Yoni Nazarathy CV

207.2250
מבוא לתהליכים סטוכסטיים
P( Z = k) = ( P ⊗ P )( k)
=
i=
0
k
i=
0
e
e
e
e
∞
∑
∑
X1 X 2
X1 X 2
X1 X 2
P ( i) P ( k − i)
=
P ( i) P ( k − i)
=
k i k−i
− ( λ1 + λ2
) 1 2
k i k −i
− ( λ1 + λ2
) 1 2
k
− ( λ1 + λ2
)
i k −i
∑⎜
⎟λ1 λ2
k!
i=
0 i
− ( λ1 + λ2
)
∑
i=
0
λ λ
=
i!( k − i)!
1 λ λ
∑ k!
=
k! i!( k − i)!
1
i=
0
⎛ k ⎞
⎝
⎠
1 ( λ1 + λ2
)
k!
קבלנו שסכום של שתי מ"מ פואסונים מתפלג פואסונית עם סכום העוצמות ‏(הפרמטרים).‏
k
=
–
שימוש בפונקציה יוצרת מומנטים:‏
פעולת הקונבולוציה היא לפעמים מסובכת ‏(הן אנליטית והן נומרית).‏ מדוע אנליטית?‏ כי ככה יוצא.‏ ומדוע
נומרית?‏ נניח כי ברצונו לבצע קונבולוציה של שתי פונקציות מסת הסתברות,‏ כל אחת בעלת תומך המכיל כ
1000 ערכים,‏ אז מספר ההכפלות אשר עלינו לבצע הוא מסדר גודל של כמיליון.‏
ייצוג חוק ההסתברות ע"י פונקציה יוצרת מומנטים ‏(או גם פונקציה יוצרת הסתברות)‏ יכול להקל על המלאכה
‏(לזכור כי X ו Y בלתי תלויים):‏
M t Ee Ee e Ee Ee M t M t
( X + Y ) t Xt Yt Xt Yt
X + Y
( ) = = = =
X
( )
Y
( )
החישוב דומה עבור פונקציה יוצרת הסתברות.‏
זאת אומרת שלאחר המרה של חוקי ההסתברות למרחב הפעולה המסובכת של סכום משתנים מקריים ‏(ולכן
קונבולוציה פו'‏ מסת הסתברות)‏ מתפשטת לפעולה של מכפלה של פונקציות יוצרות מומנטים/הסתברות.‏
,t
X
דוגמא א-‏‎5‎‏:‏
בלתי תלויים.‏
∼ N( µ , σ )
2
1 1 1
2
X
2
∼ N( µ
2, σ
2
)
? Z = X + X
1 2
כיצד מתפלג
M ( t)
= e
Xi
σ
µ +
it
2 2
i t
2
ידוע כי
‏(לא קשה לחשב זאת על פי הגדרה).‏
- 18 -