Yoni Nazarathy CV

207.2250
מבוא לתהליכים סטוכסטיים
. S i
S i
S = (2,1)
S
i
i
= (10,5,8,7)
כעת יש לחזור על האלגוריתם על
על
על
ועל
: S i בגלל ש 2=n המיון הוא פשוט ומקבלים (1,2).
נבחר באקראי ערך,‏ נאמר כי נבחר 7,
אזי מקבלים
. S 'i
S ' i
: S i
S ' = (5)
i
S ' i = (8,10)
כעת יש לחזור על האלגוריתם על
על
אין מה למיין.‏
ועל
(n=2)
S ' i
על המיון הוא שוב טריוויאלי
סך הכול קבלנו:‏
וגם כאן הערכים כבר ממוינים.‏
S 'i
( S , 4,( S ' ,7, S
' )) =
i i i
((1, 2), 4,((5),7,(8,10)))
‏(כאשר הסימון ~ מתאר קבוצה בגודל 1 אשר מוינה באופן טריוויאלי).‏
הסוגריים מתארים את הקריאות הרקורסיביות אשר האלגוריתם ביצע.‏ וכאשר מורידים את הסוגריים אז
מקבלים את הסדרה הממוינת.‏
כאשר דנים ביעילות של אלגוריתמי מיון אז נהוג לדון במספר ההשוואות אשר האלגוריתם נדרש לבצע.‏ לרוב
נהוג לתאר מספר זה כפונקציה של גודל המדגם (n) ‏(ומחפשים אלגוריתמים אשר בהם מספר ההשוואות לא
גדל יותר מדי מהר כאשר
j
. M n
quick sort מבצע.‏
2 או
n גדל).‏
כאן ננתח את תוחלת מספר ההשוואות אשר
נגדיר את
נסמן את ערך זה ב
M n | j להיות תוחלת מספר ההשוואות על קלט בגודל n כאשר נתון כי הערך אשר נבחר הוא ה
הכי קטן.‏ .(j=1,…,n)
ברור כי
‏(כאשר
( M וזאת כי יש לבצע 1-n השוואת בין הערך
0
= 0
S i
M = ( n − 1 + M + M )
n| j j−1
n−
j
ובה
ובה 1-j ערכים ועל הקבוצה הנבחר לשאר הערכים ולאחר מכן לחזור על הפעולה על הקבוצה n-j ערכים.‏
עכשיו,‏ בגלל שהערכים נבחרים על פי התפלגות אחידה בדידה אזי בהנחה שהקלט הוא אקראי לחלוטין,‏ קל
S i
1
.
n
n
n
1 1
M
n
= ∑ M
n| j
= ∑( n − 1 + M
j−1
+ M
n−
j
) =
n
n
לראות כי ההסתברות שהערך הנבחר הוא ה j הכי קטן היא
מכאן:‏
j= 1 j=
1
1
n − 1 + (( M
0
+ M
n−1) + ( M1 + M
n−2) + ... + ( M
n−2 + M1) + ( M
n−1 + M
0))
=
n
n−1
1
n − 1+
2∑
M
k
n
k = 1
מכאן:‏
- 32 -