Yoni Nazarathy CV

207.2250
מבוא לתהליכים סטוכסטיים
m n m n
E[ X | X = k] = E[ X | X = k]
∑ ∑ ∑ ∑
i j i j
i= 1 j= 1 i= 1 j=
1
n i−1
n
k
E[ X | ∑ X = k] = P( X = 1| ∑ X + X + ∑ X = k)
=
n
i j i j i j
j= 1 j= 1 j= i+
1
i
i= 1 j=
1
ובנוסף מתקיים
m n
k
E[ ∑ X | ∑ X
j
= k]
= m n
ולכן
משפט התוחלת המותניית:‏ ] X . E[ E[ X | Y ]] = E[
כנאמר קודם,‏ E[X|Y] הוא משתנה מקרי ולכן המשמעות של התוחלת החיצונית במשפט היא תוחלת על
המשתנה המקרי הנ"ל ‏(זאתי תוחלת המחשבים לפי חוק ההסברות של Y).
הוכחה ‏(למקרה הרציף):‏
f ( x, y)
E E X Y = E xf x y dx = E x dx =
∞
∞
X , Y
[ [ | ]] [ ∫ X | Y
( | ) ] [ ∫
]
fY
( y)
−∞
−∞
f
( x, y)
∞ ∞ ∞ ∞ ∞
X , Y
∫ ∫ x dxfY ( y) dy = xf
X , Y
( x, y) dxdy xf
X
( x)
dx EX
fY
( y)
∫ ∫ = ∫ =
−∞ −∞ −∞ −∞ −∞
ההוכחה למקרה הבדיד דומה.‏
דוגמא:‏
Var( X ) = E[ X ] − ( E[ X ]) = EE[[ X | Y ]] − ( E[ E[ X | Y ]])
2 2 2 2
- 28 -