Yoni Nazarathy CV

More documents

Recommendations

Info

207.2250 מבוא לתהליכים סטוכסטיים N n+ m − N n אם כך,‏ אנו רואים כי התפלגות האינקרימנט אינה תלויה ב n, ‏(היא זהה לדוגמא להתפלגות עבור ). תכונה זו של התפלגות האינקרימנטים של התהליך נקראת אינקרימנטים סטציונרים.‏ פילוג האינקרימנט הוא סטציונרי ‏(אינו משתנה)‏ בזמן ‏(ב להלן ההגדרה המדויקת.‏ .(n – l ≠ n N l+ m − { Z , n ≥ 0} n N m הגדרה:‏ תהליך הוא בעל אינקרימנטים סטציונרים אם:‏ . k, l, m∈N לכל Z − Z ∼ Z − Z k+ m k l+ m l נסתכל עכשיו על תכונה נוספת של תהליך ספירה ברנולי:‏ המשתנים המקריים ‏(האינקרימנטים):‏ עבור כל סדרה של זמנים,‏ n0 = 0 < n1 < n2 < ... < n j N N ... N n n n 1 0 2 1 j − N n − N − n , , Nn j − 1 הינם בלתי תלויים.‏ הרי כל אינקרימנט הוא על פרק זמן זר ולכן כל אינקרימנט הוא סכום של משתנים מקריים ברנוליים שונים ובלתי תלויים זה בזה.‏ תכונה זו של התהליך נקראת תכונת אינקרימנטים בלתי תלויים.‏ להלן ההגדרה המפורטת:‏ Z n j − Zn j − 1 Z ni { Z , n ≥ 0} n הגדרה:‏ תהליך עבור כל סדרת זמנים הוא בעל אינקרימנטים בלתי תלויים אם:‏ − Zn i − 1 מתקיים בלתי תלוי ב עבור כל n = 0 < n < n < ... 0 1 2 . i, j ∈ N, i ≠ j קבלנו אם כך כי האינקרימנטים של תהליך ספירה ברנולי הינם אינקרימנטים סטציונרים בלתי תלויים.‏ תכונה זו היא חשובה ביותר והיא תופיע במספר תהליכים נוספים אשר נחקור,‏ בעיקר בתהליכי פואסון.‏ באמצעות תכונת האינקרימנטים הבלתי תלויים ניתן לחשב חישוב הסתברות משותפת של : N , N ,..... n1 n2 ? P( N = 3, N = 6, N = 7) 5 9 13 5 9 13 5 9 5 13 9 דוגמא:‏ מהי P( N = 3, N = 6, N = 7) = P( N = 3, N − N = 3, N − N = 1) ולפי אינקרימנטים בלתי תלויים:‏ = P( N = 3) P( N − N = 3) P( N − N = 1) = 5 9 5 13 9 ולפי אינקרימנטים סטציונרים:‏ - 38 -
207.2250 מבוא לתהליכים סטוכסטיים = P( N = 3) P( N − N = 3) P( N − N = 1) 5 4+ 5 5 9+ 4 9 = P( N = 3) P( N − N = 3) P( N − N = 1) 5 4 0 4 0 = P( N = 3) P( N = 3) P( N = 1) 5 4 4 ⎛5⎞ ⎛ 4⎞ ⎛ 4⎞ = ⎜ ⎟ p q ⎜ ⎟ p q ⎜ ⎟ p q ⎝3⎠ ⎝ 3⎠ ⎝1⎠ 3 2 3 1 1 3 ניתן להשתמש גם בתכונות של אינקרימנטים סטציונרים בלתי תלויים לחישוב תוחלות של מכפלות ‏(כזכור תוחלת של מכפלה של שתי משתנים מקריים אינה תמיד שווה מכפלת התוחלות,‏ ‏(תנאי מספיק לכך הוא אי-‏ תלות בין המשתנים המקריים).‏ דוגמא:‏ אינו בלתי תלוי ב ולכן נרצה לחשב את N 5 לא ניתן להסיק כי:‏ N 3 N3N5] , E[ לצערנו !!! E[ N N ] = EN EN = 3p5 p = 15 p 3 5 3 5 N 3 N 5 אבל ע"י ייצוג של כסכום של והאינקרימנט,‏ נצליח לחשב את תוחלת המכפלה:‏ E[ N N ] = E[ N ( N − N + N )] = E[( N ( N − N ) + N ] = EN ( N − N ) + EN 2 2 3 5 3 5 3 3 3 5 3 3 3 5 3 3 עכשיו נשתמש באינקרימנטים בלתי תלויים:‏ = EN E( N − N ) + EN 2 3 5 3 3 ועכשיו נשתמש באינקרימנטים סטציונרים:‏ = EN EN + EN 2 2 3 2 3 מכאן הכול קל,‏ רק צריך להיזכר כי המומנט השני הוא השונות בתוספת המומנט הראשון בריבוע:‏ 2 2 = 3p2 p + (3 pq + (3 p) ) = 15 p + 3pq 10 P( N 8 | 6) תכונות נוספות של תהליך ספירה ברנולי:‏ נסתכל על הסתברויות מותנות בין ערכים של התהליך בזמנים שונים.‏ נתחיל מדוגמא.‏ נניח כי ידוע כי בזמן ערך התהליך היה מעניין מהי ההסתברות שערך התהליך בזמן ננסח בעיה זו באמצעות הסתברות מותנית ונשתמש בתכונת אינקרימנטים סטציונרים בלתי תלויים:‏ 15 יהיה .8 15 10 10 15 10 10 15 10 15 = N10 = = = = = P( N10 = 6) P( N10 = 6) P( N10 = 6) P( N − N = 2) = P( N = 2) 15 10 5 P( N = 8, N = 6) P( N = 6, N − N = 2) P( N = 6) P( N − N = 2) ,6 . n ≤ m באופן כללי חזרה על אותו חישוב תיתן:‏ עבור ⎧Pm −n( l − k) k ≤ l P( Nm = l | Nn = k) = ⎨ ⎩ 0 l < k .n X ,..., X כעת נהפוך את היחס בין m ל המשתנים המקריים נניח כי ידוע כי שבזמן 15 ערך התהליך הוא 8. ז"א ידוע ששמונה מתוך לאור ידיעה זו נתעניין בהסתברות שבזמן הם 10 ערך X ,..., X 1 10 -8 הצלחות,‏ 1 ‏(והשאר .(0 1 15 התהליך הוא 6. ושתיים נפלו במשתנים זו בעצם השאלה:‏ מה ההסתברות שמתוך ה 6 נפלו במשתנים : X ,..., X 11 15 - 39 -
Page 1 and 2: חוברת עזר להרצאה מב
Page 3 and 4: 207.2250 מבוא לתהליכים
Page 9 and 10: ה-‏ 207.2250 מבוא לתהלי
Page 37: 207.2250 מבוא לתהליכים
Page 89 and 90:
207.2250 מבוא לתהליכים
Page 91 and 92:
Page 93 and 94:
Page 95 and 96:
Page 97 and 98:
Page 99 and 100:
Page 101 and 102:
Page 103 and 104:
Page 105 and 106:
Page 107 and 108:
Page 109 and 110:
Page 111 and 112:
Page 113 and 114:
Page 115 and 116:
Page 117 and 118:
Page 119 and 120:
Page 121 and 122:
Page 123 and 124:
Page 125 and 126:
Page 127 and 128:
Page 129 and 130:
Page 131 and 132:
Page 133 and 134:
Page 135 and 136:
Page 137 and 138:
Page 139 and 140:
Page 141 and 142:
Page 143 and 144:
Page 145 and 146:
Page 147 and 148:
Page 149 and 150:
Page 151 and 152:
Page 153 and 154:
Page 155 and 156:
Page 157 and 158:
Page 159 and 160:
Page 161 and 162:
Page 163 and 164:
Page 165 and 166:
Page 167 and 168:
Page 169 and 170:
Page 171 and 172:
Page 173 and 174:
Page 175 and 176:
Page 177 and 178:
Page 179 and 180:
show all

Yoni Nazarathy CV

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?