Yoni Nazarathy CV
Yoni Nazarathy CV
Yoni Nazarathy CV
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
207.2250<br />
מבוא לתהליכים סטוכסטיים<br />
כאשר 2 משתנים מקריים<br />
אזי<br />
( X<br />
1,<br />
X ) 2<br />
הינם<br />
(Independent and identically distributed) i.i.d.<br />
<br />
i.i.d. באורך<br />
X<br />
. F ( x , x ) = F ( x ) F ( x )<br />
X1, X 2 1 2 X1 1 X 2 2<br />
n (בעל<br />
n משתנים מקריים) מתקיים<br />
או באופן כללי עבור וקטור<br />
.<br />
n<br />
F<br />
( x1,..., x ) = F ( x )<br />
X ∏<br />
n X i<br />
i=<br />
1<br />
הסתברות משותפת של אוסף i.i.d. ועבור הצפיפות המשותפת של אוסף<br />
של משתנים מקריים<br />
אותה תוצאה נכונה עבור פו' מסת<br />
.i.i.d.<br />
סכומים של משתנים מקריים:<br />
S n<br />
סכימה של משתנים מקריים הינה תופעה שכיכה ביותר במודלים הסתברותיים ובתהליכים סטוכסטיים.<br />
בעקרון כל תהליך סטוכסטי בזמן בדיד ניתן להגדיר כסכום של משתנים מקריים (לא בהכרח בלתי<br />
תלויים). נגדיר:<br />
X<br />
0<br />
= S0<br />
.<br />
X = S − S −<br />
n n n 1<br />
ואז:<br />
. S<br />
n<br />
n<br />
= ∑ X<br />
k = 0<br />
k<br />
במידה והמשתנים המקריים<br />
X n<br />
הינם בלתי תלויים אזי<br />
{ S , n ≥ 0}<br />
n<br />
נקרא מהלך מקרי.<br />
ניתן לחשב את חוק ההסתברות המשותף של סכום של משתנים מקריים בלתי תלויים במספר דרכים.<br />
הדרך ה"ישירה" היא באמצעות פעולת הקונבולוציה, דרך אחרת (ולרוב יותר פשוטה) היא ע"י הכפלה של<br />
פונקציות יוצרות מומנטים או פונקציות יוצרות הסתברות, לבסוף כאשר הסכום הוא של אוסף רב של<br />
משתנים מקריים אז ניתן להשתמש במשפטי גבול.<br />
קונבולוציה:<br />
עבור המקרה הבדיד, קונבולוציה היא פעולה הפועלת על שתי סדרות של מספרים ופולטת סדרה שלישית.<br />
עבור המקרה הרציף, קונבולוציה היא פעולה אשר פעולת על שתי פונקציות ופולטת פונקציה שלישית.<br />
בהינתן סדרה של מספרים<br />
ו b כך:<br />
a = { a , n ≥ 0}<br />
n<br />
וסדרה נוספת<br />
, b = { b , n ≥ 0}<br />
n<br />
נגדיר את הקונבולוציה של<br />
a<br />
. c = ( a ⊗ b)<br />
= ∑ a b<br />
n n i n−i<br />
i=<br />
0<br />
∞<br />
נוצרה כאן סדרה חדשה של מספרים<br />
, c n כאשר הערך של הסדרה ב<br />
n = n 0<br />
כלשהו הוא:<br />
.<br />
∞<br />
∑<br />
i=<br />
0<br />
a b<br />
i n0<br />
−i<br />
לפעולת הקונבולוציה שימושים רבים בניתוח מערכות ליניאריות ובעיבוד אותות, אבל השימושים אשר<br />
מעניינים אותנו הם בהסתברות:<br />
נראה כי עבור שתי משתנים מקריים בדידים,חיוביים בלתי תלויים X,Y מתקיים כי פונקצית מסת ההסתברות<br />
של Z=X+Y היא הקונבולוציה של פונקציות המסה של X ושל Y.<br />
- 16 -
Change language