Yoni Nazarathy CV

More documents

Recommendations

Info

207.2250 מבוא לתהליכים סטוכסטיים { } { } . Var( X ) = E ( X − EX ) = E X − ( EX ) 2 2 2 השונות של משתנה מקרי היא מה יודעים על תוחלות/שונויות של סכומים/מכפלות?‏ תוחלת של סכום היא סכום התוחלות ‏(לא משנה אם תלויים או לא).‏ תוחלת של מכפלה היא מכפלת התוחלת כאשר המשתנים המקריים בלתי תלויים.‏ שונות של סכום של משתנים מקריים בלתי מתואמים ‏(יותר חלש מבלתי תלויים)‏ הוא סכום השונויות.‏ • • • עבור משתנה מקרי חיובי מתקיים השוויון הבא:‏ ∞ EX = X ∫ F ( x) dx 0 ∞ EX = ∑ F X ( k) k = 0 עבור המקרה הרציף והבדיד בהתאמה.‏ הוכחה עבור המקרה הבדיד:‏ נשתמש בנוסחת המשולש ‏(הוצגה בסעיף הקודם):‏ ∞ ∞ ∞ EX = kP ( k) = P ( j) = ∞ ∑ X k = 0 k = 1 j= k P( X ≥ k) = P( X ≥ k ' + 1) = k = 1 k ' = 0 ∞ ∑ ∑ P( X > k ') = F X ( k ') ∞ ∑ ∞ ∑ k ' = 0 k ' = 0 ∑∑ הוכחה עבור המקרה הרציף:‏ ∞ ∫ EX = xf ( x) dx = 0 f ( x) dxdt = F X ( t) dt t= 0 x= t t= 0 X ∞ ∞ ∞ ∫ ∫ ∫ X פונקציה יוצרת מומנטים של משתנה מקרי X היא זוהי פונקציה של היא מעניינת בגלל מספר סיבות.‏ א)‏ פונקצית יוצרת מומנטים מגדירה באופן חד ערכי את חוק ההסתברות של המשתנה המקרי.‏ זאת אומרת שבמידה וזיהינו את הפונקציה יוצרת מומנטים של משתנה מקרי אז גילינו את התפלגותו!!!‏ הערה במקרים חריגים בהם הפו'‏ אינה מוגדרת בסביבה של 0=t אז זה לא מתקיים אבל לא נתעסק במקרים כאלו בקורס זה.‏ הערה המעבר מצפיפות/מסת הסתברות לפו'‏ יוצרת מומנטים הוא לרוב קל ‏(חישוב תוחלת),‏ המעבר בחזרה הוא קשה ‏(דורש אינטגרציה במישור מרוכב לכן הדרך הנוחה לעשות זאת היא בעזרת טבלה.‏ – ‏"קשה")‏ . M ( t) = Ee X tX :1 :2 .t - 14 -
207.2250 מבוא לתהליכים סטוכסטיים .k ב)‏ ג)‏ ע"י גזירה k פעמים והצבה 0=t ניתן לקבל את המומנט ה הפונקציה של סכום של שתי מ"מ בלתי תלויים.‏ היא מכפלת הפונקציות.‏ נראה בהמשך.‏ , Φ X ( t ) = Ee itX L ( s) ‏(וריאציות אחרות הן התמרת לפלס − Ee = נשתמש לרוב יוצרת מומנטים בקורס זה).‏ ופונקציה אופיינית אבל אנו בפו X sX ' עבור משתנים מקריים בדידים אי-שליליים מוגדרת פונקציה יוצרת הסתברות ‏(לפעמים נקראת פשוט פונקציה יוצרת):‏ . G ( t) = Et X X קיים קשר פשוט בין פונקציה יוצרת הסתברות לפונקציה יוצרת מומנטים.‏ הערה:‏ פו'‏ יוצרת קיימת גם לסדרות באופן כללי ‏(הסדרה לא חייבת להיות פו'‏ מסת הסתברות).‏ משתנים מקריים ממשפחות מוכרות:‏ .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 .10 .11 .12 .13 .14 בקורס מבוא להסתברות ותורת ההתפלגויות הכרנו משפחות רבות של משתנים מקריים,‏ בדידים ורציפים.‏ לכל משפחה יש פרמטר אחד או יותר ולפעמים גם ישנו ‏"סיפור"‏ ‏(בעיקר עבור הבדידים).‏ לא נחזור כאן על הפירוט של המשתנים המקריים ‏(ניתן לראות אותם בטבלת התפלגויות)‏ אבל נציין את החשובים והרלוונטיים לקורס זה:‏ ברנולי.‏ בינומי.‏ היפר-גיאומטרי.‏ גיאומטרי – סופר כישלונות.‏ גיאומטרי – סופר ניסיונות.‏ בינומי שלילי – סופר כישלונות.‏ בינומי שלילי – סופר ניסיונות.‏ פואסון.‏ אחיד בדיד.‏ אקספוננציאלי.‏ גאמא.‏ ארלנג ‏(מקרה פרטי של גאמא).‏ נורמאלי.‏ אחיד ‏(רציף).‏ משתנים מקריים החיים יחדיו במרחבי הסתברות:‏ עבור שני משתנים מקריים ,X,Y כך מוגדרת פונקצית ההתפלגות המשותפת:‏ FX , Y ‏(כאשר פסיק בין ‏"מאורעות"‏ מסמל חיתוך מאורעות).‏ ( x, y) = P( X ≤ x, Y ≤ y) מכאן:‏ y) F ( x) = P( X ≤ x, Y ≤ ∞ ) = lim F ( x, X y→∞ X , Y ‏(וכנ"ל עבור Y). עבור שני משתנים מקריים בדידים,‏ פונקצית מסת ההסתברות המשותפת מוגדרת כך:‏ . PX , Y ( x, y) = P( X = x, Y = y) - 15 -
Page 1 and 2: חוברת עזר להרצאה מב
Page 3 and 4: 207.2250 מבוא לתהליכים
Page 9 and 10: ה-‏ 207.2250 מבוא לתהלי
Page 13: 207.2250 מבוא לתהליכים
Page 65 and 66:
207.2250 מבוא לתהליכים
Page 67 and 68:
Page 69 and 70:
Page 71 and 72:
Page 73 and 74:
Page 75 and 76:
Page 77 and 78:
Page 79 and 80:
Page 81 and 82:
Page 83 and 84:
Page 85 and 86:
Page 87 and 88:
Page 89 and 90:
Page 91 and 92:
Page 93 and 94:
Page 95 and 96:
Page 97 and 98:
Page 99 and 100:
Page 101 and 102:
Page 103 and 104:
Page 105 and 106:
Page 107 and 108:
Page 109 and 110:
Page 111 and 112:
Page 113 and 114:
Page 115 and 116:
Page 117 and 118:
Page 119 and 120:
Page 121 and 122:
Page 123 and 124:
Page 125 and 126:
Page 127 and 128:
Page 129 and 130:
Page 131 and 132:
Page 133 and 134:
Page 135 and 136:
Page 137 and 138:
Page 139 and 140:
Page 141 and 142:
Page 143 and 144:
Page 145 and 146:
Page 147 and 148:
Page 149 and 150:
Page 151 and 152:
Page 153 and 154:
Page 155 and 156:
Page 157 and 158:
Page 159 and 160:
Page 161 and 162:
Page 163 and 164:
Page 165 and 166:
Page 167 and 168:
Page 169 and 170:
Page 171 and 172:
Page 173 and 174:
Page 175 and 176:
Page 177 and 178:
Page 179 and 180:
show all

Yoni Nazarathy CV

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?