Yoni Nazarathy CV

More documents

Recommendations

Info

207.2250 מבוא לתהליכים סטוכסטיים דוגמא א-‏‎2‎‏:‏ כמה פתרונות במספרים שלמים אי-שליליים יש למשוואה שאלת ספירה זו זהה לשאלה בכמה דרכים ניתן לפזר k כדורים לn תאים כאשר אין הגבלה על מספר הכדורים אשר ניתן להכניס לתא והכדורים זהים.‏ ‏(שזו גם בדיוק השאלה,‏ בכמה דרכים ניתן לדגום מאוכלוסיה בעלת פריטים אם החזרות ‏(יותר מכדור אחד בתא)‏ וסדר הדגימה לא משנה ‏(הכדורים זהים).‏ k פריטים ? a1 + a2 + ... + an = k fn . lim = 1 n→∞ g n ∞ ∫ ,n נוסחת המשולש המקרה הבדיד:‏ N ∑ k = 0 k= 1 k = 1 j= k .7 kf ( k) = kf ( k) = f (1) + f (2) + f (2) + f (3) + f (3) + f (3) + .... = N 0 0 0 N ∑∑ ∞ x ∫∫ N ∑ f ( j) x= 0 t= 0 t= 0 x= t המקרה הרציף:‏ xf ( x) dx = 1 dt f ( x) dx = ∞ x ∞ ∞ ∫ ∫ ∫ ∫ f ( x) dtdx = f ( x) dxdt .n! – f n 8. קירוב Stirling ל 1 n 2 n π + − n! ∼ 2 n e ∼ g n הערה:‏ הסימון מסמל כי חזרה כללית על הסתברות:‏ כנאמר בפרק הקודם,‏ משתנה מקרי הוא פונקציה ממרחב המדגם אל מרחב של מספרים כלשהו.‏ לרוב נקטלג את המשתנים המקריים אשר אנחנו מכירים למשתנים מקריים רציפים ולמשתנים מקריים בדידים אבל לפעמים ישנם גם משתנים מקריים מעורבים.‏ אנו מתעניינים בחוק ההסתברות של משתנים מקריים.‏ ניתן לתאר את חוק ההסתברות במספר דרכים.‏ הדרך המקובלת ביותר היא פונקציות ההתפלגות המצטברת וזאת בגלל שתיאור זה מתאים גם למשתנים מקריים בדידים וגם לרציפים ‏(וגם למעורבים).‏ F ( x) = P( X ≤ x) = P({ w : X ( w) ≤ x}) X כזכור זוהי פונקציה לא יורדת ומתקיים כי - 12 -
207.2250 מבוא לתהליכים סטוכסטיים lim F ( x) = 0 x→−∞ X lim F ( x) = 1 x→∞ לפעמים נוח יותר לעבוד אם המשלים של פונקצית ההתפלגות המצטברת,‏ זוהי פונקצית השרידות:‏ F X ( x) = P( X > x) = 1 − F ( x) עבור משתנים מקריים בדידים קיימת פונקצית מסת הסתברות:‏ . P ( x) = P( X = x) X X X . f X ( x) . ואז מתקיים:‏ x FX ( x) = ∑ PX ( k) k=−∞ עבור משתנים מקריים רציפים קיימת פונקצית צפיפות בשל עצמו אבל מתקיים:‏ לערך פונקציה זו אין משמעות הסתברותית ∆xf ( x) ≅ P( x ≤ X < x + ∆x) X . ואז מתקיים:‏ x FX ( x) = ∫ f X ( t) dt −∞ התוחלת של משתנה מקרי היא:‏ ∞ ∫ EX = xf ( x) dx −∞ ∞ ∑ X EX = xP ( x) x=−∞ עבור המקרה הרציף והבדיד בהתאמה.‏ (.)g היא פונקציה כלשהי.‏ עבור משתנה מקרי X ניתן להגדיר משתנה מקרי חדש את חוק ההסתברות של המתנה המקרי החדש ניתן לחשב בדרכים אשר נלמדו בקורס תורת ההתפלגויות אז ‏(לדוגמה אם Y=g(X) כאשר (Y) 2 2 .( Y = Z ∼ Gamma(1/ 2,1/ 2) ≡ χ (1) Z ∼ N (0,1) את התוחלת של Y ניתן לחשב עלפי הנוסחאות לעיל ‏(ע"י שימוש בצפיפות או פונקצית מסת ההסתברות אשר חושבה עבור Y). דרך אלטרנטיבית ‏(ולרוב יותר קלה)‏ היא להשתמש בתכונה הבא של התוחלת:‏ EY = Eg( X ) = ∫ g( x) f X ( x) dx ∞ −∞ ובאופן דומה עבור המקרה הבדיד.‏ X המומנט ה k – k (…,1,2,3=k) של משתנה מקרי X הוא . EX ‏(ניתן לחשב עפ"י הנוסחה לעיל כאשר .( g( x) = x k - 13 -
Page 1 and 2: חוברת עזר להרצאה מב
Page 3 and 4: 207.2250 מבוא לתהליכים
Page 9 and 10: ה-‏ 207.2250 מבוא לתהלי
Page 11: 207.2250 מבוא לתהליכים
Page 63 and 64:
207.2250 מבוא לתהליכים
Page 65 and 66:
Page 67 and 68:
Page 69 and 70:
Page 71 and 72:
Page 73 and 74:
Page 75 and 76:
Page 77 and 78:
Page 79 and 80:
Page 81 and 82:
Page 83 and 84:
Page 85 and 86:
Page 87 and 88:
Page 89 and 90:
Page 91 and 92:
Page 93 and 94:
Page 95 and 96:
Page 97 and 98:
Page 99 and 100:
Page 101 and 102:
Page 103 and 104:
Page 105 and 106:
Page 107 and 108:
Page 109 and 110:
Page 111 and 112:
Page 113 and 114:
Page 115 and 116:
Page 117 and 118:
Page 119 and 120:
Page 121 and 122:
Page 123 and 124:
Page 125 and 126:
Page 127 and 128:
Page 129 and 130:
Page 131 and 132:
Page 133 and 134:
Page 135 and 136:
Page 137 and 138:
Page 139 and 140:
Page 141 and 142:
Page 143 and 144:
Page 145 and 146:
Page 147 and 148:
Page 149 and 150:
Page 151 and 152:
Page 153 and 154:
Page 155 and 156:
Page 157 and 158:
Page 159 and 160:
Page 161 and 162:
Page 163 and 164:
Page 165 and 166:
Page 167 and 168:
Page 169 and 170:
Page 171 and 172:
Page 173 and 174:
Page 175 and 176:
Page 177 and 178:
Page 179 and 180:
show all

Yoni Nazarathy CV

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?