

3a 

⋅ a 

2 = 

2 

3a 

2 

2 

1 a 

⋅ = 

2 4 

3 مساحت مثلثABC 

R = 

r = 

s 

p 

3 

a a 

= = 

2 

2 

a a 

4⋅ 

3 

4 

2 

a 

⋅ 3 2 

4 a 3 

= = ⋅ 

3a 4 

2 

abc 

4s 

3 

2 

3a 

است،‏ مساحت،‏ ارتفاع،‏ شعاع 

= 

3 

= 

a 

6 

1 

a = ⋅18cm 

= 6cm 

3 

2 

2 

a (6cm) 

S = 3 = 3 = 15,6cm 

4 4 

a 6cm 

R = 3 = 3 = 3,5cm 

3 3 

a 

= 

3 

3 

a 

⋅ 

3 

2 

3 

= 

3 

a 

3 

مثال ششم:‏ محيط يك مثلث متساوى الاضلاع 18 cm 

دايرة محيطى و محاطى اين مثلث را دريابيد.‏ 

حل:‏ طول يك ضلع اين مثلث (a) مساوى است به:‏ 

، 

h = 

، a 

r = 

6 

a 

2 

3 

6cm 

3 = 

2 

6cm 

3 = 

6 

3 = 5,2cm 

3 ≈1,7cm 

266

تمرين 

1- مطابق شكل مثلث OAB متساوى الاضلاع بوده كه هر ضلع 

آن R مى باشد.‏ 

دايره با مركز O رسم شده كه از نقاط A و B مى گذرد،‏ مساحت 

قطعه اى به وتر AB مساوى است به:‏ 

R 

R 

R 

a) 

d) 

π 

( − 

6 

π 

( − 

6 

1 

)R 

4 

2 

2 

)R 

2 

2 

b) 

e) 

π 

( − 

6 

π 

( − 

6 

3 

)R 

5 

3 

)R 

4 

2 

2 

c) 

π 

( − 

6 

3 

)R 

2 

2 

2- اگر طول هر ساق يك مثلث متساوى الساقين 6 cm 

باشد مساحت اين مثلث را در يابيد.‏ 

3- اگر طول دو ضلع يك مثلث 5 2cm 

مساحت اين مثلث را دريابيد.‏ 

4- اگر طول اضلاع يك مثلث به ترتيب 3 cm 


و 6 cm 

و زاويه بين ساق هاى آن 30° 

و زاويه بين اين دوضلع ° 45 باشد 

5 cm و 4 cm ، 

5- مساحت مثلثى را دريابيد كه طول اضلاع آن a = 7cm 

باشد مساحت اين مثلث 

c = 12cm و b = 9cm ، 

باشد.‏ 

6- شعاع دايرة محيطى مثلث قايم الزاويه يى را دريابيد كه اضلاع قايم مثلث 12 cm و 

5cm باشند.‏ 

و شعاع دايرة محاطى اين 

باشد ساق ها و شعاع دايرة محيطى اين مثلث را دريابيد.‏ 

3 باشد 

84 2 و طول يك ارتفاع آن 8- اگر مساحت يك مثلث قايم الزاويه شعاع دايرة محيطى اين مثلث را دريابيد.‏ 

,36cm 

7- اگر طول قاعدة مثلث متساوى الساقين a = 8cm ، ABC 

cm 

مثلث r = 3cm 

267


sin( α + β) 

= sin α cosβ + cos α sin β 

cos( α + β) 

= cos α cosβ − sin α sin β 

tan α + tan β 

tan( α + β) 

= 

1− 

tan α ⋅ tan β 

sin 2α = 2sin α cos α 

cos 2α = cos 

α − sin 

2 tan α 

tan 2α = 

2 

1− 

tan α 

2 

2 

α = 2cos 

2 

α −1 

= 1− 

2sin 

فورمول هاى مجموع و تفاضل دوزاويه.‏ 

sin( α − β) 

= sin α cosβ − cos α sin β 

cos( α − β) 

= cos α cosβ + sin α sin β 

tan α − tan β 

tan( α − β) 

= 

1+ 

tan α tan β 

: α از جنس 2 α هاى مثلثاتى نسبت 

2 

α 

نسبت هاى مثلثاتى يك زاويه از جنس دو چند زاويه:‏ 

sin α = ± 

1− 

cos 2α 

2 

، 

cosα = ± 

1+ 

cos 2α 

2 

، 

tan α = ± 

1− 

cos 2α 

1+ 

cos 2α 

نسبت هاى مثلثاتى نصف يك زاويه از جنس زاويه:‏ 

α 1− 

cosα 

α 1+ 

cosα 

α 1− 

cosα 

sin = ± 

, cos = ± , tan = 

2 2 2 2 2 1+ 

cosα 

sin 3α = 3sin α − 4sin 

α 

3 

3tanα − tan α 

tan3α = 

2 

1− 

3tan α 

3 

نسبت هاى مثلثاتى سه چند يك زاويه از جنس زاويه:‏ 

, 

cos3α = 4cos 

3 

α − 3cosα 

( + ) 

نسبت هاى مثلثاتى مجموع سه زاويه + 

268

sin( α + β + θ) 

= sin α cosβcos 

θ + sin βcos 

α cos θ 

+ sin θcos 

α cosβ − sin αsin 

βsin 

θ 

cos( α + β + θ) 

= cos α cosβcos 

θ − cos αsin 

βsin 

θ 

− cosβsin 

αsin 

θ − cos θsin 

αsin 

β 

tan α + tan β + tan θ − tan α ⋅ tan β⋅ tan θ 

tan( α + β + θ) 

= 

1− 

tan α tan β − tan β tan θ − tan α tan θ 

فورمول هاى ضرب:‏ ‏(فورمول هايى كه مجموع يا تفاضل نسبت هاى مثلثاتى دو زاويه 

را به حاصل ضرب تبديل مى كنند).‏ 

A 

sin = 

2 

A 

cos = 

2 

A 

tan = 

2 

(p − b)(p − 

bc 

p(p − a) 

bc 

(p − b)(p − c) 

p(p − a) 

c) B 

sin 

2 

B 

cos = 

2 

= 

(p − a)(p − c) 

ac 

p(p − b) 

ac 

C 

cos 

2 

C 

sin 

2 

= 

= 

p(p − c) 

ab 

(p − b)(p − a) 

ab 

فورمول هايى كه ضرب نسبت هاى مثلثاتى دو زاويه را به مجموع و يا تفاضل تبديل 

مى كنند.‏ 

1 

sin A cos B = [sin(A + B) + sin(A − B)] 

2 

1 

cos Asin B = [sin(A + B) − sin(A − B)] 

2 

1 

cos A cos B = [cos(A + B) + cos(A − B)] 

2 

1 

sin Asin B = − [cos(A + B) − cos(A − B)] = 

2 

θ° 

L = πR 

180° 

o 

θ قوس مقابل زاوية مركزى طول 

با شعاع دايرة R مساوى است به 

1 

[cos(A 

2 

− B) − cos(A + B)] 

L = R مساوى است به:‏ R راديان با شعاع دايرة قوس مقابل زاوية مركزى طول 

قسمتى از سطح دايره كه بين دو شعاع آن واقع باشد قطاع دايره ناميده مى شود.‏ 

269

1 

= R 

sec tor 2 

مساحت قطاع از فورمول A به دست مى آيد.‏ 

قسمتى از سطح دايره بين قوس و وتر مقابل آن را قطعة دايره مى گويند و مساحت 

2 

θ 

A 

sin 

2 

1 2 

R ( θ − sin θ 

2 

قطعه از فورمول ) = به دست مى آيد.‏ 

A 

Segment 

مساحت مثلث از جنس دو ضلع و زاوية بين اين دو ضلع مساوى است به:‏ 

1 

1 

1 

S = acsin B , S = bcsin A , S = absinC 

2 

2 

2 

نسبت هاى مثلثاتى نصف زاويه از جنس طول اضلاع مثلث:‏ P نصف محيط 

مثلث و , اضلاع مثلث مى باشند.‏ 

= 

(p − b)(p − c) B (p − a)(p − c) 

، sin = 

، sin 

bc 2 ac 

C 

2 

= 

a b, 

c 

(p − b)(p − a) 

ab 

A 

cos 

2 

= 

p( p − a ) 

bc 

B 

, cos 

2 

= 

p( p − b ) 

ac 

C 

, cos 

2 

= 

p( p − c ) 

ab 

A 

tan 

2 

= 

( p − b )( p − c ) 

p( p − a ) 

S 

مساحت مثلث از جنس طول اضلاع:‏ = 

شعاع دايرة محيطى يك مثلث (R) مساوى است به:‏ 

p(p − a)(p − b)(p − c) 

a b c 

a 

R = = = ⇒ 2R = = = 

2sin A 2sin B 2sin C sin A 

و يا از 

s 

p 

b c 

sin B sin C 

abc 

يا = R 

4S 

r = دايرة محاطى يك مثلث از فورمول شعاع 


p(p − a)(p − b)(p − c) 

r = 

p 

270


1- نشان دهيد كه مساحت مثلث متساوى الاضلاع ) اگر a يك ضلع مثلث باشد)‏ 

3 

a 

4 


2 

، 8cm b = و c = 9cm باشند مساحت اين 

S = 

- 2 اگرطول اضلاع يك مثلث a = 7cm 

مثلث را دريابيد.‏ 

a) 

6 − 

4 

165° را توسط فورمول هاى مجموع دو زاويه دريابيد.‏ 

2 

, 

b) 


2 − 

4 

6 

, 

c) 

sin و cos 165° 

- 3 

sin( −165° 

) = ? - 4 

− 6 − 2 

4 

cos 2θ 

sin 2θ 

cos3θ 

− = 

- 5 نشاه دهيد كه : 

sin θ cos θ sin θcos 

θ 

- 6 توسط فورمول هاى مجموع و تفاضل دو زاويه،‏ نسبت هاى مثلثاتى زواياى زير را 

دريابيد:‏ 

sin(30° + 45° 

) 

sin(135° + 180° 

) 

cos(150° − 45° 

) , 

sin(135° −180° 

) , 

tan(30° + 60° 

) 

tan(180° − 45° 

) 

- 7 توسط فورمول هاى مجموع و تفاضل نسبت هاى مثلثاتى دو زاوية،‏ صحت رابطة هاى 

زير را نشان دهيد.‏ 

sin(90° − θ) 

= cos θ , cos(90° + θ) 

= −sin 

θ , cos(90° − θ) 

= sin θ 

sin(270° + θ) 

= −cos 

θ , cos(180° − θ) 

= −cos 

θ, 

sin(180° − θ) 

= sin θ 

sin θ و cos θ 2 

، sin 2θ 

، cos 2θ 

-8 اگر 90° < θ < 0° و = θ sin 

2 2 

5 

sin 2θ 

= 2sin θ 

cos θ 

2cos 

2 

θ − 2sin 

2 

, 

, 

θ = 2cos 2θ 

, 


- 9 نشان دهيد كه:‏ 

باشد،‏ قيمت 

, 

2 

cos 2θ + 1 = 2cos θ , 

cos 2θ + 2sin 

cos 2θ 

= cos θ − sin θ 

cos θ + sin θ 

2 

θ = 1 

271

باشد شعاع دايره هاى 

sin(180° + θ) 

= ? 

a) 

sinθ 

8 cm و 7 cm ، 

b) − cosθ 

- 10 اگر طول اضلاع يك مثلث به ترتيب 5cm 

محيطى و محاطى اين مثلث را دريابيد.‏ 

- 11 

c) −sinθ 

d)cosθ 

- 12 به كمك فورمول هاى جمع و تفاضل نشان دهيد كه:‏ 

sin( 360° − θ) 

= −sin 

θ و tan( 180° + θ) 

= tan θ ¡ sec(360° − θ) 

= secθ 

cos( α + β) 

− cos( α − β) 

= ? - 13 

a) 2sin αsinβ 

b)2cosαcosβ 

c) − 2sin αsinβ 

sin α cos α 

+ = sin 5α 

- 14 نشان دهيد كه : 

sec 4α 

csc 4α 


- 15 حاصل ضرب هاى نسبت هاى مثلثاتى زير را به شكل مجموع و يا تفاضل بنويسيد.‏ 

cos100° 

sin 50° 

, cos 40° 

cos 60° 

, sin 8θcos10θ 

, 

3θ 

5θ 

sin sin 

2 2 

- 16 مجموع يا تفاضل نسبت هاى مثلثاتى زير را به شكل حاصل ضرب بنويسيد.‏ 

3α 

4α 

cos84° 

− cos76° 

، sin80° − sin 72° 

، sin12θ + sin8θ 

،cos + cos 

4 3 


= −cot 

θ 

cos 5θ − cos 3θ 


2 است،‏ مساحت قطاع ° 80 از اين دايره را دريابيد.‏ 

- 19 مطابق شكل طول قوس مقابل زاوية مركزى ° 60 مساوى به 1cm) ( است.‏ شعاع 

اين قوس و طول وتر AB را دريابيد.‏ 

- 18 مساحت يك دايره 180 cm 

272

tan 60° − tan 30° 

= ? 

1+ 

tan 60°⋅ 

tan 30° 

a) 

1 

− 

3 

، 

)1 

2 

b) 

1 

3 

c) 

3 

d) − 

، و ضلع دوم θ در ربع اول واقع باشد قيمت هاى sin 


b) 


1 

3 

- 20 

3 

- 21 اگر = θ sin 

5 

tan 2 و cos2 

cos θ + sin θ 

tan( 45° + θ) 

= 

- 22 نشان دهيد كه 

cos θ − sin θ 

cos 37° cos53° − sin 37° 

sin 53° 

= ? - 23 

c)0 

d) 

cos 60° cos14° + sin 60° 

sin14° 

= ?- 24 

هرسه درست نيست − a 

a)cos74° b)cos46° 

c)sin74° 

d)sin46° 

cos 14° cos31° − sin14° 

sin 31° 

= ?- 25 

a)cos17° b)cos45° 

c)sin17° 

d) − sin17° 

cos 80° cos35° + sin80° 

sin 35° 

= ? - 26 

a)cos115° b)sin115° 

c)cos45° 

d)sin45° 

a)sin t 



باشد و و در ربع اول واقع باشند 

باشد و اضلاع دوم θ و γ در ربع سوم واقع 

مي باشد.‏ 

5 3 

- 27 اگر = α sin β = − ، cos 

13 5 

cos( − 

3 8 

cos 

- 28 اگر − = θ γ = − ، cos 

5 17 

باشند γ) cos( θ − 

cos( x − y) 

− cos( x + y) 

= tan x ⋅ tan y 

cos( x − y) 

+ cos( x + y) 

cos( 0° − t) = ? -30 

b)cos t 

c) − sin t 


d) − cos t 

273

است.‏ 

cos8x + cos4x 

= −cot6x cot 2x 

cos8x − cos4x 

sin 4x + sin6x 

= cot x 

cos4x − cos6x 

, 

sin x − sin3x 

= −cot 

2x 

cosx − cos3x 

, 

a)sin x 

b)cos x 

cos 

sin 2 

1+ 

cos2 

= sin 

sin x − sin3x 

= − tan x 

cosx + cos3x 

sin t + sin3t 

= tan 2t 

cost + cos3t 



cos( x + y) cos y + sin(x + y)sin y = ? - 33 

c) − sin x 

d) − cos x 

sin( x − y)cos 

y + cos( x − y)sin 

y = ? - 34 

a) sin x b)cos 

x c) 

− sin x d) 

− cos x 

- 35 مساحت قطاع دايره اى كه شعاع آن 2m و زاوية مركزى آن 0 


,5 radian باشد 

a 

هر سه غلط اند.‏ 2 باشد شعاع اين 

200 2 و زاوية مركزى - 36 اگر مساحت قطاع يك دايره دايره مساوى است به:‏ 

2 

) 3m 

radian 

2 

b) 

2m 

c) 

1m 

هر سه درست نيست.‏ − a 

) 

14.14cm 

b) 

14.14cm 

c) 

cm 

14cm 

2 

d) 

d) 

274

فصل ششم 

اعداد مختلط

اعداد مختلط 

(Complex numbers) 

آيا گفته مى توانيد كه چرا معادلة 

0 در ست اعداد حقيقى 

حل ندارد؟ 

آيا مى دانيد كه ست اعداد حقيقى 

يك ست فرعى،‏ ست اعداد مختلط مى 

باشد؟ 

x 2 + 9 = 

x 

2 

اعداد موهومي Numbers) :(Imaginary 

1 مي باشد.‏ حرف i از كلمة يونانى (iota) گرفته شده است كه 

را واحد اعداد موهومى مى گويند.‏ 

+ a 

2 

= 0 ⇒ x 

2 

= −a 

2 

i 2 

− = 

يا = i −1 −1 = i 

مثال‎1‎‏:‏ − 16 را دريابيد.‏ 

− 16 = ( −1) 

⋅16 

= −1 

حل:‏ = i 16 = ± 4i 16 

⇒ x = ± 

− a 

2 

را حل كنيد.‏ 

+ مثال‎2‎‏:‏ معادلة 0 حل:‏ 

= ± 

x 

2 

a 

2 

= 

2 

( −1) 

⋅(a 

) = ± a 

−1 

= ± ai 

ai و –ai اعداد موهومى اند،‏ ) a يك عدد حقيقى مى باشد).‏ 

طاقت هاىi‏:‏ (Powers of 

ديده مى شود كه به كمك = 1 اعداد موهومى راساده كرده مى توانيم به ياد 

داشته باشيد كه مربع يك عدد حقيقى،‏ مثبت،‏ ليكن مربع اعداد موهومى منفى مى باشد.‏ 

i = 

i 

i 

4 

5 

= ( 

= i 

−1 

4 

−1) 

4 

= [( 

i 

2 

−1 

⋅i 

= (1)(i) = i 

= ( 

2 

)] 

2 

−1) 

2 

= ( −1) 

i 

6 

i = − يا i 2 −1 

= −1 

2 

= 1 

= (i) 

4 

يا 

⋅(i) 

2 

i 

4 

i 

3 

= i 

= i 

2 

⋅i 

2 

2 

i) 

= (1) ⋅( 

−1) 

= −1 

⋅i 

= ( −1) 

⋅(i) 

= −i 

= ( −1)( 

−1) 

= 1 

277

i 

7 

= (i) 

6 

⋅(i) 

= ( −1) 

⋅(i) 

= −i 

i 

8 

= i 

7 

⋅i 

= ( −i) 

⋅(i) 

= −i 

فعاليت 

2 

= −( 

−1) 

= 1 

i را واحد موهومي مي گويند.‏ 

از اين جا نتيجه مى شود كه،‏ اگر توان واحد موهومى 4=n و يا عددى باشد كه بر 4 قابل 

تقسيم باشد،‏ در آن صورت مساوى به (1) مى باشد.‏ 

مثال‎3‎‏:‏ 

i 

i 

i 

M 

i 

i 

i 

i 

8 

12 

16 

4n 

= i 

4n+ 

4n+ 

4n+ 

4 

= i 

= i 

⋅i 

4 

4 

4 

⋅i 

⋅i 

4 

4 

= 1⋅1 

= 1 

⋅i 

⋅i 

4 

4 

= 1⋅1⋅1 

= 1 

⋅i 

4 

= 1⋅1⋅1⋅1 

= 1 

4 4 4 

= i ⋅i 

...i = 1 

1 4n 

= i ⋅i 

= 1⋅i 

= i 

2 4n 2 

= i ⋅i 

= 1⋅( 

−1) 

= −1 

3 4n 2 

= i ⋅i 

⋅i 

= 1( −1)i 

= −i 


256 

( i) و (i) 

−37 

,(i) 

61 

قيمت طاقت هاى 

89 

مثال‎4‎‏:‏ i 1998 ، i 54 و i را دريابيد.‏ 

حل:‏ هرگاه عدد 54 بالاى 4 تقسيم كنيم باقى مانده 2 مى باشد،‏ بنابر آن:‏ 

i 

i 

i 

54 

1998 

89 

= i 

= i 

= i 

52 

⋅i 

4⋅22 

2 

4(499) 

= i 

⋅i 

4⋅13 

2 

⋅i 

2 

= 1⋅i 

⋅i 

= 1⋅i 

= i 

= (i 

2 

4 

= i 

2 

) 

13 

⋅i 

2 

= −1 

= (1) ⋅i 

2 

= (1) ⋅( 

−1) 

= −1 

عددهايى كه يك فكتور شان 1− باشد به نام اعداد موهومى ياد مى شوند.‏ توان هاى 

طبيعى i يكى از اعداد − 1,i , i و 1- مى باشد.‏ مربع اعداد حقيقى مثبت و مربع اعداد 

موهومى منفى مى باشد.‏ 

278

ست هاى اعداد در طول تاريخ بنابر 

ضرورت و انكشاف علم رياضى عرض 

وجود كرده است.‏ 

طورى كه ميدانيد ست اعداد طبيعى 

,...} {1,2,3 = IN جوابگوى همه 

مسائل نمى باشد.‏ به طور مثال معادلة 

= 0 x 3 در ست اعداد طبيعى حل 

ندارد.‏ واضح است كه جواب آن 

= 0 x مى باشد،‏ پس به ست ديگرى 

ضرورت احساس شد كه عبارت 

از:‏ {..., 0,1,2,3} = W بوده و به نام ست اعداد مكمل ياد ميشود.‏ اين ست هم جواب 

بعضى سؤالها را گفته نميتواند؛ طور مثال معادلة + 0 در ست اعداد مكمل حل 

ندارد.‏ زيرا = 2 حل آن مى باشد كه 2- در ست اعداد مكمل شامل نيست،‏ بنابر آن 

به موجوديت يك ست ديگر اعداد ضرورت احساس شد كه اعداد منفى را هم داشته باشد 

I 

{..., −2, 

−1,0,1,2,3,...} 

x 2 = 

x 

− 

279 

كه به نام ست اعداد تام set) (Integer Numbers يا = 

1 

2 

= x 

حل ندارد،‏ زيرا حل آن + ياد مى شود.‏ در اين ست اعداد هم معادلة 2 مى باشد.‏ 

بنابر آن ست اعداد ناطق set) (Rational Numbers به ميان آمد،‏ اما در ست اعداد 

= x بوده كه 

حل ندارد،‏ زيرا حل آن 2 − ناطق يا اعداد گويا هم معادلة 0 در ست اعداد غير ناطق set) (Irrational Numbers شامل مى باشد؛ پس ست 

2 اعداد غير ناطق به وجود آمد.‏ هر دوست اعداد ناطق و غير ناطق را،‏ ست اعداد حقيقى 

x 2 1 = 

0 

2 x 1 = 

x 2 2 = 

Set) (Real Numbers مى گويند.‏ 

ليكن ست اعداد حقيقى هم بعضى سؤالها را جواب داده نميتواند؛ مانند معادلات + 

0 كه حل شان در ست اعداد حقيقى موجود شده نمى تواند يا به عبارت 

ديگر اعداد منفى در ست اعداد حقيقى جذر جفت ندارند،‏ مانند − 16 و غيره،‏ 

اما آن معادلاتى كه در ست اعداد حقيقى حل ندارند در ست اعداد مختلط داراى حل 

25 , − 

ويا = 16 + 2 x


در سال 1795 م يك رياضى دان جرمنى به نام گوس (Gauss) مفهوم اعداد مختلط را به 

شكل زير ارائه كرد:‏ 

مجموعة اعداد حقيقى و موهومى را ست اعداد مختلط set) (Complex Numbers 

مى گويند.‏ 

اگر يك عدد مختلط را به حرف z نمايش دهيم = ، كه شكل معيارى يك عدد 

مختلط مى باشد طورى كه a قسمت حقيقى ) z (Real Part of و bi قسمت موهومى عدد 

مختلط(‏z (Imaginary Part of مى باشد.‏ ست اعداد مختلط اين طور تعريف مى شود:‏ 

z a + bi 

C = {z | z = a + bi 

, 

a, b∈1R 

, 

i 

2 

= −1} 

عدد مختلط z را به شكل جورة مرتب نيز نوشته كرده مى توانيم:‏ 

z = a + bi = (a, b) , z = a − bi = (a, −b) 

اگر a=0 شود:‏ Z = 0 + bi = bi 

z = a + 0⋅i 

= a باشد مى باشد و اگر b=0 (Pure imaginary number) 

كه bi يك عدد خالص موهومى 

مى شود 

كه a يك عدد خالص حقيقى number) (Pure real مى باشد.‏ به ياد داشته باشيد كه 

اعداد مختلط مانند اعداد حقيقى خاصيت ترتيب را ندارند.‏ 

عدد صفرى مختلط Number) :(Zero complex عددى است كه هر دو قسمت 

حقيقى و موهومى آن صفر باشند = 

z = a + bi = 0 + 0i بنابرآن = 0 ( b 0 a = 0) 

فعاليت 

در اعداد مختلط + 4 

3i و 2 − 5i قسمت هاى حقيقى و موهومى را مشخص كنيد.‏ 

قسمت هاى حقيقى و موهومى 

− 

مثال‎1‎‏:‏ در اعداد مختلط را نشان دهيد.‏ 

قسمت حقيقى آن 1 و قسمت موهومى آن i– مى باشد.‏ 

− مى باشد.‏ 

و قسمت موهومى آن قسمت حقيقى آن 3 − 3 در عدد مختلط i 3i 

2 − 5i و 5i 

, 3 3i , 1− 

i 

3 

حل:‏ در −1 i 

280

در عدد مختلط 5 i قسمت حقيقى صفر و قسمت موهومى آن 5 i مى باشد.‏ 

5i 

5 

در عدد مختلط − i 2 قسمت حقيقى 2 و قسمت موهومى آن − 


مثال‎2‎‏:‏ اعداد مختلط − و − 1 i را به شكل معياري 

Form) (Standard اعداد مختلط بنويسيد.‏ 

مى باشد كه در آن a قسمت حقيقى عدد 

= حل:‏ چون شكل معيارى عدد مختلط مختلط و bi قسمت موهومى آن است.‏ 

جدول زير نمايش عدد هاى فوق را به شكل معيارى اعداد مختلط ارائه مى كند.‏ 

9 i , 0 , − 9 , 6i 

z a + bi 

6i 

− 9 

0 

9 − i 

i −1 

شكل معيارى 

عدد هاي مختلط 

( z = a + bi) 

0 + 6i 

− 9 + 0i 

0 + 0i 

9 − i 

−1+ i 

z=a+bi شكل معيارى اعداد مختلط مى باشد كه a قسمت حقيقى و bi قسمت موهومى 

اعداد مختلط مى باشد.‏ 

اگر 0=a باشد،‏ bi را قسمت خالص موهومى و اگر 0=b باشد،‏ a را قسمت خالص حقيقى 

عدد مختلط مى نامند.‏ 

معادلاتى كه در ست اعداد حقيقى حل ندارند در ست عداد مختلط حل دارند.‏ 

281

تمرين 


2 

( 3i) و (2i) 

2 

,(i) 

202 

, 

(i) 

79 

,(i) 

−33 

- 1 قيمت هاى 

- 2 عدد هاى زير را به شكل معيارى اعداد مختلط بنويسيد:‏ 

− i − 4 

, 

5i 

, 

− 4i + 

2 

, 

− 3i 

- 3 اعداد مختلط 5 − 7i 7 − i , 5 + 3i , − 3i را به شكل جوره هاى مرتب 

و 


- 4 قسمت حقيقى عدد مختلط – i مساوى است به:‏ 

a) 

1 , b) − 1 

, 

c) 0 

, 

d)2 

- 5 جذر عدد − 16 مساوى است به:‏ 

a ) ± 4 , b) − 4 , c) ± 4i , d) ± 2 

282

عمليه هاى چهار گانه در اعداد 

موهومى 

عدد هاى موهومى 3i و 4i راجمع 

آيا 

كرده مى توانيد؟ 

آيا حاصل ضرب عدد هاى موهومى 10i 

و 50i يك عدد حقيقى مى باشد؟ 

 

 

 

جمع و تفريق اعداد موهومى 

عدد هاى موهومى را ميتوان به شكل زير جمع و تفريق نمود:‏ 

a) عملية جمع:‏ حاصل جمع دو عدد موهومى يك عدد موهومى است.‏ 

مثال‎1‎‏:حاصل جمع ‎7iو‎8i و حاصل جمع 5 i و 7 i را دريابيد.‏ 

حل:‏ 

7i + 8i = (7 + 8)i = 15i 

7i + 5i = ( 

7 + 5)i 

b) عملية تفريق:‏ حاصل تفريق دو عدد موهومى يك عدد موهومى است.‏ 

مثال‎2‎‏:‏ حاصل تفريق 7i-4i و 9i 13i- را دريابيد.‏ 

حل:‏ 

7i − 4i = (7 − 4)i = 3i 

9i −13i 

= (9 −13)i 

= −4i 

(Real number) عملية ضرب:‏ حاصل ضرب دو عدد موهومى يك عدد حقيقى ( c 


و ⋅ 

مثال‎3‎‏:‏ حاصل ضرب 

⋅(5i) ( 9i) ( 4i) (10i) رادريابيد.‏ 

2 

(10i) ⋅ (5i) = (10) ⋅(5) 

⋅i 

⋅i 

= 50i = −50 

حل:‏ 

50i در حاليكه − 50 يك 

2 50⋅( 

−1) 

= −50 

i 2 − 

زيرا كه = 1 مى باشد،‏ بنابر آن = 

عدد حقيقى(‏number (Real است.‏ 

به همين ترتيب:‏ ⋅ 

در ضرب اعداد موهومى خاصيت تبديلى Property) (Commutative صدق ميكند،‏ 

( 

4i) 

( 

9i) = 

4⋅9 

⋅i 

⋅i 

= 

36 ⋅i 

2 

= 6⋅( 

−1) 

= −6 

283

( ai) ⋅ (bi) = (bi) ⋅(ai) 

يعنى −ab = 

فعاليت 

) 

5i 

7i 

5 

7 

2 3 

( i) ( − i 

3 5 

حاصل ضرب ) ⋅ را به دست آريد.‏ 

( d عملية تقسيم:‏ حاصل تقسيم دو عدد موهومى يك عدد حقيقى است.‏ 

را به دست آريد.‏ 

13i 5i − 7 

, و 

3i 7i − 5 

حل:‏ ) 5 

7 

مثال‎4‎‏:‏ حاصل تقسيم 

يك عدد حقيقى است)‏ = 1 

) 

13i 

3 i 

13 

3 

فعاليت 

يك عدد حقيقي است)‏ = 2 

− 7 −1 

7 7 i 7 

3 ) = ⋅ = = 

− 5 −1 

5 5 i 5 

13 ) 

3 

36i را بالاى 2i- تقسيم نماييد.‏ 

در عمليه هاى جمع و ضرب اعداد موهومى خاصيت تبديلى صدق مى كند.‏ حاصل ضرب 

تقسيم دو عدد موهومى يك عدد حقيقى است.‏ 

حاصل 

و 

تمرين 

− 1 b + −1c 

, − 7 + − 4 , 7 i + 7 i 

1) جمع كنيد.‏ 

5 i − 5 i , 12i − 7i , 5i − 2i 

2) تفريق كنيد.‏ 

13i 

26i 

, 

16i 

− 4i 

, (3i) ⋅(5i) 

, 

3) عدد هاى موهومى زير را با هم ضرب و تقسيم كنيد.‏ 

( 

7 i) ⋅( 

−7i) 

, 

7 2 

( i)( − i) 

4 9 

284

جمع و تفريق اعداد مختلط 

از تساوى − قيمت 

آيا 

هاى x و y را به دست آورده مى توانيد؟ 

آيا ميدانيد كه به كدام عدد مختلط عنصر 

عينيت عمليه جمع اعداد مختلط مى 

گويند؟ 

3 x 2yi = 6 + i 

اعداد مساوى مختلط :(Equal Complex Numbers) 

دو عدد مختلط وقتى با هم مساوى مي باشند كه قسمت هاى حقيقى و موهومى هر دو عدد 

وقتى مساوى مى شوند كه:‏ 

با هم مساوى باشند،‏ عدد هاى = 

و باشد.‏ 

فعاليت 

z 2 

x + 

= yi و z 1 

a + bi 

z مى شود كه:‏ 

1 

= باشد،‏ آنگاه z2 z 2 

= 3 − 5i و z1 x1 

+ 2y1i 

y = b x = a 


و 

قيمت 

1 

z2 

z 2 

5 

y1 = − x1 باشد.‏ 

= 3 

2 

= −5 

z 1 و − 6 

- 1 اگر = 2 x + 3 yi 

z = باشد با در نظر داشت i 

هاى x و y را دريابيد.‏ 

باشد،‏ در آن صورت قيمت عدد هاى حقيقى m و k را پيدا 

كنيد.‏ 

عملية جمع عدد هاى مختلط:‏ جمع عدد هاى مختلط طور زير تعريف مى شود:‏ 

باشد،‏ در آن صورت،‏ 

z + z2 مى باشد.‏ يا به عبارت ديگر:‏ 

- 2 اگر + mi = k + 3i 2 

z 2 

= c + di و z 1 

اگر = a + bi 

= (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i 

1 

⋅ 

حاصل جمع دو عدد مختلط عبارت از عدد مختلطى است كه قسمت حقيقى آن از حاصل 

285

جمع قسمت هاى حقيقى و قسمت موهومى آن از حاصل جمع قسمت هاى موهومى اعداد 

مختلط داده شده حاصل مى شود.‏ 

z 

1 

z را پيدا كنيد.‏ 

1 

+ z2 باشد،‏ z 2 

= 3+ 

4i − 2 و 3i 

1 

+ z = (2 − 3i) + (3 + 4i) = (2 + 3) + ( −3 

+ 4)i = 5 + i 

z 1 


به همين قسم:‏ 

( 3− 

4i) + ( −2 

+ 6i) = (3 − 2) + ( −4 

+ 6)i = 1+ 

2i 

( −9 

+ 7i) + (3 −15i) 

= ( −9 

+ 3) + (7 −15)i 

= −6 

−8i 

0 + 0i عنصر عينيت در عملية جمع(‏identity (additive اعداد مختلط مى باشد.‏ 

زيرا كه:‏ 



( a + bi) + (0 + 0i) = (a + 0) + (b + 0)i = a + bi 

همچنين معكوس جمعى inverse) (additive عدد a + bi عبارت − a − bi 

( a bi) + ( −a 

− bi) = (a − a) + (b − b)i = 0 + 0i 

زيرا يريرا كه:‏ + 0 

فعاليت 

حاصل جمع ) − را به دست آريد.‏ 

( 3x yi) + (5x + 3yi 

عملية تفريق اعداد مختلط:‏ 

حاصل تفريق دو عدد مختلط عددى است كه قسمت حقيقى آن از حاصل تفريق قسمت 

هاى حقيقى و قسمت موهومى آن از حاصل تفريق قسمت هاى موهومى به دست آمده 

( a bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i 

باشد.‏ يعنى:‏ + 

( − 4 + 3i) − (6 − 7i) = ( −4 

+ 3i) + ( −6 

+ 7i) = −10 

+ 10i 

( 12 − 5i) − (8 − 3i) = (12 −8) 

+ ( −5 

+ 3)i = 4 − 2i 

مثال‎1‎‏:‏ 

مثال‎2‎‏:‏ 

286

دو عدد مختلط وقتى با هم مساوى مى باشند كه هر دو قسمت ‏(حقيقى و موهومى)‏ اعداد 

مذكور با هم مساوى باشند.‏ 

حاصل جمع دو عدد مختلط،‏ عدد مختلطى است كه قسمت حقيقى آن از حاصل جمع 

قسمت هاى حقيقى و قسمت موهومى آن از حاصل جمع قسمت هاى موهومى اعداد 

مذكور حاصل شده باشد.‏ 

به همين ترتيب حاصل تفريق دو عدد مختلط،‏ عددى است كه قسمت حقيقى آن از حاصل 

تفريق قسمت هاى حقيقى و قسمت موهومى آن از حاصل تفريق قسمت هاى موهومى 

اعداد مذكور به دست مى آيد.‏ 

(2 + 5i) + (3 + 4i) 

( −3 

+ 6i) + (10 − 7i) 

(5 − i) − (7 + 3i) 

(2 

3 + 5⋅ 

7 i) − ( 

(3c + 4di) − (3c + 8di) 

3 + 3 

7 i) 

( 

3 − ci) + (d + 5ci) 

تمرين 

(13 −12i) 

+ (13 + 12i) 

- 1 اعداد مختلط زير راجمع كنيد.‏ 

- 2 اعداد مختلط زيرا از همديگر تفريق كنيد.‏ 

- 3 معكوس جمعى اعداد مختلط زير را دريابيد.‏ 

2 + 3i , (2, −3) 

, 2 + 3 i 

3x 

- 4 هرگاه + 2iy − ix + 5y = 7 + 5i (x, y ∈ IR 

) و باشد قيمت هاى x و y را 


- 5 عمليه هاى زير را انجام دهيد و جواب هاى خود را به شكل + a بنويسيد.‏ 

bi 

(2 + 3i) + ( −5 

+ 2i) 

( −5 

− 4i) − ( −2 

− 

(2 + 3i) + ( −5 

− i) 

(6 − 5i) + (3 + 2i) 

2i) 

(3.7 + 6.1i) − (1 + 5.9i) 

287

288 

8) 

12 

( 

2) 

3 

( 

50) 

(8 

72) 

7 

( 

i) 

8 

3 

(13 

i) 

6 

5 

4 

( 

i) 

15 

7 

11 

( 

i) 

5 

3 

(3 

i) 

(3 

5i) 

2 

( 

i) 

2 

1 

(4 

i) 

8 

5 

6 

( 

i) 

3 

2 

7 

( 

i) 

4 

3 

(8 

+ 

− 

− 

+ 

− 

+ 

+ 

− 

− 

− 

+ 

+ 

− 

− 

+ 

− 

− 

+ 

− 

+ 

+ 

− 

+ 

+ 

− 

− 

+ 

− 

− 

+ 

:ديبايرد ار ريز طلتخم دادعا ىعمج ىاه سوكعم :6 

2i 

5i 

13i 

13 

8i 

5 

i 

1 

i 

1 

11i 

8 

3i 

2 

− 

+ 

− 

− 

+ 

− 

− 

+ 

−

ضرب اعداد مختلط 

توانيد حاصل ضرب اعداد مختلط 

آيا مى 

) را به دست آوريد؟ 

( 2 − 3i)(3 + 4i 

z ⋅z 

1 

2 

با در نظر داشت = 1 حاصل ضرب دو عدد مختلط به شكل زير مى باشد:‏ 

= ac + adi + bci + bdi 

= ac + (ad + bc)i + bd( −1) 

z ⋅z 

= (ac − bd) + (ad + bc)i 

i 2 

فعاليت 

باشد.‏ 

= (a + bi) ⋅(c 

+ di) = ac + adi + bci + bidi 

1 

2 

2 

− 

z 2 

= c + di و z 1 

اگر = a + bi 


− مثال‎1‎‏:‏ حاصل ضرب افادة ) حل:‏ 

= 35 − 38i + 8( −1) 

= 35 − 38i −8 

= 27 − 38i 

( 5 4i) ⋅ (7 − 2i 

(5 − 4i)(7 − 2i) = 5(7) + 5( −2i) 

+ ( −4i)(7) 

− 4i( −2i) 

= 35 −10i 

− 28i + 8i 

حاصل ضرب ) را به دست بياوريد.‏ 

( 2 − 3i)(3 + 4i 

1+ 0i مى باشد.بنابران ( a + bi)(1 + 0i) = a ⋅1+ 

a ⋅0i 

+ bi⋅1+ 

bi⋅0i= 

چون a + bi 

را عنصر عينيت عملية ضرب identity) (Multiplicative اعداد مختلط مى نامند؛ 

2 

289

( 3 + 5i)(1 + 0i) = 3 + 5i 

طور مثال:‏ 

مزدوج يك عدد مختلط Number) :(Conjugate of a Complex 

، z x + yi عدد z = x − yi مى باشد،‏ طورى كه:‏ 

مزدوج عدد مختلط = 

z ⋅ z = (x + yi) ⋅(x 

− yi) = x 

2 

− (yi) 

2 

= x 

2 

+ y 

2 

z ⋅ z = x 

2 

+ y 

2 

z + z = (x + yi) + (x − yi) = 2x 

z − z = (x + yi) − (x − yi) = 2yi 

2x = Re(z) 

2yi = Im(z) 

z 3 + 4i عبارت از z = 3 − 4i مى باشد.‏ 

مثال‎2‎‏:‏ مزدوج = 

z + z , z − z و z ⋅ z را به دست آريد.‏ 

z ⋅ z = (3 + 4i) ⋅(3 

− 4i) = 3(3) + 3( −4i) 

+ 4i(3) + 4i( −4i) 

حل:‏ 

= 9 −16i 

2 

= 9 −16( 

−1) 

= 9 + 16= 

25 

z z = (3 + 4i) + (3 − 4i) = 6 

‏(كه 6 عدد حقيقى مى باشد)‏ + 

(8i عدد موهومى مى باشد)‏ − 

z z = (3 + 4i) − (3 − 4i) = 8i 

فعاليت 

اعداد مختلط = 

مزدوج z 3 را دريابيد.‏ 

= 5 + 7 i و 7 + i , z = 5 3i 

z2 1 

− 

i 

1+i 

-4-2i 

-5i-6 

-i 

1-i 

-4+2i 

5i-6 

طورى كه ديديم براى دريافت مزدوج يك عدد 

مختلط،‏ تنها علامة قست موهومى آن را تغيير مى دهيم.‏ 

عدد مزدوج عدد 

290

معكوس ضربى inverse) (Multiplicative يك عدد مختلط:‏ 

است،‏ و 

2 


ميدانيم كه مزدوج عدد a + bi عبارت از a − bi 

2 2 2 2 2 

2 

( a + bi) ⋅(a 

− bi) = a − (b i ) = a − b ( −1) 

= a + 

b 

را به شكل معيارى يك عدد مختلط 

1 

a + bi 

براى دريافت معكوس ضربى a + bi 

عدد 

مى نويسيم،‏ پس صورت و مخرج را ضرب a − bi 

مى باشد)‏ 

مى كنيم.‏ a-bi) مزدوج مخرج 

1 a − bi (a − bi) a − bi 

⋅ = 

= 

2 

a + bi a − bi (a + bi)(a − bi) a + b 

1 

= 

a + bi a 

2 

a 

+ b 

2 

− 

a 

2 

b 

+ b 

2 

i 

2 

= 

a 

2 

a 

+ b 

2 

− 

a 

2 

b 

+ b 

2 

i 

a 

+ b 

b 

+ b 

معكوس ضربى عدد ) + ( عبارت از ) مى باشد.‏ 

a 

1 2 + 3i 2 + 3i 

⋅ = 

2 − 3i 2 + 3i 4 − 9i 

x 

2 

+ 4 = x 

2 

− 

a 

( 2 2 2 2 

− ( −1) 

⋅ 4 = x 

i 


2 + 3i 2 + 3i 2 

= = = 

4 + 9 13 13 

2 

+ 

2 

− (i) 

2 

⋅ 4 = x 

2 

a 

bi 

مثال‎3‎‏:‏ معكوس ضربى عدد 2 − 3i 

3 

13 

i 

4 را تجزيه كنيد.‏ 


− (2i) 

2 

2 4i + 

3i 

مثال‎4‎‏:‏ افادة + 2 x 

= (x − 2i)(x + 2i) 

فعاليت 

و‎5‎ − 

معكوس ضربى ا اعداد مختلط z ⋅ دو عدد مختلط باشند،‏ i 

w چنين تعريف شده است:‏ 

w = x′+ 

اگر z = x + yi و y′ 

z ⋅ w = (xx′− 

y y ′) 

+ (xy′ 

+ x′ 

y)i 

291

براى دريافت مزدوج يك عدد مختلط محض علامه قسمت موهومى را تغيير مى دهيم و 

a 

+ b 

− 

a 

b 

+ b 

( 

2 2 2 2 

عبارت از ) مى باشد.‏ 

a 

i 

معكوس ضربى عدد مختلط a + bi 

تمرين 

(2 + i)(3 − 2i) 

( −2 

+ 3i)(4 − 2i) 

(5 + 2i)(5 − 3i) 

( 

3 + 

2i)( 

3 − 

, 

, 

, 

2i) 

(3 + i)(3 − i) 

(2 − 5i)(2 + 5i) 

( 

6 + i)(6 − i) 

1− 

i , 2 + 4i , 5 − 3i , 3a − 4bi 

x 

2 

+ 16 

, x 

2 

+ 8 

, x 

2 

+ 5 

, x 

2 

1- اعداد مختلط زير را با هم ضرب كنيد:‏ 

2- معكوس ضربى اعداد مختلط زير را دريابيد:‏ 

+ 7 

, 

(7,4) 

3- افاده هاى زير را تجزيه كنيد:‏ 



) را حل كنيد.‏ 

2 

2 

-4 قيمت هاى 2i) − 3 + ( و i) + 2 ( 

2 

8z 

− z باشد،‏ z 4−3i 

-5 اگر = 

-6 اين معادله x + yi = (2 − 3i)(2 + 3i 

، جذر مربع i است.‏ 

جذر سوم - i مي باشد.‏ 

-7 نشان دهيد كه:‏ + i 2 2 

2 2 

-8 نشان دهيد كه:‏ − i 1 3 

2 2 

292

− 

2 

− 

2i 

− 

5 

+ 

6i 

= 

? 

تقسيم دو عدد مختلط 

Division of two Complex 

numbers 

را به دست 

− 2 − 2i 

− 5+ 

6i 

آيايا آيا خارج قسمت 

آورده مى توانيد؟ 

عدد c عدد حقيقى و di عدد موهومى مى باشد،‏ در قدم 

a + bi 

c + di 

چون در مخرج عدد 

اول بايد مخرج آن را به يك عدد حقيقى تبديل كنيم،‏ براى اين منظور صورت و مخرج را 

ضرب مزدوج مخرج مى نماييم كه اين عمليه را گويا كردن (Rationalization) 


مثال‎1‎‏:‏ حاصل تقسيم را به دست آريد.‏ 

4 + 3i 

2 + 5i 

حل:‏ مزدوج 2+5i عدد 2-5i مي باشد،‏ صورت و مخرج را ضرب مزدوج مخرج يا 

مى نماييم.‏ 

2 

4 + 3i 4 + 3i 2 − 5i 8 − 20i + 6i −15i 

= ⋅ = 

2 + 5i 2 + 5i 2 − 5i 4 −10i 

+ 10i − 25i 

23 −14i 

23 14 

= = − i 

29 29 29 

2 

8 −14i 

−15( 

−1) 

= 

4 − 25( −1) 

2 − 5i 

در نتيجه به ملاحظه مى رسد كه در خارج قسمت،‏ قسمت هاى حقيقى و موهومى از هم 

جدا اند.‏ فعاليت 

را به دست آريد.‏ جواب هاى خود را به 

1+ i 

3+ 

2i 

و 

1− 

i 5 − i 

حاصل تقسيم ‏(خارج قسمت)‏ 

شكل معيارى بنويسيد.‏ 

293

تعريف 

z 

z 

1 

2 

z 

z 

1 

زير تعريف شده است:‏ 

طور 

ac + bd ad − bc 

= − i 

2 2 2 2 

c + d c + d 

1 

2 

باشند،‏ 

(a + bi)(c − di) ac − adi + bci − bdi 

= 

= 

2 2 2 

(c + di)(c − di) c − d i 

2 

z 2 

= c + 

di و z 1 

= a 

+ bi 

اگر 

ac + bd − (ad − bc)i 

= 

2 2 

c + d 

اگ 

z 2 تقسيم نماييد و بعد امتحان كنيد.‏ 

1+ 

i 

i را بالاى عدد = 

z 1 

مثال :2 عدد − 3 2 = 

z1 

2 − 3i (2 − 3i)(1 − i) −1− 

5i 1 

= = 

= = − − 

z2 

1+ 

i (1 + i)(1 − i) 2 2 

1 5 1 5 1 5 2 

(1 + i)( − − i) = − − i − i − i = − 

2 2 2 2 2 2 

5 

i 

2 


1 5 

− 3i + = 2 − 3i 

2 2 

3 2i 

5 − i 

مثال 3: حاصل تقسيم + 

حل:‏ 

3+ 

2i (3 + 2i)(5 + i) 15+ 

3i + 10i + 2i 

= 

= 

2 

5 − i (5 − i)(5 + i) 25− 

i 

2 

15+ 

13i − 2 13+ 

13i 1 

= = = + 

25+ 

1 26 2 

1 

i 

2 

w چنين 

دو عدد مختلط باشند؛ در آن صورت z 

z xx′ 

+ yy′ 

x′ 

y − xy′ 

2 2 

= + i , (x′ 

+ y′ 

≠ 0) 

2 2 2 2 

w x′ 

+ y′ 

x′ 

+ y′ 

w = x′ 

+ y′ 

اگر z = x + yi و i 

تعريف مى شود:‏ 

خاصيت هاى مزدوج يك عدد مختلط:‏ 

1 دو عدد مختلط باشند:‏ 

1) 

z 

− 

1 

+ z2 

= z1 

+ z2 

2) z1 

− z2 

= z1 

z2 

z 

2 

اگر وz 

294

3) 

5) 

7) 

z ⋅ z 

1 

2 

z + z = 2x 

z = z 

= z ⋅ z 

1 

2 

= z 

2 

⋅ z 

1 

4) 

6) 

z 

( 

z 

1 

2 

z 

) = 

z 

1 

2 

z − z = 2yi 

z و 

1 

z2 

= z1 

+ z2 

z + z 

1 

z + z 

1 

i باشند نشان دهيد كه:‏ + 

2 

2 

= (4 + 5i) + ( −3+ 

2i) = 1+ 

7i ⇒ 

= (4 − 5i) + ( −3− 

2i) = 1− 

7i 

z 2 

= −3 

z 1 و + 2 

4 + 5i 

z + z 

1 

2 

= 1− 

7i 


z 

1 

⋅ z2 

= z1 

⋅ z2 

حل:‏ 

z + 

1 

z2 

= z1 

z2 

در نتيجه + 

z ⋅ z 

1 

⇒ z ⋅ z 

z ⋅ z 

1 

2 

2 

= (4 + 5i) ⋅( 

−3+ 

2i) = −12 

−10 

+ (8 −15)i 

= −22 

− 7i 

2 

= −22 

+ 7i 

= (4 − 5i) ⋅( 

−3 

− 2i) = −12 

−8i 

+ 15i + 10i 

= −22 

+ 7i 

2 

= −12 

−8i 

+ 15i −10 

z 

2 

1 

z2 

= z1 

⋅z 

= −22 

+ 7i 

بنابر آن:‏ ⋅ 

z x + yi باشد z + z و z − z را دريابيد.‏ 


حل:‏ z + z = (x + yi) + (x − yi) = 2x , z − z = (x + yi) − (x − yi) = 2yi 

فعاليت 

اگ اگر z = 2 + 3i باشد،‏ z − z z , z + z را دريبايد.‏ 

و 

295

تمرين 

7 − i 

3 − 5i 

, 

5 − 2i 3 − 4i 

, 

6 − i 2 − 5i 

1+ 

i 

, 

1−1 

قسمت ها را دريابيد.‏ 

خارج 

-1 

z 2 باشند.‏ نشان دهيد كه 

= 2a − 3bi و = −a 

-2 اگر − 3bi 

z 1 

1 خا 

باشد.‏ 

bi بنويسيد.‏ 

⎛ z 

⎜ 

⎝ z 

1 

2 

⎞ 

⎟ = 

⎠ 

z 

z 

1 

2 

z1 ⋅ z2 و 

= z1 

⋅ z2 

3- خارج قسمت ها را دريابيد و جواب هاى خود را به شكل + a 

2 

a : 

5 − i 

3 − i 

b : 

2 + i 

c : 

2 − 3i 

3 

6 + − 36 

3+ 

− 9 

a : 1 b : 2 c : 3i d : − 2 

4- خارج قسمت 

5- جواب هاى خود را به شكل a + bi 



3 + 4i 

4i 

, 

− 5 

2 − 3i 

, 

6 

1+ 

3i 

7 

7 − 2i 

, 

− 4 + 8i 

2 − 4i 

, 

3− 

2i 

− 6 + 4i 

− 4 + 8i 

2 − 4i 

, 

1 

i 

296

x 

x 

x 

2 

1 

2 

+ x 

= ? 

= ? 

+ 

4 

= 

0 

معادله هاى درجه دوم يك حل 

مختلط 

مجهوله در ساحة اعداد 

= 0 4 + x x 2 را 

جذر هاى معادلة + 

آيا 

دريافت كرده مى توانيد؟ 


+ شكل عمومى معادلة درجه دوم يك مجهوله 0 باشد معادله داراى دو جذر مختلف العلامه حقيقى مى باشند:‏ 

0 اگر = 0 Δ باشد،‏ معادله داراى دو جذر مساوى حقيقى مى باشد.‏ 

اگر < 0 Δ باشد،‏ معادله درست اعداد حقيقى حل ندارد،‏ ليكن در ساحة اعداد مختلط 

داراى دو جذر مختلط مى باشد.‏ 

را حل كنيد.‏ 

مثال‎1‎‏:‏ معادلة‎0‎ مى باشد.‏ 

26 ax 2 bx + c = 

اگر > 4ac Δ = b 2 − 

x 2 −10x 

+ 26 = 

a = 1 b = −10 

حل:‏ = c 

x 

1,2 

2 

− b ± b − 4ac 

= 

2a 

10 ± 2i 

= = 5 ± i 

2 

10 ± 

= 

⇒ 

2 

( −10) 

− 4⋅1⋅ 

26 10 ± − 4 

= 

2⋅1 

2 

x 

1 

= 5 + i 

x 

2 

= 5 − i 

فعاليت 

جذر هاى فوق را در معادلة وضع نموده امتحان نماييد.‏ 

0 را حل كنيد.‏ 

4x 

مثال :2 معادلة = 15 + x 2 + 4i 

حل 

Δ = b 

2 

− 4ac = (4i) 

2 

− 4.4.15 = 16i 

± Δ = ± − 256 = 256( −1) 

= ± 16i 

2 

− 240 = −256 

297

− 4i + 16i 12i 3 

x = = = i x 

2 

2⋅ 

4 8 2 

− 4i −16i 

= = 

8 

1 

− 

مثال‎3‎‏:‏ معادلة + 0 را به كمك فورمول محمد بن موسى در ساحة اعداد 

مختلط حل كنيد.‏ 

Δ = b 

± 

x 

1,2 

2 

Δ = ± 

− 4ac = (3i) 

− 3i ± i 

= 

2⋅1 

2 

−1 

= ± i 

x 

1 

2 

− 4⋅1⋅( 

−2) 

= 3 ⋅i 

− 4i 

= = −2i 

2 


2 

x 

x 2 3ix − 2 = 

+ 8 = −9 

+ 8 = −1 

2 

− 2i 

= = −i 

2 

x 2 − 4x + 13 = و x 2 − 6x 

= 

، x 2 

+18 

0 3 = 

مع هاى 0 

5 

i 

2 

معادلة هاى + 0 

لةلة 

فعاليت 

تمرين 

x 

x 

2 

2 

2i) ( 3 و i) ( 3 − 2 باشد.‏ 

− 4x + 13 = 0 , 

+ 8x + 41 = 0 , 

x 

x 

2 

4 

1) معادلة درجه دوم را پيدا كنيد كه جذر هاى آن + 

2) معادلة هاى زير را حل كنيد:‏ 

− 6x + 18 = 0 , 

−1 

= 0 , 

− 4x 

3x 

2 

2 

+ 3x − 5 = 0 

+ x + 2 = 0 

3) معادله هاى درجه دوم را تشكيل نماييد كه جذر هاى شان طور زير داده شده باشند:‏ 

2 + 5i 

4i 

2i 

2 1 

+ i 

3 2 

, 

, 

, 

, 

2 − 5i 

− 4i 

3i 

2 1 

− i 

3 2 

1+ 

i 

5i 

i 

2 − i 

, 

, 

, 

, 

1− 

i 

− 5i 

1 

i 

2 + i 

298


i 

2 

اعداد منفى درست اعداد حقيقى جذر جفت ندارند،‏ ليكن در ست اعداد مختلط اعداد 

منفى جذر جفت دارند.‏ 

اعداد مختلط از اتحاد اعداد حقيقى و اعداد موهومى حاصل مى شوند.‏ 

مربع اعداد حقيقى مثبت،‏ اما مربع اعداد موهومى منفى مى باشند.‏ 

= −1⇒ 

i = 

−1 

اعدادى را كه − 1 يك فكتور شان باشد،‏ اعداد موهومى مى گويند.‏ 

اعداد مختلط C طور زير تعريف مى شود:‏ 

C = {z / z = a + bi 

, 

a,b ∈ IR 

, 

i = 

−1} 

شكل معيارى عدد مختلط = 

z a + bi 

مى باشد كه a را قسمت حقيقى z و bi را 

a = Re(z) و img(z) 

قسمت موهومى z مى گويند يا = bi 

براى پيدا نمودن توان هاى مختلف ، i توان i را بالاى 4 تقسيم مى كنيم كه مساوى 

به يك مى شود،‏ اگر بالاى آن پوره تقسيم نشود،‏ پس توان حرف i را مساوى به با قيماندة 

4 

عملية تقسيم بر 4 مى شود مانند:‏ 

= 0 

(i) 

1379 

4 344 3 

3 

= i 

⋅ k + r r 

⋅i 

= (1)(i) = −i يا i = i 

b = ، z a + bi 

a را عدد حقيقى خالص و اگر a در عدد مختلط = 0 باشد،‏ اگر 

باشد bi را عدد موهومى خالص مى گويند.‏ 

0) = 0,b ( a عدد 

آن عدد مختلط كه قسمت هاى حقيقى و موهومى آن صفر باشند،‏ = 

مختلط صفرى گفته مى شود.‏ 

z وقتى با همديگر مساوى مى باشند كه قسمت هاى حقيقى و 

2 

دو عدد مختلط z1 و 

و = 

موهومى شان باهم مساوى باشند.‏ 

حاصل جمع دو عدد مختلط،‏ يك عدد مختلطى است كه قسمت حقيقى آن از حاصل 

جمع قسمت هاى حقيقى دو عدد داده شد و قسمت موهومى آن نيز از حاصل جمع 

قسمت هاى موهومى اعداد داده شده به دست مى آيد.‏ 

حاصل تفريق دو عدد مختلط،‏ عدد مختلطى است كه قسمت حقيقى آن از حاصل 

تفريق قسمت هاى حقيقى و قسمت موهومى آن از حاصل تفريق قسمت هاى موهومى به 

Img(z1 ) Img(z2) 

Re(z1 

) = Re(z2) 

299

دست آمده باشد.‏ 

باشند،‏ پس عمليه هاى جمع،‏ تفريق،‏ ضرب و 

z1 

+ z2 

= (x1 

+ x 

2) 

+ (y1 

+ y2)i 

z1 

− z2 

= (x1 

− x 

2) 

+ (y1 

− y2)i 

z1.z 

2 

= x1x 

2 

− y1 

y2 

+ (x1y2 

+ y1x 

2)i 

z1 

x1x 

2 

+ y1 

y2 

y1x 

2 

− y2x1 

= 

+ 

i , 

2 2 

2 2 

z x + y x + y 

2 

2 

2 

2 

2 

= x y i و z1 = x1 

+ y1i اگر 

z2 2 

+ 

2 

تقسيم آنها طور زير تعريف مى شود:‏ 


(z 

2 

≠ 0) 

Z = x − yi عبارت z x + yi 

مزدوج عدد مختلط = 

zz = x 

2 

+ y 

z + z = 2x 

z − z = 2yi 

2 

و معكوس ضربى آن 

z 

z 

1 

1 

z ⋅ z 

1 

z 

( 

z 

+ z 

− z 

1 

2 

2 

2 

2 

= z 

z 

) = 

z 

= z 

1 

2 

1 

1 

1 

+ z 

− z 

= z ⋅ z 

2 

2 

2 

= z 

2 

⋅ z 

− a − bi عبارت از z a + bi 

1 

معكوس جمعى عدد = 


a 

2 

a 

+ b 

2 

− 

a 

2 

b 

+ b 

2 

i 

) عنصر عينيت عمليه جمع عدد مختلط و +1 عنصر عينيت عمليه 

0i 

0 + 0i = (0,0 

ضرب اعداد مختلط مى باشد.‏ 

معادله هاى درجه دومى كه در ست اعداد حقيقي حل ندارند در ست اعداد مختلط 

حل دارند.‏ 

300


a) 

a) 

1 

1 

b) 

b) 

− 1 

− 1 

c) 

c) 

i 

i 

d) 

مساوي است به:‏ 

− i 

51 

( i) (1 

98 

2) عدد موهومى − i مساوى است به:‏ 

d) 

− i 


67 

3) عدد موهومى i 

a) 

a) 

a) 

− i 

− 3i 

− 12 

b) 

b) 

b) 

1 

3i 

12 

c) 

c) 

c) 

−1 

3 

12i 

d) 

i 

i مساوى است به : 

d) 

− 3 

7i 

− 4 (4 

i مساوى است به : 

d) 

−12i 

3i 

⋅ 4 (5 

a) 

− 8 

b) 

8 

c) 

8i 

d) 


−8i 

64 i (6 

8i 


7 2 

i ⋅ i (7 

9 9 

a) 

14 

− 

81 

b) 

14 

81 

c) 

− 

14 

i 

81 

d) 

14 

i 

81 

a) 

11 

5 

b) 

− 11 

5 

c) 

−11 

i 

5 


11 

d) i 

5 

−11 

− 5 

(8 

5 

5 5 

a) 

b) − c) i d) 

5 

3 3 


−1 

5 

(9 

−1 

⋅5 

هر سه جزء درست نيست 

301

a) 

x 

(1 + i) 

y 

+ (1 − i) 

b) 

(3 + 4i) + (2 + 5i) 

(4 + 3i) − (4 + 4i) 

(4 + 4i) − (4 + 3i) 

a) 

− ib 

a) 

− 13 

, 

, 

, 

, 

b) 

b) 13i 

4(2 + 5i) − (3 − 4i) , 

2 

i(3 − 2i) , 

− x 

xi 

c) 

y 

y 

(a + bi) + (c + di) 

(2 + 3i) + (2 − 3i) 


d) 

x 

y 

xi 

− (10 

yi 

11) اعداد مختلط زير را باهم جمع كنيد:‏ 

12) اعداد مختلط زير را تفريق نماييد:‏ 

(3 − 2i) − (3 + 2i) 

(1 + i) − (1 − i) 

( 2a + ib) − (2a − ib (13 


− 2ib c) 2ib d) 4a 

i 

51 


c) 13 

(4 − 3i)(2 + i) 

(14 حاصل ضرب ( 2 − 3i)(2 + 3i 

d) 9i 

‎15‎‏)اعداد مختلط زير را به شكل a+bi بنويسيد.‏ 

z2 1 باشد نشان دهيد كه:‏ 

− 

= 1− 

(16 اگر i z = 2 4i 

و 

1 

z 

1 

+ z2 

= z1 

+ z2 

, z1 

⋅ z2 

= z1 

⋅ z2 

, ( ) = 

z2 

z 

17) معكوس جمعى و معكوس ضربى اعداد مختلط زير را دريابيد:‏ 

1 

3 x − yi , 2a − bi , 2 + 5i , − 7 + 3i , − 6 + 2i , 3− 

i , 2 + i 

2 

z 

z 

1 

2 


(18 معادلة = 1 + 2x 5x 2 + 

302

فصل هفتم 

هندسه تحليلى

هندسة تحليلي علمي است كه تخنيك هاي الجبر را باهندسه يكجا مى كند؛ يا به 

عبار ة ديگر هندسة تحليلى ما را قادر مى سازد كه در حل مسائل هندسى از ميتود 

ها و معادلات الجبرى استفاده نماييم و همچنين از اصول هندسى در مساوات هاى 

الجبرى استفاده نماييم.‏ 

هندسه يكى از قديمى ترين شاخة الجبر بوده،‏ يونانى ها تقريباً‏ چهار قرن قبل در اين 

مورد به طور منظم تحقيق و مطالعه كردندكه تقريباً‏ (300) سال قبل توسط ايوكليد 

(Euclid) سيزده (13) جلد كتاب تشريح و تفسير شده بود.‏ 

اختراع هندسه تحليلى توسط يك عالم فرانسوى رين دكارتس 

Descartes) (Rene كه در سال هاى (1596-1650 ب.م)‏ زنده گى مى كرد 

صورت گرفت كه ميتود هاى الجبرى را در هندسه معرفى و از آن استفاده كرد كه به 

نام هندسة تحليلى geometry) (Analytic يا هندسه همآهنگ 

geometry) (Coordinate ياد مى شود.‏ 

نامبرده در سال (1637 م)‏ يك نسخه را به نام geometry) (La تحرير كرد.‏ 

خلص اين كه چطور از هندسه و الجبر يكجا استفاده مى شوند در اين فصل هدف ما 

اين است كه به طور خلص اساسات اين مضمون را مطالعه نماييم.‏

سيستم كميات وضعيه يا سيستم كواردنت 

(Coordinate system) 

، (− 4,7) 

، ( 2,2) 

آيا نقاط 1) − 0, ( ، 

) را در سيستم كميات 

وضعيه تعيين كرده مى توانيد؟ 

(2,0) و − 2 0, ( 

305 

فعاليت 

در مستوى كميات وضعيه دو خط XX را عمود باهم رسم كنيدو نقطة تقاطع اين دو 

خط را ) ( بناميد،‏ كه نقطة O رامبدا (Origin) محورهاى كميات وضعيه مى نامند.‏ 

' و YY' 

O 

دو خط عمود باهم به نام محور هاى كواردينت axises) (Coordinate ياد مى شوند،‏ كه 

خط افقى XOX محور X و خط عمودى YOY عبارت از محورY مى باشد.‏ 

واضح است تمام اعدادى كه بالاى محور X به طرف راست مبدأ واقع باشند مثبت واعدادى 

كه به طرف چپ مبدأ واقع باشند منفى مى باشند.‏ و نيز اعدادى كه بر روى محور Y به طرف 

بالاى مبدأ قرار دارند مثبت و پايين مبدأ منفى مى باشند.‏ 

فرض ميكنيم كه p در مستوى يك نقطه باشد،‏ مى توانيم كه نقطة p را توسط جورة مرتب 

(OrderPair) نشان دهيم،‏ طوريكه از نقطه p خطوط موازى با محور X و محورY رسم 

مى كنيم كه اين خطوط محور Y را در نقطة S و محور X را درنقطة R قطع مى كنند.‏ 

y مى باشد در نتيجه جورة مرتب ) ( موقعيت نقطه 

P را در مستوى كميات وضعيه تعيين مى كند.‏ 

هرجورة مرتب در مستوى توسط يك نقطه و هر نقطه مستوى توسط يك جورة مرتب اعداد 

) نشان داده مى شود كه x و y فاصله هاى مستقيم نقطة p از محور هاى X 

و Y مى باشند.‏ 

اين سيستم را سيستم كارتيزينى يا سيستم كواردينت System) (Coordinate 

x, y 

' 

فاصلة مستقيم OR = x و = OS 

' 

حقيقى ( x , y


مركبة اول جورة مرتب مختصة x و مركبة دوم جورة 

مرتب را مختصة y يا (y-Coordinate) 

مى گويند محور هاى كواردينت مستوى را به چهار 

ربع (quadrants) تقسيم مى كند،‏ طورى كه در ربع 

0 در ربع دوم x 

< 0 ، 0 > y در 

> 0 و 

اول > 0 x y > ، 

y < ، < 0 

< 0 y مى باشند.‏ 

ربع سوم x 

0 و در ربع چهارم x 

مثال(‏‎1‎‏):‏ نقاط 

در مستوى كميات وضعيه تعيين كنيد.‏ 

حل:‏ 

(0,2) E و F(−2,0) را 

D ( 3, −5) 

(2,5) 

C ، B ( −4, 

−2) 

، A(−2,3) 

فعاليت 

نشان دهيد تمام نقاطى كه بالاى محور X واقع اند مختصة y آن ها صفر و نقاطى كه 

بالاى محور Y قرار دارند مختصه x آن ها صفر مى باشند.‏ 

(4,0 در كدام ربع 

( 

نشان دهيدكه نقاط قرار دارند.‏ 

0,4) ( و ( 

، ( − 2, −3) 

، ( 2, − 3) 

، (− 2,3) 

، 2,3) 

فاصله بين دونقطه points) :(Distance between two 

آيا مى توانيد بگوييد كه فاصله بين نقاط ) A 1,2) چند واحد مى باشد؟ 

) دو نقطه در مستوى باشند،‏ مى توانيم كه فاصله بين نقاط 

(4,8) و B 

P 

2 

( x2, 

و y2 P 

1 

( x1 

, y1 

اگر ) 

306

توسط قضيه 

3 

را با استفاده از مثلث قايم الزاويه 

2 

فيثاغورث به دست مى آوريم،‏ طورى كه در شكل مشاهده مى شود.‏ 

P 

Δ 

1 

P2 

P 

1 يا d = P P 

P 

2 

P1 و 

(P P 

1 

2 

1 

) 

2 

d = P P 

= (P P 

2 

= 

1 

= 

3 

(x 

) 

2 

2 

− x 

(x 

+ (P P 

1 

1 

) 

2 

2 

− x 

2 

3 

) 

2 

) 

2 

+ (y 

2 

+ (y 

− y 

1 

1 

) 

2 

− y 

2 

) 

2 

متوجه بايد بود كه اگر ) P بالاى خط افقى قرار داشته باشند در اين 

y مى شود،‏ طوريكه در شكل (a) نيز مشاهده مى شود.‏ 

1 

صورت = y2 

d = P 

2 

1 

P2 

= (x 

2 

− x1 

) + 0 = x 

2 

− x1 

P2 ( x2, 

و y2 

1 

( x1 

, y1 

) 

x مى باشد طورى 

1 

اگر P1 و P2 بالاى خط عمودى قرار داشته باشند در اين صورت = x2 

كه در شكل (b) نشان داده شده است:‏ 

d = 

P 

2 

1 

P2 

= 0 + (y2 

− y1 

) = (y2 

− y1 

) = y2 

− y1 


P ( −1, 

2) (3, و 5 

2 

− 

مثال(‏‎2‎‏):‏ فاصله بين نقاط P 

حل:‏ 

1 

− 

307

= 

P P 

1 

2 

= 

( −1− 

3) 

(x − x ) 

1 

2 

2 

2 

+ (y − y ) 

1 

+ [ −5 

− ( −2)] 

2 

= 

2 

2 

= 

( −4) 

2 

(x 

2 

− x 

1 

+ ( −3) 

2 

) 

2 

= 

+ (y 

2 

− y ) 

1 

25 = 5 

2 

C (−2,5) و B (2,1) 

، ( −2, 

−3) 

فعاليت 

P 2 را دريابيد.‏ 

P 1 و (2,0) 

فاصله بين نقاط (8,0) 

مثال(‏‎3‎‏):‏ توسط فورمول فاصله نشان دهيد كه A 

رأس هاى يك مثلث قايم الزاويه مى باشند.‏ 

حل:‏ 

AB = 

[2 − ( −2)] 

2 

+ [1 − ( −3)] 

2 

= 

32 

BC 

= 

( −2 

− 2) 

2 

+ (5 −1) 

2 

= 

32 

CA = 

AB 

CA 

2 

2 

[ −2 

− ( −2)] 

+ BC 

= 64 

2 

2 

+ [5 − ( −3)] 

= 32 + 32 = 64 

2 

= 

64 

است.‏ 

قايم الزاويه مى باشد.‏ 

2 2 2 

چون:‏ = AB BC 

CA + 

AB 

Δ 

پس مثلث C 

فعاليت 

(1,5−) رأس هاى مثلث قايم الزاويه 

C و B ( 3, −5) 

، (−6,3) 

نشان دهيد كه نقاط A 


مثال(‏‎4‎‏):‏ اگر ) C مركز دايره و (3,4) P يك نقطه روى محيط دايره باشد طول 

شعاع اين دايره را دريابيد.‏ 

(0,0 

308

2 

PC = R = (x 

2 

− x1 

) + (y 

= 9 + 16 = 25 = 5 

2 

− y 

1 

) 

2 

= 

(3 − 0) 

2 

+ (4 − 0) 

2 

حل:‏ 

در مستوى سيستم كميات وضعيه نقاطى كه بالاى محور X واقع اند مختصة y آن ها صفر 

و نقاطى كه بالاى محور y قرار دارند مختصة x آنها صفر مى باشد.‏ 

) از فورمول 

Q ( x 2, 

2 و y 

( x 1 

, y1 

) 

فاصله در بين دو نقطه P 


2 

d = PQ = 

(x 

2 

2 

− x1) 

+ (y2 

− y1) 

309

تمرين 

1- در نقاط داده شدة زير فاصلة كدام نقطه از مبداى كميات وضعيه 15 واحد مى باشد؟ 

A : ( 

B : (10, −10) 

C : (1,15) 

176 ,7) 

15 15 

A : ( , ) 

2 2 

) رأس هاى مثلث قايم 

C ( 0, و −2 B ( 3,1) 

، (0,2) 

A 

2- نشان دهيد كه نقاط الزاويه مى باشند.‏ 


) ( 3- فاصله بين نقاط ) را دريابيد.‏ 

0,5) و − 3 0, ( 

− 3 1 

,3) (− و −1, ( B 

4 2 

4- فاصله بين نقاط A 

5- فاصله بين نقاط (7,11) و (1,3) را دريابيد.‏ 



310

دريافت كميات وضعيه نقطه يى 

كه يك قطعه خط را به يك نسبت 

تقسيم مى كند.‏ 

آيا مى توانيد كميات وضعية نقطة وسطى 

خط مستقيم را كه از نقاط ) 3,1) A و 

(2,4−)B ميگذرد دريابيد؟ 

r را به نسبت P 1 2 

اگر كميات وضعية نقطة p عبارت از ) x باشد كه خط مستقيم P 

P M P و P N Δ P2 داريم كه:‏ 

P1 

P 

PP 

2 

x − x 

Δ 

x + rx = rx 

(1 + r)x = rx 

x1 

+ rx 

x = 

1+ 

r 

( , y 

P P 

PP 

1 

1 

تقسيم مى نمايد يا = r باشد.‏ از تشابه دو مثلث 

P1 

M x − x1 

= = = r 

PN x − x 

1 

= rx 

2 

2 

2 

− rx 

+ x 

2 

2 

1 

+ x 

1 

P1 

P 

PP 

2 

2 

y − y 

PM y − y1 

= = = r 

P N y − y 

1 

2 

= ry 

y + ry = ry 

2 

2 

(1 + r)y = ry 

y1 

+ ry 

y = 

1+ 

r 

2 

− ry 

+ y 

2 

2 

1 

+ y 

مثال (1): كميات وضعيه نقطة P را 

در يابيد،‏ اگر خط مستقيمى كه از نقاط 

) ميگذرد به 

P 2 

−6,3) ( و − 2 (5, 

1 

P 1 

P1 P 2 

2 

نسبت تقسيم نمايد.‏ يا = 

PP 3 

3 

2 

باشد.‏ 

حل:‏ 

311

2 

x1 

= −6 

, x 

2 

= 5 , r = 

3 

2 

⋅5 

− 6 

rx 

2 

+ x1 

3 8 

x = = = − 

1+ 

r 2 

1+ 

5 

3 

2 − 4 

( −2) 

+ 3 + 3 

ry + y1 

y = = 3 = 3 

1+ 

r 2 2 

1+ 

1+ 

3 3 

3 

2 

= 

1 P 

1 

8 

P( 

− ,1 

5 

P 2 را به نسبت 2 

پس كميات وضعية نقطة ) مى باشد كه خط مستقيم 

P را داخلاً‏ به يك نسبت 

2 

تقسيم مى كند.متوجه بايد بود كه اگر نقطة ، P خط مستقيم 

تقسيم نمايد r 0 و اگر خارجاً‏ تقسيم كند r 0 مى باشد.‏ 

1 P 

P P 1 2 را داخلاً‏ به نسبت r تقسيم 

< 

طور مثال در شكل مشاهده مى شود كه نقطه p قطعه خط 

P 1 

مى كند يا به عبارت ديگر اگر P 

و PP هم جهت باشد > 0 r و اگر نقطه P قطعه 

2 

2 و PP مختلف الجهت باشد < 0 r مى 

را خارجاً‏ به نسبت r تقسيم كند يا P 1 

2 

P 

> 

P خط 1 P 

مى باشد طورى كه در شكل فوق مشاهده مى شود.‏ 

P1 P 

باشد.‏ −r = 

PP 

2 

312 

مثال(‏‎2‎‏):‏ كميات وضعية نقطة p را دريابيد كه اگر خط مستقيمى كه از نقاط P 

1 

( −8,4) 

2 

r = 

3 

rx + x 

= 

1+ 

r 

و 1) (2, P ميگذرد.‏ 

2 

− 

3 تقسيم نمايد.‏ 

3 تقسيم نمايد.‏ b: خارجاً‏ به نسبت 2 

: a داخلاً‏ به نسبت 2 

حل a: 

2 

⋅ 2 − 8 

3 − 20 ry2 

+ y 

= = −4 

, y = 

2 

1+ 

5 

1+ 

r 

3 

2 

( −1) 

+ 4 

3 10 

= 

2 

1+ 

5 

3 

2 1 

1 

x = 

= 

= 

2

2 

P را داخلاً‏ به نسبت تقسيم مى نمايد 

2 

پس كميات وضعية نقطة p كه خط مستقيم 

3 

عبارت از (4,2 −) مى باشد.‏ 

1 P 

2 

P را خارجاً‏ به نسبت تقسيم مى نمايد؛ پس:‏ 

2 

b: چون نقطه P قطعه خط 

3 

2 

r = − 

3 

− 2 

( ) ⋅2 

−8 

x = 3 = −28 

2 

1− 

3 

, 

1 P 

− 2 

( )( −1) 

+ 4 

y = 3 = 14 

2 

1− 

3 

پس كميات وضعية نقطة p كه قطعه خطى 

عبارت از ) −) مى باشد.‏ 

2 

P P 1 2 را خارجاً‏ به نسبت تقسيم مى كند 

3 

( 28,14 ىب . 

برتز ) 

فعاليت 

(4,6) و (−2,3) B 

كميات وضعية نقطة p را دريابيد طورى كه قطعه خطى را كه از نقاط A 

2 تقسيم كند.‏ 

ميگذرد،‏ داخلاً‏ به نسبت 1 

P واقع باشد در اين صورت = 1 r است و كميات 

2 

اگر نقطة p در وسط خط مستقيم 

x 

= 

10,4) و 5) − 7, ( 

+ x 

2 

x 1 

+ x 

x = 2 

=y و 

2 

1 P 

y 

1 

+ y 2 

2 

وضعية نقطة p عبارت است از:‏ 

مثال(‏‎3‎‏):‏ كميات وضعية نقطة وسطى قطعه خطى كه از نقاط −) 

−10 

+ 7 3 

= = − 

2 2 

y 

y = 

+ y 

2 

2 

1 2 

x 

مى گذرد،‏ دريابيد.‏ 

حل:‏ 

4 − 5 

= = 

2 

1 

− 

1 

2 

313

1 P 

P را به نسبت r تقسيم مى كند،‏ عبارت است از:‏ 

2 

كميات وضعية نقطة p كه قطعه خط 

P 1 2 عبارت 

rx2 

+ x 

= 

1+ 

r 

ry2 

+ y 

, y = 

1+ 

r 

1 

1 

x 

x1 + x 

2 

y1 

+ y 

، y = 

2 

2 

است از = 

x 

2 

وكميات وضعية نقطة وسطى قطعه خط P 


P P 1 2 را داخلاً‏ به يك نسبت r تقسيم كندr مثبت واگر خارجاً‏ تقسيم 

اگر نقطة p قطعه خط 

كند r منفى مى باشد.‏ 

تمرين 

1- كميات وضعية نقطة وسطى خط مستقيم ، AB عبارت از ) − ( مى باشد،‏ اگر نقطه 

2, 

1 

باشد كميات وضعية نقطة B را دريابيد.‏ 

) مى گذرد 

) A 2- كميات وضعية نقطة وسطى قطعه خط را كه از نقاط دريابيد.‏ 

A 

3- كميات وضعية نقطه يى را دريابيد كه قطعه خطى را كه از نقاط مى گذرد 

B ( −2, 

) (3,1 و −4 

(4,6) و (−2,3) B 

A( −1, 

−3 


2 تقسيم كند.‏ b: خارجاً‏ به نسبت 1 

: a داخلاً‏ به نسبت 1 

314

ميل يك خط مستقيم 

(Slope of a straight Line) 

آيا گفته مى توانيد كه ميل كدام سطح 

مايل زياد است؟ 

زاوية θ كه خط مستقيم l با جهت مثبت محور X ميسازد.‏ 

به نام زاويه ميل خط مستقيم l ياد ميشود.‏ 

= 0 θ و 

o o o 

طورى كه در شكل مشاهده مى شود،‏ اگر خط مستقيم l با محور x موازى باشد 

اگر با محور y موازى باشد 

وقتى كه ما به يك سطح مايل plane) (inclined به طرف بالا حركت مى كنيم ما در 

عين وقت يك فاصله افقى(‏run‏)‏ و يك فاصله عمودى ) (rise راطى مى كنيم.‏ اگر ميل 

يك خط مستقيمAB را به m نشان دهيم.‏ 

rise y 

m = = = tan θ 

run x 

= 90° θ مى باشد.‏ 

315 

يا به عبارت ديگر tan زاويه ميل يك خط مستقيم عبارت از ميل خط مستقيم مى باشد.‏ 

° باشد ميل خط مستقيم مثبت و اگر ° 90 باشد ميل خط 

0 است پس ميل صفر و اگر 

مستقيم منفى مى باشد و اگر 

° باشد ميل خط مستقيم تعريف نشده است زيرا كه 90° tan تعريف نه گرديده 

است.‏ 

° < θ < 180 

tan 0° = باشد چون θ = 0 

اگر < 90 θ < 0 

θ = 90

Q ( x , y 2 2 مى گذرد،‏ 

) 1 y P(x و ) 

فعاليت 

در مورد ميل هاى محور هاى X وY چى فكر مى كنيد؟ 

1 

ميل خط مستقيم l كه عمود نباشد و از دو نقطة 


∧ 

RPQ 

است زيرا طورى كه در شكل مشاهده مى شود:‏ 

= θ 

∧ 

PR = x 

2 

QR = y 

2 

− x 

1 

− y 

QR y 

m = tanθ = = 

PR x 

1 

2 

2 

− y 

− x 

1 

1 

y 

m = tan θ = 

x 

2 

2 

− y 

− x 

1 

1 

y 

= 

x 

1 

1 

− y 

− x 

2 

2 

اگر سه نقطه CوB،A را طورى داشته باشيم كه ميل خط مستقيم AB مساوى با ميل خط 

مستقيم BC باشد نقاط B،A وC روى عين خط مستقيم واقع اند.‏ 

مى گذرد دريابيد.‏ 

(6,10) P 

مثال(‏‎1‎‏):‏ ميل خط مستقيمى را كه از نقاط حل:‏ 

y 

m = 

x 

y 

m = 

x 

1 

2 

− y 

− x 

1 

P 2 

(2,4) و 

10 − 4 6 

= = 

6 − 2 4 

2 1 

= 

− y 

− x 

2 

4 −10 

− 6 

= = 

2 − 6 − 4 

1 

3 

2 

1 2 

= 

3 

2 

يا 

(6,0) بالاى يك خط مستقيم 

C و B (3,2) 

، (−3,6) 

مثال(‏‎2‎‏):‏ نشان دهيد كه سه نقطه A 

واقع اند.‏ 

ميل خط مستقيم AB 

2 − 6 − 4 

= = = − 

3 − ( −3) 

6 

2 

3 

316

ميل خط مستقيم BC 

0 − 2 

= = − 

6 − 3 

2 

3 

چون ميل هاى خطوط AB و BC مساوى 

اند.‏ پس نقاط CوB،A بالاى يك خط 

مستقيم قرار دارند.‏ 

نتيجه:‏ ميل در تمام نقاط خط مستقيم باهم 

مساوى مى باشد.‏ 

7,5) و 10,15) ( بالاى 

2,4) و ) 5,1 ( مى گذرد.‏ 

( ، 4, 5) 

فعاليت 

−) 

ميل خط مستقيمى رادريابيد كه از نقاط ( 

− با استفاده از ميل خط مستقيم نشان دهيد كه نقاط يك خط مستقيم واقع اند.‏ 

l 2 دو خط مستقيم باشند كه ميل هاى 

l 1 و 

اگر 

m باشد:‏ 

2 

m و 

1 

شان به ترتيب 

m 

1 

= m 2 

l 2 موازى باشد 

l 1 با 

1- در صورتيكه 

θ مى باشد.‏ 

2 

است،‏ زيرا كه مطابق شكل 

1 

= θ 

tan θ 

m1 

= m2 

l 2 باهم عمود باشند : 

l 1 و 

2- اگر 

1 

. m يا 

1 

m2 

m1 يا = 0 1 + 

= − 

m 

1 

= tan θ 

2 

2 

1 

⋅ m2 

= − 


m 

) مى گذرد از فورمول 

P 

2 

( x2, 

و y2 

1 

( x1 

, y1 

) 

ميل يك خط مستقيم كه از دو نقطه P 

317

y 

m = 

x 

2 

2 

− y 

− x 

1 

1 

y 

= 

x 

1 

1 

− y 

− x 

2 

2 

به دست ميآيد.‏ ميل محور X و خطوطيكه با محور X موازى 

باشند،‏ صفر و ميل محور Y و خطوطى كه موازى با محور Y باشند تعريف نشده است.‏ اگر 

زاوية ميل يك خط مستقيم حاده باشد ميل آن مثبت و اگر منفرجه باشد ميل آن منفى 

مى باشد و اگر زاويه ميل خط مستقيم صفر باشد ميل آن صفر است.‏ 

ميل تعريف 

نه شده 

تمرين 

2) 3, و 2,7) ( مى گذرد.‏ 

− ( 

1- ميل خط مستقيمى را دريابيد كه از نقاط رأس هاى يك مثلث باشند ميل هر ضلع 

) مثلث را دريابيد.‏ 

a 

3- با استفاده از ميل خط مستقيم نشان دهيد كه نقاط بالاى يك خط مستقيم واقع اند.‏ 

ميگذرد و خط مستقيم CD از نقاط 

(2,4) A 

4- خط مستقيم AB از نقاط مى گذرد اين دو خط باهم:‏ 

) ( 2c − a,2a) و ( c , a + b) 

، ( ,2b) 

C ( −2, 

(−4,2) B و −6 

-2 اگر (8,6) A ، 

−2) 1, ( و B 

D و (−8,2 C(4,1) 

- a موازى اند - b عمود اند - c هيچكدام 

-5 خط مستقيم = y = 3 باهم:‏ 


-6 خطوط مستقيم‎1‎‏−‏ = x و = 3 x باهم : 


3 و خط مستقيم x 

7- ميل خط مستقيم y 3 مساوى است به 

= − 

∞ -d − 1 -c صفر -b 1 -a 

-8 ميل خط مستقيم 0, = x 

− -c صفر -b 1 -a 

03 مساوى است به : 

d- 1 تعريف نشده است.‏ 

318

معادلة يك خط مستقيم:‏ 

(Equation of a straight Line) 

آيا مى توانيد معادلة خط مستقيم CD را 

كه موازى با محور x است دريابيد؟ 

1- معادلة خط مستقيمى كه موازى با محور X باشد:‏ 

تمام نقاطى كه بالاى خط مستقيم l واقع باشند از محور X فاصله هاى مساوى دارند يا به 

عبارت ديگر مختصة y تمام نقاطى كه بالاى خط مستقيم 

موازى با محور X واقع باشند باهم مساوى است.‏ اگر فاصله 

بين خط l و محور x را b بناميم معادلة خط مستقيم عبارت 

از y = b مى باشد.‏ 

اگر > 0 b باشد خط مستقيم l فوق محور X 

و اگر < 0 b باشد خط l پايين محور X و 

اگر = 0 b باشد خط l بالاى محور X واقع 


مثال(‏‎1‎‏):‏ معادلة خط مستقيمى را كه از نقطة 

(2,3) مى گذرد و با محور X موازى باشد،‏ 


= 3 معادلة اين خط مى باشد.‏ 

فعاليت 

o 

حل:‏ y 

معادلة محور X را بنويسيد.‏ 

319

2- معادلة خط مستقيمى كه با محور Y موازى باشد:‏ تمام نقاطى كه بالاى خط 

مستقيم l كه با محورY موازى است واقع باشند،‏ فاصلة آن ها 

از محورY مساوى مى باشند؛ اگر فاصلة خط l از محور Y 

را a بناميم كه a مختصة اول اين نقاط مى باشد،‏ پس معادلة 

خط مستقيم l عبارت از x = a مى باشد.‏ 

اگر > 0 a باشد خط l به طرف راست محورY واقع است.‏ 

اگر < 0 a باشد خط l به طرف چپ محور Y قرار دارد و 

اگر = 0 a باشد خط l بالاى محور Y قرار داد.‏ 

مثال 2: معادله خط مستقيمى را كه از نقطة (2,3 ( مى گذرد 

و با محور Y موازى باشد،‏ دريابيد.‏ 

حل:‏ = 2 x معادلة اين خط مى باشد.‏ 

0 

0 

فعاليت 

معادلة محور Y را بنويسيد.‏ 

3- معادلة خط مستقيمى كه ميل و نقطة تقاطع آن با محور Y معلوم باشد 

‏(معادله معيارى خط مستقيم)‏ 

) يك نقطه خط مستقيم l باشد و ) C نقطه تقاطع اين خط مستقيم با 

محور Y باشد در اين صورت ميل خط مستقيم l عبارت است از:‏ 

( 0, b 

P ( x, 

اگر y 

y − b y − b 

m = = 

x − 0 x 

y = mx + b يا y − b = mx 

320

0 باشد معادلة خط مستقيم = y 

مبداى كميات وضعيه ميگذرد.‏ 

مثال(‏‎3‎‏):‏ معادلة خط مستقيمى را دريابيد كه:‏ 

mx مى باشد كه در اين صورت خط مستقيم از 

اگر = b 

a- ميل آن 2 و محور Y را در 5 قطع كند.‏ 

4 

b- محور Y را در قطع كند و عمود بر خطى باشد كه ميل آن ) 6 − ( باشد.‏ 

3 

حل:‏ 

y = mx + b ⇒ y = 2x + 5 

b و = 5 m = 2 :a 

m 

1 

y = mx + b ⇒ y = x + 

6 

1 

− 

m 

1 

= − 

− 6 

2 

= 

1 

1 

6 

b: ميل اين خط مستقيم عبارت از = 

4 

3 

بوده؛ پس:‏ 

0 مى توان 

x − 6 y + 8 = و يا 6 y − x = 8 ، 6 = x + 8 

P( x, 

y) و x 1 

, y ) 

( 

1 

1 4 

m = bو = 

6 3 

كه اين معادله را به اشكال y 

نوشت.‏ 

4- معادلة خط مستقيمى كه ميل و يك نقطة آن معلوم باشد:‏ 

x 1 ميگذرد.‏ 

, y ) 

معادلة خط l كه ميل آن m و از نقطة Q 

( 

1 

) يك نقطة اختيارى خط مستقيم l باشد.‏ چون نقاط Q 

بالاى عين خط مستقيم واقع اند،‏ پس ميل اين خط مستقيم مساوى است به:‏ 

p ( x, 

اگر y 

y − y1 m = ⇒ y − y1 

= m(x − x1 

) 

x − x 

1 

321

322 

(5,1 مى گذرد.‏ 

y = −2x 

+ 11 

مثال(‏‎4‎‏):‏ معادلة خطى مستقيمى را دريابيد كه ميل آن ) −) و از نقطة ( 

حل:‏ 

y − y1 

= m(x − x1 

) 

y −1 

= −2(x 

− 5) 

2 

2 x + y −11 

= 0 

يا 

x, ( يك 

y) 

5- معادلة خط مستقيمى كه دو نقطة آن معلوم باشد:‏ 

) مى گذرد و P 

ميل خط l كه عمود نباشد و از نقاط 

نقطه اختيارى خط l باشد چون ميل خط مستقيم در هر نقطه با هم مساوى مى باشد؛ پس:‏ 

y − y 

x − x 

y − y 

x − x 

y − y 

1 

1 

1 

1 

1 

y − y 

= 

x − x 

y 

= 

x 

y 

= 

x 

2 

2 

2 

2 

2 

2 

− y 

− x 

− y 

− x 

1 

1 

1 

1 

y 

= 

x 

2 

2 

(x − x 

R ( x 2, 

) , ( و y 

2 

Q x 1 

y1 

− y 

− x 

1 

) 

1 

1 

يا 

) مى گذرد.‏ 

2,1) و − 4 6, ( 

− 4 −1 

y −1 

= [x − ( −2)] 

6 − ( −2) 

مثال(‏‎5‎‏):‏ معادلة خط مستقيمى را دريابيدكه از نقاط −) 

حل:‏ 

− 5 

y −1 = ( x + 2) يا 5 x + 8y 

+ 2 = 0 

8 

6: معادلة خط مستقيمي كه نقطة تقاطع آن با محورها معلوم باشد.‏ 

اگر ) يك نقطة اختيارى خط مستقيم l باشد و خط مستقيم l محور X را درa و محور 

Y را در b قطع كند يا محور X را در نقطه ) A و محور Y را در نقطه ) B قطع مى 

كند در اين صورت نقاط B ، A و P بالاى خط مستقيم lواقع اند،‏ با استفاده از فورمول خط 

( 0, b 

= a , y 0 0 , y b مى 

x1 1 

= 

x 

2 2 

= 

(a,0 

y = 1, x1 

= −2, 

y2 

= −4, 

x 

2 

1 

= 

P( x, 

y 

مستقيمى كه دو نقطة آن معلوم باشد داريم كه:‏ = 

باشد.‏ 

6

y2 

− y1 

b − 0 

− y1 = (x − x ) , y − 0 = (x − a) ⇒ − ay = b(x − a) 

x − x 

0 − a 

y 

1 

2 1 

− ay = bx − ab 

bx + ay = 

x 

a 

+ 

y 

= 1 

b 

ab 

هردو طرف مساوات را بر ab تقسيم مى كنيم:‏ 

مثال(‏‎6‎‏):‏ معادلة خط مسقيمى را دريابيد كه محور X را در (2,0 ( و محور Y را در 

) قطع مى كند.‏ 


x y 

+ = 1 

a b x + y = 1 

2 − 4 

= 0 4 − y 2 x − يا 

( 0, −4 

حل:‏ = 2 a و − = b 

مثال (7): در شكل اگر مثلث مثلث متساوى الساقين باشد،‏ معادلة خط مستقيم AB 

را در صورتى دريابيد كه ضلع AB اين مثلث از نقطه (2,3)P بگذرد.‏ 

حل:‏ ميل خط AB مساوى است به:‏ 

O Δ 

AB 

a − 0 

AB = = − 

0 − a 

1 ميل خط مستقيم 

323

اكنون معادلة خط مستقيمى كه ميل آن (1 −) و از نقطة (2,3)P مى گذرد عبارت است 

از:‏ 

324 

y − 3 = −1( 

x − 2) يا x + y − 5 = 0 

معادلة خط مستقيمى كه يك نقطه و تقاطع آن با محور y معلوم باشد عبارت از 


) − x y y = m است.‏ 

1 

( x1 

y = mx + b 

معادلة خط مستقيمى كه ميل و يك نقطة آن معلوم باشد − 

y2 

− y1 

y y1 = ( x − x1 و 

) 

x2 

− x1 

x y 

+ = 

a b 

معادلة خط مستقيمى كه دو نقطة آن معلوم باشد − 

معادلة خط مستقيمى كه نقاط تقاطع آن با محورها معلوم باشد.‏ 1 مى باشد.‏ 

1- معادله هاى خطوط مستقيم زير را دريابيد:‏ 

( 

− a: معادلة خط موازى با محورX كه از نقطه b: معادلة خط عمود بر محور X كه از نقطه (5,3−) مى گذرد.‏ 

2- معادله هاى خطوط مستقيم زير را دريابيد:‏ 

a: كه ميل آن 7 و از نقطه (6,5 −) بگذرد.‏ 

− ( 

b: ميل آن صفر و از نقطة c: از نقطة (8,5 −) بگذرد و ميل آن تعريف نشده باشد.‏ 

− 

d: كه از نقاط e: كه ميل آن − 4 و محور Y را در − 9 قطع كند.‏ 

A 

3- معادله هاى اضلاع مثلث را دريابيد كه رأس هاى آن 9) 7, ميگذرد.‏ 

(5,4) B و 

، (−3,2) 

3) 8, بگذرد.‏ 

−3) 5, ( و 1) − 9, ( بگذرد.‏ 

,3)C باشند.‏ 

−8) 

4- معادلة خط مستقيمى را بنويسيد كه از نقطة ) − ميگذرد و عمود بر خطى باشد 

( 4, −6 

− 3 

2 

كه ميل آن مى باشد.‏ 

5- معادلة خط مستقيمى را بنويسيد كه از نقطه ) − ( بگذرد و موازى با خطى باشد كه 

ميل آن ) 

11, 

5 

− 24 ( مى باشد.‏ 

1- معاد 

تمرين

7- معادلة نورمال يك خط مستقيم 

آيا ميتوانيد بگوييد كه خط نورمال يك 

خط مستقيم عبارت از كدام خط مستقيم 


325 

معادلة خط مستقيم l كه طول خط عمود ازمبداى كميات وضعيه بالاى خط l عبارت از 

p باشد و زاويه ميل خط عمود باشد عبارت است از:‏ 

x, ( يك 

y) 

xcos + ysin 

− P يا = 0 x cos + ysin 

= P 

خط l محور X را در نقطه A و محور Y را در نقطه B قطع مى كند؛ اگر P 

نقطة اختيارى خط AB باشد و خط مستقيم OR عمود بر خط l باشد،‏ پس OR = P 

كه خط مستقيم OR را نورمال خط l ميگويند كه P طول نورمال مى باشد.‏ 

از مثلث هاى قايم الزاويه 

OR 

Δ B و R A 

O Δ 


P 

يا = θ cos 

OA 

P 

OA = cos θ 

P 

cos( 90° − θ) 

يا = 

OB 

P P 

OB = 

= 

o 

cos(90 − θ) 

sin θ 

cos( مى باشد.‏ 

زيرا از مثلثات ميدانيم كه:‏ ( و محور Y را در 0,OB) ( قطع مى كند؛ 

چون خط مستقيم AB محور X را در ) 90° − θ) 

= sin θ 

OA,0 

پس معادلة خط مستقيم AB عبارت است از:‏ 

x y 

+ = 1 

OA OB 

x y 

+ = 1 

P P 

cos 

sin

x cos + ysin 

= P 

يا 

xcos + ysin 

− P = يا x cos + ysin 

كه = P 

0 عبارت از معادلة نورمال 

خط مستقيم l مى باشد.‏ 

مثال (1): اگر طول خط عمود بر يك خط مستقيم l از مبداى كميات وضعيه مساوى 

به 5 واحد باشد و زاوية ميل خط عمود ‏(نورمال)‏ ° 120 باشد ميل خط مستقيم l و معادله 

نورمال و نقطه تقاطع آن با محورY را دريابيد.‏ 

حل:‏ 

x cos120° + ysin120° 

= 5 

1 3 

− x + y = 5 

2 2 

x − 3y + 10 = 0 

x 10 

y = + 

3 3 

1 

(cos120° 

= − 

2 

= 5 مى باشد.‏ 

فعاليت 

مى نويسيم.‏ 

10 

0, 

3 

y mx + b 

P و = 120° 

, 

sin120° 

= 

3 

) 

2 

براى دريافت ميل خط lمعادله را به شكل = 

= m و محور Y را در نقطه ) ( قطع مى كند.‏ 

1 

3 

پس ميل خط l، 

معادلة نورمال خط مستقيم را دريابيد كه طول نورمال آن 10 واحد و نورمال با جهت مثبت 

محور X زاوية ° 30 را بسازد.‏ 

-8 معادلة عمومى يك خط مستقيم:(‏Line (General equation of a straight 

0 داراى دومتحول x و y است،‏ درحالى كه b a، وc اعداد ثابت 

معادلة = c ax + by + 

مى باشند.‏ a وb همزمان بايد صفر نباشند،‏ به نام معادلة عمومى يك خط مستقيم ياد 

مى شوند.‏ 

يا = 0 c ax + 

c 

x = − 

(1 اگر ≠ 0 a و = 0 b باشد 

a 

326

اين معادلة خط مستقيمى مى باشد كه با محور y موازى است.‏ فاصلة مستقيم اين خط از 

c 

محور Y عبارت از − 

a 


y 

c 

− 

b 

0 باشد معادلة شكل + 0 را به خود ميگيرد يا = 

اين معادلة خط مستقيمى مى باشد كه با محور X موازى است و فاصلة مستقيم اين خط از 

by c = 

(2 اگر = 0 a و ≠ b 

− c 

b 

(3 اگر ≠ 0 a و ≠ 0 b باشد 

محور X عبارت از 


معادلة خطى است كه ميل آن m = − a 

b 

− a c 

by = −ax 

− c يا y = x − = mx + b 

b b 

− c 

b 

و محور y را در 

قطع مى كند.‏ 

‎1‎‏-تبديل معادلة عمومى يك خط مستقيم به شكل معادلة معيارى آن 

معادلة عمومى + 0 به شكل معادلة معيارى يك خط مستقيم عبارت است از:‏ 

by = −ax 

يا − c 

− a c 

y = x − = mx + b 

b b 

− c 

b 

ax by + c = 

كه ميل اين خط m = − a 

b 

و محور Y را در 

مثال‎2‎‏:‏ معادلة عمومى خط مستقيم 

نماييد.‏ 

حل:‏ 


0 را به شكل معيارى تبديل 

5 x −12y 

+ 39 = 

يا + 39 5x 12 y = 

5 39 

y = x + 

12 12 

5 

39 

كه ميل آن = m و محورY را در قطع مى كند.‏ 

12 

12 

327

2- تبديل معادلة عمومى يك خط مستقيم به شكل معادلة خط مستقيمى كه 

ميل و يك نقطة آن معلوم باشد 

328 

در معادلة + 0 كه ميل آن − 

− c مى باشد؛ پس:‏ 

و يك نقطه آن ) 0, ( 

a 

− a 

y = (x + 

b 

c 

) 

a 

− a 

m = tan θ = 

b 

a 

b 

ax by + c = 

را به شكل معادلة خط مستقيمى 

− مثال‎3‎‏:‏ معادلة عمومى خط مستقيم 0 تبديل كنيد كه ميل و يك نقطة آن معلوم باشد.‏ 

مى باشد.‏ وميل 

) − حل:‏ يك نقطة خط مستقيم 5 x 12y + 39 = 

39 

= 0 39 + 12y 5 x عبارت از ,0 − ( 

5 

y − y1 

= m(x − x1 

) 

5 39 

y − 0 = (x + ) ⇒ y = 

12 5 

5 

12 

x + 

39 

12 

12 است؛ پس:‏ 

خط 5 

3- تبديل معادلة عمومى به شكل معادلة خط مستقيمى كه دو نقطه آن معلوم 

باشد.‏ 

− c 

(0, 

b 


y 

1 

= 0 

y − y 

1 

y 

= 

x 

x 

− y 

− x 

− c 

− 0 

y − 0 = b (x + 

c 

0 + 

a 

− a c 

y = (x + ) 

b a 

2 

2 

1 

1 

1 

− c 

) a ,0 ( و 

− c 

= 

a 

(x − x 

c 

) 

a 

1 

) 

− c 

= b 

c 

a 

خطى كه معادلة آن + 0 است از نقاط 

y 

(x + 

2 

c 

) 

a 

− c 

= 

b 

= − 

ax by + c = 

c 

b 

a 

⋅ (x + 

c 

x 

2 

c 

) 

a 

= 0 

مثال(‏‎4‎‏):‏ معادلة عمومى خط مستقيم 0 را به شكل معادلة خط مستقيمى 

5 x −12y 

+ 39 =

y − 0 

39 

x + 

5 

بنويسيد كه دو نقطة آن معلوم باشد.‏ 

حل:‏ خط − 

− 39 

P 1 

و ,0 ( 

39 

P 2 

= 0 39 + 12y 5 x از نقاط ) (0, 

5 

12 

y − y1 

y 

y2 

− y 

= 

1 

y − y1 

= (x − x1 

) 

x − x1 

x 

x − x 


2 

1 

39 

− 0 

= 12 

39 

0 + 

5 

يا 

4- تبديل معادلة عمومى يك خط مستقيم به شكل معادله خط مستقيمى كه 

نقاط تقاطع آن با محورهاى X و Y معلوم باشد.‏ 

2 

2 

− 

− 

y 

x 

1 

1 

ax + by + c = 0 

ax + by = −c 

اطراف را بالاى (c− ( تقسيم مينماييم.‏ 

ax by 

+ = 1 

− c − c 

x y 

+ = 1 

− c − c 

a b 

مثال(‏‎5‎‏):‏ معادلة − 0 را به شكل معادله خط مستقيمى كه نقاط تقاطع آن 

با محورهاي X و Y معلوم باشد تبديل نماييد.‏ 

5x 

− 12y = −39 

5x 

− 39 

x 

39 

− 

5 

− 

+ 

12y 

− 39 

y 

39 

12 

= 1 

= 1 

5 x 12y + 39 = 

اطراف را بر − 39 تقسيم ميكنيم.‏ 

329

39 

0, ) 

12 

39 

,0 

5 

بدين معنى كه اين خط مستقيم محور X را در نقطه ) −) و محور Y را در نقطه ( 


فعاليت 

كميات وضعيه نقاط تقاطع خط 6 را با محورهاى X و ، Y دريابيد.‏ 

3 x − 2y = 

5: تبديل معادلة عمومى يك خط مستقيم به شكل نورمال آن 

چون ميدانيم كه معادلة خط مستقيم به شكل نورمال θ مى باشد.‏ 

بوده 

و معادلة عمومى يك خط مستقيم عبارت از + 

كه هردوى آن نشان دهندة عين خط مستقيم مى باشند؛ پس نسبت هاى ضرايب آن ها 

مساوى به يك عدد ثابت K مى باشند.‏ 

a 

cos 

P 

− c 

x cos + ysin θ = P 

ax + by = −c يا ax by + c = 0 

b − c 

= = = k 

θ sin θ P 

2 2 

cosθ 

sin θ cos θ + sin θ 

= = = 

a b 

2 2 

± a + b 

= 

± 

a 

1 

2 

+ b 

2 

2 

2 2 

cos θ sin θ cos θ + sin θ 

= = 

2 

2 

2 2 

a b a + b 

a 

b 

cosθ = 

sinθ و 

= 

2 2 

2 2 

± a + b ± a + b 

x cos + ysin θ = P = 

2 

زيرا كه:‏ 

در نتيجه:‏ 


و cos داريم 

ax 

2 

± a + b 

ax + by 

2 

2 

± a + b 

b 

= k 

sin θ 

2 

sin 

با عوض كردن قيمت هاى θ در معادلة 0 كه:‏ 

by 

+ + 

2 2 

± a + b ± 

− c 

= 

2 2 

± a + b 

a 

, = k 

cosθ 

a 

c 

2 

+ b 

2 

= 0 

ويا 

330

k 

k 

2 

2 

cos 

2 

(cos 

θ + k 

2 

2 2 2 

k cos θ = a ، 

2 

θ + sin 

sin 

2 

2 

θ = a 

θ) 

= a 

2 

2 

+ b 

+ b 

2 

k 2 sin = b 

2 

2 2 

، k = a 

پس:‏ cos ، k sin = b 

k + 

2 2 

= ± a b 

يا:‏ 

ax + by+ 

c 

= 0 

2 2 

± a + b 

ax را به K تقسيم مى نماييم،‏ داريم كه:‏ 

هر دو طرف معادله + 

يا 

± 

a 

a 

2 

+ b 

2 

x + 

± 

a 

b 

2 

+ b 

2 

by = −c 

y = − 

± 

a 

c 

2 

+ b 

براى اينكه قيمت p هروقت مثبت است علامة مخرج جذر مخالف علامه c مى باشد.‏ اگر 

= 0 c باشد علامة جذر مطابق علامة b مى باشد 

مثال(‏‎6‎‏):‏ معادله − 0 را به شكل نورمال آن تبديل نماييد.‏ 

حل:‏ هر دو طرف معادله را بر ± ) تقسيم مى نماييم براى اين كه 

طرف راست مساوات مثبت باشد علامه 13 بايد منفى در نظر گرفته شود.‏ 

2 

2 

2 

+ ( −3 

= 13 

2 x 3y + 6 = 

2 3 6 

− x + − يا = 0 2x − 3y + 6 

= 0 

13 13 13 

− 13 

پس در ناحيه دوم قرار دارد.‏ 

2 

o 

o 6 

x cos123 40' + ysin123 40' − = 0 

13 

نطر به جدول مثلثاتى θ 

=123 o 40' 

معادله نورمال خط مستقيم عبارت است از:‏ 

فعاليت 

معادلة 0 را به شكل نورمال تبديل كنيد.‏ 

2 x − 3y + 6 = 

معادلة نورمال يك خط مستقيم عبارت از 0 و معادلة عمومى 

يك خط مستقيم عبارت از + 0 مى باشد.‏ 

xcos + ysin 

− p = 

ax by + c = 

331

± 

ax 

2 

a + b 

2 

+ 

± 

by 

2 

a + b 

معادلة عمومى خط مستقيم به شكل نورمال آن عبارت است از:‏ 

2 

+ 

± 

a 

c 

2 

+ b 

2 

= 0 

تمرين 

را به شكل معادلة عمومى 

° معادلةدلة نورمال خط مستقيم 0 معادلة 

-1 

يك خط مستقيم تبديل نماييد.‏ 

x cos60 + ysin 60° − 7 = 

را به شكل معادلة 

° 2- معادلة نورمال يك خط مستقيم 0 عمومى يك خط مستقيم تبديل نماييد.‏ 

x cos225 + ysin 225° − 6 = 

3- معادله هاى عمومى يك خط مستقيم كه در زير داد شده اند به شكل معادلة نورمال تبديل 

نماييد:‏ 

15 y − 8x + 3 = 0 , 2x + 5y − 2 = 0 , 2x + 4y + 7 = 0 

332

فاصلة يك نقطه از يك خط 

مستقيم 

Distance of a point from a) 

(line 

آيا فاصلة نقطه (2,2 ( را از خط مستقيمى 

كه معادلة آن x 1 باشد دريافت 

كرده مى توانيد؟ 

+ y = 

اگر فاصلة نقطة P را از خط d ، AB در نظر بگيريم طورى كه نقطة P بالاى خط AB 

واقع نباشد.‏ ) خطAB نه خط عمودى و نه افقى باشد).‏ 

A را موازى با AB رسم كنيد،‏ در اين صورت معادلة نورمال خطAB 

از نقطة p خط 

عبارت است از A 

با خط مستقيم AB موازى است،‏ پس معادلة نورمال خط چون خط مستقيم ' θ 

عبارت است از ' B' 

xcos + ysin 

− p = 0 

'B' 

A'B 

d = xcos + ysin 

− p يا x cos + ysin θ − (p + d) = 0 

'B' 

P(x 

, y1 

باالترتيب x 

= x cos θ + y sin θ P 

روى خط مستقيم A 

1 

چون نقطة ) 

y را عوض مى كنيم داريم كه:‏ 

1 

و 

1 

اين معادله فاصله نقطه p را از خطAB 

نشان ميدهد در صورتى كه معادلة خط 

مستقيمAB به شكل نورمال داده شده 

باشد،‏ و اگر معادلة خط مستقيمAB 

به شكل عمومى + 

داده شده باشد،‏ پس:‏ 

قرار دارد در معادله فوق عوض x و y 

d 

1 1 

− 

( ax by + c = 0) 

333

334 

فعاليت 


ax 

d = 

± 

1 

a 

− c 

a 

b 

P = و cos θ = ,sin θ = 

چون 

2 2 

2 2 

2 2 

± a + b ± a + b ± a + b 

اگر اين قميت ها را در معادله نورمال خط مستقيم AB عوض كنيم داريم كه:‏ 

+ by 

2 

1 

+ b 

+ c 

2 

در معادلة فاصله اگر نقطة P و مبداى كميات وضعيه به يك طرف خط AB واقع باشد قيمت 

d منفى مى شود و در صورتى كه نقطه p و مبدأ به دو طرف خط مستقيم AB واقع باشد 

قيمت d مثبت مى شود.‏ چون فاصله،‏ هر وقت مثبت است بايد قيمت مطلقة آن در نظرگرفته 

شود.‏ ) علامه c مخالف علامه جذر مخرج مى باشد)‏ 

مثال(‏‎1‎‏):‏ فاصلة نقطة ) P را از خط مستقيم + 

11 چون علامه c منفى است بايد علامه جذر مثبت 

باشد.‏ 

d = 

ax 

1 

−11= 3y 4 x دريابيد.‏ 

0 

+ by 

a 

2 

1 

+ b 

+ c 

2 

4( −2) 

+ 3(8) −11 

= 

= 

2 2 

(4) + (3) 

= 0 7 + 2y 3 − دريابيد.‏ 

(−2,8 

حل:‏ = 4 a b = 3 ، و − = c 

−8 

+ 24 −11 

5 

= = 1 

25 5 

فاصلة نقطة ) ( را از خط مستقيم x 

فاصلة بين دو خط موازى(‏ :(Distance between two parallel lines 

فاصلة بين دو خط موازى عبارت از فاصله در بين يك نقطه بالاى يكى از خطوط و خط 

موازى ديگرى مى باشد 

مثال(‏‎2‎‏):‏ فاصله بين دو خط مستقيم موازى − 


حل:‏ يك نقطه را بالاى يكى از خطوط موازى در مى يابيم؛ طور مثال:‏ اگر در معادلة 

2 x − 5y + 6 و = 0 2 x 5y + 13 = 0 

2 x − 5y + 13 = 0 

2 − 5y 

+ 6 = 0 

3 مى شود.‏ حالا فاصلة نقطة ) ( را از خط مستقيم x 

1,3 

5,8 

y = باشد x = 1

d = 

2(1) − 5(3) + 6 

(2) 

2 

+ ( −5) 

2 

به دست مى آوريم.‏ 

2 −15 

+ 6 

= = 

4 + 25 

7 

29 

d 

ax + by + c 

توسط فورمول = 

± 

1 

a 

2 

1 

+ b 

2 

يادداشت:‏ فاصله خط مستقيم + 0 از مبدأى كميات وضعيه (0,0) عبارت 

ax by + c = 


فعاليت 

a 

2 

C 

+ b 

2 

از 


3 y = − x + و 3 x 2y = 10 

2 

6 x + 3y − 8 = و 2 x y + 2 = 0 

فاصله بين دو خط موازى + 

مثال‎3‎‏:‏ فاصله بين دو خط موازى + 


2 مي شود اكنون فاصله نقطة 

حل:‏ اگر در معادله + 

) را از خط مستقيم 0 به دست مى آوريم:‏ 

y = − شود x = 0 ، 2 x y + 2 = 0 

6 x + 3y − 8 = 

( 0, −2 

ax + by1 

+ c 

d = 

= 

2 2 

a + b 

6(0) + 3( −2) 

− 8 

1 

= 

36 + 9 

14 

3 5 

d 

1 

= 

P از يك خط مستقيم از فورمول فاصلة نقطة ) و 

x1 cosθ + y sin θ − p 

( x 1 

, y1 

d به دست مى آيد.‏ 

ax 

+ by 

1 1 

يا = 

2 2 

± 

a 

+ b 

+ c 

335

تمرين 

1- فاصلة بين هر جوره خطوط موازى را كه معادله هاى آن قرار زير ميباشد دريابيد:‏ 

3 x − 4y + 3 و = 0 3 x − 4y + 7 = 0 

12 x + 5y − 6 و = 0 12 x + 5y + 13 = 0 

x + 2 y − 5 و = 0 2 x + 4y 

= 1 

= 0 9 + 4y 6 − دريابيد.‏ 

) را از خط x 

0 مساوى است به:‏ 

2 x + 4y + 5 = + 3 و 6y −8 

= 0 

-2 فاصلة نقطة −1 6, P( 

3- فاصله بين دو خط موازى x 

31 31 

a ) b) 

هيچكدام d) c)6 5 

5 6 5 

a : 

2 

3 

x 

5 

c : 3 

4 

y + 2 = 

5 

1 

d : 

2 

4- فاصله بين نقطة ) ( از خط مستقيم − 0 عبارت است از:‏ 

b : 

1 

5- فاصله بين نقطة ) −) و خط مستقيم + 0 مساوى است به:‏ 

24 x 7y − 2 = 

1,2 

2,7 

a : 0,04 

b : 

1 

25 

c : 

4x10 

−2 

هر سه درست اند : d 

336

دايره(‏Circle‏)‏ 

آيا معادلة دايره يى را ميتوانيد دريابيد كه 

مركز آن در مبداى كميات وضعيه واقع و 

شعاع آن 4 واحد باشد؟ 

تعريف 

دايره ست نقاطى مى باشند كه فاصله آن ها از يك نقطة مستقر ثابت باشد.‏ 

نقطة مستقر مركز (Center) دايره و فاصلة مساوى عبارت از شعاع (Radius) دايره 


) مركز دايره،‏ r شعاع دايره 

و ) يك نقطه از محيط دايره باشد.‏ 

مطابق شكل با استفاده از قضيه فيثاغورث داريم كه:‏ 

(CP) 

2 

(x − h) 

= (x − h) 

2 

2 

+ (y − k) 

C( h, 

k 

+ (y − k) 

2 

= r 

2 

2 

معادلة يك دايره circle) :(Equation of a اگر 

(CP = r) 

P( x, 

y 

معادله فوق معادله معيارى دايره مى باشد؛ اگر مركز دايره در مبداى كميات وضعيه باشد در آن 

0 است و معادلة دايره 

عبارت از − يا 


= 0 باشد دايره را دايرة نقطوى 

x − h 

y − k 

2 

2 

( x 0) + (y − 0) = 

صورت = k h = 

2 2 2 

x + y = r 

اگر r 

circle) (Point مى گويند.‏ 

r 

2 

337

(7 واحد 

مثال(‏‎1‎‏):‏ معادلة دايره يى را دريابيد كه مركز آن ) −) و طول شعاع آن ( 

باشد.‏ 

3,5 

حل:‏ = 7 ,r k = 5 و −3 = h 

(x + 3) 

x 

2 

+ y 

2 

2 

+ (y − 5) 

2 

= 7 

+ 6x −10y 

−15 

= 0 

2 

فعاليت 

معادلة دايره يى را بنويسيد كه مركز آن در مبداى كميات وضعيه واقع و شعاع آن 3 واحد 

باشد.‏ 

معادلة عمومى يك دايره circle) :(General form of an equation of a 

2 

2 2 

( x − h) 

+ ( y − k) 

= r 

2 

2 2 

2 2 

x − 2hx + h + y − 2ky + k − r = 0 

2 2 

2 2 2 

x + y − 2hx − 2ky + h + k − r = 0 

يا:‏ 

2 2 2 

h + k − r = c و − h = g ، − k = f 

2 2 

2 

2 2 2 

x + y + 2gx + 2fy + c يا = 0 ( x + g) 

+ ( y + f ) = g + f − c 

اگر 

فرض شود داريم كه:‏ 

و اين معادله را معادلة عمومى دايره مى گويند كه مركز دايره ) − و شعاع آن 


Ax 

2 

( g, 

− f 

x 

r = 

g 

2 

+ f 

باشد دايرة حقيقى وجود دارد.‏ 

0 باشد دايره نقطوى است.‏ 

0 باشد دايره مجازى است ‏(وجود ندارد)‏ 

0 2 

y 

2 

2 

− 2hx − 2ky + h + k 

2 2 2 

h + k − r = c 

2 

− r 

2 

− c 

2 2 

> c g + f − 

اگر 2 2 

= c g + f − 

اگر 2 2 

+ f − c < 

2 

اگر g 

و يا اگر در معادلة + 

قرار داده شود داريم كه:‏ 

و 

0 اين معادلة عمومى يك دايره نيز مى باشد.‏ 

بعضى اوقات معادلة عمومى يك دايره را به شكل + 

نيز نشان مى دهند در صورتى كه و هم علامه باشند.‏ 

By 

2 

+ Dx + Ey − F = 0 

A = B 

x 

2 

= 0 

− 2 k = b ، − 2 h = a 

+ y 

2 

+ ax + by + c = 

338

حالات خاص 

- 1 اگر در معادلة دايره − قيمت = 0 h باشد،‏ مركز دايره 

بالاى محور Y واقع است و شكل معادله دايره + مى باشد.‏ 

- 2 اگر = 0 k باشد مركز دايره بالاى محور X واقع است و معادلة دايره 


2 

2 2 

( x h) 

+ ( y − r) 

= r 

2 

2 

( x h) + (y − k) = 

2 

2 2 

x ( y − k) 

= r 

r 

2 

فعاليت 

2 2 2 

( x − h) 

+ y = r 

− 

باشد دايره با محور Y مماس بوده و معادلة دايره،‏ r مى باشد.‏ 

2 

2 2 

( x r) 

+ ( y − k) 

= r 

- 3 اگر = k 

− 

باشد دايره با محور X مماس بوده و معادلة دايره،‏ r مى باشد.‏ 

2 2 

h k = 

r 

2 

- 4 اگر = h 

+ 

- 5 يك دايره در آن صورت از مبداى كميات وضعيه مى گذرد كه رابطة را صدق كند.‏ 

- 6 يك دايره در آنصورت بالاى محور هاى X و Y مماس مى باشد كه معادلة آن به 

باشد.‏ 

بالاى محور Y قرار دارد.‏ 

+ مثال 2: مركز دايرة 10 بامحور Y مماس مى باشد.‏ 

25 از مبداى كميات وضعيه ميگذرد.‏ 

9 x 

2 

( x = r 

2 

2 2 

− r) 

شكل،‏ r) ( y − + 

(y − 5) 

2 

= 

2 

2 

دايرة = 5) − (y (x − 1) + 

2 2 

دايرة = y ( x + 3) + 

در شكل نشان دهيد كه در مثال چهارم مركز دايرة اولى بالاى محورYقرار دارد،‏ دايرة 

دومى با محور Y مماس مى باشد و دايرة سومى از مبداى كميات وضعيه ميگذرد.‏ 

مثال (3): معادلة عمومى و معيارى دايره يى را بنويسيد 

كه كميات وضعيه مركز آن (2,3 −) و شعاع آن 6 

واحد باشد و نيز اين دايره را رسم كنيد:‏ 

(x 

x 

2 

معادله معيارى دايره + 

معادله عمومى دايره 

2) 

+ y 

2 

2 

+ (y − 3) 

2 

= 6 

+ 4x − 6y − 23 = 0 

2 

339

مثال(‏‎4‎‏):‏ نشان دهيد كه + 0 معادلة يك دايره بوده 

و نيز كميات وضعية مركز و طول شعاع آن را دريابيد.‏ 

حل:‏ هردو طرف معادله را بر 5 تقسيم مى نماييم داريم كه:‏ 

x 

2 

+ y 

2 

+ 

24 

5 

r 

x + 

g 

36 

5 

2 

5x 

+ f 

2 

5y 

2 

y + 2 = 0 

2 

− c = 

+ 24x + 36y + 10 = 

و = 2 c مى باشد.‏ 

−12 

( g, −f ) = ( , 

5 

144 324 418 

+ − 2 = = 

25 25 25 

18 

f = ، 

5 

−18 

) 

5 

418 

5 

g = 

12 

5 

كه:‏ 

‏(مركز دايره)‏ − 

شعاع دايره = 

2 2 

+ y − 8x متحدالمركز 

+ 4 = 0 

= 0 6 + y + 2 مماس 

مثال 5: معادلة دايره يى را دريابيد كه با دايرة x 

x بوده و با خط (Concentric) 

باشد.‏ 

حل:‏ مركز دايرة x 

عبارت از ) بوده كه در معادله 

2 

2 

+ y − 8x 

+ 4 = 0 

C 1 

( −g, 

−f 

2 2 

: x + y + 2gx + 2fy + c = 0 

2g = −8⇒ 

g = −4 

⇒ − g = 4 

2f = 0 

⇒ 

f = 0 

نقطه ) مركز آن دايره نيز مى باشد كه معادلة آن مطلوب است.‏ 

كميات وضعية C1 را در معادله − وضع مى نماييم:‏ 

2 

2 2 

( x − 4) + ( y − 0) = r 

+ 2 y + 6 = 0 

2 

2 2 

( x h) 

+ ( y − k) 

= r 

C 

1 

(4,0 

x را دريابيم،‏ چون دايره با خط مستقيم C 

2 

براى اين كه شعاع دايره 

مماس است،‏ پس فاصلة نقطة (4,0 ( از اين خط مستقيم عبارت از شعاع دايره مى باشد.‏ 

4(1) + 2(0) + 6 10 100 

d = r = 

= 20 = 2 r يا = 

2 2 

1 + 2 5 5 

340

پس معادلة دايرة مطلوب − 0 مى باشد.‏ 

مثال‎6‎‏:‏ معادلة دايره يى را دريابيد كه از نقاط (4,1) ميگذرد و مركز آن 

بالاى خط مستقيم + 0 واقع باشد.‏ 

حل:‏ اگر مركز دايره (h,k) C باشد،‏ معادلة دايره عبارت،‏ از:‏ 

مى باشد،‏ چون مركز دايره بالاى خط مستقيم 

r 

2 2 

x + y − 8x 

يا = 4 − 

2 2 

(x 4) + y = 20 

A و B(6,5) 

4 x y −16 

= 

فعاليت 

( x و 

= 

(h − 4) 

4 h + k = 16 

(x − 3) 

2 

2 2 

− h) + (y − k) r است 4 h k = 16 

4h + 8k = 44 

− 

2 

− 

2 

7k = 28 

k = 4 

= (3 − 4) 

2 

−1 = 0 

+ (k −1) 

− 

2 

2 

⇒ 

+ (4 −1) 

+ (y − 4) 

2 

= (h − 6) 

2 

= 10 

h = 3 

= 10 

2 

+ (k − 5) 

2 

2 

( x − h) + (y − k) = 

4 x + y −16 

= 

0 قرار دارد،‏ پس + 


2 

2 

x 

2 

2 

AC = BC و AC = BC 

+ y 

2 

− 6x −8y 

+ 15 = 0 

كه معادله دايره مطلوب مى باشد.‏ 

) ميگذرد و با خط مستقيم y 

2 2 

= 0 9 − 4y x y − 4x + را 

0,0) و ( 2,0 

معادلة دايره يى را دريابيد كه از نقاط ( 

مماس باشد.‏ 

مثال هفتم:‏ كميات وضعيه مركز و طول شعاع دايره + 


حل:‏ 

2 2 

x + y − 4x + 4y − 9 = 0 

2 

2 

x − 4x + y + 4y − 9 = 0 

2 

2 2 

x − 4x + ( −2 

) − ( −2 

) + y 

2 

2 

(x − 2) + (y + 2) = 17 

2 

⇒ 

+ 4y + 2 

2 

− 2 − 9 = 0 

r 

2 

341


پس مركز دايره − ( 

معادلة دايره اى كه مركز آن در مبداى كميات وضعيه واقع باشد عبارت از + 

و اگر مركز آن در مبداى كميات وضعيه واقع نباشد و كميات وضعية مركز دايره h 

2 2 

x y = 

( , k) 

x 

2 

r 

2 

2) 2, و شعاع دايره = r 

2 

2 

2 2 

+ y + 2gx + 2fy + c يا = 0 ( x h) + (y − k) = r 

2 2 

x y + ax + by + c = 

باشد معادلة آن − 

و يا + 0 مى باشند.‏ 

تمرين 

- 1 معادلة دايره يى را دريابيد كه اگر:‏ 

:a مختصات مركز آن −2) 5, ( و = 4 r باشد.‏ 

:b مختصات مركز آن − 3 3 2, ( 2 = 2 باشد.‏ 

(1,2 بگذرد.‏ 

0,0 

−4) 3, ( بگذرد.‏ 

:d مختصات مركزآن ( 0,0 

) و شعاع آن r 

c: مختصات مركز آن ) ( و از نقطة ( 

) و از نقطة − 

) و از مبداى كميات وضعيه بگذرد.‏ 

- 2 نخست نشان دهيد كه معادلات داده شدة زير،‏ معادله هاى دايره مى باشند بعد كميات 

وضعيه مركز و طول شعاع هريك از آن ها را دريابيد.‏ 

2 2 

x + y + 12x −10y 

= 0 

, 

2 2 

x + y − 6x + 4y + 13 = 0 , 

2 2 

a(x + y ) + 2gx + 2fy + c = 0 

5x 

3x 

2 

2 

+ 5y 

+ 3y 

:e مختصات مركز آن −6 8, ( 

2 

2 

+ 14x + 12y = 0 

− 2x + 4y −1 

= 0 

342

حالات يك خط مستقيم با دايره 

آيا ميتوانيد بگوييد كه خط مستقيم 

x 

2 

2 

+ y دايرة = 25 3 x − 4y + 20 = 0 

را در چند نقطه قطع مى كند؟ 

x 

2 

y 

2 

معادلة دايرة + 0 را در نظر مى گيريم.‏ حالات يك خط مستقيم 

را با دايرة مذكور مورد مطالعه قرار مى دهيم كه آيا خط مستقيم،‏ دايره را در دو نقطه قطع 

+ ax + by + c = 

مى كند،‏ خط با دايره مماس مى باشد و يا اين كه خط مستقيم،‏ دايره را هيچ قطع نمى كند.‏ 

قيمت x و ياy را از معادلة خط مستقيم به دست آورده،‏ در معادلة دايره وضع مى نماييم 

دراينصورت معادلة درجه دوم يك مجهوله به دست مى آيد.‏ 

1) اگر در اين معادله Δ 0 باشد خط مستقيم دايره را در دو نقطه قطع 


= b 2 − 4ac > 

0 باشد خط مستقيم با دايره مماس مى باشد.‏ 

(2 اگر = 4ac Δ = b 2 − 

0 باشد خط مستقيم دايره را قطع نمى كند.‏ 

مثال(‏‎1‎‏):‏ آيا خط مستقيم 0 x را قطع 

مى كند؟ كميات وضعية نقاط تقاطع را دريابيد.‏ 

x 

2 

2 

+ y −8x 

− 2y + 12 = دايره 2 = y + 7 

(3 و اگر < 4ac Δ = b 2 − 

حل:‏ از معادلة خط مستقيم 7 قيمت y را در معادلة دايره وضع مى كنيم.‏ 

x 

2 

5x 

+ (2x − 7) 

2 

− 40x + 75 = 0 

2 

−8x 

− 2(2x − 7) + 12 = 0 

يا = 0 15 + 8x x 2 − 

Δ = b 

2 

y = 2x 

− 

− 4ac = ( −8) 

2 

− 4⋅15 

= 64 − 60 = 4 > 0 

پس خط مستقيم دايره را در دو نقطه قطع مى كند كه كميات وضعية نقاط تقاطع عبارت اند 

343

از:‏ 

2 

− b ± b − 4ac 8 ± 4 

x = 

= 

2a 2 

x = 5 , x = 3 

1 

2 

= 2 را در معادلة خط مستقيم وضع مى كنيم 

3 

y 

y 

1 

2 

= 2x 

1 

= 2x 

2 

− 7 = 2⋅5 

− 7 = 3 

− 7 = 2⋅3 

− 7 = −1 

x و x 5 

براى يافتن قيمت y قيمت هاى = 1 


(5,3 قطع مى كند.‏ 

1) 3, و ( 

2 2 

x + y − 2x 

+ 4y 

= 0 5 − y + 3 با دايرة = 0 5 − 

پس اين خط مستقيم دايره را در نقاط − ( 

x 

مثال(‏‎2‎‏):‏ آيا خط مستقيم مماس مى باشد يا خير؟ 

قيمت x را در معادلة دايره وضع ميكنيم.‏ 

= حل:‏ از معادلة خط مستقيم x 5 − 3 

y 

(5 − 3y) 

y 

2 

2 

+ y 

2 

− 2y 

+ 1 = 0 

− 2(5 − 3y) 

+ 4y 

− 5 = 0 

و 0 پس اين خط مستقيم با دايره مماس مى باشد.‏ كميات وضعية 

نقطة تماس عبارت اند از:‏ 

2 ± 0 

y = = 1 

2 

x = 5 − 3⋅1 

= 2 

Δ = ( −2) 

2 

− 4⋅1 

= 

پس خط مستقيم در نقطه (2,1 ( با دايره مماس مى باشد.‏ 

فعاليت 

آيا خط مستقيم 0 x مماس است؟ يا دايره را در دو 

نقطه قطع مى كند؟ و يا اين كه دايره را هيچ قطع نمى كند؟ 

2 2 

x + y + 5 = با دايرة − y +1 = 0 

344

معادلة مماس و طول مماس 

آيا معادلة خطى را دريافت كرده 

مى توانيد كه در نقطة ) P با دايره 

13 مماس باشد؟ 

( −3, 

−2 

x 

2 

+ y 

2 

= 

اگر يك خط مستقيم با دايره يى كه مركز آن ) C و در نقطه ) P با دايره 

( x1 

, 

1 

1 

y 

( h, 

k 

h − x 

− 

k − y 

y − y 

1 

1 

m 

k 

h 

− 

− 

y 

x 

مماس باشد،‏ پس ميل شعاع مساوى است به:‏ = 

1 

1 

چون شعاع در نقطة تماس بر مماس عمود مى باشد ميل مماس مساوى است به 


h − x 

h − x 

k − y 

1 

1 

= − ( x − x1 

k − y1 

چون يك نقطة خط مستقيم ) P است و ميل آن − 

1 

1 

( x1 

, 

1 

1 

y 

نظر به معادلة خط مستقيم ) − داريم كه:‏ 

) 

y 

y 

1 

= m( x − x1 

اين معادله عبارت از معادلة مماس مى باشد كه در نقطة ) با دايره مماس است.‏ 

و اگر مركز دايره در مبداى كميات وضعيه واقع باشد در آن صورت h 0 است و 

معادلة مماس اين شكل را به خود مى گيرد.‏ 

= k = 

P1 ( x1 

, y1 

2 2 

x1 

yy 

1 

+ xx1 

= x1 

+ y يا y − y ( ) 

1 

1 

= − x − x1 

y 

1 

2 

مى باشد،‏ پس + معادلة مماس مى باشد.‏ 

yy = 

1 

xx1 

r 

چون = + x 

2 2 2 

1 

y1 

r 

345

مثال(‏‎1‎‏):‏ معادلة خط مستقيمى را دريابيد كه 

2 2 

3,4) با دايره‎25‎ = y x + مماس 

در نقطه ( 

باشد.‏ 

حل:‏ چون مركز دايره در مبداى كميات 

y ⋅ 4 + x ⋅3 

= 25 

3 x 4y = 25 

وضعيه واقع مى باشد.‏ 

پس معادله مماس عبارت از + 

و يا + 0 مى باشد.‏ 

3 x 4y − 25 = 

مثال(‏‎2‎‏):‏ معادلة خط مستقيمى را دريابيد كه در نقطه (3,5)P با دايره يى كه مركز آن 

) 1,2) است مماس باشد.‏ 

h = 1 k = 2 

x1 

= 3 y1 

= 5 

h − x1 

y − y1 

= − (x − x1) 

k − y1 

1− 

3 2 

m = − = − 

2 − 5 3 

2 

y − 5 = − (x − 3) 

3 

2x + 3y = 21 

2 x + 3y − 21= 

0 

يا:‏ 

طول مماس:‏ 

كه در خارج از دايره − واقع باشد.‏ 

1 

اگر از نقطة ) 

به اين دايره رسم شود و نقطه تماس (T) را به مركز دايره (C) وصل مى كنيم.‏ 

2 

2 

(x h) + (y − k) = 

( P 

+ 

2 

2 

2 

1 

C) = (P1 

T) (CT) 

r 

2 

P (x1 

, y1 

Δ 

T C 

P 1 

مماس T 

P 1 به اساس قضيه فيثاغورث داريم كه:‏ 

در مثلث قايم الزاويه 

346

(P1 T) − (CT) 

2 

2 

2 

= (P1 

C) 

يا:‏ 

از طرف ديگر:‏ = 

CT = r و 

P 

( P 

− 

2 

2 

2 

1 

C) (x1 

− h) + (y1 

k) 

2 

2 

1 

T x1 

− h) 

+ ( y1 

− k) 

( − r 

2 

مساوى است به:‏ = 

مى باشد،‏ پس طول مماس 

به ياد داشته باشيد براى يافتن طول فاصله از يك نقطة خارج دايره به امتداد مماس كفايت 

مى كند كه قيمت هاى x و y نقطه را در معادلة دايره وضع كنيم.‏ 

مثال(‏‎3‎‏):‏ طول مماس را از نقطة −) 


5x 

2 

x 

2 

+ 5y + 14x + 12y −10 

5,10) بر دايره = 0 

2 

y 

2 

14 12 

+ x + y − 2 = 0 

5 5 

حل:‏ معادلة را به عدد 5 تقسيم مى كنيم داريم كه:‏ + 

133 طول مماس 

= 

( −5) 

2 

+ (10) 

2 

−14 

+ 24 − 2 = 

طول مماس را كه از نقطة 


فعاليت 

0 رسم شده باشد 

x 

2 

2 

+ y − 6x + 8y = بر دايرة P(−2,2) 

با وضع كردن يك مجهول از معادلة خط مستقيم در معادلة دايره،‏ يك معادلة يك مجهوله 

درجة دوم به دست مى آيد.‏ اگر در اين معادله > 0 Δ باشد خط مستقيم دايره را در دو نقطه 

قطع مى كند.‏ اگر 0 باشد خط مستقيم با دايره مماس و اگر < 0 Δ خط مستقيم دايره 

را قطع نمى كند.‏ 

Δ = 

347

) بر دايره يى كه مركز آن ) h است مماس 

( , k 

h − x1 

y − y1 = − (x − x1 

) 

k − y 

1 

P1 ( x1 

معادله خط مستقيمى كه در نقطه , y1 

باشد عبارت است از:‏ 

اگر مركز دايره درمبداى كميات وضعيه باشد معادلة مماس + يا 

مى باشد و طول مماس PT از يك نقطه ) P خارج دايره كه مركز 

دايره ) باشد،‏ مساوى است به:‏ 

yy + 

2 2 

1 

xx1 

= x1 

y1 

(x, y 

yy = 

2 

1 

+ xx1 

r 

( h, 

k 

PT = 

(x − h) 

2 

+ (y − k) 

2 

− r 

2 

تمرين 

1- حالات خطوط مستقيم را با دايره هايى كه معادله هاى آن ها در زير داده شده اند بررسى 

كنيد.‏ 

معادله هاى خطوط مستقيم معادله هاى دايره 

x 

2(x 

x 

2 

2 

+ y 

2 

+ y 

2 

− 4x − y − 3 = 0 

2 

+ y ) − 3x + 2y − 6 = 0 

2 

− x − 9y + 14 = 0 

3x − 2y + 3 = 0 

x − y −1 

= 0 

5x − y = 1 

2 2 

x + y − 2x 

+ 4y 

3) 2, با دايرة = 0 3 + 

2 2 

5x + 5y −10x رسم 

+ 15y −131= 

(5,4 به دايرة 0 

2- معادلة خط مستقيم را دريابيد كه در نقطة − ( 

مماس باشد.‏ 

3- طول مماس راكه از نقطة −) 

شده دريابيد.‏ 

7 ترسيم شده باشد 

2 2 

x + y + 8x 

+ 5y 

(2,5 به دايرة = 

4- طول مماس را كه از نقطة −) 


348

دريافت مساحت مثلث در صورتى 

كه كميات وضعيه رأس هاى آن 

داده شده باشد.‏ 

آيا مساحت مثلثى را ميتوانيد دريابيد كه 

3,2) ( و 6,0) ( 

، 3,6) 

رأس هاى آن −) 

باشند؟ 

P و P3 رأس هاى مثلث باشد طورى كه در شكل مشاهده مى شود بالاى محور 

2 

اگر ، P1 

را رسم نماييد.‏ 

X سه خط عمود 

P1 P2 

مثلث P3 ‏)=مساحت ABP 1 3 

P 3 

B و P 2 

C ، A 

+ مساحت ذو ذنقه P 

2 

‏(مساحت ذو ذنقه 

− P ACP 1 2 

مساحت ذوذنقه 

P 1 

P 3 BCP 

چون ميدانيم كه مساحت ذوذنقه ‏(نصف مجموع دو ضلع موازى)‏ ‏(فاصله بين دو ضلع موازى)‏ 

مى باشد پس:‏ 

Δ 

1 

1 

P 

1P2P3 

( P1 A + P3 = مساحت مثلث 

B ) ( AB) + ( P3 

B + P2 

C )( BC ) 

2 

2 

1 

− ( P1 

A + P2C )( AC ) 

2 

1 

1 

= [(y1 

+ y3)(x3 

− x1)] 

+ [(y3 

+ y2)(x 

2 

− x 

2 

2 

1 

= (x3y1 

+ x3y3 

− x1y1 

− x1y3 

+ x 

2y3 

+ x 

2y2 

2 

− x y + x y + x y ) 

1 

= [x 

2 

1 

2 

(y 

2 

2 

− y ) + x (y 

3 

1 

1 

2 

1 

3 

2 

− y ) + x (y − y )] 

) رأس هاى يك مثلث باشند مساحت اين 

1 

3 

1 

2 

3 

1 

)] − [(y1 

+ y2)(x 

2 

− x 

3 

y 

3 

− x 

و C(3,1 B ( 5, −6) 

، A( 4, −5) 

3 

y 

2 

− x 

2 

2 

y 

− x 

1 

1 

)] 

مثال(‏‎1‎‏):‏ اگر 

349

Δ 

مساحت مثلث ABC 

x1 1 

2 

2 

3 

3 

= 

مثلث را دريابيد.‏ 

= 4 , y = −5 

, x = 5 , y = −6 

حل:‏ x = 3 y 1 

1 

= 

2 

1 

= 

2 

1 

= 

2 

P2 (x و 

2, 

y2) 

، P (x1 

, y1 

) 

[ x ( y − y ) + x ( y − y ) + x ( y − y )] 

1 

2 

3 

[ 4( − 6 −1) + 5( 1+ 

5) + 3( − 5 + 6) 

] 

1 

2 

5 

2 

( − 28 + 30 + 3) = ⋅5 

= = 2.5 

2 

3 

1 

مساحت يك مثلث P كه رأس هاى آن 

3 

1 

[x1 (y2 

y3) 

+ x 

2(y3 

− y1 

) + x3(y1 

− y 

2 

1 

Δ 

3 

1 

P 2 P 

) باشند از فورمول − 

بدست مى آيد.‏ 

2 

)] 

1 

2 

P3 

(x3, 

y3 

تمرين 

(8,6) B و C(12,4) باشد.‏ 

، (0,0) 

)B و (0,3)C باشد.‏ 

− 4,0) 

، (4,0) 

C (8,6) ، B (6,2) 

، (1,0) 

1- مساحت مثلثى را دريابيد كه رأس هاى آن A 

2- مساحت مثلثى را دريابيد كه رأس هاى آن A 

3- مساحت چهارضلعى يى را دريابيد كه رأس هاى آن A 

و (2,4)D باشد.‏ 

350


در مستوى كميات وضعيه نقاطى كه بالاى محور X واقع اند مختصة y آن ها صفر و 

نقاطى كه بالاى محور Y قرار دارند مختصة x آنها صفر مى باشند.‏ 

) از فورمول 

فاصله در بين دو نقطه 

2 


P P 1 2 را به نسبت r تقسيم مى كند،‏ عبارت اند از:‏ 

P 1 2 عبارت اند از:‏ 

Q ( x 2, 

) , ( و y 

2 

P x 1 

y1 

d = 

(x 

2 

2 

− x1 

) + (y2 

− y1 

) 

كميات وضعية نقطة p كه قطعه خط 

rx 

2 

+ x 

= 

1+ 

r 

ry2 

+ y 

، y = 

1+ 

P وكميات وضعية نقطة وسطى خط r 

1 

1 

x 

x1 + x 

2 

y1 

+ 

= ، y = 

2 

y مى باشد.‏ اگر نقطه p قطعه خط P P را داخلاً‏ به يك 

1 2 

2 

x 

2 

نسبت r تقسيم كندr مثبت واگر خارجاً‏ تقسيم كند r منفى مى باشد.‏ 

) مى گذرد از فورمول 

ميل يك خط مستقيم كه از دو نقطه 

P2 ( x2, 

و y2 P1 ( x1 

, y1 

) 


y 

m = 

x 

2 

2 

− y 

− x 

1 

1 

y 

= 

x 

1 

1 

− y 

− x 

ميل محور X و خطوطى كه با محور X موازى باشند،‏ صفر و ميل محور Y و خطوطى كه 

موازى با محور Y باشند تعريف نشده است.‏ اگر زاوية ميل يك خط مستقيم حاده باشد ميل 

آن مثبت و اگر منفرجه باشد ميل آن منفى مى باشد.‏ 

معادلة خط مستقيم كه ميل و نقطه تقاطع آن با محور y معلوم باشد عبارت از 


) − x y − y = m است.‏ 

1 

( x1 

y2 

− y1 

y y1 = ( x − x1 يا 

) 

x − x 

2 

1 

2 

2 

y = mx + b 

معادلة خط مستقيم كه ميل و يك نقطة آن معلوم باشد 

معادلة خط مستقيمى كه دو نقطة آن معلوم باشد − 

و معادلة خط مستقيمى كه تقاطع آن با محورها معلوم باشد.‏ 

y − y 

x − x 

1 

1 

y2 

− y 

= 

x 

2 

− x 

x y 

+ = 

a b 


معادلة نورمال يك خط مستقيم عبارت از 0 و معادلة عمومى 

xcos + ysin 

− p = 

1 

1 

351

d = x + y sin 

− P 

يك خط مستقيم عبارت از + 0 مى باشد.‏ 

ax by + c = 

cos از يك خط مستقيم از فورمول P ) نقطة فاصلة 

( x 1 

, y1 

2 2 

x y = r 

h, ( باشد 

k) 

2 

x 

2 

d به دست مى آيد.‏ 

ax 

± 

1 

+ by 

a 

2 

1 

+ b 

+ c 

و يا = 

معادلة دايره يى كه مركز آن در مبداى كميات وضعيه واقع باشد عبارت از + 

اگر مركز آن در مبداى كميات وضعيه واقع نباشد و كميات وضعيه مركز دايره 

معادلة آن − 


با وضع كردن يك مجهول از معادلة خط مستقيم در معادلة دايره،‏ يك معادلة يك 

مجهوله درجه دوم به دست مى آيد اگر در اين معادله > 0 Δ باشد خط مستقيم دايره را 

0 باشد خط با دايرة مماس و اگر < 0 Δ خط دايره را 

k) , ( است 

2 

2 2 

( x h) + (y − k) = r 

2 

2 2 

يا = 0 c x + y + 2gx + 2fy + و يا = c + y + ax + by + 

در دو نقطه قطع مى كند؛ اگر = Δ 

قطع نمى كند.‏ 

h خط مستقيمى كه در نقطة ) بر دايره يى كه مركز آن معادله 

2 2 

+ x yy xx = يا 

1 1 1 

y1 

y 

y 

P1 ( x1 

, y1 

h − x 

مماس باشد عبارت است از:‏ − 

1 

1 

= − ( x − x1 

k − y1 

اگر مركز دايره درمبداى كميات وضعيه باشد معادلة مماس + 

2 

مى باشد و طول مماس PT از يك نقطة ) P خارج دايره كه 

( x 1 

, y1 

2 

2 2 

PT (x − h) + (y − k) − r 

P و 

2 

( x , y 2 2) 

، P 

1 

( 

1 

, y1 

) 

P 

1 

[x1 (y2 به 

y3) 

+ x 

2(y3 

− y1 

) + x3(y1 

− y2)] 

2 

) 

2 

yy = 

1 

+ xx1 

r 

مركز دايره ) h باشد،‏ مساوى است به : = 

( , k 

x يك مثلث 3 كه رأس هاى آن مساحت 

1 

P 2 P 

P x , y 3 

) 

( 

3 

باشند از فورمول − 

3 

دست مى آيد.‏ 

352


- 1 فاصلة بين هر جوره نقاط داده شدة زير را دريابيد و نيز كميات وضعية نقاط تنصيف خط 

هايى كه از اين دو نقطهA وB مى گذرد،‏ دريابيد.‏ 

A(3,1) 

A( − 

, 

B( −2, 

−4) 

1 

5, − ) , B( −3 

3 

, 

5,5) 

A( −8,3) 

) رأس هاى يك مثلث قايم الزاويه باشدو 

) (1,4 و (5,6) B 

, 

B(2, −1) 

C ( h, 

(0,2) B و −2 

- 2 اگر −1) 3, ( A ، 

) را در يابيد.‏ 

(h باشد قيمت A = 90° 

3 ‏-كميات وضعية نقطة p را طورى دريابيد كه خطى را كه از نقاط A 

مى گذرد به نسبت = AP 


PB 

- 4 معادلة خط مستقيمى را دريابيد كه ميل آن (2−) و محور Y را در 3 قطع كند.‏ 


- 6 ميل محور Y مساوى است به:‏ 

تعريف نه شده است 

a) − 1 b) 

1 c)0 

d)∞ 

- 5 ميل خطوط = 7 x و − = y 

∧ 

2 

- 7 ميل يك خط مستقيم = m 

3 


مى باشد ميل خطى كه عمود بر اين خط مستقيم باشد 

a ) 

2 

3 

b) 

− 

2 

3 

c) 

3 

2 

− 3 

d) 

2 

- 8 ميل خطوط مستقيمى را دريابيد كه از هر جوره نقاط داده شدة زير ميگذرد.‏ 

5,11) ( و 2,4) (− 

2,7) ( و 2) − 3, ( 

(4,8) و 4,6) ( 

- 9 خطوط مستقيم = 0 2 + y 4 x − و = 0 1 + 3y 12 x − باهم:‏ 

نه موازى اند و نه عمود (c عمود اند (b موازى اند (a 

= 0 7 + 4y 3 − را 

x 

و خط مستقيم x - 10 فاصلة بين خط مستقيم 0 دريابيد.‏ 

3 − 4y + 3 = 

353

- 11 معادلة خط مستقيمى را دريابيد كه از نقطه (4,7 −) مى گذرد و با خط مستقيم 

0 موازى باشد.‏ 

) از خط مستقيم x 0 را دريابيد.‏ 

1 

(2, −5) 

6 − 4y + 9 = 

2 x − 7y + 4 = 

- 12 فاصلة نقطة −1 6, ( P 

P را كه از نقاط P 

2 

13 ‏-كميات وضعية نقطة p را دريابيد كه خط مستقيم 

1 P 


) مى گذرد به نسبت 3 

و (6,3 P 

- 14 معادله هاى خطوط مستقيم زير را به شكل نورمال آن تبديل كنيد.‏ 

2 x + 5y − 2 = 0 2y − 6x + 4 = 0 2x − 3y + 6 = 0 

a ) 

1 

(4,0 ميگذرد مساوى است به:‏ 

4,0) و (− 

b) − 1 c) 0 d) 

∞ 

- 15 ميل خط مستقيمى كه از نقاط ( 

- 16 معادلة خط مستقيمى را دريابيد كه طول نورمال آن 10 واحد بوده و نورمال با جهت 

مثبت محور X زاويه ° 30 را بسازد.‏ 

A 

- 17 مساحت مثلثى را دريابيد كه رأس هاى مثلث باشند.‏ 

باشند مساوى 

) A 

- 18 مساحت مثلثى كه رأس هاى آن است به:‏ 

C( 4, −5) و B (−1,1 ) ، (2,3) 

C(3, 

−3) 2, ( B و −10 

، (1,4 ) 

هيچكدام d) a )1 b) 2 c)0 

- 19 كميات وضعية نقطة تقاطع خط مستقيم x 6 با دايره 


+ 2 y = 

C( 3, −2) ( 2, و 1), A(1,1) 

x 

2 

2 

+ y − 2x 

− 2y 

+ 1 = 

B 

− - 20 معادله دايره يى را بنويسيد كه از نقاط مى گذرد.‏ 

(0,1) مى گذرد و مركز آن به 

- 21 معادله دايره يى را بنويسيد كه از نقاط A 

روى خط x 0 واقع باشد.‏ 

- 22 كميات وضعية مركز و طول شعاع دايره يي را دريابيد كه معادلة آن 

B ، ( 3, −1) 

4 − 3y 

− 3 = 

2 2 

4x + 4y −8x باشد.‏ 

+ 12y − 25 = 0 

2 

354

(6,5) بگذرد و مركز آن روى 

(4,1) و B 

- 23 معادلة دايره يي را دريابيد كه از نقاط A 

0 واقع باشد 

(1,2−) باشند اين مثلث:‏ 

C و B (−3,5) 

، ( 5, −6) 

4 x + y −16 

خط = 

- 24 اگر رأس هاى يك مثلث A 

مختلف الاضلاع مى باشد (c متساوى الساقين مى باشد (b متساوى الاضلاع مى باشد(‏a 

4,10) ( و 7,8) ( باشد اين 

، 5,4) 

- 25 اگر مختصات رأس هاى يك مثلث به ترتيب ( 

مثلث:‏ 

مختلف الاضلاع مى باشد (c متساوى الساقين مى باشد (b متساوى الاضلاع مى باشد(‏a 

) باشد،‏ مختصات نقطه A را دريابيد كه اگر نقطة A خط 

2 

PQ را داخلاً‏ و خارجاً‏ به نسبت تقسيم كند.‏ 

3 

- 26 اگر (−8,4) P و −1 2, ( Q 

2 2 

= 0 +1 y − دريابيد.‏ 

+ y = 

2 2 

- 28 اگر خط مستقيم = 0 5 − ay x + بر دايره = 4y x + y − 2x + 

- 27 نقاط تقاطع دايره يى x 5 با خط مستقيم x 

0 مماس باشد 

قيمت a را دريابيد.‏ 

= 0 −1 مماس 

a) 

x 

) ميگذرد و با خط y 

2 

+ y 

2 

0,0) و ( 2,0 

− 4x = 0 b) 

2 2 

x + y − 2x = 0 

2 

x باشد.‏ 

2 

y − 6x + 4y + 14 = 0 

2 2 

+ y + 2x باشد.‏ 

− 4y 

+ 5 = 0 

C و B ( 3, −5) 

، (−6,3) 

- 29 معادلة دايره يى را كه از نقاط ( 

باشد عبارت است از:‏ 

c) 

x 

2 

+ y 

2 

+ 2x = 0 

+ 

- 30 دايره يى كه معادلة آن موهومى است (c نقطوى است (b حقيقى است(‏a 

x 

- 31 دايره يى كه معادلة آن حقيقى است(‏c نقطوى است (b موهومى است (a 

و نيز كميات وضعية نقطه تنصيف خط 

) مستقيمAB را دريابيد.‏ 

باشد نشان دهيدكه 

(1,5−) A 

- 33 اگر رأس هاى يك مثلث اين مثلث قايم الزاويه مى باشد.‏ 

رأس هاى يك مستطيل 

) اند و نيز نشان دهيد كه طول قطر هاى مستطيل باهم مساوى مى باشند.‏ 

B ( −2, 

- 32 فاصلة بين نقاط −3) 4, ( A و −5 

D ( a, 

b و C ( 0, b) 

، B (a,0) 

- 34 نشان دهيدكه (0,0) A ، 

355

(9,3) روى يك خط مستقيم واقع 

- 35 نشان دهيد كه نقاط A 

اند.‏ 

- 36 معادله هاى خطوط مستقيمى را دريابيد كه از هر جوره نقاط داده شده زير 

مى گذرد:‏ 

C و B (6,2) 

، (3,1 ) 

(5,8) 

( −1, 

−3) 

(0,3) 

(1,2) 

(2, −1) 

(5,0) 

(3,5) 

( −2, 

−1) 

(0,2) 

(8,15) 

(3, −4) 

( −2,0) 

a : 

b : 

c : 

(1,10 مى گذرد عبارت است از:‏ 

1 2 

y = − x + 9 

3 3 

x 2 

y = − + 9 

3 3 

1 29 

y = − x + 

3 3 

5,8) و (− 

- 37 معادله خط مستقيم كه از نقاط ( 

هر سه درست اند :d 

356

فصل هشتم 

احصائيه

گراف چند ضلعى کثرت 

(Frequency Polygon graph) 

Y 

0 

X 

شكل مقابل را در نظر بگيريد.‏ آيا مى توانيد 

مساحت زير منحنى داده شده را محاسبه 

كنيد؟ 

آيا گفته مى توانيد كه مساحت زير اين 

منحنى مساوى به چيست؟ 

فعاليت 

جدول كثرت زير را در نظر بگيريد:‏ 

مركز هر دسته را به عنوان مختصة اول و كثرت مربوطة آن را به عنوان مختصة دوم در نظر 

گرفته به صورت جوره هاى مرتب بنويسيد.‏ 

موقعيت اين جوره هاى مرتب را در يك سيستم كميات وضعية قايم مشخص كنيد.‏ 

نقاطى كه از اين جوره هاى مرتب در مستوى حاصل مى شود با هم وصل كنيد.‏ 

آيا مى توانيد مساحت زير اين گراف را محاسبه كنيد؟ 

(0, 23.5 را روى محور x علاوه نماييد،‏ گراف 

به دو سر گراف نقاط ( 

8.5,0) و ( 

f 

i 

كثرت 

x 

مركز دسته ها i 

دسته ها 

10-13 11.5 3 

13-16 14.5 6 

16-19 17.5 7 

19-22 20.5 4 

حاصل شده را با گراف مستطيلى جدول كثرت داده شده يكجا رسم كنيد و مساحت مستطيل 

ها را به مساحت زير منحنى مقايسه نماييد.‏ 

359

در گراف چند ضلعى،‏ مركز هر دسته روى محور افقى و كثرت مطلق يا كثرت نسبى هر يك 

از دسته ها روى محور عمودى نشان داده مى شود.‏ متقابل با مركز هر دسته و كثرت آن يك 

نقطه در مستوى مشخص مى گردد كه عرض آن مركز دسته و طول آن برابر با كثرت آن 

دسته است.‏ به تعداد دسته هاى جدول در مستوى سيستم مختصات نقطه به وجود 

مى آيد.‏ اگر به نقاط مذكور دو نقطة اختيارى ديگر − x ) را در 

اول و آخر دسته ها اضافه كنيم،‏ طوريكه c وسعت هر صنف ‏(سرحد بالاى منفى سرحد 

پايينى صنف)‏ است از اتصال اين نقاط به يكديگر،‏ يك گراف حاصل مى شود كه آن را 

گراف چند ضلعى كثرت مى نامند.‏ 

مثال:‏ گراف هاى مستطيلى و چند ضلعى ديتاى ‏(‏Data‏)جدول زير را رسم كنيد.‏ 

( x n 

( 1 و , 0 c + 

c , 0) 

چون مى دانيم كه وسعت دسته ها = 5 c است،‏ بنابراين براى به دست آوردن نقاط اختيارى 

داريم:‏ 

(x − 5,0) = (13.5 − 5,0) = (8.5,0) 

(x 

1 

n 

= CL 11-16 16-21 21-26 26-31 31-36 حدود دسته ها 

f i 

3 5 8 7 2 

X 

i 

13.5 18.5 23.5 28.5 33.5 

با علاوه نمودن نقاط ( 

+ 5,0) = (33.5 + 5,0) = (38.5,0) 

,0) 8.5 و ( 

(38.5,0 گراف را ترسيم مى كنيم.‏ 

= كثرت مطلق 

= مركز دسته ها 

گراف چند ضلعى كثرت 

360

نمايش گراف مستطيلى و چند ضلعى كثرت با هم 

از گراف بالا ديده مى شود كه:‏ 

- هر يك از رأس هاى گراف چند ضلعى كثرت در نقاط مابينى ضلع بالايى يك مستطيل 

مربوطه به جدول كثرت مورد مطالعه قرار دارد.‏ 

- مساحت سطح زير گراف چند ضلعى كثرت و مساحت گراف مستطيلى با هم برابر است.‏ 

- گراف چند ضلعى كثرت نسبى بيش تر براى ديتا (data) پيوسته يا متصل به كار 

مى رود.‏ 

361

تمرين 

اندازة قد 24 نفر شاگرد صنف نهم و دهم ‏(برحسب سانتى متر)قرار زير داده شده است:‏ 

138 107 136 128 148 118 

142 129 115 123 133 123 

121 128 122 144 126 135 

152 98 117 153 141 126 

براى ديتاى (data) فوق يك جدول كثرت تنظيم نموده،‏ ديتا(‏data‏)‏ را در شش دسته،‏ 

دسته بندى كنيد.‏ براى نمايش اين ديتا ‏(‏data‏)چه نوع گراف مناسب است؟ گراف چند 

ضلعى كثرت را رسم كنيد.‏ 

362

گراف ساقه و برگ 

مادردنيايى ازاعداد زنده گى مى كنيم،‏ 

هرشخص به عنوان عضوى ازجامعة 

كشور خود،‏ يك شمارة مخصوصى به 

خود داردكه به اندازة ديگرمشخصاتش 

مهم است؛ آيا گفته مى توانيد آن شماره 

چيست؟ آيا شماهم شمارة خودرامي دانيد؟ 

فعاليت 

اندازة قد 20 نوزاد كه به طور تصادفى ‏(برحسب سانتى متر)‏ انتخاب گرديده در جدول 

زير داده شده است:‏ 

45 46 47 43 49 40 42 46 45 43 

43 43 48 49 47 49 48 49 47 45 

ديتاى ‏(‏data‏)بالا را از كوچك به بزرگ مرتب كنيد.‏ 

- ديده مى شود كه در تمام اين اعداد رقم 4 مشترك است،‏ مى توان اين ارقام را به 

صورت زير نوشت:‏ 

ارقام 0 الى 9 هر يك چند مرتبه تكرار شده است؟ 

- ارقام بالا را به شكل زير مي نويسيم:‏ 

40 + (0,2,3,3,3,3,5,5,5,6,6,7,7,7,8,8,9,9,9,9) 

4 

0 

2 

3 

3 

3 

3 

5 

5 

5 

6 

6 

7 

7 

7 

8 

8 

9 

9 

9 

9 

363

اگر شكل اعداد بالا را به زاوية 90 درجه به طرف چپ دوران دهيد،‏ اين شكل مشابه به 

كدام نوع گراف است؟ 

o 

0 

ديتا(‏data‏)‏ معمولاً‏ به صورت اعداد مى باشد،‏ از اين اعداد طورى كه در فعاليت بالا 

مشاهده گرديد مى توان گرافى را تشكيل داد كه اين گراف را به نام گراف ساقه و برگ 

ياد مى كنند.‏ اگر اين گراف را به زاوية 9 به طرف چپ دوران دهيم گراف ميله يى 

تشكيل مى گردد.‏ 

به طور نمونه اگر ديتا (data) بين صفر الى 100 قرار داشته باشند،‏ مى توان مقدار مانند 

37 را به ساقة 3 و برگ‎7‎ تقسيم كرد.‏ 

گراف ساقة و برگ براى ديتا (data) كه تفاوت كوچكترين وبزرگترين ديتا (data) از 

نظر تعداد رقم ها اندك باشد،‏ مناسب است.‏ 

مثال:‏ در يك كتاب فروشى از 20 نوع كتاب كه تعداد هر كدام در جدول زير تذكر 

داده شده است موجود است،‏ گراف ساقه و برگ را براى اين ديتا (data) ترسيم كنيد.‏ 

10 11 15 23 27 28 38 38 39 39 

40 41 44 45 46 46 52 57 58 65 

حل:‏ واضح است كه ارقام اول طرف چپ ديتا (Data) اعداد 5,4,3,2,1 و 6 هستند كه اين 

مقادير را براى ساقه در نظر مى گيريم،‏ اما ديتاى مربوطه به هر شاخه را در جلو آن مى نويسيم كه 

گراف به صورت زير حاصل مى شود:‏ 

برگ ساقه 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

0 

3 

8 

0 

2 

5 

1 

7 

8 

1 

7 

5 

8 

9 

4 

8 

9 

5 

6 

6 

° 

اگر صفحة كتاب را به اندازة 90 ‏(خلاف حركت عقربه ساعت)‏ دوران دهيم گراف 

به شكل گراف ميله يى تبديل مى شود كه مى توان به صورت زير نوشت:‏ 

364

كثرت 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

5 

1 

0 

8 

7 

3 

9 

8 

8 

4 

1 

0 

8 

7 

2 

5 

1 

2 

9 

3 

6 

6 

5 

4 

5 

6 

مثال:‏ در يك امتحان رياضى نتايج زير از شاگردان يك صنف به دست آمده است،‏ 

گراف ساقه و برگ را براى اين ديتا ترسيم نماييد.‏ 

25 

45 

46 

50 

50 

50 

55 

55 

55 

55 

55 

57 

58 

58 

60 

60 

62 

65 

67 

72 

حل:‏ در اينجا براى تشكيل ساقه ها از رقم ده ها و براى تشكيل برگ ها از رقم يكها 

استفاده مى كنيم:‏ 


2 

5 

3 

4 

5 

6 

5 

0 

0 

0 

5 

5 

5 

5 

5 

7 

8 

8 

6 

0 

0 

2 

5 

7 

7 

2 

365

تمرين 

- 1 براى ديتاى (Data) زير گراف ساقه و برگ را رسم كنيد.‏ 

7.9 

11.2 

8.3 

7.8 

10.9 

12 

11.7 

11.3 

8.4 

8.4 

9.1 

13 

6.8 

6.8 

12.5 

توجه:‏ به خاطر نمايش گراف ساقه و برگ عدد 8.3 را به صورت 83 عدد 11.2 را به 

صورت 112 و‎12‎ عدد را به صورت 120 مي نويسيم.‏ 

366

چارك ها 

در شكل مقابل اگر اين جامعه از مردم را 

نظر به طول قد شان به چهار حصة مساوى 

تقسيم نماييد هر حصة آن نماينده گى از 

چه مى كند؟ 

فعاليت 

Q و , Q 2 1 

شكل مقابل مستطيلى است كه توسط خطوط Q 

تقسيم شده است.‏ 

چند فيصد از مساحت مستطيل زير خط Q1 و چند 

فيصد مساحت آن بالاى خط Q1 قرار دارد؟ 

Q و چند 

2 

چند فيصد از مساحت مستطيل زير خط 

فيصد بالاى خط Q2 قرار دارد؟ 

چند فيصد مساحت مستطيل زير خط Q3 و چند 

فيصد بالاى خط Q3 قرار دارد؟ 

به چهارحصة مساوى 

3 

اعدادى كه ديتاى ‏(‏data‏)مرتب را به چهار قسمت مساوى تقسيم مى كنند آن ها را 

نشان مى دهند.‏ 

3 

چارك هاى اول،‏ دوم و سوم مى نامندو با 

چارك اول مقدارى است كه % 25 ديتاى ‏(‏data‏)جامعه پايين تر آن و 75% بالاتر از 

آن قرار مى گيرند.‏ 

چارك دوم مقدارى است كه % 50 ديتاى ‏(‏data‏)جامعه پايين تر از آن و 50 

(data) بالاتر از آن قرار مى گيرند.‏ 

چارك سوم مقدارى است كه 75% ديتاى (data) جامعه پايين تر از آن و 25 

(data) بالاتر از آن واقع مي شوند.‏ 

% ديتا 

% ديتا 

Q و Q , Q 2 1 

367

Q و 

2 

اگر ديتا (data) را به صورت صعودى مرتب كنيم ميانة ديتا (data) مساوى به 

Q 

3 

Q و ميانة نيمة دوم ديتا (data) مساوى به 

1 

ميانة نيمه اول ديتا (data) مساوى به 

است.‏ 

در وقت محاسبة چارك ها،‏ مراحل زير را در نظر بگيريد:‏ 

ديتا(‏data‏)‏ را به طور صعودي مرتب كنيد.‏ 

ديتاى مرتب شده را از 1 تا n شماره گذارى كنيد.‏ 

( 3 را با استفاده از رابطة زير به دست مى آيد:‏ 

P ⋅n 

1 

C QP 

= + 

4 2 

P =1,2, 

محل P ام ) 

با استفاده از محل چارك،‏ مقدار چارك را تعيين نماييد.‏ 

مثال:‏ فرض كنيد ديتاى (data) يا مشاهدات به دست آمده قرار زير داده شده است:‏ 

90 

85 

80 

120 

100 

140 

- محل چارك اول وسوم رامحاسبه كنيد.‏ 

- مقادير چارك اول و سوم را به دست آوريد.‏ 

محل چارك اول و سوم عبارت است از:‏ 

مقدار چارك هاى اول و سوم عبارت اند از:‏ 

1 2 3 4 5 

شمارة ديتا : 6 80 85 90 100 120 

ديتا : 140 تمرين 

C 

C 

Q 

Q 

1 

3 

1⋅6 

1 

= + = 2 

4 2 

3⋅6 

1 

= + = 5 

4 2 

Q = 85 

Q3 

1 

= 

120 

100 

368 

90 

85 

ديد كنيد ديتاى (data) d به دست آمده قرار زير داده شده باشند:‏ 

فرضك 

80 

120 

160 

140 

چارك اول و سوم را به دست آوريد.‏ 

اعداد،‏ قبل از ميانه را بنويسيد.‏ 

اعداد بعد از ميانه را به دست آوريد.‏

گراف صندوقچه يى 

از چهار كنج يك تخته كاغذ،‏ چهار مربع 

كوچك كه هر ضلع آن 5 سانتى متر طول 

دارد جدا كنيد و اين بريده گى ها را به 

طرف بالا قات كنيد،‏ شكلى كه به دست 

مى آيد مشابه به چيست؟ 

فعاليت 

تعداد مريضانى كه در يك شفاخانه در طي 17 روز مراجعه نموده اند،‏ قرار زير ثبت شده 

اند:‏ 

11 10 15 23 14 27 16 17 24 

28 13 31 31 18 25 26 19 

ميانه را پيدا كنيد.‏ 

اعدادى كه در نيمة قبل از ميانه قرار دارند بنويسيد.‏ 

براى اين اعداد ميانه را پيدا كنيد.‏ 

اعدادى را كه در نيمة بعد از ميانه قرار دارند بنويسيد.‏ 

براى اين اعداد ميانه را دريافت كنيد.‏ 

چارك دوم يا Q2 به كدام عدد مطابقت مى كند؟ 

گراف صندوقچه يى ‏(گراف جعبه يى):‏ گراف تصويرى است كه پراگنده گى ديتا 

(Data) را نسبت به گراف هاى ديگر بهتر نشان مى دهد.‏ اين گراف،‏ ديتاى (Data) را بر 

اساس مقادير زير نمايش مى دهند.‏ 

الف)‏ كمترين ديتا ب)‏ چارك اول 

ج)‏ ميانه د)‏ چارك سوم ه)‏ بيش ترين ديتا 

گراف صندوقچه يى نشان دهندة چارك ها،‏ حد اقل و حد اكثر ديتا است.‏ 

369

بيش ترين مقدار 

Q 1 

md= Q Q3 

2 

كم ترين مقدار 

مراحل تهية گراف صندوقچه يى را مى توان به طور زير شرح داد:‏ 

الف)‏ كوچكترين ديتا ‏(‏Data‏)را پيدا كنيد.‏ ب)‏ بيش ترين ديتا (Data) را پيدا كنيد.‏ 

ج)‏ ميانه را پيدا كنيد.‏ د)‏ چارك اول را دريافت كنيد.‏ 

ه ( چارك سوم را پيدا كنيد و)‏ گراف را رسم كنيد.‏ 

31 

32 

34 

41 

43 

مثال:‏ اگر تعداد تصادفات ترافيكى يك شهر طى 15 روز قرار زير داده شده باشد،‏ 

گراف صندوقچه يى آن را رسم كنيد.‏ 

12 10 15 23 14 27 16 34 

41 43 32 18 25 31 19 

حل:‏ ديتاى (Data) فوق را مرتب مي كنيم.‏ 

10 

12 

14 

15 

16 

18 

19 

23 

25 

27 

بنابر اين:‏ 

كمترين ديتا = 10 بيش ترين ديتا=‏ 43 

15 = Q 1 

ميانه = 23 چارك اول = 

Q = 

= 3 

چارك سوم 32 

بيش ترين مقدار 

چارك سوم 

ميانه 

چارك اول 

كم ترين مقدار 

10 

گراف بالا گراف صندوقچه يى است كه % 50 ديتا (Data) در داخل صندوق ‏(بين 

چارك اول و سوم)‏ قرار دارد.‏ % 25 ديتا (Data) در بين‎10‎ الى‎15‎ و 25 

(Data) بين 32 الى‎43‎ قرار دارند.‏ 

% ديتا 

15 

23 

32 

43 

370

مقايسة شاخص هاى مركزى 

توسط منحنى نارمل(‏ ( Normal 

آيا ميتوان توسط منحنى نارمل شاخص 

هاى مركزى را به دست بياوريم؟ 

mod = ? 

med = ? 

x = ? 

منحنى كه در زير مشاهده مى كنيد از جمله منحنى هاى معروف در احصائيه است كه اكثر 

پديده هاى طبيعى را مى توان توسط آن نمايش داد،‏ اين منحنى يك منحنى متناظر و مشابه 

به يك زنگ مى باشد.‏ 

آيا موقعيت شاخص هاى مركزى ‏(اوسط،‏ ميانه و مود ‏)را در اين منحنى مى توانيد مشخص 

كنيد؟ 

اگر در يك صنف تمامى شاگردان نمرات خوبى بگيرند:‏ 

- 

آيا فكر مى كنيد كه اوسط نمرات آن ها هم خوب است؟ 

آيا بالا بودن اوسط نمرات نشان دهندة وضع خوب صنف است؟ 

- براى آن كه وضع صنف را بتوانيم خوب ارزيابى كنيم بايد نصف صنف نمرة خوب اخذ 

نمايد.‏ 

آن نمره،‏ چه نمره يى است كه نمره نصف شاگردان صنف از آن بيش تر است؟ 

اگر ميانه خيلى از اوسط كوچك تر باشد تعبير آن چيست؟ 

اگر ميانه خيلى بزرگتر از اوسط باشد تعبير آن چيست؟ 

371 

فعاليت

از مفاهيم فعاليت بالا و متناظر بودن منحنى نارمل نتيجه مى شود كه موقعيت ميانه و اوسط 

در منحنى نارمل يكسان مى باشد و چون منحنى نارمل نقطة اعظمى دارد،‏ بنابر اين موقعيت 

مود آن نيز،‏ برابر اوسط و ميانه است،‏ يعنى:‏ 

(b) 

X = mod = 

md 

اگر منحنى نارمل متناظر نباشد در اين صورت داريم كه:‏ 

(a) 

mod < med < x 

x < med < mod 

- اگر اوسط و ميانه مساوى باشند،‏ تعداد ديتايى (Data) كه قبل و بعد از اوسط و ميانه 

قرار دارند،‏ مساوى مى باشند.‏ 

اگر اوسط در سمت چپ ميانه واقع باشد،‏ تعداد ديتايى (Data) كه در سمت راست اوسط 

قرار دارند بيش تر از تعداد ديتايى (Data) اندكه در سمت چپ اوسط قرار دارند.‏ مانند 

شكل (a). اگر اوسط در سمت راست ميانه واقع باشد،‏ تعداد ديتايى (Data) كه در سمت 

راست اوسط قرار دارند كمتر از تعداد ديتايى (Data) اند كه در سمت چپ اوسط قرار 

گرفته اند.‏ مانند شكل (b) 

مثال:‏ در گراف زير،‏ اوسط و ميانه را دريافت كنيد.‏ 

f 

a 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

8 

x 

372

حل:‏ 

4 + 5 9 

2 2 

a ⋅1+ 

a ⋅2 

+ a ⋅3 

+ a ⋅4 

+ a ⋅5 

+ a ⋅6 

+ a ⋅7 

+ a ⋅8 

x = 

a + a + a + a + a + a + a + a 

= 4. 5 = = med = ميانه 

= اوسط 

36a 

x = = 

8a 

4.5 

مثال:‏ در گراف زير محل تقريبى مود را،‏ بدون محاسبه مشخص نماييد:‏ 

حل:‏ 

373

1 ا 

تمرين 

- 1 با توجه به گراف صندوقچه يى،‏ سؤالات زير را جواب دهيد:‏ 

0 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

8 

9 

10 

11 

12 

در گراف بالا ميانه چند است؟ 

چارك اول در اين ديتا (Data) عدد 8 است،‏ اين عدد نشان دهندة چيست؟ 

چارك سوم چند است؟ اين عدد نشان دهندة چيست؟ 

موجوديت ميانه در سمت چپ صندوق،‏ نشان دهندة چيست؟ 

بلندتر بودن ترادف سمت چپ نسبت به ترادف سمت راست نشان دهندة چيست؟ 

- 2 سن بازى كنان تيم ملى فوتبال يك كشور،‏ به شرح زير است:‏ 

25 24 26 19 31 18 23 22 25 26 

25 27 23 29 25 25 33 31 26 

كدام نتيجه گيرى زير درست است؟ 

تعداد بازيكنانى كه سن آن ها بالاتر از اوسط است بيش تر است.‏ 

تعداد بازيكنانى كه سن آن ها بالاتر از ميانه است بيش تر است.‏ 

تعداد بازيكنانى كه سن آن ها كم تر از اوسط است بيش تر است.‏ 

تعداد بازيكنانى كه سن آن ها بيش تر از اوسط است با تعداد بازي كنانى كه سن آن ها 

كم تر از اوسط است برابر است.‏ 

374

انحراف چارك ها 

اگر دامنة تغييرات احصايئوي يك جامعه 

بزرگ باشد،‏ آيا فكر مى كنيد كه ساحة 

تحول ديتا (Data) مى تواند تعبير 

نامناسب از جامعه را ارائه كند؟ 

375 

موزيم در 12 روز كارى قرار آتى است:‏ 

بازد ديد كننده گان از يك 

تد تعداد 

1 2 8 7 6 5 9 1 6 5 1 11 

ساحة تحول اين ديتا (Data) را دريافت كنيد.‏ 

ديتايى (Data) بالا در حالت عموم بين كدام دو عدد پراگنده شده است؟ 

يك چهارم حصة ديتا (Data) را از بالا و پايين حذف كنيد و بعد ساحة تحول ديتايى 

‏(‏Data‏)باقيمانده را دريافت كنيد.‏ 

اين دو ساحة تحول به دست آمده را با هم مقايسه نماييد،‏ كدام يك پراگنده گى بيشتر 

را نشان مى دهد؟ 

ساحة تحول در بعضى مواقع به علت موجوديت دو مقدار خيلى كوچك و خيلى 

بزرگ در جامعه ممكن است تعبير هاى نا مناسب از جامعه را ارائه كند،‏ بنابر اين در 

همچو مواقع از شاخص ديگرى به نام انحراف چارك ها كه بتواند ساحة تحول جامعه را 

بهتر مشخص نمايد استفاده مى نماييم.‏ 

به ترتيب چارك اول و سوم مجموعه اى از ديتا (Data) باشند 

3 

انحراف چارك ها را به (Q) نمايش داده و قرار زير تعريف مى كنند:‏ 

Q = Q 3 

− Q 1 

Q و Q 

1 

اگر 

فعاليت 

انحراف چارك ها يكى از شاخص هاى نشان دهندة پراگنده گى ديتا ‏(‏Data‏)است،‏ 

% جامعه در فاصلة − Q 

زيرا از روى تعريف چارك اول و سوم بر مى آيد كه 50 

قرار دارند.‏ هر قدر اين فاصله كوچك تر باشد،‏ ديتا (Data) جمع تر و به عبارت ديگر،‏ 

3 

Q 1

پراگنده گى آن ها كم تر است.‏ 

گاهى انحراف چارك ها را به صورت:‏ 

Q 

= 

Q 

2 

3 1 

Q − 

35 

20 

1 

C 

C 

Q 

Q 

29 

30 

31 

نيز تعريف مى كنند و آن را نيم دامنه چارك مى نامند.‏ 

مثال:‏ انحراف چارك هاى اعداد زير را به دست آوريد:‏ 

25 

24 

23 

حل:‏ نخست اعداد را به طور صعودى ترتيب مى كنيم و شماره گذارى مى نماييم : 

22 22 23 

2 3 4 

P ⋅n 

1 

= + 

4 2 

3⋅11 

1 

= + = 

4 2 

n 

3 

24 

5 

33 

4 

+ 

25 

6 

29 

7 

30 

8 

31 

9 

22 

35 

10 

1 33 + 2 35 

= = = 8.75 

2 4 4 

Q 3 

= 30.75 

پس از اينجا:‏ 

22 

36 

11 

1⋅11 

1 11 1 11+ 

2 13 

= + = + = = 3.25 

همچنان 

4 2 4 2 4 4 

CQ 1 

= 

Q 1 

= 22.25 

پس از اينجا:‏ 

. 25 و 30. 

Q 

1 

75 ؛ پس:‏ 

= Q3 − Q = 30.75− 

22.25 = 8.5 

20 

36 

بنابر آن چارك هاى اول و سوم به ترتيب عبارت اند از:‏ 22 

تمرين 

1- ساحة تحول،‏ انحراف چارك ها و مود ديتاى (Data) زير را تعيين كنيد و بگوييد كه 

تراكم ديتا (Data) در كدام ساحه زيادتر است؟ 

5 11 12 14 15 15 16 17 30 

2- ساحة تحول وانحراف چارك هاى،‏ ديتاى زيررادريافت نموده وسپس آن هاراباهم 


27 24 21 29 28 26 23 22 

1- ساح 

376

واريانس (Variance) 

اگر شما شنا را خوب بلد نباشيد و بخواهيد 

در يك حوضى كه عمق آن در بسيارى 

نقاط آن يكسان نيست آب بازى نماييد.‏ 

براى اين كه اطمينان حاصل كنيد در وقت 

شنا در خطر نخواهيد بود چه اطلاعاتى را 

لازم داريد؟ 

فعاليت 

n 

اگر در يك حوض آب بازى يك ساحه آن 1.5 متر و ساحه ديگر آن 2.5 متر عمق 

داشته باشد:‏ 

اوسط عمق اين دو ساحه حوض را دريافت كنيد.‏ 

مربع هاى انحراف هاى دو ديتا را تعيين كنيد.‏ 

مجموع مربع هاى انحراف هاى دو ديتا را به دست آوريد.‏ 

مجموع ديتاى ‏(‏Data‏)فوق را بر تعداد اعضاى مجموع آن تقسيم كنيد.‏ 

x , x , 2 

... , x 

1 

براى محاسبه وريانس ديتاى (Data) 

- اوسط ديتا (Data) را دريافت كنيد،‏ يعنى:‏ 

- مجموع مربع هاى انحراف ها يعنى:‏ 

مراحل زير را درنظر بگيريد:‏ 

x = 

n 

∑ 

i= 

1 

n 

xi 

n 

∑ 

i= 

1 

( x 

− 

2 

2 

2 

2 

i 

− x) = (x1 

− x) + (x 

2 

− x) + ... + (x 

n 

x) 


- مجموع فوق را بر تعداد اعضاى مجموعه،‏ n تقسيم نموده و مساوى به S 

مى دهيم؛ يعنى:‏ 

نشان 

2 

377

2 

( xi 

− x) 

2 

2 

2 i= 

1 

( x1 

− x) 

+ ( x2 

− x) 

+ ... + ( xn 

− x) 

S = 

= 

n 

n 

2 

در اين جا S را به نام وريانس ياد مى كنند.‏ وريانس عبارت از اوسط جذر مربع انحراف 

ها از اوسط است.‏ 

توجه:‏ برخى اوقات براى محاسبه واريانس از فرمول زيرنيز استفاده مى نمايند.‏ 

S 

S 

2 

2 

= 

x = 

= 

1 

= 

n 

∑ 

i= 

1 

n 

∑ 

i= 

1 

n 

∑ 

i= 

1 

n 

n 

n 

n 

∑ 

i= 

1 

x 

∑ 

n 

x 

2 

i 

x 

i 

2 

i 

i 

n 

− x 

⇒ 

n 

2 

∑ 

i= 

1 

(x − x) 

5 

− 

2 

x 

i 

= 

= nx 

n 

∑ 

i= 

1 

(x 

2 

i 

ثبوت:‏ فرمول فوق را مى توان قرار زير به دست آورد.‏ 

چون ميدانيم كه:‏ 

2 

− 2 xix 

+ x ) 

= 

n 

n 

∑ 

i= 

1 

n 

x 

2 

i 

− 

n 

∑ 

i= 

1 

2 xix 

+ 

n 

n 

n 

n 

2 

2 

∑ xi 

2 

x 

x 

1 

nx 

∑ i ∑ i 

i= 

i= 

1 

2 i= 

1 

2 

2x 

+ = − 2x 

⋅ x + x = − x 

مثال:‏ واريانس ديتاى (data) زير را با استفاده از هر دو فرمول حساب كنيد.‏ 

6 

n 

n 

7 

n 

9 

n 

2 

n 

∑ 

i= 

1 

n 

x 

2 

S 

2 

5 

∑ 

i= 

1 

(xi − x) 

5 

2 

الف)‏ از فرمول = 

1+ 

5 + 6 + 7 + 9 

x = 

= 5.6 

5 

2 

2 

2 

2 

2 (1 − 5.6) + (5 − 5.6) + (6 − 5.6) + (7 − 5.6) + (9 − 5.6) 

S = 

5 

2 

378

2 

2 

2 2 

2 

( −4.6) 

+ ( −0.6) 

+ (0.4) + (1.4) + (3.4) 

= 

5 

21.16 + 0.36 + 0.16 + 1.96 + 11.56 35.2 

= 

= = 7.04 

5 

5 

S 

S 

2 

2 

= 

5 

∑ 

i= 

1 

x 

= 

5 

2 

1 

x 

2 

i 

+ x 

− x 

2 

2 

2 

2 

+ x3 

5 

+ x 

2 

4 

+ x 

2 

5 

− x 

2 

192 

= − (5⋅6) 

5 

2 

ب)‏ از فرمول 

= 38.4 − 31.36 = 7.04 

S 

2 

x 

= 

2 

1 

+ x 

2 

2 

+ x3 

5 

2 

يادداشت:‏ اگر ديتاى (data) دسته بندى شده با مركز دسته هاى x و با 

داده شده باشند،‏ براى محاسبه واريانس بهتر است از فرمول زير 

1 

كثرت هاى 

استفاده شود:‏ 

1, 

x 

2,..., 

x 

n 

+ x 

2 

4 

+ x 

2 

5 

− x 

2 

= 

192 

5 

− (5.6) 

2 

= 38.4 − 31.36 = 7.04 

f , f ... , 

, f 

2 

n 

S 

n 

n 

2 

∑ fi 

( xi 

− x) 

∑ 

2 i= 

1 

i= 

1 

= = 

n 

∑ 

i= 

1 

f 

i 

f ( x − x) 

i 

i 

N 

2 

= 

n 

∑f i 

i= 

1 

طورى كه N 

توجه:‏ تعيين واحد وريانس مشكل است،‏ طبق معمول كميت مطلق ‏(ثابت)‏ آن را مورد 

عمل قرار مى دهند؛ اما بعضى اوقات واحد وريانس را از نوع مربع واحد متحول آن حساب 

مى كنند.‏ 

379

تمرين 

تعداد ساعاتى را كه شاگردان در طول يك هفته به ورزش اختصاص داده اند،‏ در زير آمده 

است:‏ 

3 2 1 4 3 2 2 

وريانس اين ديتا (data) را حساب كنيد.‏ 

380

انحراف معياري 

اگر S جذر وريانس و x اوسط ديتا باشند 

شكل مقابل توضيح چه نوع شاخص را بيان 

مى كند؟ 

فعاليت 

باشد،‏ آيا چى فكر مى كنيد كه واحد 

و S باهم تفاوت دارند؟ 

فرض كنيد زمان تسليم دهى كالا هايى كه در يك هفتة خاص به يك كارخانه فرمايش 

داده شده با شاخص هايى مانند انحراف،‏ قيمت مطلق انحراف و مربع انحراف ها در جدول 

زير داده شده است،‏ طورى كه:‏ 

x = 

5 

∑ 

i= 

1 

n 

x 

i 

8 + 9 + 6 + 4 + 8 

= 

= 

5 

واريانس ديتاى (Data) x 

35 

5 

1, 

x2,..., 

xn 

= 7 

2 

اگر S 

مربع انحراف ها 

قيمت مطلق انحراف 

زمان تحويل به روز 

x i 

x 

انحراف 

x i 

− x 

x i 

− x 

2 

( x i 

− x) 

2 

S 

8 

9 

7 

7 

1 

2 

1 

2 

1 

4 

6 

7 

-1 

1 

1 

4 

7 

-3 

3 

9 

8 

7 

1 

1 

1 

381

اوسط زمان تحويل ديتاى ‏(‏Data‏)(فرمايشات)‏ را دريافت كنيد.‏ 

اوسط قيمت مطلق انحراف ها و يا به طور خلاصه انحراف اوسط(‏AD‏)‏ را حساب 

كنيد.‏ 

وريانس زمان تحويل كالا ها را به دست آوريد.‏ 

جذر مربع وريانس را محاسبه كنيد.‏ 

واحد جذر وريانس را با واحد وريانس مقايسه كنيد.‏ 

از فرمول وريانس آموختيد كه عمل توان رسانى نه تنها مقياس اندازه گيرى وريانس را 

شامل اشكالات مى كند،‏ بلكه انحراف ها را نيز بزرگ نشان مى دهد.‏ 

براى اين كه بتوانيم اين سوء تفاهم را از بين ببريم،‏ لازم است تا جذر وريانس را به دست 

آوريم و اين جذر وريانس شاخص پراگنده گى ديگرى را به نام انحراف معياري يا 

پراگنده گى مطلق معرفى مى نمايد.‏ 

انحراف معياري كه با سمبول s نشان داده مى شود،‏ برابر به جذر مربع وريانس است؛ يعنى:‏ 

S = 

n 

n 

n 

2 

2 

2 

∑(xi 

− x) ∑ xi 

∑ xi 

2 

i = 1 

i= 

1 

i= 

1 

= − x = − 

n 

n 

n 

( 

n 

∑ 

i= 

1 

واحد انحراف معيارى يا پراگنده گى مطلق همان واحد متحول است.‏ 

رابطة اخير را مى توان طور ذيل ثبوت نمود:‏ 

n 

x 

i 

) 

2 

S 

2 

1 ⎛ 

= ⎜ 

n ⎝ 

1 ⎛ 

= ⎜ 

n ⎝ 

S 

2 

= 

= 

n 

∑ 

i= 

1 

n 

∑ 

i= 

1 

n 

∑ 

i= 

1 

n 

∑ 

i= 

1 

( x 

x 

x 

n 

2 

i 

2 

i 

x 

i 

n 

2 

i 

− x) 

− ( 

2 

− 2x 

− nx 

i= 

1 

n 

2 

i= 

1 

1 

= ⋅ 

n 

n 

∑ 

∑ 

x 

i 

xi 

) 

n 

2 

+ 

n 

∑ 

i= 

1 

⎛ 

⎜ 

⎞ 1 

⎟ = ⎜ 

⎠ n ⎜ 

⎜ 

⎝ 

n 

∑ 

i= 

1 

( x 

n 

∑ 

i= 

1 

i 

x 

− x) 

2 

i 

⇒ S = 

2 

− n( 

i= 

1 

1 

= 

n 

2 ⎞ 1 ⎛ 

x ⎟ = ⎜ 

⎠ n ⎝ 

n 

∑ 

n 

i= 

1 

i= 

1 

x 

n 

n 

∑ 

∑ 

2 

i 

n 

∑ 

i= 

1 

x 

2 

i 

− ( 

( x 

i= 

1 

2 

i 

− 2nx 

xi 

) 

n 

− 2xx 

2 

2 

⎞ ⎛ 

xi 

⎟ ⎜ 

2 1 

) ⎟ = ⎜ 

n ⎟ n ⎜ 

⎟ ⎜ 

⎠ ⎝ 

n 

∑ 

+ nx 

n 

i 

∑ 

i= 

1 

+ x 

x 

2 

2 

i 

2 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

) 

( 

− 

n 

∑ 

i= 

1 

x ) 

n 

i 

2 

⎞ 

⎟ 

⎟ 

⎟ 

⎟ 

⎠ 

382

38 

x = 

S 

S 

S 

2 

2 

2 

S = 

5 

∑ 

i= 

1 

n 

39 

x 

i 

39 

40 

مثال:‏ درجة حرارت بدن 5 مريض در زير داده شده است:‏ 

41 

38+ 

39+ 

39+ 

40+ 

41 197 

= 

= = 39.4 

5 

5 

2 

2 

2 

(38 − 39.4) + (39 − 39.4) + (39 − 39.4) + (40 − 39.4) 

= 

5 

2 

2 

2 

2 2 

( −1.4) 

+ ( −0.4) 

+ ( −0.4) 

+ (0.6) + (1.6) 

= 

5 

1.96 + 0.16 + 0.16 + 0.36 + 2.56 5.2 

= 

= = 1.04 

5 

5 

1.04 = 1.01980 

انحراف معياري آن را حساب كنيد.‏ 

حل:‏ 

2 

+ (41− 

39.4) 

توجه:‏ انحراف معياري در يك جدول كثرت،‏ به صورت تقريبى از فرمول زير به دست 


2 

S = 

n 

∑ 

i= 

1 

f (x − x) 

i 

n 

∑ 

i= 

1 

i 

f 

i 

2 

= 

n 

∑ 

f x 

i 

i= 

1 

n 

∑ 

i= 

1 

f 

2 

i 

i 

− x 

2 

f 

i 

x مركز دسته ها و 

i 

در اينجا x اوسط ديتا ،(data) 

كثرت دسته هاست.‏ 

تمرين 

تعداد ساعت هايى را كه چهار دستگاه تلويزيون در بارة معارف پروگرام پخش مى كنند،‏ 

در زير داده شده است.‏ انحراف معياري ديتا (Data) را حساب كنيد.‏ 

1 3 4 5 

383


گراف چند ضلعى كثرت:‏ جوره هاى مرتب نقاطى را كه عرض آن ها مركز دسته 

ها و طول آن ها برابر كثرت همان دسته باشد با هم وصل مى كنيم گراف چند ضلعى 

كثرت به وجود مى آيد،‏ در گراف چند ضلعى كثرت دو نقطه با كثرت صفر به ابتدا و 

انتهاى دسته ها اضافه مى شود تا گراف چند ضلعى كثرت به محورx متصل شود.‏ 

گراف ساقه و برگ:‏ براى رسم گراف ساقه و برگ از اعداد استفاده مى شود ديتاى 

(Data) احصائيوى را به صورت اعداد در آورده و سپس از اين اعداد گراف ساقه و برگ 

را تشكيل مى دهيم.‏ اين گراف براى ديتاى (Data) كه تفاوت كوچكترين و بزرگترين 

ديتا از نظر تعداد رقم ها اندك باشد،‏ مناسب است.‏ 

چارك:‏ عددى كه جامعة مرتب را به دو قسمت مساوى تقسيم مى كند،‏ ميانه ناميده 

مى شود.‏ حال اعدادى را در نظر بگيريد كه جامعة مرتب را به چهار قسمت مساوى تقسيم 

نشان مى دهند و آن ها را به ترتيب چارك هاى 

3 

مى كنند.‏ اين اعداد را با Q 

Q ميانه است.‏ 

2 

اول تا سوم مى نامند.‏ واضح است كه 

گراف صندوقچه يى يا گراف جعبه يى:‏ از اين گراف براى ديتاى (Data) كه 

به هم نزديك هستند ديتاى (Data) كه در اطراف اوسط متمركز اند و يا در اطراف بيش 

ترين ديتا و يا كم ترين ديتا متمركز اند استفاده مى شود.‏ اين گراف يك گراف تصويرى 

است كه ديتا (Data) را بر اساس كمترين ديتا،‏ بيش ترين ديتا،‏ ميانه،‏ چارك اول و 

چارك سوم نمايش مى دهند.‏ 

مقايسة شاخص هاى مركزى توسط منحنى نارمل:‏ وقتى كه مى خواهيم شاخص 

هاى مركزى ‏(اوسط،‏ ميانه و مود)‏ را با استفاده ازمنحنى نارمل مقايسه نماييم در اينصورت 

اگر منحنى نارمل متناظر باشد،‏ اوسط،‏ ميانه و مود با هم برابرند،‏ اگر منحنى نارمل متناظر 

نباشد شاخص هاى مركزى قيمت ها را نظر به موقعيتى كه به طرف سمت چپ و راست 

منحنى دارند اختيار مى كنند.‏ 

Q به ترتيب چارك هاى اول و سوم مجموعه اى از 

3 

Q و 

1 

انحراف چارك ها:‏ اگر 

ديتا (Data) باشند،‏ انحراف چارك ها را مى توان به صورت زير نوشت:‏ 

Q = Q 3 

− Q 1 

Q و , Q 2 1 

50 قرار دارند.‏ هر قدر اين 

1 

از تعريف بالا واضح است كه 

فاصله كوچكتر باشد ديتا (Data) متراكم تر و پراگنده گى آن ها كم تر است.‏ 

% جامعه در فاصله − Q 

3 

Q 

384

واريانس:‏ شاخص هاى پراگنده گى،‏ اندازه هايى هستند كه وضع پراگنده گى ديتا 

(Data) را نسبت به يكديگر و نسبت به اوسط مشخص مى كنند.‏ 

2 

وريانس يكى از مهم ترين شاخص هاى پراگنده گى است كه با S نشان داده مى شود و 

از رابطة زير به دست مى آيد:‏ 

S 

2 

(x1 

− x) 

= 

n 

∑ 

i i 

2 i= 

1 

= 

n 

∑ 

i= 

1 

2 

i 

+ (x 

f (x − x) 

f 

2 

− x) 

n 

2 

+ ... + (x 

n 

− x) 

2 

= 

n 

∑ 

i= 

1 

(x − x) 

و محاسبة وريانس از جدول كثرت توسط فرمول زير به دست مى آيد:‏ 

مركز دسته ها)‏ S 

i 

2 

x ) 

انحراف معياري:‏ جذر مربع وريانس را با S نشان مى دهند و آن را انحراف معيارى 


i 

n 

2 

S = 

n 

∑ 

i= 

1 

(x − x) 

i 

n 

2 

محاسبة انحراف معياري از جدول كثرت توسط فرمول زير به دست مى آيد:‏ 

n 

∑ 

f (x − x) 

i i 

i= 

1 

= 

n 

∑ 

i= 

1 

f 

i 

2 

x ) 

مركز دسته ها)‏ S 

i 

385


1- گراف زير نشان دهندة توزيع سرعت باد در 19 روز است.‏ با استفاده از اطلاعات داده 

شده در گراف،‏ گراف چند ضلعى كثرت را براى سرعت باد رسم كنيد.‏ 

اگر حد اقل سرعت باد براى راندن يك قايق بادى 5 كيلومتر فى ساعت لازم باشد،‏ چند 

روز براى راندن قايق بادى مناسب است؟ 

مستطيلى است؟ 

گراف 

چرا در اين مسأله،‏ گراف چند ضلعى كثرت مناسب تر از 

كيلومتر در ساعت 

6 

5 

4 

3 

2 

1 

2 

3 4 5 

6 

2- گراف چند ضلعى كثرت گرافى است كه.‏ . . روى محور افقى و . . . روى محور 

عمودى نشان داده مى شود.‏ 

الف)‏ مركز دسته ها-‏ كثرت مطلق ب)‏ كثرت نسبى-‏ مركز دسته ها 

ج)‏ حدود دسته ها-‏ كثرت مطلق د)‏ مركز دسته – كثرت مطلق 


3- گراف ساقه و برگ داده شده است:‏ 

- ديتاى موجود در اين گراف را بنويسيد.‏ 

0 

0 

2 

o 

4- از دوران كدام گراف به اندازة 90 ‏(خلاف حركت عقربه ساعت)‏ گراف ميله اى 

حاصل مى شود.‏ 

الف)‏ ساقه و برگ ب)‏ مستطيلى ج)‏ چند ضلعى كثرت د)‏ دايروى 

5- گراف زير نمرات امتحان صنفى سه صنف الف،‏ ب،‏ و ج را در امتحان رياضى نشان 

مى دهد.‏ 

زمان ‏(روز)‏ 

1 

2 

3 

3 

2 

3 

4 

4 

8 

8 

386

باتوجه به گراف داده شده سؤالات زير را پاسخ دهيد:‏ 

30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 

صنف الف 

صنف ب 

صنف ج 

كدام صنف بيش ترين ساحة تحول را دارد؟ 

ميانة نمرات كدام صنف از همه بيش تر است؟ ميانة نمرات كدام صنف از همه كم تر 

است؟ 

پراگنده گى نمرات كدام صنف بيش تر از همه است؟ 

اين سه صنف را با توجه به نمراتى كه در امتحان اخذ نموده اند از ضعيف ترين به قوى 

ترين مرتب كنيد.‏ 

6- در گراف زير مقدار a كدام كدام يك از مفاهيم زيرا را وانمود مى سازد:‏ 

الف)‏ ميانه ب)‏ اوسط ج)‏ چارك سوم د)‏ مود 

387 

- 7 دو كارخانة توليد كننده مواد غذايى A و B بسكيت را در بسته بندى 48 گرامى 

به فروش مى رسانند.‏ 

پنج بسته بسكيت به صورت تصادفى از يك فروشگاه مواد غذايى از دو محصول انتخاب 

شود و تمام وزن بسته ها به دقت اندازه گيرى شود.‏ نتيجه زير به دست آمد:‏ 

A : 

B : 

48.08 

49.16 

48.32 

48.84 

47.96 

48.88 

47.84 

49.08 

47.96 

49 

كدام كارخانه بسكيت،‏ بيشترين در بسته ها را مى فروشد؟ براى به دست آوردن حل 

سؤال از چه شاخصى استفاده مى كنيد؟ 

كدام كارخانه ها در توزيع بسكيت يكسان عمل كرده اند؟

- 8 اگر ساحة تحول برابر به صفر باشد،‏ در بارة ديتا (Data) چه نتيجه اى مى گيريد؟ 

- 9 تعداد ساعاتى را كه شاگردان در طول يك هفته به ورزش اختصاص داده اند در زير 

داده شده است:‏ 

وريانس اين ديتا (Data) را حساب كنيد.‏ 

10- در جدول زير واريانس را محاسبه كنيد.‏ 

1 

5 

7 

9 

x 

f 

i 

i 

25 

10 

35 

25 

45 

15 

388

فصل نهم 

منطق رياضی

استدلال درک شهودی:‏ 

مردم در قرن هاى متمادى به اين باور بودند 

كه زمين هموار و ستاره ها به دور آن مى 

چرخند.‏ 

آيا از كره وى بودن زمين دركى داريد؟ 

آيا خورشيد به دور زمين و يا زمين به دور 

خورشيد مى چرخد؟ 

تعريف:‏ فهم غريزه وى يا احساسى كه به وسيلة آن صحت و يا حقيقت يك موضوع و 

يا يك مفهوم را بدون استدلال قبول مى كنيم عبارت از درك شهودى بوده كه در مواقع 

مختلف زمان،‏ مى تواند از هم متفاوت باشد.‏ 

فعاليت 

روى خط مستقيم دو نقطة A و B را قرار شكل زير در نظر بگيريد:‏ 

B 

A 

يك نفر مى خواهد از نقطة A به نقطة B روى خط داده شده برود حتميست كه در نقطة 

A1 ‏(نقطه وسطى قطعه خط (AB توقف نمايد و براى رسيدن به نقطة B بار ديگر در نقطه 

( A 1 توقف نمايد،‏ و به همين ترتيب ادامه بدهد،‏ به سؤالات 

‏(نقطه وسطى قطعه خط 

2 

زير پاسخ دهيد:‏ 

- آيا به گونة فوق توقف در نقطة وسطى،‏ بين دو نقطه روى خطى كه در شكل بالا نشان داده 

شده است پايان دارد؟ 

- اگر اين مسأله تا اخير رعايت گردد شخص مورد نظر به نقطة B خواهد رسيد؟ 

- اگر نفر مذكور توقف ننمايد و يا هم از راه باز نگردد،‏ نه تنها به نقطة B خواهد رسيد؛ بلكه 

از آن عبور خواهد كرد؛ بنابر اين بين واقعيت اين مسأله و درك شهودى تان چه اختلافى 

391

وجود دارد؟ 

از فعاليت بالا نتيجة زير را به دست مى آوريم:‏ 

نتيجه:‏ نتيجه گيرى حاصل از درك شهودى،‏ نمى تواند همواره نتيجه گيرى صحيح را به 

دنبال داشته باشد؛ اما مى تواند پايه گذار احكام و قضاياى درست باشد.‏ 

از مثالى،‏ كه در فعاليت بالا از آن استفاده نموديم و يا مثال هاى هم مانند آن به معناى اين 

نيست كه استدلال درك شهودى گمراه كننده بوده؛ بلكه برعكس در بسيارى حالت ها 

استدلال درك شهودى باعث تلاش و پيگيرى حل مسأله و ايجاد انگيزه يى مى باشد كه 

باعث طرح پرسش هاى جديدترى مى گردد.‏ 

مثال‎1‎‏:‏ با استدلال درك شهودى به سهولت مى توان حكم كرد كه دو خط موازى يكديگر 

را قطع نمى كنند،‏ بپذيريم.‏ 

چون در پذيرش اين مسأله استدلالى به كار نرفته و در واقع يك احساس است كه بر 

اساس آن اين حكم صورت مى پذيرد.‏ اين گونه نتيجه گيرى را به نام درك شهودى ياد 

مى نماييم.‏ 

مثال‎2‎‏:‏ يك نقطه در خارج دايره يى به قطر 4 واحد قرار دارد،‏ براى مطالعة فاصلة آن 

از مركز دايره كه بيشتر از 2 واحد است نمى توان گفت كه استدلال مذكور يك درك 

شهودى است؛ زيرا براى وضاحت مسأله لازم است تا استدلال نماييم چون فاصلة مركز دايره 

از محيط آن 2 واحد بوده و نقطه در خارج محيط قرار دارد؛ بنابر اين فاصلة نقطه از مركز 

دايره بزرگتر از 2 واحد مى باشد؛ يعنى با در نظرداشت يك دانش و يا احساس غريزه وى 

بدون استدلال نمى توانيم مسأله را درك و صحت آن را قبول نماييم.‏ 

تمرين 

1- كوتاه ترين فاصله بين دو نقطه عبارت از خط مستقيم است،‏ آيا درك اين مسأله يك 

درك شهودى است؟ چگونه استدلال مى كنيد؟ 

2- كدام يك از احكام زير با روش استدلال شهودى قابل درك است؟ 

a- زواياى مقابل يك متوازى الاضلاع مساوى اند.‏ 

b- در لوزى،‏ اقطار عمود و ناصف يكديگر هستند.‏ 

c- در يك مثلث قايم الزاويه وتر از هريك دو ضلع ديگر بزرگتر است.‏ 

392

استدلال تمثيلى يا قياسى 

بگو در بين دستان من چيست؟ تقريباً‏ گرد 

است،‏ رنگش سفيد است در بين سفيدى 

چيزى زرد است.‏ 

393 

يك استاد منطق مى خواست استدلال قياسى شاگردش را امتحان نمايد،‏ رو به طرف او نمود 

و گفت:‏ 

ميدانى قياس و يا تمثيل پلى براى رسيدن به حقيقت است و در جريان درس آموختيم كه 

استدلال تمثيلى ما را به حقيقت نزديك مى كند؛ اما هميشه خود يك حقيقت ناب نيست.‏ 

استاد در حالى كه در مشت هاى گره خوردة خود تخم مرغى را پنهان نموده بود از شاگرد 

خود پرسيد:‏ 

- بگو در بين دستان من چيست؟ تقريباً‏ گرد است،‏ رنگش سفيد است در بين سفيدى چيزى 

زرد است.‏ 

شاگرد كه تازه از يك مزرعة زراعتى برگشته بود بعد از فكر عميق رو به طرف معلم نموده 

گفت:‏ 

- استاد فكر مى كنم در بين شلغم پوست شده زردك قرار دارد.‏ 

تعريف 

يافتن شباهت بين دو پديده و نتيجه گيرى يكسان در بارة آن ها را استدلال تمثيلى يا قياسى 

نامند.‏ مى 

فعاليت 

يك شاگرد بازى گوش را كه درس را اخلال مى نمود از صنف خارج كرد.‏ در 

معلم 

يك 

بيرون صنف ناگهان شاگرد مذكور يك همصنفى خود را ديد كه او نيز از صنف بيرون آمده 

است.‏ با در نظرداشت تعريف فوق كدام يك از ارتباطات زير يك استدلال تمثيلى يا قياسى 

است؟

- شاگرد دومى هنگام درس هوا خورى مى كرد.‏ 

- او نيز بازى گوشى كرده است.‏ 

- مريض است،‏ نمى خواهد در صنف بماند.‏ 

از تعريف و فعاليت شاگردان نتيجه زير را به دست مى آوريم:‏ 

نتيجه:‏ قياس و يا تمثيل در حقيقت نوعى يافتن تشابه بين مفاهيم گوناگون است،‏ بنابراين 

تمثيل ها مى توانند در ايجاد يك زمينة شهودى براى درك بسيارى از مفاهيم يا قضاياى 

رياضى به كار روند.‏ 

استدلال تمثيلى به حيث يك ثبوت حساب نمى شود؛ اما زمينه ساز آن است.‏ 

مثال‎1‎ : مثل عاميانة ‏«مارگزيده از ريسمان ابلق مى ترسد»‏ يك استدلال قياسى است؛ زيرا 

ريسمان ابلق با مار مقايسه شده است و بين آن ها شباهتى ديده شده است.‏ 

مثال‎2‎‏:‏ مثلاً‏ از تمثيل و يا قياس براى درك اين حقيقت كه حاصل ضرب منفى ضرب منفى 

يك عدد مثبت و حاصل ضرب منفى ضرب مثبت يك عدد منفى است استفاده مى كنيم:‏ 

هرگاه لايق بودن يك شاگرد را مثبت (+) و نالايق بودن او را منفى (-) در نظر بگيريم و 

حاصل آن دو عمل يعنى براى است (+) و براى نيست (-) را در نظر گرفته آن ها را تركيب 

نماييم در نتيجه داريم:‏ 

لايق است = مثبت ، لايق نيست = منفى 

- = (-) (+) ، 

، نالايق نيست = مثبت 

+ = (+) (+) 

نالايق است = منفى 

394 

+ = (-) (-) ، - = (+) (-) 

تمرين 

- بيان:‏ ‏«سالى كه نيكو است از بهارش پيداست»‏ به چگونه يك استدلال زير دلالت 

1 

مى كند:‏ 

a- استدلال درك شهودى.‏ 

b- استدلال قياسى.‏ 

c- هيچگونه استدلال در آن وجود ندارد.‏ 

2- توسط استدلال قياسى در كدام يك از مثلث ها با استفاده از قضية فيثاغورث نتيجة زير 

اثبات شده مى تواند:‏ 

sin 

2 

∝ + cos 

2 

∝= 1

استدلال استقرايى 

يك شاگرد در اولين امتحان صنفى 100 

نمره ميگيرد.‏ شاگرد مذكور در امتحان 

دوم و سوم نيز موفق به گرفتن 100 نمره 


در امتحان نهايى چه نتيجه گيرى مى 

كنيد؟ شاگرد مذكور به گرفتن چند نمره 

موفق خواهد شد؟ 

395 

فعاليت 

حاصل جمع اعداد طاق متوالى طبيعى را در نظر مى گيريم.‏ براى اين كار از عدد 1 آغاز 

نموده خانه هاى خالى را پر نماييد:‏ 

1+3= = ( ) 2 

1+3+5= = ( ) 2 

1+3+5+7= = ( ) 2 

1+3+5+7+9= = ( ) 2 

با توجه با مسائل فوق مى بينيم كه تمام حاصل جمع ها مساوى به مربع كامل تعداد اعداد 

طبيعى است.‏ 

- آيا مى توانيم نتيجه بگيريم كه هميشه حاصل جمع اعداد طاق متوالى مساوى به مربع تعداد 

اعداد طبيعى متوالى مى باشد؟ 

- سعى نماييد فورمول حاصل جمع n عدد طاق متوالى را به دست آوريد.‏ 

از انجام فعاليت فوق نتيجة زير به دست مى آيد.‏ 

نتيجه:‏ استدلال استقرايى عبارت از روش نتيجه گيرى كلى بر مبناى مجموعة محدودى از 

مشاهدات است.‏ در واقع تعميم دادن خاصيتى در مورد يك نمونة كوچك به نمونة بزرگ 

است.‏ 

مثال‎1‎‏:‏ ‏"مشت نمونة خروار است"‏ به استدلال استقرايى اشاره مى كند؛ زيرا در اين مثال از

يك نمونة كوچك،‏ نيتجه گيرى مشخصى در مورد كل مجموعه گرفته مى شود.‏ در واقع بر 

پاية تعداد محدودى از مشاهدات از مسأله نتيجه گيرى شده است؛ بنابر اين استدلال استقرايى 

به كار گرفته شده است.‏ 

مثال‎2‎‏:‏ يك شاگرد به طور اتفاقى در چندين مرحله،‏ سه عدد متوالى را با هم ضرب نموده 

ملاحظه مى كند كه نتيجة حاصله مضرب 6 است.‏ از انجام اين عمل نتيجه گيرى مى كند 

كه:‏ " حاصل ضرب هر سه عدد متوالى،‏ مضرب 6 است"‏ 

شاگرد مذكور چه استدلالى به كار برده است؟ 

الف:‏ شهودى ب:‏ قياسى ج:‏ استقرايى د:‏ هيچكدام 

حل:‏ استدلال استقرايى 

تمرين 

1- روش نتيجه گيرى كلى بر مبناى مجموعة محدود از مشاهدات چگونه يك استدلال 

است؟ 

الف)‏ استدلال قياسى يا تمثيلى 

ب)‏ استدلال استقرايى 

ج)‏ استدلال درك شهودى 

2- با دقت به ترتيب اعداد خانه هاى خالى زير را تكميل نماييد:‏ 

1×8+1= 

12×8+2= 

123×8+3= 

1234×8+4= 

1 

-3 

a) حل سؤال شماره 2 را در نظر گرفته آيا گفته مى توانيد كه ترتيب فوق مى تواند تا بى 

نهايت ادامه يابد؟ 

b) بدون محاسبه با توجه به تمرينات بالا اعدادى را كه در تساوى هاى زير صدق مى كند 

حدس بزنيد:‏ 

12345×8+5= 

123456×8+6= 

396

استقراى رياضى 

بازى دو مينو 

آيا كدام وقت بازى دو مينورا 

انجام داده ايد؟ 

مى دانيد كه در بازى دومينو با افتادن خشت اولى روى خشت دومى كه كنار هم قرار 

دارند به ترتيب افتادن خشت دومى بالاى سومى،‏ سومى...‏ تا آخر يكى پى ديگرى به زمين 

مى افتند،‏ اين افتادن هاى خشت ها يكى پى ديگرى كه قرار شكل بالا به فاصله هاى مناسب 

و مساوى از هم قرار گرفته اند براى علاقمندان تصوير جالبى به نمايش مى گذارد.‏ 

ملاحظه مى نماييم كه با افتادن خشتى كه در موقعيت k ام قرار دارد باعث چپه شدن يا افتادن 

1 ‏)-ام مى گردد.‏ 

حال اگر عمل افتادن خشت ها از شماره مشخص آغاز شود،‏ از آن به بعد خشت ها يكى پى 

ديگرى يعنى همة دو مينو ها بالاى هم مى افتند و به اين ترتيب همه دو مينو ها روى زمين 

قرار مى گيرند.‏ 

خشت بعدى ) + k 

فعاليت 

مى دانيم كه 1+8+27+64=100 بوده كه اگر آن ها را به شكل مربع ها و يا مكعب ها 

درآوريم مى توانيم به شكل زير نيز بنويسيم:‏ 

3 3 3 3 

1 + 2 + 3 + 4 = 

10 

2 

- آيا هميشه مجموع مكعب هاى متوالى اعداد طبيعى مساوى به مربع يك عدد طبيعى 

است؟ 

- آيا مى توانيد حالت عمومى ترى را براى مسالة فوق ارائه نماييد؟ به خاطر دريافت جواب 

به سؤال فوق جدول زير را تكميل كنيد:‏ 

397

را براى مجموع مكعب هاى اعداد،‏ طبيعى متوالى 

⎡ n(n + 1) ⎤ 

⎢ 

⎣ 2 ⎥ 

⎦ 

2 

⎡ n(n + 1) ⎤ 

⎢ 

⎣ 2 ⎥ 

⎦ 

- صحت فورمول 

و = امتحان كنيد.‏ 

در برابر اعداد 1 

- حال اگر مجموع مكعب هاى n عدد طبيعى متوالى را نظر به فورمول فوق قبول كنيم؛ 

يعنى اگر:‏ 

3 3 

1 + 2 

3 3 

1 + 2 

n 4 n = 3 , n = 2 , n = 

3 

+ 3 + ... + n 

3 

⎡ n(n + 1) ⎤ 

= 

⎢ 2 ⎥ 

⎣ ⎦ 

باشد،‏ ادعا را براى + 1 n عدد متوالى ثبوت كنيد؛ يعنى نشان دهيد كه:‏ 

3 

+ 3 + ... + n 

3 

+ (n + 1) 

3 

⎡ (n + 1)(n + 2) ⎤ 

= 

⎢ 

⎣ 2 ⎥ 

⎦ 

از انجام فعاليت فوق نتيجة زير را به دست مى آوريم:‏ 

نتيجه:‏ هرگاه (n) P حكمى در باره اعداد طبيعى n داده شده باشد با مطالعة حكم در برابر 

P (k + 1) درستى ، (k) 

) درست باشد و در قدم دوم ما از درستى P 

2 

2 

P يعنى اگر (1 n = 1 

را به حيث نتيجه درست به دست آوريم،‏ در اين صورت ادعاى P(n) براى هر عدد طبيعى 

n نيز درست مى باشد.‏ 

مثال‎1‎‏:‏ نشان دهيد كه = 1 براى هر عدد طبيعى n قابل تقسيم بر 5 است؟ 

حل:‏ ادعا براى = 1 n درست است؛ زيرا:‏ 

n = 1 

, 

P(1) = 4 

2⋅ 

1 

−1 

= 4 

2 

P(n) 

4 

2n 

− 

−1 

= 16 −1 

= 15 

(1) 

ارائه با مربع يك عدد ديگر 

مجموع مكعب ها 

ديده مى شود كه = 15 P قابل تقسيم بر 5 است.‏ 

مكعب هاى اعداد طبيعى متوالى 

تعداد اعداد متوالى 

1 

2 

3 

4 

n 

3 

1 

3 3 

1 + 2 

3 3 

1 + 2 + 

3 3 3 

1 + 2 + 3 + 

3 3 3 

1 + 2 + 3 + ... + 

3 

4 

n 

3 

3 

3 

36 

2 

1 

2 

10 

2 

398

براى عدد طبيعى k قبول مى كنيم كه ادعاى فوق صدق مى كند؛ يعنى:‏ = 

قابل تقسيم به 5 است،‏ بنابر اين چون قابل تقسيم به 5 است؛ مى توانيم آن را به شكل زير 

بنويسيم:‏ 

P(k) 

4 

2k 

P(k) = 4 

−1 

2k 

−1 

= 5r.......................(*) 

ميخواهيم نشان دهيم كه بر‎1‎ = نيز ادعاى مذكور درست است؛ بنابر اين داريم:‏ 

n = k + 1 

4 

4 

4 

2 

(4 

2k+ 

2 

2k 

2(k+ 

1) 

− 4 

−1 

= 5(3 + 16r) 

, 

−1) 

= 5r ⋅4 

2 

2 

= 5r ⋅16 

⇒ 4 

2(k+ 

1) 

P(k + 1) = 4 

n k + 

2(k+ 

1) 

−1............(**) 

اطراف رابطة (*) را ضرب 4 نموده داريم:‏ 

−1 

= 15 + 16 ⋅(5r) 

) نشان مى دهد كه طرف چپ مساوات قابل تقسيم به 

2 

5 ⋅(3 

طرف راست رابطة فوق + 16r 

5 است.‏ 

رابطة اخير نشان مى دهد كه 1 نيز به 5 قابل تقسيم است.‏ چون از 

) را نتيجه گرفتيم،‏ بنابر اين نظر به اصل استقراى رياضى 

ادعاى (n) P در برابر هر عدد طبيعى n نيز درست مى باشد.‏ 

يادداشت:‏ در اثبات احكام رياضى به كمك استقراى رياضى ابتدا (1) P رابه دست 

مى آوريم؛ سپس ) P را به عنوان حكم استقرايى در نظر گرفته و به اين ترتيب از فرضيه،‏ 

حكم را ثابت مى نماييم.‏ 

مثال‎2‎‏:‏ با استفاده از استقراى رياضى ثبوت كنيد كه رابطة زير براى هر عدد طبيعى n 

درست است:‏ 

P(k + 1) = 4 

2(k+ 

1) 

n(n + 1)(n + 2) 

1× 

2 + 2× 

3+ 

3× 

4 + ... + n(n + 1) = 

3 

− 

صحت p(k) ما صحت + 1 (k P 

(k 

حل:‏ براي صحت رابطة فوق در برابر = 1 n درايم:‏ 

n = 1 , 

k صحت آن را قبول 

1(1 + 1)(1 + 2) 1× 

2× 

3 

P(1) = 1× 

2 = 

= = 2 

3 3 

⇒ 2 = 2 

بنابر اين رابطه در برابر = 1 n صحيح بوده،‏ حال اگر براى = n 

نماييم مسأله را براى = 1 به اثبات مى رسانيم؛ بنابر اين داريم:‏ 

n k + 

399

k(k + 1)(k + 2) 

n = k , P(k) = 1× 

2 + 2× 

3 + 3× 

4 + ... + k × (k + 1) = 

3 

فرضية استقراء 

با فرض رابطة بالا براى ) P بادر نظر داشت = 1 مى خواهيم صحت رابطه را نشان 

دهيم؛ بنابر ا ين داريم:‏ 

n k + 

(n 

n = k + 1, P(k + 1) = 1× 

2 + 2× 

3 + 3× 

4 + ... + (k + 1)(k + 2) 

(k + 1)(k + 2)(k + 3) 

= 

3 

[ 1× 

2 + 2× 

3+ 

3× 

4 + ... + k(k + 1) ] 

حكم استقرا 

با در نظر داشت فرضية استقرا داريم:‏ 

P(k + 1) = 

+ (k + 1)(k + 2) 

k(k + 1)(k + 2) 

k(k + 1)(k + 2) + 3(k + 1)(k + 2) 

= 

+ (k + 1)(k + 2) = 

3 

3 

(k + 1)(k + 2)(k + 3) 

= 

3 

(k + 1)(k + 2)(k + 3) 

⇒1× 

2 + 2× 

3 + ... + (k + 1)(k + 2) = 

3 

n در برابر هر (n) 

بنابر اين رابطه براى = 1 نيز درست بوده و بدين ترتيب رابطة P 

طبيعى صحت مى باشد.‏ 

اعداد 

از 

n k + 

تمرين 

توسطا استقراى رياضى نشان دهيد كه براى هر عدد طبيعى n داريم:‏ 

- 1 

2 

1 + 2 

+ ... + n 

n(n + 1)(n 

= 

6 

2 2 

+ 

1 ت 

2) 

- 2 توسط استقراى رياضى نشان دهيد كه:‏ 

2 + 6 + 10 + ... + (4n − 2) = 2n 

1+ 

3+ 

5 + ... + (2n −1) 

= n 

2 

2 

(i) 

(ii) 

400

استدلال استنتاجى 

آيا مى توانيم بدون روشنى در تاريكى شب 

اشيا را مشاهده و از هم تفكيك نماييم؟ 

فعاليت 

سه ست مختلف اعداد طبيعى را كه هر كدام آن داراى سه عدد اختيارى طبيعى متوالى باشد 


- حاصل ضرب عناصر هر ست را جداگانه به دست آوريد.‏ 

- آيا مى توانيم بگوييم كه حاصل ضرب هاى مذكور:‏ 

(I): قابل تقسيم برعدد 2 اند؟ چرا؟ 

:(II) قابل تقسيم بر عدد 3 اند؟ چرا؟ 

- آيا گفته مى توانيم كه حاصل ضرب سه عدد صحيح متوالى،‏ هميشه بر عدد 6 قابل تقسيم 

اند؟ چرا؟ 

- قابليت تقسيم بر 6 حاصل ضرب سه عدد متوالى را چرا به اين صورت پذيرفتيم.‏ 


نتيجه:‏ با استفاده از حقايقى كه درستى آن را در قدم نخست پذيرفتيم،‏ نتيجة عمومى ترى 

را به دست آورده كه به نام استدلال استنتاجى يا روش نتيجه گيرى ياد مى گردد.‏ به عبارت 

ديگر استدلال استنتاجى روش نتيجه گيرى با استفاده از حقايقى است كه درستى آن ها را 

ثبوت و يا پذيرفته باشيم.‏ 

401

وقتى از استدلال استنتاجى استفاده مى كنيم،‏ مطمئن هستيم كه نتيجه هميشه درست است.‏ 

مثال:‏ با سرگرمى تمام به قدم هاى جدول زير دقت نموده كه چه گونه ما بازى با اعدادى 

كه در ستى و حقيقت هر مرحله را مى پذيريم به مرحلة ديگرى قدم گذاشته و نتيجه را به 

دست مى آوريم.‏ 

قابل تذكر مى دانيم در جدول،‏ عدد به صورت اختيارى انتخاب گرديده و شما مى توانيد به 

عوض آن هر عدد اختيارى ديگرى را كه دل تان مى خواهد انتخاب نماييد.‏ ملاحظه كنيد 

كه نتيجه براى همه اعداد يكسان است.‏ 

يك عدد را به صورت اختيارى انتخاب كنيد.‏ 12 7 4 

به عدد مذكور عدد 5 را اضافه كنيد.‏ 17 12 9 

34 24 نتيجه را دو چند نماييد.‏ 18 

30 20 از نتيجة حاصله عدد 4 را كم نماييد.‏ 14 

عدد را به 2 تقسيم نماييد.‏ 15 10 7 

عددى كه در اول انتخاب كرده بوديد از عدد كم كنيد.‏ 3 3 3 

نكتة اساسى كه به نظر مى خورد اين است كه ما در حقيقت بر مبناى عباراتى كه درستى آن 

ها را قبول كرده ايم،‏ نتيجة بعدى را به د ست آورديم.‏ 

اين مسأله ما را مطمئن مى سازد كه با انتخاب هر عدد اختيارى نتيجه هميشه يكسان و مساوى 

3 مى باشد.‏ 3 مى به 

تمرين 

دهيد كه حاصل جمع دو عدد طاق هميشه جفت است.‏ 

- 1 نشان - 2 ثابت كنيد كه هر عدد صحيح طاق به صورت k 

- 3 در بين 9 عدد سكة طلايى يكى آن تقلبى است كه وزن آن از سكه هاى ديگر كمتر 

است.‏ چگونه ميتوان با دو بار وزن كردن توسط يك ترازوى دو پله يى بدون استفاده از اوزان 

ديگر سكة تقلبى را دريافت نماييم؟ 

2 + 1 است.‏ 

1 نشا 

402

استدلال مثال نقض 

مشت نمونة خروار است.‏ 

اگر نمونة كوچك يك جنس بي كيفيت 

باشد،‏ آيا ميتوان ادعا كرد كه كتلة بزرگ 

آن داراى كيفيت عالى است؟ 

403 

فعاليت 

ايارىازا اعداد طبيعى را مى توان به صورت حاصل جمع اعداد متوالى بنويسيم:‏ 

ا 

بسيارى 

طور مثال:‏ = 

- خانه هاى خالى را با در نظرداشت مثال فوق تكميل كنيد:‏ 

9 2 + 3+ 

4 

15= +2 + +4+5 

= + 5 + +7 

= 11 + + +14 

74=17+ +19+ 

- آيا مى توانيم هر عدد طبيعى را به شكل حاصل جمع اعدادمتوالى ارائه نماييم؟ 

- اگر جواب تان منفى باشد مثال بدهيد.‏ 


نتيجه:‏ هرگاه با مثالى نشان دهيم كه نتيجه گيرى كلى نادرست و يا غلط است،‏ نادرستى ادعا 

را نشان داد كه به نام مثال نقض ياد مى گردد.‏ 

مثال:‏ براى اثبات مسأله كافى است نشان دهيم كه اعداد x و y وجود دارد كه غير ناطق 

بوده؛ اما مجموع آن ها x+y ناطق است.‏

براى اين منظور هرگاه دو عدد = 

y = 1− و x 1+ 

2 

2 را انتخاب نماييم داريم:‏ 

x + y = (1 + 2) + (1 − 2) = 1+ 

1 = 2 

ديده مى شود كه حاصل جمع آن ها مساوى به عدد 2 يك عدد ناطق بوده؛ در حالى كه x 

و y اعداد غير ناطق مى باشند؛ بنابر اين ادعا كرده نمى توانيم كه مجموع دو عدد غير ناطق 

هميشه يك عدد غير ناطق مى باشد.‏ 

تمرين 

1 اا 

با استفاده از مثال نقض نشان دهيد كه ‏"مربع هر عدد حقيقى از مكعب آن كوچكتر 

-1 

است".‏ 

2- براى كدام بيان زير مثال نقض وجود ندارد:‏ 

a) مجموع دو عدد ناطق،‏ عدد ناطق است.‏ 

b) مربع هر عدد مثبت،‏ بزرگتر از خود عدد است.‏ 

c) دو زاويه كه اضلاع متناظر شان موازى است،‏ با هم برابر اند.‏ 

d) مجموع دو عدد طاق،‏ عدد جفت است.‏ 

e) حاصل ضرب دو عدد غير ناطق،‏ عدد غيرناطق نيست.‏ 

404

برهان خلف يا ثبوت غير مستقيم 

اگر مربع يك عدد جفت باشد،‏ آيا خود عدد 

جفت است يا طاق ؟ 

آيا مى توانيم به صورت عموم ادعا نماييم كه 

اگر مربع يك عدد جفت باشد خود عدد نيز 

يك عدد جفت است؟ 

اگر نشان دهيم كه خود عدد طاق نيست،‏ چه 

نتيجه مى گيريد؟ 

فعاليت 

مثلث ABC را قرار شكل زير در نظر بگيريد:‏ 

- ناصف زاويه ∧ A را ترسيم كنيد.‏ 

باشد،‏ اضلاع AB و AC با هم چه رابطه دارند؟ 

است،‏ اين مسالة ما را به كدام 

≠ BD 

- هرگاه فرض نماييم كه نتيجه مى رساند؟ 

AB = AC بود؛ اما CD 

- اگر BD ≠ CD 

از فعاليت بالا نتيجة زير به دست مى آيد:‏ 

نتيجه:‏ هرگاه با فرضيه يا قبولى عكس ادعاى يك قضيه يا مسأله،‏ به نتيجة خلاف فرضيه 

برسيم،‏ در اين صورت فرض ما درست بوده كه خلاف آن درست است،‏ اين گونه استدلال 

405

را به نام برهان خلف و يا ثبوت غير مستقيم مى نامند.‏ 

يادداشت:‏ به خاطر بسپاريد كه براى استفاده از برهان خلف يا ثبوت غير مستقيم گام هاى 

زير را در نظر مى گيريم:‏ 

قدم اول:‏ فرض مى كنيم ادعاى مطلوب درست نباشد.‏ 

قدم دوم:‏ نشان مى دهيم كه اين فرض نتيجه يى به دست مى دهد كه حقايق دانسته شده 

را نقض مى كند.‏ 

قدم سوم:‏ حال كه نتيجه به يك تناقض رسيده است،‏ معلوم مى شود كه فرضيه قدم اول 

نادرست بوده،‏ بنابر اين مطلب بايد درست باشد.‏ 

مثال:‏ نشان دهيد كه اگر n2 يك عدد جفت طبيعى باشد عدد n نيز جفت است؟ 

حل:‏ به خاطر ثبوت مسأله فرض مى نماييم كه با وجود جفت بودن n2 عدد n يك عدد 

بنويسيم؛ در حالى كه k يك عدد تام 

= طاق است؛ پس مى توان آن را به شكل 1 است،‏ در نتيجه براى مربع عدد مذكور داريم:‏ 

n 

2 

⇒ n 

= (2k + 1) 

2 

= 4(k 

2 

2 

= 4k 

2 

+ k) + 1 

n 2k + 

+ 4k + 1 = 4(k 

2 

+ k) + 1 

رابطة بالا نشان مى دهد كه n2 يك عدد طاق است.‏ درحالى كه خلاف فرضيه بوده و در 

نتيجه فرضيه گرفته شده در بالا براى اين كه n يك عدد طاق است نا درست بوده و به اين 

نتيجه مى رسيم كه n نيز يك عدد جفت مى باشد؛ زيرا فرض طاق بودن آن،‏ ما را به اين 

مىر رساند كه n2 نيز بايد طاق باشد.‏ 

نتيجه 

تمرين 

كه 3 

نشان دهيد 

يك عدد غير ناطق است.‏ 

406

منطق رياضى و استنتاج 

بيان 

شنيدن خبرى از همصنفى پهلوى تان چه 

نتيجه خواهد داشت؟ 

آيا خبر درست است و يا نادرست؟ 

407 

جملة خبرى به نام بيان ياد ميگردد،‏ هرگاه نتيجة آن به درست؛ و يا نا درست بانجامد.‏ 

يك 

گرفته مشخص نماييد كه كدام يك آنها يك بيان و كدام يك آنها 

جملات زير را در نظر نمى تواند يك بيان باشد.‏ نتيجة منطقى آن ها چيست؟ 

i) امروز باران نمى بارد.‏ 

(ii آيا امروز باران نمى بارد؟ 

(iii باران ببار.‏ 

(iv چه باران شديد مى بارد!‏ 

از فعاليت فوق نتيجة زير به دست مى آيد:‏ 

نتيجه:‏ 

- 1 هر جمله نمى تواند يك بيان باشد.‏ يك جمله مى تواند پرسشى،‏ امرى،‏ تعجبى و يا 

خبرى باشد.‏ 

- 2 هر جملة خبرى درست يا نادرست است.‏ 

يادداشت:‏ اگر يك بيان را P بناميم؛ در اين صورت طرز نوشتة ≡ P براى بيان درست 

براى بيان نادرست استعمال مى گردد.‏ 

T 

و P ≡ F 

تعريف 

فعاليت

برعلاوه P~ نفى بيان P مى باشد.‏ 

جدولى كه در آن ارزيابى يك بيان صورت گرفته باشد،‏ به نام جدول صحت ياد مى شود.‏ 

بنابر اين براى هر بيان P داريم:‏ 

P 

T 

F 

~ P 

F 

T 

مثال:‏ جدول صحت را براى بيان،‏ ‏«مسكا شاگرد صنف دهم است = P» ترتيب نماييد.‏ 

حل:‏ به خاطر ارزيابى بيان فوق مى دانيم كه بيان مذكور درست و يا نادرست است.‏ 

اگر بيان درست باشد در اين صورت مى توانيم بنويسيم:‏ ≡ P مى باشد.‏ 

بنابر اين حالت نفى بيان P عبارت از«‏ P نادرست است»‏ بوده؛ يعنى:‏ ≡ ~ مى باشد.‏ اين 

بيان به معناى اين است كه بيان مسكا شاگرد صنف دهم نيست؛ يعنى P نادرست است.‏ 

F باشد در اين صورت = ~ بوده و بدين ترتيب جواب فوق را مى توانيم در 

جدول صحت زير مشاهده نماييم:‏ 

~ P ≡ F و T 

P F 

P 

T 

F 

~ P 

F 

T 

P 

T 

اگر ≡ P 

تركيب بيان ها 

اگر دو بيان p و q داده شده باشند،‏ در اين صورت:‏ 

به نام تركيب عطفى و يا ‏((و)‏ منطقى)‏ بيانات p و q ياد مى گردد.‏ علامه 

"∧" به معناى ‏"و"‏ به كار گرفته شده است.‏ 

به نام تركيب فصلى يا ‏(ياى منطقى)‏ بيانات p و q ياد مى گردد،‏ علامه 

به معناى ‏«يا»‏ به كار برده شده است.‏ 

به نام تركيب مشروط و يا " اگر p پسq خوانده شده"‏ ياد گرديده و 

علامه ⇒ نشان مى دهد كه P اساس تركيب شرطى مى باشد كه q از p آن نتيجه 


به نام تركيب مشروط دو طرفه و يا " p اگر و تنها اگر و q خوانده 

شده"‏ ياد مى گردد.‏ و علامه " ⇔ " نشان مى دهد كه اگر p اساس تركيب شرطى باشد q 

- 1 تركيب p ∧ q 

- 2 تركيب p ∨ q 

'' 

∨' 

' 

- 3 تركيب p ⇒ q 

- 4 تركيب p ⇔ q 

408

از آن نتيجه گرديده واگر q اساس تركيب شرطى باشد p از آن نتيجه مى گردد.‏ 

به اين ترتيب تركيب ‏«اگر و تنها اگر»‏ بيان هاى p و q را در جدول صحت زير ملاحظه 

مى نماييم:‏ 

T 

T 

F 

F 

p 

q 

T 

F 

T 

F 

p ∧ q 

T 

F 

F 

F 

pvq 

T 

T 

T 

F 

p ⇒ q 

T 

F 

T 

T 

p ⇔ q 

q داده شده باشد،‏ 

و ‏(مربع عددى كه منفى باشد)‏ ≡ مثال‎1‎‏:‏ هرگاه بيان ) را دريافت 

) كنيد.‏ 

حل:‏ با دقت به بيان هاى فوق ارزش بيان هاى فوق عبارت اند از:‏ 

T 

F 

≡ 

P (2 + 4 = 6 

~ ( p ∨ q و ~ (p ∧ q) 

نتيجة بيان هاى ، p ∧ q ، p ∨ q ، ~ q ، ~ P ،p ،q 

p q ~ p ~ q p ∧ q p ∨ q ~ ( p ∧ q) 

~ ( p ∨ q) 

F 

T 

F 

T 

هميشه درست است:‏ 

∨ مثال‎2‎‏:‏ با تشكيل جدول صحت نشان دهيد كه ) حل:‏ 

P 

( p ⇒ q 

p q p ⇒ q p ∨ ( p ⇒ q) 

T T T T 

T F F T 

F T T T 

F F T T 

) هميشه درست 

p ∨ ( p ⇒ q 

⇔ 

⇒ 

∨ 

∧ 

T 

از جدول صحت در ستون آخرى مشاهده مى نماييم كه بيان 

است.‏ 

T 

F 

F 

T 

F 

409

تمرين 

- 1 با تشكيل جدول صحت نشان دهيد كه بيان ) ⇒ هميشه نادرست 

است.‏ ‏(توجه كنيد كه p و p~ مستقل از هم نيستند).‏ 

- 2 باتشكيل جدول صحت نشان دهيد كه ارزش بيان هاى ⇒ ( 

هم مساوى اند؛ يعنى:‏ 

( p q) 

∨ ~ (~ p ∨ q 

q) p و q) ( p ∨ ~ با 

p ⇒ q ≡~ ( p ∨ q) 


استدلال رياضي:‏ شيوه يا روشي كه به وسيلة آن وضاحت يا صحت يك بيان رياضى 

حاصل مى شود به نام استدلال رياضى ياد مى گردد.‏ 

درك شهودى:‏ فهم غريزه وى يا احساسى كه به وسيلة آن صحت يا حقيقت يك موضوع 

و يا يك مفهوم رياضى را بدون استدلال قبول مى نماييم عبارت از درك شهودى بوده و در 

مواقع مختلف زمان از هم متفاوت است.‏ 

استدلال تمثيلى يا قياسى:‏ يافتن شباهت بين دو پديده و نتيجه گيرى يكسان در بارة آنها 

را به نام استدلال تمثيلى يا قياسى ياد مى نمايند.‏ 

استدلال استقرايى:‏ روشى كه از آن نتيجه گيرى كلى بر مبناى مجموعة محدود از 

مشاهدات،‏ يعنى از جزء به كل به دست مى آيد به نام استدلال استقرايى ياد مى گردد.‏ 

استدلال استقراى رياضى:‏ هرگاه P(n) حكمي در بار ه اعداد طبيعى n داده شده باشد 

با مطالعة حكم در برابر 1=n يعنى اگر(‏P(1‎ درست باشد و در قدم دوم از در ستى(‏P(n+1‎ 

در ستى بيان P(n) نتيجه گردد.‏ در اين صورت بيان(‏P(n براي هر عدد طبيعى n درست بوده 

و به نام استدلال استقراى رياضى ياد مى گردد.‏ 

استدلال استنتاجى:‏ با استفاده از آنعده حقايقى كه درستى آن در آغاز پذيرفته شده باشد،‏ 

نيتجه عمومى ترى به دست آورده شود به نام استدلال استنتاجى يا روش نتيجه گيرى ياد 

مى گردد به عبارت ديگر نتيجه گيرى از حقايق پذيرفته شده و آشكارا كه درستى آن را 

ثبوت و يا هم پذيرفته باشيم.‏ 

410

استدلال مثال نقض:‏ هرگاه با مثالى نشان دهيم كه نتيجه گيرى كلى نادرست است.‏ در 

اين صورت به صورت كل نادرستى ادعا را نشان داده و به نام استدلال مثال نقض يا نفى ياد 

مى گردد.‏ 

برهان خلف و يا ثبوت غير مستقيم:‏ هرگاه با فرضيه يا قبول يك قضيه يى به عكس بيان 

يا ادعاى يك قضيه برسيم دراين صورت فرضيه نادرست بوده و خلاف آن صحت است.‏ 

اينگونه استدلال را به نام برهان خلف يا ثبوت غير مستقيم ياد مى نماييم.‏ 

بيان:‏ يك جملة خبرى كه نتيجه آن درست و يا نادرست باشد به نام بيان ياد مى گردد.‏ جمله 

يى كه نتيجة آن درست و يا نادرست نيست بيان نيست.‏ 

تركيب بيان ها:‏ اگر دو بيان p و q داده شده باشند در اين صورت:‏ 

عبارت از تركيب بيانات p و q بوده كه به 

شكل بيان p و q خوانده مى شود.‏ 

2- توسط ‏"يا"‏ و يا علامه منطقى "∨" بيان p ∨ q عبارت از تركيب بيانات p و q بوده 

كه به شكل بيان p يا q خوانده مى شود.‏ 

يك بيان مشروط بيانات p و q بوده 

1- توسط ‏"و"‏ علامه منطقى "∧" بيان p ∧ q 

3- ‏"اگر پس"‏ ويا علامه منطقى "⇒" بيان p ⇒ q 

كه به شكل ‏"اگر p پس q خوانده مى شود در اين صورت علامه ⇒ نشان مى دهد كه p 

يك اساس تركيب شرطى براى آن كه q از آن نتيجه شود مى باشد.‏ 

4- ‏"اگر و تنها اگر"‏ و يا علامة منطقى "⇔" يك تركيب مشروط بيان دو طرفه بيانات p 

و q بوده كه بيان p ⇔ q 

به صورت p اگر و تنها اگر q مي باشد.‏ 

411


- 1 كدام يك از جواب هاى زير به نظر شما درست است؟ 

الف)‏ يكى از مشكلات روش استقرايى عبارت از وجود خطا ها در مشاهدات است.‏ 

ب)‏ يكى از روش هاى قوى استدلال رياضى روش استقرايى مى باشد.‏ 

ج)‏ محدود بودن تعداد مشاهدات يكى از اشكالات روش استقراى رياضى است.‏ 

د)‏ جواب الف وج درست اند.‏ 

- 2 كدام يك از جوابات زير نادرست است:‏ 

استدلال استقرايى 

الف)‏ يكى از روش هاى بسيار قوى مسائل رياضى است 

ب)‏ ما را به احتمال وجود قانونمندى كلى در مسائل رهنمايى مى كند.‏ 

ج)‏ يكى از روشهاى حل مسائل غير رياضى است.‏ 

د)‏ يكى از روشهاى حل مسائل رياضى نيست.‏ 

- 3 كدام يك از جوابات زير در مورد شهود درست است؟ 

الف)‏ استفاده از شهود براى يك نتيجه گيرى صد در صد درست است.‏ 

ب)‏ با استفاده از شهود نمى توان با اطمينان گفت كه نتيجه گيرى صد در صد است.‏ 

ج)‏ شهود براى درك بهتر رياضيات است.‏ 

د)‏ با استفاده از شهود حدس هاى قطعى همراه با استدلال حتمى براى ثبوت مى توان زد.‏ 

- 4 كدام يك از جوابات زير نادرست است:‏ 

الف)‏ استدلال استقرايى از جزء به كل رسيدن است.‏ 

ب)‏ استدلال استقرايى از كل به جزء رسيدن است.‏ 

ج)‏ از استدلال استقرايى نمى توان به عنوان اثبات دقيق رياضى استفاده كرد.‏ 

د)‏ استدلال استقرايى نتيجه گيرى كلى برمبناى مجموعه اى از مشاهدات محدود است.‏ 

- 5 بر اساس استدلال استنتاجى كدام يك از جوابات زير نادرست است؟ 

الف)‏ اگر برف ببارد زمين مرطوب مى شود،‏ زمين مرطوب است،‏ بنابر اين برف باريده 

است.‏ 

ب)‏ تمام فارغان يك مكتب،‏ با كمپيوتر آشنا و رياضى را خوب مى دانند.‏ ضمير از مكتب 

مذكور فارغ شده است،‏ بنابراين ضمير با كمپيوتر خوب آشنا و خوب رياضى مى داند.‏ 

ج)‏ اگر چهار ضلعى مربع باشد.‏ هر دو قطر آن با هم عمود اند،‏ دو قطر يك چهارضلعى بالاى 

هم عمود اند بنابراين چهار ضلع مذكور مربع است.‏ 

د)‏ مثلث متساوى الساقين دو ضلع با هم برابر دارد،‏ هر مثلث با سه ضلع برابر 

متساوى الاضلاع است بنابراين هر مثلث متساوى الاضلاع متساوى،‏ متساوى الساقين است.‏ 

412

- 6 با استفاده از استدلال قياسى نشان دهيد كه براى هر زاوية حقيقى ∝ صورت 

مى گيرد:‏ 

sin 

2 

∝ + cos 

2 

∝= 1 

2 

- 7 با استدلال استقرايى نشان دهيد كه حاصل جمع n عدد طاق متوالى مساوى n است.‏ 

- 8 با استدلال استقراى رياضى نشان دهيد كه براى هر عدد طبيعى n مساوات ذيل تحقق 

مى يابد.‏ 

n(n + 1) 

1+ 

2 + 3 + ... + n = 

2 

- 9 با استدلال استنتاجى ثبوت نماييد كه حاصل جمع دو عدد جفت هميشه جفت است.‏ 

- 10 با يك مثال نشان دهيد كه افادة + 3 n 2 براى هر عدد طبيعى هميشه يك عدد اوليه 

نيست.‏ 

- 11 با استدلال برهان خلف نشان دهيد كه اگر n يك عدد ثابت و اختيارى برعلاوه n 

طاق باشد؛ پس n نيز طاق مى باشد.‏ 

- 12 جدول صحت را براى بيان مركب ‏«باران مى بارد و ابر نيست،‏ پس باران نمى بارد»‏ 

تشكيل نماييد.‏ در صورتى كه بيان ∝= » باران مى بارد»‏ = ‏«ابر است.‏ « نامگذارى شده 

باشد؟ عدد 1 را براى صحيح و o را براى غلط به كار ببريد.‏ 

2 

β 

∝ 

1 

1 

0 

0 

β 

1 

0 

1 

0 

− ∝ 

−β 

∝ ∨ −β 

∝ ∧ −β ⇒ − ∝ 

413

Ø±ÙØ§Ø¶Ù

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?

Ø±ÙØ§Ø¶Ù